OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et pengeskap hjemme. La oss oppsummere dette i tabellen: År Uten renter Renter Totalt pr 0.0 Tatt ut Konto pr 0.0 Pengeskap 0 00000 3000 03000 500 0500 500 03 0500 3045 04545 5:50 030:50 30:50 04 030:50 3090:8 03:8 545:34 0457:84 457:84 a) Hva blir kontobeløpet den. januar 040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den. januar 040? c) Når overstiger beløpet i pengeskapet 30 tusen kroner? Hint: i deloppgavene b) og c), bruk formelen for summen av en geometrisk rekke. OPPGAVE Bestem grenseverdiene: a) e 3x 3x lim x!0 cos (5x) : b) p x lim x! 3p : x Hint: bruk L Hôpital sin regel ( ere ganger om nødvendig).
3 OPPGAVE I 997 i Roskilde (Danmark) fant arkeologer et vikingskip. For å datere funnet, brukte de radiokarbondatering. Metoden er følgende: man måler forholdet N 4 C ' N ( C + 3 C) mellom antallet radioaktive ( 4 C) og antallet ikke-radioaktive ( C og 3 C) karbonatomer i treverket skipet er bygd av. Radioaktive karbonatomer 4 C brytes bestandig ned. Men levende organismer som trær har verdien ' konstant, fordi de får erstattet 4 C atomer fra atmosfæren. Denne konstante verdien ' 0 til ' er lik ca. 0. Når et tre er hogd ned, og et skip bygges, blir 4 C atomer ikke erstattet, og forholdet ' ' (t) begynner å avta. Det er kjent at ' (t) tilfredsstiller di erensiallikningen d' (t) dt der er en konstant (ukjent inntil videre). ' (t) a) Vis at formelen for ' (t) uttrykt ved, t, og t 0 (tidspunktet skipet er bygd) er: ' (t) ' 0 e (t t0) : Hint: husk at ' (t 0 ) ' 0 0 : b) Treverket til vikingskipet funnet i Roskilde i 997 hadde verdien ' (997) 8:90300 0 3 : Radiokarbondateringen ga året skipet ble bygd: t 0 037. Bruk formelen fra deloppgave a), for å nne konstanten. c) Anta at en gruppe norske arkeologer nner et vikingskip i 0, og anta at skipet gir følgende verdi til ' Bestem året da skipet var bygd. d) Finn halveringstiden T til 4 C. ' (0) 8:7043 0 3 : Hint: ' (t + T ) ' (t) :
4 OPPGAVE a) Finn det ubestemte integralet x sin (3x) dx: Hint: bruk delvis integrasjon. b) Finn det ubestemte integralet x 7 dx: Hint: bruk substitusjon. c) Bruk resultatene fra deloppgavene a) og b) for å nne det bestemte integralet x sin (3x) + dx: x 7 5 OPPGAVE Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) 4x + xy y 3 : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) der g (x; y) xy + x : LYKKE TIL! 3
Løsningsforslag. OPPGAVE a) Hva blir kontobeløpet den. januar 040? Hvis beløpet i året Y er x kroner, vil da totalbeløpet med renter bli x + x 0:03 :03x: Etter at Ola Normann inndrar halvparten x 0:05 av rentene, blir beløpet :05x, dvs. multipliseres beløpet (pr 0. januar) med :05 hvert år. Den. januar 040 blir da 00000 (:05) 9 53998:05 kroner. b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 0.0.040? La q :05 og a 500. I året (0 + i) legger Ola aq i kroner i pengeskapet. Totalt blir det a+aq+aq +:::+aq i a qi q a q9 q 500 (:05)9 :05 53998:05 kroner. c) Når overstiger beløpet i pengeskapet 30000 kroner? La S 30000. a qi q > S q i > S (q ) a q i > S (q ) + a i > ln S a (q ) + > ln q ln 30000 500 (:05 ) + ln (:05) 7:; dvs. overstiger beløpet i skapet 30000 kroner den 0. januar 09 (0+809).. OPPGAVE a) e 3x 3x lim x!0 cos (5x) 0 3e 3x 3 lim 0 x!0 5 sin (5x) 0 0 lim x!0 9e 3x 5 cos (5x) 9 5 0:3: 4
