Alle teller - en introduksjon Ny GIV 1. samling 2012/2013 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein Hallvard Torkildsen
Håndbok - for lærere som underviser i matematikk i grunnskolen Forfatteren: Professor Alistair McIntosh University of Tasmania McIntosh har arbeidet med tallforståelse og talloppfatning gjennom et langt liv som forsker og lærer. Han var med i den kjente Cockroff-komiteen på 1980- tallet, og har arbeidet både i England, USA, Sverige og Norge. Denne boka er resultatet av hans arbeid. 16-Oct-12 2
Alle Teller formål Mange elever har misoppfatninger innenfor området tall og tallforståelse. Håndboka har som mål - å hjelpe lærere slik at de unngår å skape misoppfatninger når nye begreper innføres - å hjelpe elever som allerede har misoppfatninger - å kunne bidra til at hver enkelt elev skal få ut sitt potensiale innenfor området Håndboka gir en oversikt over omfanget og progresjon i tallbehandling for hele grunnskolen. 16-Oct-12
Alle teller - oversikt DEL A: Introduksjon hvordan bruke håndboka DEL B: Lærerveiledning i undervisning om tall og tallbehandling DEL C: Kartleggingstestene - elevintervju DEL D: Aktiviteter og kopieringsoriginaler 16-Oct-12
Lærerveiledning i undervisning om tall og tallforståelse 1. Veiledning for innføring av nøkkelbegreper 2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og misoppfatninger oppstår. Konkrete eksempler for alle begrepene 3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved innføring av nye begreper 4. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges opp for elever og elevgrupper som har utviklet misforståelser og misoppfatninger. 16-Oct-12 5
Lærerveiledning i undervisning om tall og tallbehandling UNDERKAPITLER Tallforståelse Forstå regneoperasjonene Regning 16-Oct-12
Kapittel 4 Desimaltall (tallforståelse) 4.2 Størrelsen på desimaltall 4.3 Den relative størrelsen på desimaltall 4.4 Forstå posisjonssystemet for desimaltall Introduksjon Denne delen begrenser seg til forståelse av desimaltall, og tar ikke for seg regneoperasjoner med desimaltall (...) Misforståelser og misoppfatninger Som nevnt ovenfor vil mange av misforståelsene og misoppfatningene som oppstår med desimaltall skyldes nettopp at elevene behandler desimaltallene som om de var hele tall ( ) 16-Oct-12 7
forts. kap. 4 Desimaltall Bakgrunn Desimaltallene er et flott system som gjør oss i stand til å skrive så små tall og avstander som vi ikke engang kan forestille oss ( ) Generelle anbefalinger Vi må ikke glemme at dette systemet virker meget enkelt og smart for den som forstår det, fordi det er et resultat av mange års utvikling. Men det er vanskelig for den som skal lære det ( ) Spesielle anbefalinger Bruk 10 x 10 rutenett til å representere en hel. Hver rute vil da representere 0,01 og hver rad eller kolonne( ) 16-Oct-12 8
Fokuser på side 21 og 22 (Kapittel 4: 4.2 4.4) Introduksjon Misforståelser og misoppfatninger Eksempler Bakgrunn Generelle anbefalinger Spesielle anbefalinger 16-Oct-12 9
Kartleggingstestene 10 tester fra nivå 1 - nivå 10 Ulike oppgaver: - oppgaver med svaralternativ - åpne oppgaver - hoderegningsoppgaver Oversikt over sammensetting av kartleggingstestene s. 116 Oversikt over alle spørsmålene som inngår i testene s. 117 16-Oct-12
Nivå samme som trinn? 10. nivå Elev 9. trinn 9. nivå 7. nivå 16-Oct-12 11 16-Oct-12
Informasjon og veiledning ved bruk av testene Generell informasjon og veiledning s. 122 Hoderegningsoppgaver Spesifikk informasjon og veiledning: Oppgavens innhold Hensikten med oppgaven Forventet prestasjon av eleven Spesifikk veiledning knyttet til gjennomføring av oppgaven 16-Oct-12
Elevintervju Hensikten Læreren skal bli oppmerksom på hvilke områder som kan være vanskelig for enkeltelever. Testen forteller ikke årsaken til misoppfatninger/misforståelser En måte å bli kjent med elevens måte å tenke på. Et ledd i det å drive tilpasset opplæring, individuell oppfølging. 16-Oct-12
