. Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall a er delelig med et tall b betyr at a b er et er et heltall. For eksempel er, 3,, og primtall, mens 4 =, 6 = 3 og = 3 er det ikke. Teorem Alle heltall større enn er enten primtall eller de kan skrives som et produkt av primtall. Det å skrive om heltall til et produkt av primtall kalles å primtallsfaktorisere Eksempler: 6 = 3 46 = 3 9 = 3 3 9 440 = 3 3 Tips til primtallsfaktoriseringen: Alle partall (tall som ender på 0,,4,6 eller 8) har som faktor Alle tall som ender på eller 0 har som faktor Hvis et tall har 3 som faktor, vil siffersummen (finnes ved å legge sammen sifrene tallet består av) til tallet også ha 3 som faktor. Sagt på en annen måte, hvis et tall er delelig med 3 er siffersummen det også (og omvendt). Eksempel: Primtallsfaktoriser 94 Vi ser at 94 er et partall og vi kan derfor skrive 94 = 464 (Vi finner 464 ved å dele 94 på ). Videre er 464 et partall og vi finner derfor at 464 = 3. 3 er derimot ikke et partall. Det slutter heller ikke på, så vi vet at det ikke har eller som faktorer. Men siffersummen til 3 ( + 3 + = 6) er delelig på 3, derfor må 3 være det. Vi finner at 3 = 3. = som begge er primtall. Det gir denne primtallsfaktoriseringen. 94 = 464 = 3 = 3 = 3 Nyttige anvendelser av primtallsfaktorisering når det gjelder brøk: Hvis a b skal bli et heltall må a inneholde alle primtallsfaktorene til b. Hvis a b skal kunne forkortest må primtallsfaktoriseringen av tallene ha minst en felles faktor. Eksempler: Hva blir 648 08? Vi primtallsfaktoriserer teller og nevner og får 648 08 = 3 3 4 3 3 = 3 = 6 Legg merke til at alle faktorene som er i 08 også er i 648. Hva blir 49 66? Vi primtallsfaktoriserer teller og nevner og får 49 66 = 3 3 = 3 3 = 4 6
Hva blir 88? 88 = 3 3 3 Siden teller og nevner etter primtallsfaktoriseringen ikke inneholder noen felles faktor, kan ikke brøken forkortes. Primtallsfaktorisering kan også brukes til å finne minste fellesnevner for to brøker. Eksempel: Hva er 60 + 3 84? Alternativ : Vi kan gange nevnerne med hverandre for å få en fellesnevner. 60 + 3 84 = 84 3 60 88 + 80 + = = 368 60 84 84 60 60 84 040 for så å forkorte ned denne brøken. Alternativ : Vi primtallsfaktoriserer nevnerne først 60 + 3 84 = 3 + 3 3 Vi ser nå at vi bare trenger utvide den ene brøken med og den andre med for å få felles nevner 3 + 3 3 = 3 + 3 49 + 6 = 3 3 = 4 3 Nå slipper vi å ha unødvendig store tall i teller og nevner, og i tillegg er nevneren alt primtallsfaktorisert, så det er lettere å forkorte brøken 4 3 = 3 9 3 = 9 = 9 0 Primtallsfaktorisering kan også være nyttig når det gjelder potensregning (inkl. regning med rottegn): Eksempler 48 6 4 = (4 3) ( 3) 4 = 8 3 4 3 4 = 8 4 3 4 = 4 3 = 6 9 8 4 00 = ( 3 ) ( 4 ) 4 = 3 = 3 = 30 6a + 6 3 a + 3 = = a + 3 (a + 3) 30 = = a + 3
Oppgave. - Bruk av kalkulator I den følgende oppgaven, er først et regnestykke gitt, og så et forslag til hvordan det skal tastes inn på kalkulator. Finn feilen i disse forslagene og skriv opp hvordan disse stykkene burde skrives inn påå kalkulator. Eksempel: 0 Kalkulatorforslag: 0 Feilen med forslaget er at nå blir roten bare tatt av det første tallet (tilsvarer stykket 0 0.). Riktig inntasting på kalkulator skal være ( 0) (som forresten er lik 0).. Finn feilen (a) ++4 +3 6 Kalkulatorforslag: + + 4 + 3 6 (b) 64 38 + Kalkulatorforslag: 64 38 + 3 6 6 Kalkulatorforslag: 3 6 6 + (d) (6+3) : 0 3 Kalkulatorforslag: (6+3) (+) (0 3) (e) Få kalkulatoren til å forkolte 90 4840 for deg. Kalkulatorforslag:?????? Oppgave.6 - Primtallsfaktorisering. Primtallsfaktoriser tallene (a) 6 (b) 8 03 (d) 33. Løs oppgavene ved hjelp av primtallsfaktorisering (ikke bruk kalkulator, løsningene fra oppgavene over kan være nyttige) (a) 3 6 (b) 6 8 (d) 3x 69 03 (e) 49 + 3 33 (f) 6 3 40 (g) 8p + 8 4q (h) 6x 3
Oppgave 3.6 - manipulering av formler Snu om på formlene, slik at den oppgitte variabelen står alene på den ene siden. Eksempel: y = ax + b, finn en formel for a, når x 0.. Snu om på formlene y = ax + b y b = ax a = y b x (a) v = s t, finn en formel for t (b) F = k Qq r, finn en formel for q F = G Mm r, finn en formel for r, r > 0 (d) R = R + R, finn en formel for R. (e) s = vt + at, finn en formel for t, alle variabler større enn 0. (f) y = e kx, finn en formel for k (du trenger materiale fra kap for å løse denne) 4
Fasitt Oppgave. - Bruk av kalukator. Riktig måte å skrive ting inn på kalkulator er (a) ( + + 4 + 3 6) (b) (64 38) ( + ) Enten 3( 6 6) eller 3 6 6 (d) Enten (6+3) ((+) (0 3)) eller (6+3) (+) (0 3) (e) Skriv inn 90 4840. tegnet kommer ved å trykke på brøktasten på kalkulatoren (merket a b c ). Få noen til å lære deg å bruke den hvis du ikke kan med den. Oppgave.6 - Primtallsfaktorisering. Primtallsfaktoringen er (a) 6 = 3 3 3 (b) 8 = 3 03 = 3 3 (d) 33 = 3. Løsning (a) 6 (b) 4 3 = 3 (d) x 3 4 (e) 00 33 (f) 0 (g) q+6p 90pq (h) x 3 Oppgave 3.6 - manipulering av formler. De riktige formlene (a) t = s v (b) q = F r r = kq GMm F (d) R = RR R +R (e) t = v+ v +as a (f) k = ln y x