10.5 Mer kombinatorikk

bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske problemer som er utført i avsnitt 10.4, ligger tett opp til måten å arbeide med slike problemstillinger i grunnskolen. Vi skal legge merke til at vi i avsnitt 10.4 behandlet problemer som gikk over to trinn. Så lenge vi begrenser oss til to-tre trinn er trediagrammet en oversiktlig måte å arbeide på. I en vanlig LOTTO-trekning er det f.eks.7 trinn (trekninger) som avgjør førstepremie-rekken (jfr. oppg. 75). Vi skal i dette avsnittet se nærmere på alternative måter å finne antall kombinasjoner på. 10.5.1 Enkle sammensettinger I læreboken Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for KAPITTEL 9. klassetrinn, finner vi følgende 10 127 problem: Når Tom skal trene, kan han velge mellom tre ulike trøyer og to forskjellige shortser. På hvor mange ulike måter kan han kombinere treningstøyet sitt? I læreboken gis det ingen algoritme for løsningen av dette problemet og lignende problemer. Oppgaven er med andre ord en problemløsningsoppgave hvor vi som lærere må være åpne for ulike løsningsforslag og strategier fra elevenes side. I dette heftet skal vi derimot jobbe oss fram til en generell skrivemåte (formel). Oppgaven gir inntrykk av at det er slik at hver trøye passer til hver av shortsene. Da kan Tom velge blant 3 trøyer. For hver trøye kan han velge 2 shortser. Dette gir i alt 3 2 = 6 ulike kombinasjoner. Denne situasjonen kan utvides til å gjelde valg av sokker. Har Tom i tillegg 4 par treningssokker å velge blant, vil antall mulige kombinasjoner av treningstøy være 3 2 4 = 24 (forviss deg om at dette er riktig ved å tegne en skisse). Generelt Et forsøk kan inndeles i r trinn. I første trinn er det n 1 mulige valg, i andre trinn har vi n 2 mulige valg osv. Da er det totale antall kombinasjoner forsøket kan utføres på lik n 1 n 2... n r siden vi har r trinn. 10.5.2 Ordnet utvalg med tilbakelegging I avsnitt 10.4 behandlet vi fødselsrekkefølgen i en tobarnsfamilie. Her sa vi at GJ betyr at det først ble født en gutt, så en jente. Den motsatte rekkefølgen betegnes JG. Det at vi betrakter rekkefølgen barna blir født, innebærer en ordning. F.eks. vil JG innebære at jenta er eldst og gutten er yngst, noe som altså vil være motsatt for rekkefølgen GJ. Dersom alder (dvs. rekkefølge ved fødsler) har betydning, har en altså et eksempel på det som går under betegnelsen ordnet utvalg. Vi skal merke oss at dersom det er født en jente i første fødsel, er det klart at det er mulig med jente også i andre fødsel. Altså at forekomsten av et bestemt utfall i første trinn ikke utelukker samme utfall i neste trinn. Det er dette som ligger i 128 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