Vurdering AV og FOR læring Vurdering AV læring: Gjør opp status. Hvor står eleven i forhold til læringsmålene? Grad av måloppnåelse. Vurdering FOR læring: Hva forstår jeg? Hva forstår jeg ikke? Hvordan kan jeg arbeide for å forstå bedre? Alle Teller er en type underveisvurdering som omfatter vurdering AV og FOR læring. 16-Oct-12 14 16-Oct-12
Case, nivå 10 Vi tester elevene Klasseresultat 16-Oct-12 15
Et case 10. nivå Hvordan klarer klassen de enkelte oppgavene i settet? Hvor vil dere sette grensen for et problem hele klassen bør arbeide med? Hvilke tema handler oppgavene om? Styrke-svakhet i klassen som helhet. Hva skal vi prioritere (om flere svakheter er identifisert)? Hva er det elevene har problemer med på det prioriterte området? 16-Oct-12 16
Brøk, prosent og desimaltall Divisjon med tall mindre enn 1 Proporsjonalitet og forholdstall i praktiske situasjoner 16-Oct-12 17
Oppgaver fra testen: Henviser til kapittel i Alle Teller 16-Oct-12 18
Prosent Det går likar no! Test Aktiviteter i 90 minutter Retest 16-Oct-12 19
TEST - 8 oppgaver fra Alle Teller Hentet fra test nivå 7, oppgave 16 16-Oct-12 20 Samme oppgave i flere tester: Test nivå 8, oppgave 12 Test nivå 9, oppgave 11 Test nivå 10, oppgave 10
16-Oct-12 21
16-Oct-12 22
og 2 oppgaver utarbeidet av faglærer 16-Oct-12 23
TEST klassens resultater Gul: Elever som ble valgt ut til ei 90 minutters økt med prosent. 6 poeng eller færre. Rød: Oppgaver til retest. 16-Oct-12 24
Aktiviteter Hensikt: Tidsramme: Kognitiv konflikt 90 minutter Prosentdomino Kornblanding en samarbeidsoppgave 16-Oct-12 25
Retest - gruppens resultater Test tre måneder etter 90 minutter arbeid med prosent. Annet tema i ordinær undervisning. Rød farge: Oppgaver der elevene forbedret seg. 16-Oct-12 26
Hvordan velge aktiviteter? Prosent og brøk/desimaltall/prosent forhold Alle teller, kap 6 6.1 Forstå prosent 6.2 Forstå sammenhengen mellom brøk/desimaltall/prosent 6.3 Sammenlikne brøk, desimaltall og prosent 16-Oct-12 27
Prosent og brøk/desimaltall/prosent forhold Alle teller, kap 6.1 Forstå prosent (7,8,9,10) Del av det hele (100 %) Tre mulige ukjente 1. Delen 2. Det hele 3. Prosenttallet Eksempler: 1. 20 % av 500 kr? 2. En genser kostet 500 kr etter 10 % rabatt. Førpris? 3. Ei klokke kostet 500 kr. På salg kostet den samme klokka 400 kr. Hvor mange prosent avslag? 16-Oct-12 28
Prosent og brøk/desimaltall/prosent forhold Alle teller, kap 6.1 Forstå prosent (7,8,9,10) Prosent kan ses på som: En brøk: 20 % betyr 20/100 eller 1/5 En desimal: 20 % betyr 0,2 En plass på tallinja: 50 % ligger midt mellom 0 og 100 % Et forhold: Klassen består av 30 % gutter. Forholdet mellom gutter og jenter er 30:70 En proporsjonalitet: 9 av 10 elever, dvs 90 av 100 (90 %) 16-Oct-12 29
Anbefalinger 10 x 10 Rutenett To tallinjer Tellebrikker Legge til 25 %. Ta bort?% Bygg strategier ved å bruke erfaringsreferanser 22 % av 300? 16-Oct-12 30
Valgte aktiviteter Prosentdomino - Sammenligne brøk, desimaltall, prosent - Ulike representasjoner (symboler og figurer) Kornblanding - Forstå prosent - Hva er den ukjente? Tre på rad - Sammenligne brøk og prosent 16-Oct-12 31
Prosentdomino Utstyr: Et sett dominokort (24 kort) To og to elever spiller mot hverandre Regler: Spillerne legger ned ett kort hver etter tur. Vinner er den som først har lagt ned sine kort. Verdier og figurer som viser samme størrelse kan legges inntil hverandre. Kortene som ligger på bordet kan bygges i alle retninger. Kan en spiller ikke legge ned kort en runde, må spilleren melde pass. Refleksjon diskusjon begrunne - skriftliggjøre
Aktiviteter med prosentdomino Fase 1 Sett sammen to og to kort som dere er sikker på passer sammen. De kortene som blir til overs, hvorfor får dere ikke til å plassere disse? Fase 2 Hvor mange kort klarer dere å plassere etter hverandre i ei lang rekke? Hvilke kort blir til overs? Hvilke kort mangler dere slik at dere kan bruke alle kortene? Lag de kortene dere mangler. Fase 3 To og to spiller mot hverandre etter egne spilleregler.