b) p x x lim x! 3p lim x x! x 3 lim x! x 3 x 3 3 :.3 OPPGAVE a) Finn formelen for ' (t) uttrykt ved, t (tidspunktet skipet er funnet), og t 0 (tidspunktet skipet er bygd): Den generelle løsningen til di erensiallikningen er ' (t) Ce t : Siden er og ' 0 ' (t 0 ) Ce t0 ; C ' 0 e t0 ' (t) ' 0 e t0 e t ' 0 e (t t0) : b) Treverket til vikingskipet funnet i Roskilde i 997 hadde verdien ' (997) 8:90300 0 3 : Radiokarbondateringen ga året skipet ble bygd: 037. Bruk formelen du fant i deloppgave a) og nn konstanten : ln '(t) 8:903000 ' ln 3 0 0 :098 0 4 : t t 0 997 037 c) Anta en gruppe norske arkeologer nner et vikingskip i 0, og anta at skipet gir følgende verdien til ' ' (0) 8:7043 0 3 : Bestem ved hjelp av radiokarbondatering, når skipet var bygd. ' (t) ' 0 e t 0 ln (t t0) '(t) ' 0 + t 8:70430 ln 3 0 :098 0 4 + 0 87: 5
d) Finn halveringstiden T til 4 C. ' (t + T ) ' (x) Ce (t+t ) t Ce Ce T e t t Ce e T 0:5 T ln (0:5) :098 0 4 5730 år..4 OPPGAVE a) Finn det ubestemte integralet x sin (3x) dx: I x sin (3x) dx delvis integrasjon x 3 cos (3x) + cos (3x) dx 3 x 3 cos (3x) + 9 sin (3x) + C : b) Finn det ubestemte integralet x 7 dx: u x 7 du dx dx du I x 7 dx u dx u du ln juj + C ln jx 7j + C : c) Bruk resultatene i deloppgavene a) og b) for å nne det bestemte integralet x sin (3x) + dx: x 7
x sin (3x) + dx x 7 x 3 cos (3x) + 9 sin (3x) + ln jx 7j 3 + ln (7 ) 9 + ln (7 ) 3 + ln (7 ) + 9 ln (7 ) 0:37:.5 OPPGAVE a) Beregn partielle deriverter f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. Betrakt systemet @ @x 4x + xy y 3 8x + y; @ @y 4x + xy y 3 x 3y : f x 0; f y 0: Uttrykk y løsninger: 4x fra den. likningen og sett til den. likning. Man får to x 4 ; y ; [x 0; y 0] b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. @ @x 4x + xy y 3 8; @ @y 4x + xy y 3 y; @ @x@y 4x + xy y 3 : 7
La oss beregne Hessianen (x; y): (x; y) f 00 xx f 00 yy f 00 xy 8 ( y) 48y 4 f 00 xx 4 ; 4 ; 4 > 0; 8 > 0; derfor er 4 ; et lokalt minimumspunkt. (0; 0) 4 < 0; derfor er (0; 0) et sadelpunkt, dvs. ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) der g (x; y) xy + x : Bibetingelsen er g (x; y) xy + x : Bruker Lagranges metode: rf rg g Fra likning nr får man at eller 8x + y (y + 4x) x 3y x xy + x : y + 4x 0 : Hvis, er x 3y x og y 0 ) x, dvs. ingen løsning. Derfor er y + 4x 0, y 4x ) 4x + x ) x ) y : 8
Det er derfor to ekstrempunkter ; og ;. Vi kan beregne verdien til f i punktene: f ; 7; f ; 9; men vi kan ikke bestemme (ved hjelp av metoder fra læreboken) hvilke av dem gir lokalt maksimum og hvilke gir lokalt minimum. Svaret er: ; gir lokalt minimum, og ; gir lokalt maksimum, selv om f ; < f ;. 9