Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt areal Omkretsen av rektanglet på figuren finner vi ved å legge sammen alle sidene: ( ) = O = 7+ 3+ 7+ 3 cm 0 cm Arealet av rektanglet finner vi ved å multiplisere lengden med bredden: A= l b = 7 cm 3 cm = 1 cm Tegn noen rektangler som alle har en omkrets på 0 cm. Regn ut arealet av hvert enkelt rektangel. Hvilket rektangel har det største arealet? b l 7 cm 3 cm

Kapittel : Geometri 59.1 ENHETER FOR LENGDE OG AREAL Et vanlig kjøkkenskap er 60 cm bredt. Fra Lillehammer til Hamar er det ca. 60 km. Den nærmeste stjerna ligger 4,3 lysår borte. Vi bruker mange slags enheter for lengde. For å kunne sammenlikne lengder er det derfor viktig å kunne regne om fra én lengdeenhet til en annen. Når vi skal finne arealet eller flateinnholdet av en flate, kan vi bruke cm,dm,m osv. som enhet. Vi bør passe på å bruke den enheten som sier oss mest. Sier du at rommet ditt er på 10 000 cm, er det få som uten videre kan forestille seg hvor stort rommet er. Både for lengde og areal fins det gamle enheter som fortsatt er i bruk. Eksempler på slike enheter er fot, som ofte brukes for å fortelle hvor lang en båt er, mål, som er en vanlig arealenhet for hus- eller hyttetomter, og tomme, som er en lengdeenhet som blant annet brukes til å oppgi størrelsen på TV-skjermer. Hvor stor er en TV-skjerm på 9 tommer? Er en hyttetomt på 1, mål en stor tomt? For å kunne svare på slike spørsmål må du kunne regne om mellom ulike enheter. Omregning mellom arealenheter Arealet av kvadratet på figuren kan skrives på flere måter, avhengig av hvilken lengdeenhet vi bruker. Med meter som lengdeenhet får vi A = 1 m 1 m = 1 m A = 1 m = 100 dm = 10 000 cm 1 m = 10 dm = 100 cm Bruker vi desimeter som lengdeenhet, får vi A = 10 dm 10 dm = 100 dm Bruker vi centimeter som lengdeenhet, får vi A = 100 cm 100 cm = 10 000 cm Vi ser at 1 m = 100 dm = 10 000 cm. 100 m dm cm mm :100 1m = 100 dm 1 1dm = m = 0,01 m 100 1dm = 100 cm 1 1cm = dm = 0,01 dm 100 1cm = 100 mm 1mm = 1 cm = 0,01 cm 100

60 Kapittel : Geometri Eksempel 1 Vi gjør om mellom arealenheter Hvor mange cm er 1, m? 1, m = 1, 100 dm = 1, 100 ( 100 cm )= 1 000 cm Hvor mange dm er 3000 mm? 3000 mm = 3000 0, 01 cm = 3000 0, 01 ( 0, 01 dm )= 0, 3 dm Eksempel Arealenheten mål I en avis finner du en annonse for en hytte. I annonsen er tomta oppgitt til å være 1, mål. Hva sier det deg? Oppgave.1 Gjør om: a,4 m til dm b 40 cm til m c,4 km til m d 0,35 m til dm e 0,003 m til mm f 7,4 dm til m Oppgave. Gjør om: a 50 dm til cm b 1,4 m til cm c 600 cm til dm d 400 dm til m e 000 cm til m f 5 mm til dm Oppgave.3 På grunn av presset fra den afrikanske landmassen øker høyden på europeiske fjell med ca. 3 mm hvert år. I 1999 ble fjellet Matterhorn målt til å være 4477,6 meter høyt. Hvor mange år, regnet fra 1999, vil det ta før Matterhorn blir 4500 meter høyt? 1 mål er det samme som 1000 m. Derfor er 1, mål = 1, 1000 m = 100 m. Hvis du ikke har noen forestilling om hvor mye 100 m er, er det lurt å sammenlikne med noe du kjenner, for eksempel størrelsen på et klasserom. Et vanlig klasserom kan være omtrent 9 m 7 m, det vil si 63 m. Siden 100 63 19, svarer 1, mål omtrent til 19 klasserom.

Kapittel : Geometri 61 Oppgave.4 En fotballbane er 10 m lang og 60 m bred. Regn ut arealet av fotballbanen i a m b mål Eksempel 3 Lengdeenheten tommer Vi angir størrelsen på en TV- eller dataskjerm ved å oppgi lengden av diagonalen i tommer. Symbolet for tommer er. På en 9 tommers TV er altså lengden av diagonalen 9. Hvor mange centimeter er det? En tomme er det samme som,54 cm. 1 =, 54 cm. Lengden av diagonalen er derfor: 9 = 9, 54 cm = 73, 66 cm 74 cm På en 9 TV er altså diagonalen ca. 74 cm lang. Oppgave.5 Lengden av båter blir ofte oppgitt i fot. 1 fot = 1 tommer. Andreas skal kjøpe ny båt og finner en annonse for en båt på 30 fot. Regn ut lengden av båten i meter. Oppgave.6 Diameteren på sykkelhjul blir ofte målt i tommer. På en terrengsykkel har hjulet en diameter på 6 tommer, mens hjulet på en vanlig sykkel har en diameter på 8 tommer. Regn ut begge diametrene i centimeter. Oppgave.7 På sjøen blir avstander målt i nautiske mil. Én nautisk mil er 185 meter. a Hvor mange meter er 4 nautiske mil? b c Hvor mange kilometer er 1 nautiske mil? Fra Bodø til Stamsund er det 100 km i luftlinje. Hvor mange nautiske mil er det?

6 Kapittel : Geometri. MÅLENØYAKTIGHET Vi kan aldri måle noe helt nøyaktig. Resultatet av en måling er alltid en tilnærmet verdi. Vi får en feilmargin. Nøyaktigheten i målingen avhenger av hva slags måleredskap vi bruker, og hvordan målingen utføres. Måleusikkerheten kan dels skyldes unøyaktighet ved måleredskapen, dels unøyaktighet ved avlesningen. Du tar vel fram mikrometerskruen din når linjalen er for usikker? Absolutt feil En god tommestokk kan ha en måleusikkerhet på ±0, 5mm. Det er det samme som en måleusikkerhet på ±005, cm. Vi bruker tommestokken og måler bredden av en pult til 65,4 cm. Bredden ligger da mellom 65,35 cm og 65,45 cm. Det kan vi oppgi slik: b = ( 65, 4 ± 0, 05) cm. Vi sier at den absolutte feilen er ±0, 5mm. Når vi bruker tommestokk, målebånd eller liknende, er den absolutte feilen den samme for en måling på 0 cm som for en måling på 95 cm. Eksempel 1 En sammensatt måling Vi bruker en 1 m lang tommestokk til å måle bredden av et lite rom. Tommestokken har en måleusikkerhet på ±1 mm. Vi finner at rommet er 1,460 m bredt. Hvordan skal vi oppgi bredden? For å svare på spørsmålet må vi tenke gjennom hvordan vi foretok målingen. Vi målte to ganger, og vi får derfor en absolutt feil i hver måling. Først målte vi opp én meter med en usikkerhet på ±1 mm. Deretter målte vi opp 46,0 cm, også nå med en usikkerhet på ±1 mm. Begge målingene kan vise for mye, og begge kan vise for lite. Øvre grense for bredden blir derfor 1, 001 m + 0, 461 m = 1, 46 m Nedre grense for bredden blir 0, 999 m + 0, 459 m = 1, 458 m Vi oppgir da bredden av rommet slik: ( ) b = 1, 460 ± 0, 00 m Vi ser at usikkerheten i svaret er lik summen av usikkerhetene i målingene. «Den absolutte feilen» viser ikke hvor mye feil vi måler i en bestemt måling. Den viser hvor stor feil vi risikerer å gjøre når vi måler, selv om vi forsøker å måle nøyaktig. Måleusikkerheten til et måleinstrument blir ofte kalt målenøyaktighet.

