ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 2/ 59
Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 3/ 59 Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi bruke: Test (sig.ivå α: Forkast H 0 dersom X μ 0 σ 2 z α/2 eller X μ 0 σ 2 z α/2 Vi skal se at dette er det samme som: Forkast H 0 dersom μ 0 ikke er ikludert i kofidesitervallet for μ. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 4/ 59
Kofidesitervall Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av e smoltoppdretter. Det hevdes at gjeomsittsvekte til smolte i merde er 80 gram. Vekt av i tilfeldig valgte smolt: gj.s.-vekt: 76.87 gram. Vi er iteressert i om vekte (gjeomsittsvekt for alle smolt i merde kaværeulik80gram. Tyder resultatee på at vekte ka er ulik 80 gram? Målemodell med ormalatakelse; kjet varias, σ 2 =10 2. Forvetige, μ: vekt(gjeomsittsvekt for alle smolt i merde Vil teste: H 0 : μ =80 mot H 1 : μ 80 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 5/ 59 Kofidesitervall Vil teste: H 0 : μ = 80 mot H 1 : μ 80 Test (sig.ivå α =0.10: Forkast H 0 dersom X 80 10 2 9 z 0.05 eller X 80 10 2 9 z 0.05 Er det samme som: Forkast H 0 dersom 10 X 80 z 2 10 0.05 9 eller X 80 + z 2 0.05 9 Er det samme som: Behold H 0 dersom 80 z 0.05 10 2 10 2 9 X 80 + z 0.05 9 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 6/ 59
Kofidesitervall Behold H 0 dersom 10 2 80 z 0.05 10 2 9 X 80 + z 0.05 9 Er det samme som: behold H 0 dersom X z 0.05 10 2 10 2 9 80 X + z 0.05 9 Dette siste betyr: behold H 0 dersom μ 0 =80 90% kofidesitervall for μ. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 7/ 59 Kofidesitervall Gjeomførig / koklusjo: 90% α =0.1 z α/2 = z 0.05 =1.645 Et 90% kofidesitervall for vekte, μ, er (isatt data, gj.s. = 76.87: ( ( 10 76.87 1.645 2 9, 76.87 + 1.645 10 2 9 = 71.4, 82.4 Dvs.: side μ 0 =80 gir ikke grulag for å hevde at μ 80. ( 71.4, 82.4, beholdes H 0. Dataee Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 8/ 59
Kofidesitervall Geerelt: La (L, U være et (ev. tilærmet 100(1 α% kofidesitervall for parametere θ. Vi vil teste H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 Test: Forkast H 0 dersom θ 0 (L, U. Teste har sigifikasivå α (ev. tilærmet. Veldig god måte å gjeomføre (tosidige tester på! Obs.: dersom dette blir brukt for esidig test får vi e ae sammeheg mellom itervallets kofidesgrad og sig.ivået til teste. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 9/ 59 Kofidesitervall Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger (i kg/mm 2 : 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias (empirisk varias: 689.4 Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er ulik 300? Målemodell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 ( 1 i=1 Xi X 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 10 / 59
Kofidesitervall Øsker å bruke 5% sigifikasivå. Gjeomfører test vha. kofidesitervall; dvs., teste er: Forkast H 0 dersom et 95% kofidesitervall for μ ikke ieholder 300. Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: S (X t 2 0.025,5 6, X + t 0.025,5 6 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 11 / 59 Kofidesitervall Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: S (X t 2 0.025,5 6, X + t 0.025,5 6 Isatt data (Gj.s. = 322.8, emp. varias = 689.4, t 0.025,5 =2.571, blir utreget itervall: ( ( 689.4 689.4 322.8 2.571 6, 322.8+2.571 6 = 295.2, 350.4 Koklusjo: Behold H 0 side μ 0 = 300 (295.2, 350.4 side μ 0 = 300 er ieholdt i kofidesitervallet. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 12 / 59