Stemmer dette? Elevsvar: Hvis det er fem kroner, er en femdel ei krone, mens O,5 er halvparten, det er 2,50 kroner Brukte kalkulatoren. Slo inn 1 delt på 5, det ble 0,2, ikke 0,5 0,5 er det samme som 0,50, det er 50 hundredeler, altså 50 %. 1/5 er bare 20 % 16-Oct-12 34
Stemmer dette? Elevsvar: 1% betyr en hundredel, men i 0,1 står ettallet på tidelsplassen. Må skrive 0,10 hvis vi skal ha med hundredel, da blir det 10 %. 1% må skrives 0,01. Her ser dere forskjellen, dette er 1% (viser en av hundre brikker i et rutenett ) og dette er en tidel, dvs 0,1. Det er IKKE det samme. 16-Oct-12 35
Stemmer dette? Elevsvar: En tredel er en av 3, da må jeg ha 3 for å få en hel. Hvis jeg ganger 0,3 med 3, så får jeg bare 0,9 og det er for lite. Brukte kalkulatoren. Slo inn en delt på tre, det blir 0,333333. Det er større enn 0,3. Ganget 0,33333 med 3, det blir 0,99999, det er en hel hvis du runder det av. Da kunne vi brukt denne brikken, og lagt det slik. 16-Oct-12 36
Prosent og brøk/desimaltall/prosent forhold 6.2 Forstå sammenhengen mellom brøk/desimaltall/prosent (8,9,10) 6.3 Sammenlikne brøk, desimaltall og prosent (8,9,10) Brøker og desimaltall har enheten 1, mens den er 100 for prosent. En halv sammenlignes med 1, mens 55 % betyr 55 av 100. Misoppfatninger: Forvirring i forbindelse med omgjøring mellom brøker og desimaltall. 2,5 er det samme som 1 9 er det samme som 0,9 Tolkningsfeil av enkelte prosenter 0,01 % er 1 100 2 5 16-Oct-12 37
Anbefalinger Bygg erfaringsreferanser: en halv, en tidel, en firedel. Utvide referansene: en femdel, en tredel, en åttedel. Bruk parallelle tall-linjer for brøk, desimaltall og prosent Be elevene om forklare/begrunne omgjøringene. Bruk lommeregneren som et omgjøringsverktøy Bruk omgjøringene regelmessig i problemløsning. 16-Oct-12 38
Kornblanding Samarbeidsoppgave 4-grupper Informasjonene om oppgaven er skrevet på fire lapper, lagt på fire ulike steder i rommet. Elevene i gruppa går til hvert sitt sted og leser opplysningen som ligger der. Elevene i gruppen forteller etter tur hver sin opplysning til de andre. Ut fra de fire opplysningene skal elevene lage kornblandingen bruk plastbrikker, centikuber eller lignende. Gruppene skal presentere løsningen sin muntlig. Hver elev må fortelle hvilken opplysning hun hadde og forklare/ vise med konkreter hvordan/hvorfor opplysningen passer til gruppens løsning. Hver elev har ansvar for at sin opplysning blir ivaretatt. Alle på gruppa er like betydningsfulle i både oppgaveløsning og presentasjon. 16-Oct-12 39
Kornblanding 18 % av blandingen er KRUSKAKLI 4 % av blandingen er SOLSIKKEFRØ 36 gram av blandingen er HAVREGRYN 6 % av blandingen er LINFRØ 16-Oct-12 40
Kornblanding Lager en blanding med 50 brikker. Havregryn 36 av brikkene representerer havregryn. En brikke tilsvarer 1 gram (2 %) 36 gram utgjør 72 % av blandingen Kruskakli 9 røde brikker representerer kruskakli. 9 av 50 utgjør 18 % av blandingen. En brikke representerer 2 %. Solsikkefrø 2 gule brikker representerer solsikkefrø. 2 av 50 er lik 4 av 100. 4 % av blandingen er solsikkefrø. En brikke representerer 2 %. Linfrø Linfrø er representert ved 3 grønne brikker. 3 av 50 er det samme som 6 av 100. 6 % av blandingen er linfrø. En brikke representerer 2 %. Antall brikker totalt i kornblandingen? Finnes det flere løsninger? 16-Oct-12 41