Kapittel : Geometri 63 Oppgave.8 Vi har målt sidene på et A4-ark med en linjal og funnet at lengden er ( 9, 60 ± 0, 05) cm og bredden ( 1, 00 ± 0, 05) cm. Hvor stor er omkretsen av A4-arket? Oppgave.9 Du skal måle en lengde som er omtrent 1 meter. Du kan velge mellom et 30 m langt målebånd og et metermål. Målebåndet har markeringer for hele centimeter, mens metermålet også har markeringer for millimeter. Du ønsker å måle lengden så nøyaktig som mulig. Hva bør du velge som måleredskap, målebåndet eller metermålet? Gi grunn for svaret. Eksempel Relativ feil Med noen måleinstrumenter er usikkerheten avhengig av den lengden vi måler. Dette kan for eksempel gjelde ved bruk av lasermåler. Da er usikkerheten en viss prosent av den målte lengden. Dette prosenttallet kaller vi relativ feil. Relativ feil med lasermåler En type lasermåler kan måle avstander fra 6 cm til 1 m med en usikkerhet på ±0, 5%. Vi sier at den relative feilen er ±0, 5%. Vi måler lengden av et rom med lasermåleren. Den viser at rommet er,00 m langt. Den absolutte feilen i lengdemålingen er da 00, 05, % 00, 05, m = m =. 100 001, m Lengden av rommet er 00, ± 001,. ( ) m Oppgave.10 En avstandsmåler har en relativ feil på ±1 %. a Du måler lengden av en idrettsbane til å være 60,5 m. Hvor stor er den absolutte feilen ved målingen? b Hvordan vil du oppgi lengden av idrettsbanen? Oppgave.11 Vi måler lengden og bredden av et rom med en lasermåler som har en måleusikkerhet på ±0,5 %. Vi måler lengden til 8,00 m og bredden til 4,00 m. a Hvordan skal vi oppgi lengden og bredden av rommet? b Bruk de målte verdiene og regn ut arealet av rommet. c Hva er den største verdien arealet kan ha? Hva er den minste verdien arealet kan ha? Hvordan skal vi oppgi arealet?

64 Kapittel : Geometri Antall gjeldende siffer Når vi får oppgitt et tall som bygger på måling, er det ikke vanlig at vi får oppgitt hvor stor måleusikkerheten er. Da er det en god regel å se på hvordan tallet er skrevet. Usikkerheten ligger alltid i det siste sifferet. Hvis vi for eksempel får oppgitt at lengden av et bord er målt til 1,9 m, kan vi gå ut fra at den virkelige lengden ligger et sted mellom 1,85 m og 1,95 m. Foretar vi en mer nøyaktig måling, kommer vi kanskje fram til at bordet er 1,9 m langt. Da kan vi gå ut fra at den virkelige lengden ligger et sted mellom 1,915 m og 1,95 m. Hvis lengden er oppgitt til 1,9 m, sier vi at den er oppgitt med to gjeldende siffer. Hvis lengden er oppgitt til 1,9 m, sier vi at den er oppgitt med tre gjeldende siffer. Antall gjeldende siffer forteller altså noe om nøyaktigheten i målingen. 49,7 gram kobbersulfat, med venner. Eksempel 3 Gjeldende siffer Skriver vi at en lengde er 1,000 m, så er lengden oppgitt med fire gjeldende siffer. Skriver vi 0,004 m, er lengden oppgitt med ett gjeldende siffer. Skriver vi 0,040 m, er lengden oppgitt med to gjeldende siffer.

Kapittel : Geometri 65 Eksempel 4 Den minst nøyaktige målingen bestemmer Vi skal regne ut arealet av et rektangel. Lengden er målt til,5 m og bredden til 1,35 m. Vi ser at lengden er oppgitt med to gjeldende siffer og bredden med tre gjeldende siffer. Bredden er altså målt mer nøyaktig enn lengden. Vi lar antall siffer i den minst nøyaktige lengdemålingen bestemme hvor mange siffer det skal være i svaret. Svaret skal altså oppgis med to siffer. A= l b = 5, 135, m = 34, m Oppgave.1 Hvor mange gjeldende siffer er det når vi skriver a,500 04 m b 0,010 m c 10,045 m Oppgave.13 I et rektangel er lengden målt til 8,0 dm og bredden til 50,5 cm. Finn arealet av rektanglet..3 FORMLIKHET «Jacqueline med en blå skygge», av Pablo Picasso (1881 1973). Det ene bildet ovenfor er en forstørrelse av det andre. De to bildene har derfor samme form. Vi sier at de er formlike. Når to figurer er formlike, kan vi få den ene figuren ved å forstørre den andre.

66 Kapittel : Geometri 483 717 100 Du skal lage en bordplate og bruker arbeidstegningen ovenfor. Arbeidstegningen viser formen på bordplata, men i mindre målestokk. Tallene viser de virkelige lengdene i millimeter. Oppgave.14 Se på de to formlike bildene på forrige side. Regn ut høyden av det største bildet delt på høyden av det minste. Regn så ut avstanden fra øre til øre på det største bildet delt på den tilsvarende avstanden på det minste bildet. Hva finner du ut? Oppgave.15 Arbeidstegninger er et eksempel på bruken av formlikhet. Kjenner du til flere eksempler? Oppgave.16 50 70 3 cm Tegn av trekanten på figuren ovenfor. a Tegn noen trekanter som er formlike med denne trekanten. b Hva er det som bestemmer formen på en trekant?

Kapittel : Geometri 67 Formlike trekanter I oppgave.16 fant du kanskje at det er vinklene i en trekant som bestemmer formen på trekanten. Hvis to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Forstørret eller forminsket, rotert eller ikke rotert, speilet eller ikke speilet når vinklene i to trekanter er like store, da er trekantene formlike. Legg merke til at to trekanter er formlike dersom to av vinklene i den ene trekanten er lik to av vinklene i den andre. For da blir også den tredje vinkelen like stor i de to trekantene. Hvorfor? C Tilsvarende sider Trekantene til venstre er formlike. Da er b a a d = b e = c f A c F B Når to trekanter er formlike, er forholdet mellom to tilsvarende sider lik forholdet mellom to andre tilsvarende sider. D e f d E Tilsvarende sider i to trekanter er de sidene som ligger mellom like store vinkler. På figuren er AB og DE tilsvarende sider. AC og DF er tilsvarende sider, og det er også BC og EF. Eksempel 1 ABC og DEF er formlike. Vi vil finne lengden av DF. C F 4 x A 6 B D 4,5 E DF og AC er tilsvarende sider. Det er også DE og AB. Derfor er forholdet mellom DF og AC lik forholdet mellom DE og AB.

68 Kapittel : Geometri DF DE = AC AB Vi lar x være lengden av DF. x 45 =, 1 4 6 Vi multipliserer med 4 på begge sider. x 4 45, 4 = 4 6 18 x = = 3 6 DF =3 Det lønner seg å begynne med den ukjente siden i telleren på venstre side av likningen, slik vi gjorde i 1. Oppgave.17 C E 4,5 F 70 4,0 50 70 A 5,0 B 50 D a b c Forklar hvorfor trekantene ABC og DEF er formlike. Hvilke sider er tilsvarende sider i de to trekantene? Hvilken side i trekanten DEF kan du finne lengden av? Finn lengden av denne siden. Oppgave.18 F 3 cm C 6 cm 9 cm A 6 cm B D E Trekantene ABC og DEF er formlike. Er lengden av DE lik 9 cm, 1 cm eller 15 cm? Hva er lengden av BC?