Kofidesitervall Eksempel: Sammelige meigsmåliger Forrige meigsmålig: 28% oppslutig Dee meigsmålig: 31% oppslutig Er det edrig i virkelig oppslutig? Obs.: Sammeliger resultater fra to grupper; ikke stadardmetode i dette kurset. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 13 / 59 Kofidesitervall Modell: Forrige meigsmålig: X 1 B( 1,p 1 Dee meigsmålig: X 2 B( 2,p 2 X 1 og X 2 atas å være statistisk uavhegige. Vi vil teste H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 p 2 Vi vil teste H 0 : p 1 p 2 =0 mot H 1 : p 1 p 2 0 Det vil være best å lage et kofidesitervall for p 1 p 2,og bruke dette til teste. p 1 p 2 estimeres med: p 1 p 2 = X 1 X 2 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 14 / 59 2
Kofidesitervall p 1 = X 1 1, p 2 = X 2 2 E ( p 1 p 2 = E ( p1 E ( p2 = p1 p 2 Var ( p 1 p 2 = Var ( p1 + Var ( p2 = p 1 (1 p 1 1 + p 2(1 p 2 2 p 1 og p 2 er begge tilærmet ormalfordelte og de uavhegige. Vi ka da slutte at også p 1 p 2 er tilærmet ormalfordelt. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 15 / 59 Kofidesitervall p 1 p 2 er tilærmet ormalfordelt. Altså: p 1 p 2 (p 1 p 2 p1 (1 p 1 1 + p 2(1 p 2 2 N(0, 1, tilærmet Nevere (stadardavviket til p 1 p 2 ka tilærmes med: p1 (1 p 1 + p 2(1 p 2. 1 2 Bruker symbolet ŜD( p 1 p 2 for dee. Vi har: p 1 p 2 (p 1 p 2 N(0, 1, ŜD( p 1 p 2 tilærmet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 16 / 59
Kofidesitervall Vi har: p 1 p 2 (p 1 p 2 ŜD( p 1 p 2 N(0, 1, tilærmet Medfører: ( P z α/2 p 1 p 2 (p 1 p 2 z α/2 1 α ŜD( p 1 p 2 Derfor: ( { }} { P p 1 p 2 z α/2 ŜD( p 1 p 2 L p 1 p 2 p 1 p 2 + z α/2 ŜD( p 1 p 2 } {{ } U 1 α Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 17 / 59 Kofidesitervall Vi har altså at (L, U er et tilærmet (1 α100% kofidesitervall for differase p 1 p 2. Data: 1 = 1120, 2 = 1050; α =0.05 α/2 =0.025 og z 0.025 =1.96 Utfall av p 1 p 2 :0.28 0.31 = 0.03 Utfall av ŜD( p p1 (1 p 1 1 p 2 = + p 2(1 p 2 : 1 2 0.28(1 0.28 1120 + 0.31(1 0.31 1050 =0.01959 Derfor, kofidesitervall: ( ( 0.03 1.96 0.01959, 0.03+1.96 0.01959 = 0.008, 0.068 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 18 / 59
Kofidesitervall Derfor, kofidesitervall: ( ( 0.03 1.96 0.01959, 0.03+1.96 0.01959 = 0.008, 0.068 Koklusjo: Side 0 er ieholdt i itervallet ka vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grulag for å påstå at virkelig oppslutig er edret. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 19 / 59 Kofidesitervall Hva er problemet med å gjeomføre esidige tester på dee måte? Det er ikke oe problem dersom vi er øye!! Illustrer med eksempelet med smoltdata: Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 20 / 59