formuleringen med tilbakelegging. Vi har i avsnitt 10.4 sett at det er 4 mulige fødselsrekkefølger: GG, GJ, JG og JJ. Dette antallet kan vi finne ved å se på antall mulige utfall ved hver fødsel. Det er 2 muligheter ved første fødsel (J eller G). For hver av disse mulighetene er det også 2 muligheter i andre fødsel. I alt blir det 2 2 = 4 muligheter, som vist i avsnitt 10.4. Dette resonnementet kan vi føre videre. Tenker vi oss en firebarnsfamilie (ingen eneggede tvillinger), vil antall rekkefølger av fire barn med hensyn til kjønn være 2 2 2 2 = 2 4 = 16 (bruk f.eks. et trediagram til å forvisse deg om dette). Ved å betrakte potensen 2 4, ser vi at 2-tallet stammer fra antall mulige utfall i hvert trinn (G eller J) og 4-tallet angir antall fødsler (trinn) vi betrakter. Eksempel 10.4 En tippekupong består av 12 kamper. Hver kamp kan enten ende med H (hjemmeseier), U (uavgjort) eller B (borteseier). Hvor mange ulike tipperekker finnes det? Siden det i hver kamp (trinn) kan være 3 ulike utfall, og vi i alt har 12 kamper (trinn), vil antall mulige rekker være 3 12 = 531 441 (forviss deg med f.eks. trediagram at dette er riktig). Skal vi være garantert 12 rette, må vi altså levere inn 531 441 rekker. Eksempel 10.5 I en normert prøve i matematikk i grunnskolen gitt i 1992 lød en oppgave slik: En familie planlegger å få to barn. Vi regner med at det er like stor sannsynlighet for å få en gutt som for å få en jente. Hvor stor er sannsynligheten for at familien får to jenter? Problemet med tobarns-fødsler ble analysert også i avsnitt 10.4 ved hjelp av trediagram. En annen måte å gjøre det på er å benytte loven om antall gunstige delt på antall mulige. Antall mulige vil da være antall kombinasjoner i løpet av 2 fødsler, nemlig 2 2, mens antall gunstige vil være hvor mange måter av de mulige en kan få to jenter på, nemlig 1. Dette gir at P 2 jenter antall gunstige antall mulige 1 2 1 4 ( ) = = = = 2. 0 25 Generelt Vi har r trinn hvor antall utfall i hvert trinn er n. Det totale antall ordnede kombinasjoner er da lik n n... n = n r. KAPITTEL 10 129

10.5.3 Ordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Are, Bjørn, Knut og Dan løper 60 m. Dersom ingen kommer samtidig i mål, hvor mange forskjellige rekkefølger kan vi få? At dette er et ordnet utvalg, betyr at rekkefølgen disse fire kommer i mål på har betydning. Formuleringen uten tilbakelegging er dekkende i denne situasjonen fordi hver enkelt elev kan passere mål bare en gang. Sagt på en annen måte: Dersom Are er først i mål (trinn 1), kan ikke Are bli nummer to i mål. Are vil ikke komme i betraktning ved andre trinn, bare de tre gjenværende elevene. For å finne svaret på spørsmålet i oppgaven, kan vi ta utgangspunkt i at alle 4 kan komme først i mål. Dersom Are er først i mål, ser vi at det er 3 muligheter for andremann i det både Bjørn, Knut og Dan kan bli nummer 2. For de 2 første plassene er det altså 4 3 = 12 forskjellige muligheter. For hver av disse 12 mulighetene kan vi ha 2 elever på tredje plass. Den siste plassen kan da bare besettes av den siste eleven, og det kan gjøres på bare en måte. I alt blir det altså 4 3 2 1 = 24 måter. Denne situasjonen kan lett utvides til flere trinn. Er det 9 elever som stiller til start, vil antall forskjellige rekkefølger i mål være 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 362 880. I matematikken skriver en dette antallet på en enklere form, nemlig 9! som uttales ni fakultet, hvor vi altså har at 9! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Dette utropstegnet benyttes altså som symbol på en gjentatt multiplikasjon fra tallet foran utropstegnet ned til 1. Legg ellers merke til at dette symbolet finnes på de fleste kalkulatorer. Eksempel 10.6 I en skoleklasse på 25 elever skulle de velge tillitsvalgt, vara og sekretær. Dersom alle kan velges fritt slik at den som får flest stemmer blir klassens tillitsvalgt, nest flest stemmer vara osv., hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan en få i disse vervene? Når alle elever stiller likt og er på valg, er det 25 elever som kan bli tillitsvalgt. Denne eleven kan ikke bli valgt til noen andre verv slik at det etter at tillitsvalgt er valgt, er det 24 elever igjen. For hver av de 25 som kan bli valgt på første trinn, er det 24 muligheter på andre trinn. I alt vil det da være 25 24 forskjellige kombinasjoner på tillitsvalgt og vara. For hver av disse kombinasjonene er det igjen 23 elever som kan bli sekretær. I alt vil dette gi 25 24 23 = 13 800 forskjellige kombinasjoner eller utvalg på tre elever (sjekk dette ved hjelp av f.eks. trediagram). oooooo 130 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