Kapittel : Geometri 69 Oppgave.19 Hvilke av de rettvinklede trekantene nedenfor er formlike med trekant A? 6 5 A 3 4,5 B 4 C 4 1,5 D 5 6 4,5 E 7,5 Eksempel Formlike mangekanter Det er vinklene som bestemmer formen på en trekant. For alle andre mangekanter må vi se på både vinklene og sidene for å avgjøre om to mangekanter har samme form. To mangekanter er formlike hvis vinklene er parvis like store og forholdene mellom tilsvarende sider er like store. Formlike mangekanter Firkanten ABCD er formlik med firkanten EFGH. Vi vil finne EF. D C H 6 G 4,5 80 70 80 70 A 8 B E x F

70 Kapittel : Geometri EF og AB er tilsvarende sider. Det er også EH og AD. Vi setter EF = x. x 45 =, 8 6 x 8 45, 8 = 8 6 45, 8 x = 6 x = 6 Vi multipliserer med 8 på begge sider. Siden EF er 6. Oppgave.0 D 4,3 C 130 6,5 5 70 70 A 8 B a b Tegn en firkant som er formlik med firkanten ovenfor. Tegn en firkant der vinklene er de samme som i firkanten ovenfor, men uten at firkantene er formlike. Oppgave.1 Rektanglene ABCD og EFGH er formlike. AB = 5,0 cm, AD = 3,0 cm og EF = 8,0 cm. H G D C A B E F Regn ut lengden av FG.

Kapittel : Geometri 71 Oppgave. a Er alle kvadrater formlike? b Er alle sirkler formlike? c Er alle rektangler formlike? d Er alle parallellogrammer formlike? e Er alle rettvinklede trekanter formlike? f Er alle likebeinte trekanter formlike? g Er alle likesidede trekanter formlike?.4 AREAL OG OMKRETS AV PLANE FIGURER I tabellen nedenfor finner du formlene for areal og omkrets for noen vanlige figurer. Figur Areal Omkrets Rektangel b A = l b O = l + b l Parallellogram s h A = g h O = g + s g Kvadrat s A = s s = s O = 4s s Trekant a g b h g h A = O = a + b + g b Trapes h A = (a + b) h a Sirkel d r A = πr O = πr = πd NB! Når du bruker disse formlene, må du kontrollere at alle lengdene har samme enhet.

7 Kapittel : Geometri Eksempel 1 Bruk samme lengdeenhet Regn ut arealet av rektanglet. 6,0 dm 1, m Her er det ikke brukt samme enhet på lengde og bredde. Vi må derfor gjøre om én av lengdene. Vi velger å gjøre om 6,0 dm til 0,60 m. A = 10, m 060, m = 07, m Du må altså passe på å bruke samme enhet på alle lengdene. Når du har valgt lengdeenheten, har du også bestemt arealenheten. Bruker du meter, får arealet enheten m. Bruker du centimeter, får arealet enheten cm. «Komposisjon i fresko», 1935, av Bjarne Engebret. Finner du noen kjente former?

Kapittel : Geometri 73 Oppgave.3 Et bankkort har form som et rektangel med lengde 86 mm og bredde 54 mm. Dette er et internasjonalt format for bankkort/kredittkort. a Mål lengden og bredden på et bankkort og kontroller opplysningene ovenfor. b Regn ut arealet og omkretsen av et bankkort. Se bort fra avrunding av hjørner. Oppgave.4 Regn ut arealet av disse figurene: a b c 6 m m 4 m 3,6 m 4 m 6 m 3 m 80 cm 4 m 1,8 m dm Oppgave.5 Lengden av de parallelle sidene i et trapes er 10 cm og 6,0 cm. Avstanden mellom de parallelle sidene er 4,0 cm. a Tegn figur som viser hvordan trapeset kan se ut. Fins det flere muligheter? b Regn ut arealet av trapeset. c Et rektangel har like stort areal som trapeset i oppgave a. Tegn en figur som viser hvordan dette rektanglet kan se ut. Sett mål på figuren. Oppgave.6 Diameteren på en CD-plate er 1 cm. Finn arealet og omkretsen av plata. Oppgave.7 «Den store styrkeprøven» er et sykkelritt som hvert år arrangeres med start i Trondheim og innkomst i Oslo. Lengden på rittet er 54 mil. Jon Arne stiller til start. Sykkelhjulet hans har en diameter på 8 tommer. Hvor mange ganger roterer hjulet på vei til Oslo?

74 Kapittel : Geometri Oppgave.8 En baderomsvegg er 3,10 m lang og,35 m høy. Den skal flislegges med kvadratiske fliser med side 0 cm. Flisene er uten mønster. a Hvor mange fliser går det på 1 m? Kan du finne svaret på flere måter? b Hvor mange fliser trenger du til baderomsveggen? Hvilke forutsetninger har du gjort i utregningene? Oppgave.9 Regn ut arealet av trekantene. a b g = 15 mm h =, cm h = 40 cm g = 0,5 m c g = 0,8 m h = 75 cm Oppgave.30 A B C A Hanh og Nakita studerer disse trekantene. Hanh påstår at trekant A har størst areal. Nakita mener det er umulig ut fra tegningene å avgjøre hvilken trekant som har størst areal. Hva mener du? Sammensatte figurer Når vi skal løse praktiske problemer i geometrien, er figurene ofte sammensatte. I noen tilfeller kan vi dele opp en sammensatt figur slik at vi får figurer vi kjenner fra før, og som vi kan regne ut arealet av.

Kapittel : Geometri 75 Eksempel Vi deler opp figuren og får noe kjent,5 m,0 m 4,0 m,0 m 5,5 m Gulvet i et rom har denne formen. Finn arealet av gulvet. Figuren har seks sider, og vi kan ikke regne ut arealet direkte. Vi deler opp figuren slik at vi får et rektangel og et trapes. Rektangel Trapes Vi regner ut arealet av rektanglet og trapeset hver for seg, og legger sammen. Arealet av rektanglet: 5, m 0, m = 50, m ( 45, + 55, ) 0, Arealet av trapeset: m = 10 m Arealet av gulvet: 5,0 m +10m =15m Oppgave.31 På hvor mange forskjellige måter kan du regne ut arealet av gulvet i eksempel? Oppgave.3 4,0 m 7,0 m 4,0 m 6,0 m En terrasse har form som vist på figuren. Regn ut arealet av terrassen.

76 Kapittel : Geometri Oppgave.33 En lekeplass har denne formen: 40 m 40 m Regn ut arealet og omkretsen av lekeplassen. Eksempel 3 Arealet av en sirkelformet hagegang På figuren ser du en sirkelformet hagegang. Hvor stort areal har hagegangen? R r Hagegangen er avgrenset av to sirkler: En stor sirkel med radius R = 4,0 m og en liten sirkel med radius r = 3,3 m. Vi finner arealet av hagegangen ved å trekke arealet av den lille sirkelen fra arealet av den store sirkelen. Arealet av den store sirkelen: Astore sirkel = π R = π 4, 0 m = 50, 7 m Arealet av den lille sirkelen: Alille sirkel = π r = π 3, 3 m = 34, 1 m Arealet av hagegangen: A = A A = 50, 7 34, 1 m 16,06 m Arealet av hagegangen er ca. 16 m. hagegang store sirkel lille sirkel ( ) = Oppgave.34 Vi skal gjerde inn det fargede området. a Finn samlet lengde av de to gjerdene. b Finn arealet av det fargede området. m 3 m m 3 m

Kapittel : Geometri 77 Oppgave.35 En sirkelformet skive har en radius r på 18 cm. Regn ut arealet av den skraverte ringen. r r 3 r 3 r 3.5 RETTVINKLEDE TREKANTER PYTAGORAS En trekant er rettvinklet dersom én av vinklene er 90. Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to andre sidene kaller vi kateter. B a Katet c Hypotenus Pytagoras (ca. 580 ca. 500 f.kr.). Setningen var kjent i Babylon 1000 år før hans tid, men det var sannsynligvis Pytagoras som beviste den. C b Katet Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant er kvadratet av den ene kateten pluss kvadratet av den andre kateten lik kvadratet av hypotenusen: a + b = c A Legg merke til at ordet kvadrat har to forskjellige betydninger i matematikken: Kvadratet av et tall er tallet ganget med seg selv. Figuren kvadrat er et rektangel med like lange sider. Har de to «kvadratene» noe med hverandre å gjøre?