Kofidesitervall Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av e smoltoppdretter. Det hevdes at gjeomsittsvekte til smolte i merde er (mist 80gram. Vekt av i tilfeldig valgte smolt: gj.s.-vekt: 76.87 gram. Vi er iteressert i om vekte (gjeomsittsvekt for alle smolt i merde er midre e 80 gram. Tyder resultatee på at vekte er midre e 80 gram? Målemodell med ormalatakelse; kjet varias, σ 2 =10 2. Forvetige, μ: vekt(gjeomsittsvekt for alle smolt i merde Vil teste: H 0 : μ =80 mot H 1 : μ<80 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 21 / 59 Kofidesitervall Vil teste: H 0 : μ = 80 mot H 1 : μ<80 Ata at vi øsker å bruke sig.ivå α =0.10, og at vi vil bruke kofidesitervall for å gjeomføre teste. 90% kofidesitervall for μ: ( 10 2 X z 0.05 } {{ 9 } L 10 2, X + z 0.05 } {{ 9 } U Dersom hele itervallet er edfor (til vestre for μ 0 =80, idikerer dette at H 1 er riktig. Mao., Teste er: Forkast H 0 dersom U<μ 0 =80. Sig.ivå til dee teste? Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 22 / 59
Kofidesitervall Forkast H 0 dersom U<μ 0 =80. Dette er det samme som: Forkast H 0 dersom: U = X + z 0.05 10 2 9 < 80 X 80 10 2 9 < z 0.05 Dvs. E slik måte å gjeomføre teste på svarer til e test med sigifikasivå på 5% (α/2. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 23 / 59 Oversikt, del 5 p-verdi Eksempler Eksempler (styrke,,... Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 24 / 59
p-verdi Tester ka gjeomføres vha. p-verdi. Svært mye brukt. (Kombiasjo av p-verdi og kofidesitervall er ideell! Obs: Vi sakker ikke om suksessasylighete i e biomisk modell. Itroduserer vha. eksempel: Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 25 / 59 p-verdi Eksempel: Vi har gjort 20 kast med et pegestykke; 5 gav kro. Vi er iteressert i p = P (kro. Vi betrakter resultatet (5 kro av 20 kast som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p, =20, p: ukjet. Vil teste H 0 : p =0.5 mot H 1 : p<0.5; Øsker å bruke sigifikasivå 0.05. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 26 / 59
p-verdi Vi vil teste H 0 : p =0.5 mot H 1 : p<0.5 Teststørrelse: Y ; ullfordelig: Y B(20, 0.5: 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 5 10 15 20 Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H 0 Små verdier av Y idikerer at H 1 er riktig. Rødt: sasylighete for å få 5 eller et utfall som i eda sterkere grad peker i retig av at H 1 er riktig. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 27 / 59 p-verdi H 0 : p =0.5 mot H 1 : p<0.5 Nullfordelig: Y B(20, 0.5: 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 5 10 15 20 B(20, 0.5-fordelig; p-verdi farget. p-verdie for resultatet er sasylighete som svarer til rødt areal. Dvs.: Sasylighete i ullfordelige for å få 5 eller midre. Lite p idikerer at H 1 er riktig. ( Lite sasylig å få et slikt resultat som vi har fått, dersom H 0 skal forutettes å være sa. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 28 / 59
p-verdi Fra biomisk tabell ( =20,p =0.5: y P (Y y 0 0.0000 1 0.0000 2 0.0002 3 0.0013 4 0.0059 5 0.0207 6 0.0577 7 0.1316 8 0.2517 9 0.4119 10 0.5881 11 0.7483 12 0.8684 13 0.9423 14 0.9793 15 0.9941 16 0.9987 17 0.9998 18 1.0000 19 1.0000 20 1.0000 Beregig av p-verdi: Her: p-verdi = P ( Y 5 p = 0.5 Her: p-verdi = P ( Y 5 p =0.5 =0.0207 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 29 / 59 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 5 10 15 20 B(20, 0.5-fordelig; p-verdi farget. p-verdi Tosidig test, biomisk, lite Gjeomførig/koklusjo: Side p-verdie er midre e 0.05, forkastes H 0. Obs.1: Dette er øyaktig det samme som å gjeomføre e test med kritiske verdier på 5% sigifikasivå. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 30 / 59