Elevstemmen første forsøk Det tok litt tid før vi skjønte hva vi skulle gjøre. Vi gjorde feil i starten. Det skulle være 36 gram havregryn. Da tenkte vi at linfrøet måtte være 6 % av 36. Det ble 2,16 gram. Så gjorde vi det samme med solsikkefrø, det var 4 % og ble 1,44 gram, og kruskakli (det hadde vi forresten aldri sett før, måtte smake på det), 18 % av 36 gram ble 6,48 gram. Det ble vanskelig når vi skulle lage det med centikubene, for vi hadde desimaltall, men vi rundet av til hele tall. Vi fikk 36 blå (havregryn), 6 gule (kruskakli), 2 grønne (linfrø) og 1 rød (solsikkefrø). Det ble 45 centikuber til sammen. 16-Oct-12 42
Lærer Kan dere vise meg at opplysningene dere fikk stemmer med svaret dere er kommet fram til. Elev 8 Jeg hadde 36 gram havregryn. Det blir 36 centikuber Elev 13 Jeg hadde 6 % linfrø, det blir 2,16, og det blir 2 centikuber. Lærer Hvordan fant du ut det? Elev 13 Vi regnet 6 % av 36. 36 delt på hundre og ganget med 6. Det ble 2,16, altså 2 kuber når vi runder av. 16-Oct-12 43
Lærer Hvor mange centikuber har dere i blandingen? Elev 13 45 (teller kubene på bordet) Lærer Skulle linfrøene være 6 % av havregryna eller 6 % av blandingen? Elev 4 Det var det jeg sa, vi kunne ikke regne av havregryna. Elev 13 6 % av 45 blir 2,7. Da må vi ha 3 centikuber. Elev 4 Nei, det blir feil. Vi vet ikke hvor mange vi skal ha til sammen. Vi kan ikke regne prosent av noe vi ikke vet. 16-Oct-12 44
Lærer: Elev 4: Lærer: Hvor stor er blandingen dere skal lage? Det vet vi ikke. Vi vet bare at det er 36 gram havregryn. Vet dere hvor mange prosent hele blandingen er? Elev 4: 100 %? Lærer: Elev 8: Kan dere finne ut hvor mange prosent havregryn dere har? Nei. Vi vet bare at det er 36 gram. Elev 11: Men vi vet alle de andre prosentene, og hvis vi alt skal være 100 % kan vi finne det ut. Skal det være det? Lærer: Hele blandingen skal være 100 %. Da kan dere prøve en gang til. 16-Oct-12 45
Elevstemmen andre forsøk Elev 8: Havregryna blir 72 %, fordi de andre tre til sammen var 28 % (6+4+18). 36 gram er halvparten av 72, da må blandinga til sammen være 50 gram, fordi det 50 er halvparten av 100. Jeg tok 36 centikuber denne gangen og, fordi 36 ganger 2 er 72, så en kube blir 2 % Elev 4: Jeg hadde 4 % solsikkefrø. Det blir 2 kuber. Lærer: Blir 2 kuber 4 % av de 50 centikubene dere har på bordet? Elev 4: Ja, fordi 50/100 = ½ og ½ x 4 = 2 (viser utregning på papir) 16-Oct-12 46
Elev 13: Jeg hadde 6 % linfrø, det blir 3 kuber, fordi en prosent er 0,5 gram. Fordi 36/72 = 0,5 og 6 x 0,5 = 3 Elev 5: Jeg hadde 18 % kruskakli. Halvparten av 18 er 9, jeg har 9 brune kuber. 9 av 50 er det samme som 18 av 100, det blir 0,18. Gange det med 100 % så blir det 18 %. Ei gruppe hadde 72 centikuber. Hvordan hadde de tenkt? 16-Oct-12 47
Retest - gruppens resultater Fremdeles ingen av disse elevene som løste oppgave 10 riktig. Hvordan har de tenkt? Misoppfatninger? 16-Oct-12 48
Hvordan kan vi hjelpe elevene videre uten å gi dem svaret? Hva er den ukjente? - Delen? - Det hele? - Prosenttallet? Dobbel tallinje: Even betaler 80 % av prisen før salget. Han betaler 400 kr. Hvor mange kroner er 100 %? 16-Oct-12 49
Tre på rad prosent Torkildsen/Maugesten: Sirkel 2 3 spillere To terninger og seks spillbrikker til hver spiller Kast to terninger etter tur. Lag en brøk, verdien på den ene terningen er teller, den andre nevner. Gjør brøken om til prosent, plasser en spillebrikke på brettet. Plasser på 0 dersom det ikke er noen ledige ruter til brøken. Når alle brikkene er plassert ut, skal en av brikkene på brettet flyttes. Vinneren er den som først får Tre på rad; vannrett, loddrett eller på skrå. 16-Oct-12 50