78 Kapittel : Geometri Eksempel 1 Regn ut lengden av siden AB og arealet av trekanten. Sidene AB og BC er kateter. Siden AC er hypotenus. Vi får AB + BC = AC AB + 50, = 60, AB + 5 = 36 AB = 36 5 AB = 11 AB = 11 = 3, 3 AB = 3,3 cm 6,0 cm A C B 5,0 cm Når vi skal finne arealet, kan vi bruke AB som grunnlinje og BC som høyde. Da får vi A = g h = 33, 50, cm = 83, cm Oppgave.36 Regn ut lengden av den ukjente siden i disse trekantene: a x 3,5 m 8,0 m b 0,6 m b 1,5 m c g 3,0 m 1,5 m

Kapittel : Geometri 79 Oppgave.37 En ytterdør er 95,0 cm bred og 00 cm høy. Er det mulig å få en bordplate med målene 0 cm 300 cm inn gjennom døra? Eksempel Er vinkelen 90? Er vinkel B lik 90? For å avgjøre det prøver vi om de tre tallene 5, 1 og 13 passer i likningen til Pytagoras. Vi regner ut c + a og sammenlikner svaret med b. c + a = 5 + 1 = 5 + 144 = 169 b = 13 = 169 13 cm C 1 cm Vi ser at tallene 5, 1 og 13 passer i «pytagoras». Da er trekanten rettvinklet. A 5 cm B Og siden det er vinkel B som er den største vinkelen, må det være den som er 90. I eksemplet ovenfor brukte vi en setning som vi kan kalle «den omvendte pytagorassetningen». Vi lar a, b og c være tre sider i en trekant, med c som den lengste siden. Dersom a + b = c, er trekanten rettvinklet med C som rett vinkel. Oppgave.38 Andreas skal bygge en hytte som skal være 7,00 m lang og 5,40 m bred. Han har markert hjørnene for grunnmuren. For å kontrollere at grunnmuren blir rektangelformet, måler han en diagonal mellom to hjørner. Han finner at den er 9,05 m. Blir hjørnet en rett vinkel? Oppgave.39 a Sidene i en trekant er 14,0 cm, 7,00 cm og 16,0 cm. Er trekanten rettvinklet? b Sidene i en trekant er 10,0 cm, 4,0 cm og 6,0 cm. Er trekanten rettvinklet?

80 Kapittel : Geometri Eksempel 3 Pytagorassetningen på Internett På Internett kan du finne animasjoner der du kan arbeide med pytagorassetningen. Her ser du eksempel på en slik animasjon, fra Lokus.no. Sammenlikn med eksempel 1 side 78. Ved bruk av animasjonen må man selv ta stilling til avrunding av svaret..6 KART OG ARBEIDSTEGNINGER Målestokk Et kart er et forminsket bilde av terrenget (virkeligheten). En arbeidstegning er et forminsket eller forstørret bilde av en gjenstand, et hus osv. Når vi lager et kart eller en arbeidstegning, bruker vi prinsippet om formlikhet. En arbeidstegning skal ha samme form som den virkelige gjenstanden, men størrelsen kan være en annen. Vi sier at tegningen er tegnet i en bestemt målestokk. En målestokk er forholdet mellom lengden av et linjestykke på tegningen og lengden av den tilsvarende avstanden i virkeligheten.

Kapittel : Geometri 81 Eksempel 1 Målestokken M = 1 : betyr at 1 cm på tegningen svarer til cm i virkeligheten. Tegningen er da forminsket. Målestokken M = : 1 betyr at cm på tegningen svarer til 1 cm i virkeligheten. Tegningen er da forstørret. Vi finner målestokken En plate er 75 cm lang (i virkeligheten). På en arbeidstegning er den 5 cm lang. Hvilken målestokk er brukt på tegningen? Målestokken er forholdet mellom lengden på tegningen og lengden i virkeligheten: målestokken = Målestokken er 1 : 15. lengden på tegningen lengden i virkeligheten = 5 1 = 75 15 Oppgave.40 Siden i et kvadrat er 4,0 cm i virkeligheten. Tegn en figur av kvadratet i målestokken a 1:1 b 1: c :1 Oppgave.41 x «Uten tittel», 1995 97, av Steinar Elstrøm SOV STUE BAD Målestokk 1 : 00 Figuren viser planløsningen i en leilighet. Målestokken er 1 : 00. a Hvor mange kvadratmeter er soverommet på? Bruk innvendige mål. b Hvor brede er døråpningene?

8 Kapittel : Geometri c Huseieren skal bygge et ekstra soverom ved siden av stua. Tilbygget skal være på den siden som er merket x. Det nye soverommet skal være på 0 m. Tegn av planløsningen ovenfor og tegn inn det nye soverommet på tegningen. Merk av hvor du vil ha dørog vindusåpninger. Kart Luftlinje Figuren viser et kart fra Gausdal med målestokk 1 : 50 000. Måler vi avstanden AC på kartet, finner vi at den er 5,9 cm. Men hvor langt er det fra A til C i terrenget? Ser du nærmere på kartet, ser du at hvis du vil gå fra A til C, har du først en stigning opp mot Frøysesæterhøgda. Deretter går det nedover mot Skeisleitet før det stiger bratt opp mot C. Det blir mye «opp og ned». Når vi måler en avstand på et kart, måler vi en avstand i luftlinje uten å ta hensyn til høydeforskjell. Målestokken 1 : 50 000 forteller at 1 cm på kartet er lik 50 000 cm i luftlinje. 50 000 cm er 500 m. 5,9 cm på kartet svarer da til 5, 9 500 m = 950 m. Fra A til C er det 950 meter i luftlinje. Den virkelige turen fra A til C vil bli lengre, både på grunn av høydeforskjellene og på grunn av at vi ikke går helt rettlinjet.

Kapittel : Geometri 83 Oppgave.4 Finn Gråbergan og det høyeste punktet på Skeikampen på kartet på forrige side. a Hvor høyt ligger toppen av Gråbergan over havet? b Hvor langt er det i luftlinje fra toppen av Gråbergan til det høyeste punktet på Skeikampen? c d Regn ut arealet av rektanglet ABCD på figuren. Finn arealet av det området rektanglet ABCD tilsvarer i terrenget. Arbeidstegninger 3 400 1. ET. 7558 400 U. ET. 6900 Arbeidstegningen ovenfor viser tverrsnittet av et hus. Det er vanlig at alle mål på en arbeidstegning er i millimeter. Se også arbeidstegningen på side 66.

84 Kapittel : Geometri Oppgave.43 a b c d Figuren viser en arbeidstegning av en maskindel i målestokk 1 : 10. Mål på figuren og finn de virkelige lengdene av a, b, c og d..7 VOLUM OG VOLUMENHETER Volum er et mål for hvor mye en romfigur rommer eller inneholder. I tabellen på neste side finner du formlene for volum og overflate for noen vanlige romfigurer. Fra Bilbao i Spania. Noen kjente former?