p-verdi Geerelt: Dersom p-verdie er lavere e fastlagt sigifikasivå, forkastes H 0. (Da har teststørrelse verdi i forkastigsområdet. Geerell defiisjo av p-verdi: Def.: p-verdie til et resultat er sasylighete bereget uder H 0 for å få det observerte resultatet eller et som i eda sterkere grad peker i retig av at H 1 er riktig. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 31 / 59 p-verdi Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av e smoltoppdretter. Det hevdes at gjeomsittsvekte til smolte i merde er (mist 80gram. Vekt av i tilfeldig valgte smolt: gj.s.-vekt: 76.87 gram. Vi er iteressert i om vekte (gjeomsittsvekt for alle smolt i merde er midre e 80 gram. Tyder resultatee på at vekte er midre e 80 gram? Målemodell med ormalatakelse; kjet varias, σ 2 =10 2. Forvetige, μ: vekt(gjeomsittsvekt for alle smolt i merde Vil teste: H 0 : μ =80 mot H 1 : μ<80 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 32 / 59
p-verdi Vil teste: H 0 : μ =80 mot H 1 : μ<80 Øsker å bruke sig.ivå α =0.10 Teststørrelse og ullfordelig: Z = X 80 10 2 /9 N(0, 1 0.5 0.4 0.3 0.2 Data, utfall av teststørrelse: 76.87 80 10 2 /9 = 0.94 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Null-fordelig; p-verdi fargelagt. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 33 / 59 p-verdi Teststørrelse og ullfordelig: Z = X 80 10 2 /9 N(0, 1 Data, utfall av teststørrelse: 76.87 80 10 2 /9 = 0.94 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Null-fordelig; p-verdi fargelagt. H 1 : μ<80; små verdier av Z tyder på at H 1 er riktig. Derfor: p-verdi = P ( Z< 0.94 H 0 riktig =0.1736 >α=0.1 Dvs.: Behold H 0. Det er klart at: p-verdi <α=0.1 er øyaktig det samme som: Z< z α = z 0.1 = 1.282 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 34 / 59
p-verdi Eksempel: Vi vil udersøke et tilsettigsstoff si ivirkig på herdetide til betog. Normal betog herder på 120 timer ved e gitt temperatur. Med tilsettigsstoffet ble 40 blokker laget og herdetide registrert: gjeomsitt = 113.5 timer; emp.stadardavvik = 18.7. Tyder resultatee på at virkelig herdetid m/tils.stoff er aerledes e for ormal betog? Målemodell med ormaltilærmig; dataee x 1,...,x 40 utfalll av =40u.i.f. tilf.var. X 1,...,X 40. Forvetige, μ = E(X i : virkelig herdetid m/tils.stoff Vil teste: H 0 : μ = 120 mot H 1 : μ 120 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 35 / 59 p-verdi H 0 : μ = 120 mot H 1 : μ 120 Øsker å bruke sig.ivå α =0.05 Teststørrelse og ullfordelig: Z = X 120 /40 N(0, 1, til. 0.5 0.4 0.3 0.2 Data, utfall av teststørrelse: 113.5 120 18.7 2 /40 = 2.2 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Null-fordelig; p-verdi fargelagt. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 36 / 59
p-verdi Teststørrelse og ullfordelig: Z = X 120 /40 N(0, 1, til. Data, utfall av teststørrelse: 113.5 120 18.7 2 /40 = 2.2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Null-fordelig; p-verdi fargelagt. H 1 : μ 120; Z-utfalll lagt fra 0 (positive eller egative tyder på at H 1 er riktig. Derfor: p-verdi = P ( Z< 2.2 H 0 riktig + P ( Z>2.2 H 0 riktig =2 P ( Z< 2.2 H 0 riktig =2 0.0139 = 0.0278 <α=0.05 Dvs.: Forkast H 0. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 37 / 59 p-verdi p-verdi = P ( Z< 2.2 H0 riktig +P ( Z> 2.2 H0 riktig =2 P ( Z< 2.2 H 0 riktig =2 0.0139 = 0.0278 <α=0.05 Det er klart at: p-verdi <α=0.05 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Null-fordelig; p-verdi fargelagt. er øyaktig det samme som: Z< z α/2 = z 0.025 = 1.96 eller Z>z α/2. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 38 / 59