Kapittel : Geometri 85 Figur Volum Overflate Prisme G h V = G h Sylinder h r V = G h = πr h O = πr + πrh Pyramide G h V = G h 3 Kjegle h r s V = = G h 3 πr h 3 O = πr + πrs Kule r V = 4πr 3 3 O = 4πr Rett prisme Skeivt prisme Et prisme er rett dersom alle sideflatene er rektangler. En sylinder er rett dersom høyden fra sentrum i toppflaten treffer grunnflaten i grunnflatens sentrum. En kjegle eller pyramide er rett dersom høyden fra toppunktet treffer grunnflaten i grunnflatens sentrum. Et prisme som ikke er rett, kalles for et skeivt prisme. På tilsvarende måte har vi skeive pyramider og skeive kjegler. Volumet av rette og skeive prismer er gitt ved samme formel: V = G h der h er avstanden mellom endeflatene. Volumformelen for rette og skeive sylindre er også V = G h. Volumformelen for pyramider og kjegler (både rette og skeive) er V G = h 3

86 Kapittel : Geometri Eksempel 1 Samme volum Kortstokken til høyre har form som et rett prisme. Volumet av kortstokken er gitt ved V = G h. Vi skyver litt på kortene slik at kortstokken får form som et skeivt prisme. Volumet er uendret. Eksempel Hvordan kan vi regne ut volumet av denne jernbjelken? Jernbjelken har samme profil alle steder. Samme profil betyr at hvis vi legger et snitt vinkelrett på lengden av bjelken et tilfeldig sted, så vil snittet ha samme form som endeflatene. Når en gjenstand har samme profil langs hele høyden (lengden) h, er volumet gitt ved formelen V = G h. Vi finner altså volumet av jernbjelken ved å regne ut arealet av grunnflaten (endeflaten) og multiplisere med høyden (lengden) av bjelken. G G h h

Kapittel : Geometri 87 Volumenheter Når vi skal regne ut volumet av terningen, må vi velge lengdeenhet. Bruker vi meter som lengdeenhet, får vi V = G h= l b h= 1 m 1 m 1 m = 1 m 3 Bruker vi desimeter som lengdeenhet, får vi V = G h= l b h= 10 dm 10 dm 10 dm = 1000 dm 3 Med centimeter som lengdeenhet får vi V = G h= l b h= 100 cm 100 cm 100 cm = 1 000 000 cm 3 1 m = 1000 dm = 1 000 000 cm 3 3 3 1000 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 :1000 1m 3 = 1000 dm 3 1dm 3 = 1dm 3 = 1000 cm 3 1cm 3 = 1cm 3 = 1000 mm 3 1mm 3 = 1 liter = 1 dm 3 1 1000 1 1000 1 1000 m = 0, 001 m 3 3 dm = 0, 001 dm 3 3 cm = 0, 001 cm 3 3

88 Kapittel : Geometri Eksempel 3 Vi gjør om mellom volumenheter 3 3 Hvor mange dm er 1, m? 1, m = 1, 1000 dm = 100 dm 3 3 3 3 3 Hvor mange cm er 0,045 m? 0,045 m = 0, 045 1000 dm = 0, 045 1000 ( 1000 cm )= 45 000 cm 3 3 3 3 3 3 Hvor mange m er 150 000 cm? 3 3 3 150 000 cm = 150 000 0,001 dm = 150 000 0,001 ( 0,001 m )= 015, m 3 Oppgave.44 Gjør om: a 1,05 m 3 til dm 3 b 0,005 m 3 til cm 3 c 3,1 cm 3 til mm 3 d 50 dm 3 til m 3 e 86,7 mm 3 til cm 3 f 600 000 mm 3 til m 3 Oppgave.45 I dagliglivet er det vanlig å oppgi volum i liter. 1 liter = 1 dm 3. a Hvor mange liter er 0,006 m 3? b Grunnflaten i en melkekartong er kvadratisk med side 7 cm (utvendig mål). Hvor høy må kartongen minst være for å romme én liter melk? Kontroller svaret ved å måle på en melkekartong. Oppgave.46 En vanntank har form som en sylinder. Diameteren i grunnflaten er,5 m, og høyden i tanken er 3,0 m. a Hvor stort volum har tanken? Vi fyller 000 liter vann i tanken. b Hvor høyt opp i tanken vil vannet stå?

Kapittel : Geometri 89 Oppgave.47 Keopspyramiden er den mest kjente pyramiden i Egypt. Den er 137 m høy, og grunnflaten er kvadratisk med side 8 m. a b c Regn ut volumet av Keopspyramiden. Anta at pyramiden er massiv. Tenk deg at du kunne bruke steinen i Keopspyramiden til å lage en mur som er 1,5 m bred og 1, m høy. Hvor lang ville denne muren bli? Kan du finne andre måter å illustrere volumet av Keopspyramiden på? Oppgave.48 Familien Olsen har kjøpt inn grus for å gruse veien fram til hytta. Grushaugen har tilnærmet kjegleform. h =,0 m d = 4,0 m a b Regn ut volumet av haugen. Veien er 3,0 m bred og 10 m lang. Tykkelsen på gruslaget skal være 3 cm. Har familien kjøpt inn nok grus? Oppgave.49 a En fotball har en diameter på cm. Regn ut volumet av ballen. b En kuleformet gasstank har en indre diameter på,4 m. Regn ut volumet av tanken. Hvor mange liter tar tanken?

90 Kapittel : Geometri.8 OVERFLATE AV ROMFIGURER Når vi bretter ut et rett prisme, får vi en flate som består av rektangler. Når vi bretter ut sideflaten i en rett kjegle, får vi en sirkelsektor. Når vi bretter ut sideflaten i en rett sylinder, får vi et rektangel. Når vi bretter ut en firkantet pyramide, får vi et rektangel og fire trekanter. Vi kan ikke brette ut en kule på samme måte som vi kan brette ut romfigurene ovenfor, men en kule har likevel en overflate. Når vi bretter ut en julestjerne, Eksempel 1 Overflaten av et prisme Vi skal finne overflaten av et rett prisme når grunnflaten er et kvadrat med side lik 4,0 cm og høyden er 5,0 cm. Av figuren ser du at sideflatene er fire like store rektangler. Toppflaten er like stor som bunnflaten. Arealet av toppflaten og bunnflaten: ( 40, cm 40, cm )= 3 cm Arealet av sideflatene: 4 ( 40, cm 50, cm )= 80 cm Overflaten av prismet: 3 cm +80cm =11cm 5,0 cm 4,0 cm 4,0 cm Topp 4,0 cm Bunn 4,0 cm 4,0 cm 5,0 cm

Kapittel : Geometri 91 Eksempel Overflaten av en sylinder πr r G r h h Sylinderflate πrh πr πr Overflaten av en sylinder består av to endeflater og en sideflate. Når vi bretter ut sideflaten, får vi et rektangel der den ene siden er lik høyden i sylinderen, og den andre siden er lik omkretsen av grunnflaten i sylinderen. Denne omkretsen er πr. Overflaten = bunnflaten + toppflaten + sideflaten = πr + πr + πrh= πr + πrh Oppgave.50 En fiskebolleboks har tilnærmet sylinderform. Diameteren er 10,0 cm, og høyden er 11,0 cm. a Regn ut volumet av boksen i liter. b Hvor lang blir etiketten rundt boksen? c Hvor mange kvadratcentimeter metall går det med til å lage en slik boks? 11,0 cm 10,0 cm Oppgave.51 1 En kg-pakning med Gudbrandsdalsost G-35 har tilnærmet prismeform. Målene ser du på figuren. a Regn ut overflaten av pakningen. b Regn ut volumet av pakningen.

9 Kapittel : Geometri Oppgave.5 En vanntank skal lages som et rett prisme med lengde 0,80 m, bredde 0,60 m og høyde 1,0 m. a Regn ut volumet av tanken. b c Tegn tanken i utbrettet tilstand. Sett mål på figuren. Regn ut hvor mange kvadratmeter plate som går med til å lage tanken. (Vi ser bort fra tykkelsen av plata.) Eksempel 3 Overflaten av en pyramide 8,0 a 10 5,0 10 Vi skal finne overflaten av en rett pyramide med kvadratisk grunnflate. Siden i grunnflaten er 10 cm, og høyden i pyramiden er 8,0 cm. Overflaten av pyramiden består av grunnflaten og fire like trekanter. For å kunne regne ut arealet av sideflatene må vi kjenne høyden i trekantene. Den er merket a på figuren. Vi bruker pytagorassetningen: a = 8, 0 + 5, 0 cm = 64 + 5 cm = 89 cm 9, 43 cm Grunnflaten: 10 10 cm = 100 cm 10 9, 43 + 4 sideflater: 4 cm = 188, 6 cm Overflaten av pyramiden = 88, 6 cm, 9 dm Oppgave.53 Taket på et hus er pyramideformet. Grunnflaten er et rektangel med lengde 1,0 m og bredde 8,0 m. Høyden på taket er 3,0 m. Regn ut overflaten av taket. 3,0 m 1 m 8,0 m

Kapittel : Geometri 93 Oppgave.54 En rett pyramide har en kvadratisk grunnflate. Siden s i grunnflaten er 1 cm, og høyden h i pyramiden er 0 cm. Finn overflaten av pyramiden. Tips: Regn først ut høyden a i sideflaten. h a s Eksempel 4 Overflaten av en kjegle s s h Sideflate s h r d r G Når vi bretter ut sideflaten i en rett kjegle, får vi en sirkelsektor. Radien i sirkelsektoren er lik sidekanten i kjegla (s på figuren). Buen i sirkelsektoren er lik omkretsen av grunnflaten i kjegla. Studer figuren! Lengden av sidekanten s finner vi med pytagorassetningen: Overflaten = bunnflaten + sideflaten = πr πr s + = πr + πrs s = r + h Oppgave.55 Finn volum og overflate av en kjegle med diameter 4 cm og høyde 8,8 cm.

94 Kapittel : Geometri Oppgave.56 Kjeksen til en «krone-is» har kjegleform. Regn ut hvor mye is en slik kjeks rommer når diameteren i grunnflaten er 7,0 cm og høyden er 13,0 cm. Oppgi svaret i cm 3 og i liter. 7,0 cm 13,0 cm Oppgave.57 Tegningen viser en kjegleformet beholder som inneholder 1,0 liter når den er helt full. Høyden er 18,0 cm. Hvor stor er diameteren på toppen av beholderen? h = 18,0 cm Eksempel 5 Volum og overflate på Internett På Internett kan du finne animasjoner der du kan arbeide med volum og overflate av romfigurer. Her ser du et eksempel på en slik animasjon, fra Lokus.no. Sammenlikn med eksempel 3 side 9. Ved bruk av animasjonen må man selv ta stilling til avrunding av svarene.

Kapittel : Geometri 95.9 FLERE VOLUMBEREGNINGER Eksempel 1 Volum av sammensatt figur En søyle er satt sammen av en sylinder og en halvkule. Vi skal finne volumet av søylen. Diameteren er 4,0 dm, og høyden er 0 dm. Av figuren ser vi at diameteren i halvkula er lik diameteren i sylinderen. Da blir radien,0 dm i både sylinderen og kula. 18 dm Høyden i sylinderen = høyden av søylen radien i halvkula = 0 dm,0 dm = 18 dm. Volumet av søylen = volumet av sylinderen + volumet av halvkula 3 3 Volumet av sylinderen: πrh = π,0 18 dm = 6, dm + Volumet av halvkula: 1 3 3 4πr 1 4 π 0, 3 3 = dm = 16, 8 dm 3 3 Volumet av søylen = 43,0 dm 3 4,0 dm 0 dm Målene er oppgitt med to siffer. Det mest korrekte vil da være å oppgi volumet som 0,4 m 3. Eksempel Ytre og indre volum Et sementrør er 1, m langt. Den ytre diameteren er 15 cm, og tykkelsen på røret er 3,0 cm. Vi vil finne volumet av sementen røret er laget av. Vi finner volumet av sementen ved først å regne ut det ytre volumet, V y. Så trekker vi fra det indre volumet V i. Ytre radius: r y : Indre diameter: 15 cm 6, 0 cm = 9, 0 cm. 9,0 cm Indre radius: r i = = 4,5 cm. 3 3 V = πr h= π 7, 5 10 cm = 1 06 cm V y i y 3 = πr h= π 4, 5 10 cm = 7634 cm 3 i 15 cm = 75, cm 15 cm 3,0 cm Volumet av sementen: 1 06 cm 3 7634 cm 3 = 13 57 cm 3 14 dm 3

96 Kapittel : Geometri Oppgave.58 Isen på figuren nedenfor består av en kjegle med en halvkule på toppen. 5,0 cm 13,0 cm a b c Hvor stor er radien i halvkula og i kjegla? Hvor stor er høyden i kjegla? Hvor mye iskrem er det i denne isen? Oppgave.59 Figuren viser en beholder for innsamling av glass. 0,70 m 1,00 m 1,40 m a b Hvor mange kubikkmeter rommer en slik beholder? Regn ut overflaten av beholderen. Oppgave.60 En lukket fôringstank har form som vist på figuren på neste side. Den øverste delen er en sylinder med diameter 1,4 m og høyde, m. Den nederste delen er en kjegle med side 1, m. Fôret blir fylt på gjennom en luke i toppen av tanken og tatt ut gjennom en luke i bunnen.

Kapittel : Geometri 97 1,4 m, m 1, m a b c Regn ut høyden av den kjegleformede delen av tanken. Finn volumet og overflaten av tanken. Hvor høyt opp i tanken står fôret når tanken er halvfull? Oppgave.61 Et drikkeglass har form som en avkuttet kjegle der diameteren er 5,0 cm i bunnen og 6,0 cm på toppen. Glasset er 8,0 cm høyt. (Innvendige mål.) Hvor mye rommer glasset?.10 PERSPEKTIVTEGNING Å tegne virkeligheten På en stor flat slette er det et gjerde. Gjerdet består av to rette deler som møtes i et hjørne. Tenk deg at gjerdet er tegnet, og at tegneren har klart å gjengi både form og størrelse slik gjerdet så ut fra det stedet tegneren sto. Den ferdige tegningen ser du på figuren ovenfor.

98 Kapittel : Geometri Oppgave.6 a Hvor sto tegneren plassert i forhold til gjerdet da han tegnet? b Er gjerdet like høyt hele veien? c Kan du finne noen punkter på tegningen som er i øyehøyde, det vil si punkter som i virkeligheten ligger like høyt som tegnerens øyne? d Hvor høyt tror du gjerdet var? e Kan du si noe om lengden av gjerdet? f Tror du de langsgående plankene var parallelle? Figuren på forrige side er et eksempel på det vi kaller en perspektivtegning, det vil si en tegning som viser hvordan en gjenstand (et gjerde, et hus, en kasse osv.) ser ut, sett fra et bestemt ståsted. Det er ikke alltid så lett å tegne det vi ser, for som regel «ser» vi på to måter samtidig. Du ser at gjerdet blir stadig lavere på bildet. Dette gjelder både den høyre og den venstre delen av gjerdet. Samtidig ser du at i virkeligheten er gjerdet like høyt hele veien. Det «ser» du fordi hjernen alltid tolker det bildet som kommer på netthinna når vi ser på noe, både når vi ser direkte på omgivelsene, og når vi for eksempel ser på et fotografi eller på TV. Det er denne tolkningen som gjør at du i dagliglivet kan oppfatte avstander, sammenlikne størrelsen på personer i ulik avstand fra deg, osv. Hjernen er utrettelig når det gjelder å fortolke det vi ser, både på bilder og ellers. Men den er ikke like flink til å fortelle oss hvordan vi skal tegne slik at det blir perspektivisk riktig. Derfor trenger vi noen regler når vi skal tegne perspektivtegninger. Horisontlinje og forsvinningspunkt l 1 l 3 Horisontlinja FP 1 FP l l 4 Tenk deg igjen at du står og ser på gjerdet. Punktene som ligger like høyt som tegnerens øyne, ligger på horisontlinja. Horisontlinja er en tenkt vannrett linje i øyehøyde.