Oversikt, del 5 p-verdi Eksempler Eksempler (styrke,,... Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 39 / 59 Eksempel; styrke, Styrke Vi har sett på styrkefuksjo for esidige tester. Nå: Styrkefuksjo for tosidige tester. Først litt repetisjo! Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 40 / 59
Eksempel; styrke, Repetisjo av: Geerell defiisjo av styrke/styrkefuksjo Situasjo og modell fastlagt; test ag. parametere θ Følgede er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sig.ivå og forkastigsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefuksjoe, γ, er defiert ved: γ(θ =P (forkaste H 0 θ. For e bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig, kalles sasylighete γ(θ 1 for styrke i alterativet θ 1. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 41 / 59 Eksempel; styrke, Eksempel: Herdetider til betog. Forvetige, μ = E(X i : virkelig herdetid m/tils.stoff Vil teste : H 0 : μ = 120 mot H 1 : μ 120 Teststørrelse: Z = X 120, Nullfordelig: N (0, 1, til. Test (tilærmet sig.ivå α =0.05: 0.5 0.4 Forkast H 0 dersom 0.3 0.2 Z z 0.025 } {{ } 1.96 eller Z z 0.025 } {{ } 1.96 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 42 / 59 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 N (0, 1 tetthet
Eksempel; styrke, Styrkefuksjo til dee teste; Betrakt μ 1 slik at H 1 er riktig: γ(μ 1 = P (forkaste H 0 μ = μ 1 = P (Z z 0.025 μ = μ 1 +P (Z z 0.025 μ = μ 1 Vi ser på et av leddee om gage, først P (Z z 0.025 μ = μ 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 43 / 59 Eksempel; styrke, P (Z z 0.025 μ = μ 1 ( X 120 = P ( X μ1 = P ( P (Z : teststørrelse z 0.025 μ = μ 1 z 0.025 μ 1 Z z 0.025 + 120 μ 1 + 120 μ = μ 1, der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 44 / 59
Eksempel; styrke, Det adre leddet, P (Z z 0.025 μ = μ 1 : P (Z z 0.025 μ = μ 1 ( X 120 = P ( X μ1 = P ( P ( = 1 P (Z : teststørrelse z 0.025 μ = μ1 z 0.025 μ 1 Z z 0.025 + 120 μ 1 Z z 0.025 + 120 μ 1 + 120 μ = μ 1, der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 45 / 59 Eksempel; styrke, Berege styrke: γ(μ 1 = P (forkaste H 0 μ = μ 1 = P (Z z 0.025 μ = μ 1 +P (Z z 0.025 μ = μ 1 P ( Z z 0.025 + 120 μ 1 +1 P ( Z z0.025 + 120 μ 1 ( =40, :18.7 2, z 0.025 =1.96 Uttrykkee på siste lije ka vi berege vha., N (0, 1-tabelle: γ(115 P (Z 0.27 + 1 P (Z 3.65 = 0.39 + 1 0.9999 0.39 γ(125 P (Z 3.65 + 1 P (Z 0.27 = 0.0001 + 1 0.61 0.39 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 46 / 59
Eksempel; styrke, Plott av styrkefuksjoe: γ(μ 1 P ( Z z 0.025 + 120 μ 1 ( =40, :18.7 2, z 0.025 =1.96 ( +1 P Z z0.025 + 120 μ 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100 105 110 115 120 125 130 135 140 γ(μ 1 mot μ 1 (på x-akse. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 47 / 59 Eksempel; styrke, Viskalsepåproblemet: Hvor mage data (måliger må vi ha for å få e gitt øsket styrke? Dimesjoerig av forsøk Svært viktig fordi ihetig av data ka være resurskrevede. Tar utgagspukt i eksempel med utprøvig av y medisi. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 48 / 59