Kapittel : Geometri 99 Ser opp på Ser ned på Generelt: Punkter som ligger over øyehøyde, ser vi opp på. Punkter som ligger under øyehøyde, ser vi ned på. Se figuren ovenfor. Tilbake til gjerdet: Alle punkter på l 1 har samme høyde, og de er alle over øyehøyde. Alle punkter på l har også samme høyde, og de er under øyehøyde. Den delen av gjerdet som ligger over horisontlinja, ser du opp på, og den delen av gjerdet som ligger under horisontlinja, ser du ned på. Vi vet at linjene l 1 og l i virkeligheten er parallelle. Men på tegningen er de ikke parallelle. Vi har forlenget l 1 og l til de møtes i et punkt FP 1 på figuren. Dette punktet kalles forsvinningspunktet for de to linjene. Ordet forsvinningspunkt forkorter vi til FP. Vi forlenger l 3 og l 4 på samme måte, slik at de møtes i et punkt vi kaller FP. På figuren er det altså to forsvinningspunkter. Forsvinningspunktene ligger på horisontlinja. Dette gir oss tre regler som er grunnleggende for perspektivtegning. «Exchange Place, New York, 1934». Foto av Berenice Abbott. Tilhører Museum of Fine Arts, Houston, Texas, USA. Regel 1 Horisontlinja er en tenkt vannrett linje i øyehøyde. Regel Linjer som er parallelle i virkeligheten, har alltid samme forsvinningspunkt. Parallelle linjer som har retning «innover», går sammen i et forsvinningspunkt som ligger på horisontlinja. Regel 3 Det som ligger over øyehøyde i virkeligheten, ser vi opp på. Det ligger ovenfor horisontlinja på tegningen. Det som ligger under øyehøyde i virkeligheten, ser vi ned på. Det ligger nedenfor horisontlinja på tegningen.

100 Kapittel : Geometri På bildet til venstre kan du tenke deg at de parallelle jernbaneskinnene «forsvinner» i et fjernt punkt. Dette punktet er forsvinningspunktet for de to skinnene. Egentlig har de to skinnene hvert sitt forsvinningspunkt, men de faller sammen. Om vi for eksempel fjerner den høyre skinnen, vil venstreskinnen «forsvinne» i nøyaktig det samme punktet som på bildet. Oppgave.63 Bildet nedenfor viser midtskipet i San Lorenzo-kirken i Firenze, Italia. a Bestem noen linjer som i virkeligheten er parallelle og som har retning innover i bildet. Forleng disse linjene og finn forsvinningspunktet for dem. b Finn horisontlinja. c Finn noe på fotografiet som du ser opp på. d e Finn noe på fotografiet som du ser ned på. I virkeligheten er alle søylene like høye, og de vannrette avstandene mellom dem er like. Hvordan ser det ut på bildet? (Mål med linjalen.)

Kapittel : Geometri 101 Ettpunktsperspektiv og topunktsperspektiv Tegneren på figuren ovenfor ser rett på kassa, litt ovenfra. Han ser parallelle linjer med retning «innover». På en perspektivtegning vil disse linjene gå sammen i et felles forsvinningspunkt. Dette er et eksempel på sentralperspektiv eller ettpunktsperspektiv. Vi snur litt på kassa, slik at han ser kassa «på skrå». Han «ser» nå to forsvinningspunkter. Dette er et eksempel på topunktsperspektiv. l 1 l a Å tegne med topunktsperspektiv Vi skal tegne en prismeformet kasse som står på skrå på gulvet. Hele kassa er under øyehøyde. Vi skal vise to metoder vi kan bruke for å lage en perspektivtegning av kassa. I metode 1 starter vi med å tegne tre av kantene i kassa ut fra samme punkt. Se figuren til venstre. I metode starter vi med å velge to forsvinningspunkter på horisontlinja.

10 Kapittel : Geometri Bruk blyant og linjal når du tegner. Når du er ferdig, kan du trekke opp selve kassa med penn og viske ut hjelpelinjene. Eksempel 1 Kasse i topunktsperspektiv metode 1 FP 1 Horisontlinja FP c l 3 l 1 l a l 4 b 1 Tegn horisontlinja. Tegn den nærmeste loddrette kanten a og de to nærmeste kantene i toppflaten, l 1 og l. Velg selv lengden på de tre linjestykkene, vinklene mellom dem og plasseringen i forhold til horisontlinja. 3 Forleng l 1 og l. Der forlengelsene skjærer horisontlinja, ligger forsvinningspunktene FP 1 og FP. 4 Tegn l 3 og l 4. 5 Tegn de loddrette linjestykkene b og c. De to synlige sideflatene er nå tegnet ferdig. Se figuren ovenfor. 6 Tegn de manglende linjene. Husk å tegne hjelpelinjer gjennom FP 1 og FP. 7 Tegn kassa med penn. Stiple de linjene vi ikke ser. FP 1 Horisontlinja FP c a b På kassa i eksemplet ovenfor er de fire loddrette linjene parallelle i virkeligheten. Etter regel på side 99 har derfor disse linjene et felles forsvinningspunkt. Skulle vi ha vært helt nøyaktige, burde vi ha latt a og b nærme seg hverandre på tegningen. Men når vi ser rett på (eller nesten rett på) de parallelle linjene vi tegner, kommer forsvinningspunktene som regel langt utenfor arket. Effekten blir da så liten at vi kan se bort fra den. Som eksempel på perspektiv der vi ser at parallelle, loddrette linjer nærmer seg hverandre på bildet, kan du se bildet på side 196.

Kapittel : Geometri 103 Oppgave.64 Se eksempel 1. Bruk metode 1 og lag en ny tegning der du plasserer forsvinningspunket FP 1 mye nærmere kassa. Sammenlikn din perspektivtegning med den i eksemplet. Hva ser du? Eksempel Kasse i topunktsperspektiv metode FP 1 Horisontlinja FP b d c a 1 Bruk blyant. Tegn horisontlinja og velg plasseringene av de to forsvinningspunktene FP 1 og FP. Tegn a, den loddrette kanten foran på kassa. Du velger selv lengde og plassering av denne kanten. 3 Tegn linjer fra toppen og bunnen av a til begge forsvinningspunktene. 4 Tegn den loddrette kanten b, til venstre for a. Velg selv plasseringen. Trekk linjer fra toppen og bunnen av b til FP. 5 Tegn den loddrette kanten c, til høyre for a. Velg selv plasseringen. Trekk linjer fra toppen og bunnen av c til FP 1. 6 Tegn bakre loddrette kant d. 7 Tegn kassa med penn. Stiple de linjene vi ikke ser. Oppgave.65 Se eksempel. Bruk metode og lag noen perspektivtegninger av en kasse. Varier a kassas størrelse b plasseringen av forsvinningspunktene c kassas plassering i forhold til forsvinningspunktene d kassas plassering i forhold til horisontlinja

104 Kapittel : Geometri Oppgave.66 Figuren viser en del av et veikryss i et topunktsperspektiv. I krysset har vi begynt å tegne en blokk, og du ser fortauet foran blokka. a Kopier tegningen, og tegn inn noen flere vinduer i blokka. b Tegn noen hus ved siden av blokka langs hver av gatene. La husene få forskjellig høyde og bredde. c Tegn inn vinduer og dører i husene. d Tegn inn mennesker. Oppgave.67 Bildet viser rester fra Seleniustempelet på Sicilia, Italia. Bygget er fra ca. 550 f.kr. a Finn noen linjer på bildet som er tilnærmet loddrette og parallelle i virkeligheten. Forleng disse linjene. Hva ser du? b Man kan også finne forsvinningspunkter som ligger på horisontlinja. Ser du hvordan?

Kapittel : Geometri 105 Å tegne med ettpunktsperspektiv Topunktsperspektiv gir ofte en god følelse av rom og dybde. Derfor er topunktsperspektiv mye brukt i tegninger og i malerier. Ser vi på en tegning laget i et ettpunktsperspektiv, føler vi det ofte som om blikket trekkes mot forsvinningspunktet. Når vi ser rett inn i et rom, rett nedover en korridor osv., er det naturlig å bruke ettpunktsperspektiv. Jesus overrekker «himmelrikets nøkler» til Peter. (Matt. 16,19.) Freske fra 1481 av Pietro Perugino. Eksempel 3 Kasse i ettpunktsperspektiv Den venstre kassa er tegnet nedenfor horisontlinja. Derfor ser vi ikke undersiden av den (ABFE). Til høyre er den samme kassa tegnet ovenfor horisontlinja. Da er det oversiden (DCGH) vi ikke ser. Vi skal vise en oppskrift for å tegne slike kasser i ettpunktsperspektiv. A D E H G F C B 1 Bruk blyant. Tegn horisontlinja og merk av forsvinningspunktet FP. Tegn et rektangel ABCD, forsiden på kassa. Du velger selv størrelse og plassering av dette rektanglet. 3 Tegn CG, øvre høyre sidekant. Velg selv lengden. 4 Tegn DH, AE og BF. 5 Tegn rektanglet GHEF. 6 Tegn kassa med penn. Stiple de linjene vi ikke ser. D A H E FP F G B C FP

106 Kapittel : Geometri Oppgave.68 Følg oppskriften i eksempel 3 og lag noen tilsvarende tegninger. Varier a kassas plassering i forhold til horisontlinja b størrelsen og formen på kassa Oppgave.69 Tegn et prismeformet skap som er høyere enn deg selv. Tenk deg at du står rett foran skapet. Eksempel 4 Et rom i ettpunktsperspektiv Du vil tegne et rom der du ser rett på motstående vegg (bakveggen). Tenk deg at den nærmeste veggen er gjennomsiktig, slik at du kan se rett inn i rommet. Vent litt med å tegne omrisset av denne veggen. a FP Horisontlinja 1 Bruk blyant. Tegn rektanglet som skal danne bakveggen. Tegn FP. Forsvinningspunktet skal være i øyehøyde. (Vanlig romhøyde er ca.,50 m, og da er det rimelig å plassere FP ca. 3 opp på bakveggen. 3 av,50 m er 1,67 m.) 3 Tegn gulv, tak og vegger ved å trekke linjer gjennom forsvinningspunktet. Avslutt med rektanglet som danner den «gjennomsiktige» veggen. 4 Tegn horisontlinja gjennom FP. Den fungerer som en hjelpelinje når du skal plassere gjenstander i rommet. Du ser opp på alt som ligger over horisontlinja, og ned på resten. 5 Tegn inn et vindu på venstre vegg. Start med å tegne opp linja merket a. Trekk linjer til forsvinningspunktet og tegn vinduet ferdig. (På figuren er dette vinduet tegnet slik at det ligger dels over, dels under øyehøyde.) 6 Tegn vinduer også på høyre vegg. (På figuren ligger de over øyehøyde, altså høyt oppe på veggen.)

Kapittel : Geometri 107 Oppgave.70 a b c Tegn av de to figurene. Finn forsvinningspunktet og tegn inn horisontlinja på hver av tegningene. Diskuter de to perspektivtegningene. Kan tegneren se rett ut gjennom vinduene når tegningene lages? Tegn inn mennesker i rommene. Oppgave.71 Følg oppskriften i eksempel 4 og tegn et rom i ettpunktsperspektiv. I rommet er det: En dør på bakveggen. To vinduer på høyre sidevegg. Nedre kant av vinduene har samme høyde over gulvet, men det ene vinduet er høyere enn det andre. En bokhylle på venstre sidevegg. Bokhylla går nesten til taket. Tenk gjennom plasseringen av dør, vindu og bokhylle i forhold til horisontlinja. Oppgave.7 a Se på bildet i starten av kapittel 5. Finner du forsvinningspunkter? b Gå på «forsvinningspunktjakt» i resten av boka. Side Side Side.11 REGULÆRE MANGEKANTER Side Trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter osv. er eksempler på mangekanter. En mangekant kalles også en n-kant, der n står for antall sider i mangekanten. Vi skal nå ta for oss en spesiell type mangekanter, de regulære. Studer firkanten på figuren til venstre. Ser du at alle sidene er like lange, og at alle vinklene er like store?

108 Kapittel : Geometri Denne firkanten er et eksempel på en regulær firkant. En regulær firkant er det samme som et kvadrat. I en regulær firkant er alle sidene like lange og alle vinklene like store. Slik er det med alle regulære mangekanter. v v v Regulær firkant Regulær trekant Regulær sekskant En regulær trekant er det samme som en likesidet trekant. En regulær mangekant er en mangekant der alle sider er like lange og alle vinkler like store. Vinkelen mellom to sider som møtes, har vi kalt v på figurene. Når vi seinere snakker om «vinkelen i en regulær mangekant», mener vi alltid vinkelen mellom to sider som møtes. Vinkelen i en regulær mangekant v På figuren har vi tegnet en regulær sekskant. Fra et hjørne har vi trukket tre diagonaler. De deler sekskanten inn i fire trekanter. (Tell på figuren.) Legg merke til at antall trekanter er to mindre enn antall sider. Når vi legger sammen alle vinklene i de fire trekantene, får vi vinkelsummen i sekskanten. Vinkelsummen i sekskanten er derfor 4 180. Dette kan vi skrive som ( 6 ) 180. Det gjør vi for å understreke at antall trekanter er to mindre enn antall sider. Summen av alle vinklene i en sekskant blir altså ( 6 ) 180 = 70. Da sekskanten på figuren er regulær, er alle vinklene like store. 70 Vinkelen v på figuren blir altså = 10. 6

Kapittel : Geometri 109 Hvis en regulær mangekant har n sider, er vinkelsummen ( n ) 180. Når n-kanten er regulær, er alle vinklene like store. ( n ) 180 Vinkelen i en regulær n-kant er altså. n Denne formelen kan vi omforme slik: ( n ) 180 n 180 360 n 180 360 360 = = = 180 n n n n n Vinkelen v i en regulær n-kant er gitt ved formelen 360 v = 180 n Oppgave.73 Tegn av den regulære femkanten på figuren ovenfor. Velg ett av hjørnene. Trekk diagonalene fra dette hjørnet til de andre hjørnene. a Hvor mange trekanter får du? b Hva blir summen av vinklene i femkanten? c Hvor stor er vinkelen v i femkanten? Oppgave.74 Bruk formelen regulær a sekskant b sjukant c åttekant d nikant 360 v = 180 og regn ut vinkelen i en n Oppgave.75 Tegn en regulær åttekant.