Eksempel; styrke, Eksempel: E y medisi for e bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisi for dee sykdomme helbreder i 60% av tilfellee (fastslått etter lag tids erfarig. Forsøk for å prøve ut de ye: 20 tilfeldig valgte idivid med sykdomme får medisie og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at de ye er bedre e de gamle? Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 49 / 59 Eksempel; styrke, Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p, =20, p: ukjet. Vi vil teste H 0 : p =0.6 mot H 1 : p>0.6 Teststørrelse: Y ; ullfordelig: Y B(20, 0.6 0.2 0.15 Test (sig.ivå ca. 0.05: 0.1 0.05 Forkast H 0 dersom Y 16. 0 0 5 10 15 20 Y B(20, 0.6-fordelig Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 50 / 59
Eksempel; styrke, Styrkefuksjo til dee teste; Betrakt p 1 slik at H 1 er riktig (p 1 > 0.6: γ(p 1 = P (forkaste H 0 p = p 1 = P ( Y 16 p = p 1 =1 P ( Y 15 p = p1 Ka bereges vha. biomiske tabeller. p 1 (0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 γ(p 1 (0.051 0.238 0.630 0.957 0.998 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 51 / 59 Eksempel; styrke, Hvor mye forbedres styrke dersom vi hadde hatt = 200 idivid med i utprøvige? Test med ormaltilærmig (til. 5% sig.ivå: Forkast H 0 dersom p 0.6 0.6(1 0.6 200 z 0.05 =1.645 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 52 / 59
Eksempel; styrke, Styrkefuksjo: γ(p 1 = P (forkaste H 0 p = p 1 ( p 0.6 = P 0.6(1 0.6 200 z 0.05 p = p 1 Obs: år p = p 1,er p p 1 p 1 (1 p 1 200 N(0, 1, tilærmet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 53 / 59 Eksempel; styrke, Styrkefuksjo: γ(p 1 = ( p 0.6 P z 0.05 p = p 1 0.6(1 0.6 200 = ( 0.6(1 0.6 P p z 0.05 +0.6 200 p = p 1 ( p p1 = P p 1 (1 p 1 200 ( 1 P Z z 0.05 z 0.05 0.6(1 0.6 0.6(1 0.6 200 +0.6 p 1 p 1 (1 p 1 200 200 +0.6 p 1 p 1 (1 p 1 200, p = p 1 der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 54 / 59
Eksempel; styrke, Beregiger, for p 1 =0.7: ( γ(0.7 1 P Z 1.645 0.6(1 0.6 200 +0.6 0.7 0.7(1 0.7 200 = 1 P (Z 1.33 = 1 0.0918 = 0.9078 (Med =20var styrke 0.2375 i alterativet p 1 =0.7. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 55 / 59 Eksempel; styrke, Dimesjoerig; Eksempel på problemstillig: Hvor mage pasieter måtte vi hatt med i forsøket for å få styrke mist 0.9 i alterativet p 1 =0.8? Test med ormaltilærmig (til. 5% sig.ivå: Forkast H 0 dersom p 0.6 0.6(1 0.6 z 0.05 =1.645 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 56 / 59
Eksempel; styrke, Styrke: ( p p1 γ(p 1 = P p 1 (1 p 1 ( P Z 0.6(1 0.6 z 0.05 +0.6 p 1 p 1 (1 p 1 0.6(1 0.6 z 0.05 p 1 (1 p 1 +0.6 p 1, p = p 1 der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 57 / 59 Eksempel; styrke, Styrke for p 1 =0.8 lik 0.9: γ(0.8 0.9 ( γ(0.8 P Z 0.6(1 0.6 z 0.05 +0.6 0.8 0.8(1 0.8 =0.9, dersom 0.6(1 0.6 z 0.05 +0.6 0.8 0.8(1 0.8 0.5 0.4 0.3 = z 0.1 = 1.282 0.2 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 N (0, 1 tetthet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 58 / 59
Eksempel; styrke, 0.6(1 0.6 z 0.05 +0.6 0.8 0.8(1 0.8 0.6(1 0.6 0.6 0.8 = z 0.05 + 0.8(1 0.8 0.8(1 0.8 = z 0.1 0.6(1 0.6 0.8(1 0.8 = z 0.1 z 0.05 0.6 0.8 =6.59 =6.59 2 44 0.8(1 0.8 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 59 / 59