Også denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde flere trinn. Tenker vi oss at det skal velges et styre på 5 deltakere i denne klassen, hvor rekkefølgen har betydning for hvilke verv en får, vil antall forskjellige utvalg være lik 25 24 23 22 21 = 6 375 600. På kalkulatorer kan en finne dette antallet ved hjelp av funksjonen npr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. P en står for permutasjon, som betyr ombytting, måter å bytte om rekkefølgen på. Legg merke til som en huskeregel at vi i den siste utregningen får 5 faktorer, like mange som elever vi trekker ut. Generelt Når vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer, kan dette gjøres på n (n 1) (n 2)... (n r + 1) forskjellige måter (i alt r faktorer). Trekkes alle de n ut, vil antall forskjellige kombinasjoner være lik n! = n (n 1) (n 2)... 3 2 1. 10.5.4 Uordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Treneren i Gjedde IL skulle velge mellom Gina, Hanne, Inger, Janne og Kjersti når han skulle ta ut et lag på tre til stafett. Hvor mange forskjellige lag kunne han ta ut? Denne trekningssituasjonen er annerledes enn de vi har behandlet tidligere. At denne problemstillingen er et uordnet utvalg, kommer fram av at en ikke spør om i hvilken av de tre trekningene en løper blir tatt ut, men bare om en løper blir tatt ut eller ikke. Enten blir en med blant de tre uttrukne (i vilkårlig rekkefølge) eller så blir en det ikke. At disse trekningene skjer uten tilbakelegging, innebærer at ingen kan bli trukket ut mer enn en gang. Dette er rimelig og i tråd med situasjonen i avsnitt 10.5.3. Når vi nå skal prøve å løse dette problemet, kan vi først tenke oss at trekningene skjer ordnet, men uten tilbakelegging som i forrige avsnitt. Siden vi i alt har 5 jenter å velge disse 3 jentene fra, vet vi fra avsnitt 10.5.3 at dette kan gjøres på 5 4 3 = 60 måter. Altså, tenker vi oss at rekkefølgen spiller en rolle, vil antall mulige lag treneren kan ta ut være 60. Siden en i oppgaven tenker et uordnet utvalg, skjønner vi at antall forskjellige lag vil være færre enn 60. Dette ser vi av det følgende: La oss si at G(ina), H(anne) og I(nger) er de tre jentene som er trukket ut. Tenker en et ordnet KAPITTEL 10 131

utvalg, kan disse trekkes ut på disse 6 mulige måtene: GHI, GIH, HIG, HGI, IGH, IHG. Dette viser at for hvert uordnet utvalg på tre jenter, får vi 6 ordnede utvalg. Antall uordnede utvalg er ukjent og skal finnes. La oss kalle dette antallet for X. Vi har altså funnet at X 6 = 60. Dette gir X = 10. Svaret på oppgaven er altså at treneren kan få 10 forskjellige lag (prøv å komme fram til disse ved å skrive opp de mulige kombinasjonene). La oss betrakte denne utregningen noe nærmere. Vi får altså at 60 5 X = = 4 3. Telleren står for antall ordnede utvalg på 3 når vi 6 3 2 1 har 5 å trekke fra, mens nevneren angir antall måter å ordne de 3 utvalgte. Denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde 4 trekninger. Hvor mange forskjellige lag kan treneren velge ut dersom det trengs 4 av 5 disponible løpere? Løsningsmåten vi har skissert her, er at en først finner antall ordnede utvalg på 4, og så deler dette antallet på antall måter å ordne de 4 utvalgte på. Dette gir følgende antall: 5 4 3 2 = 5. I matematikk skriver en dette antallet som et eget 4 3 2 1 5 symbol, nemlig. Denne leses 5 over 4 og en slik oppstilling 4 kalles en binomialkoeffisient. Vi ser at 5-tallet er antallet vi har å velge blant, mens 4-tallet representerer antallet vi skal trekke ut. I det opprinnelige problemet i dette avsnittet, hvor mange forskjellige lag på 3 løpere en kunne få når en har 5 løpere å velge blant, er oppsettet for antallet følgelig 5 3. Vi har sett at 5 5 4 3 3 = = 3 2 1 10. Legg merke til at vi får like mange faktorer i telleren som i nevneren. Antall faktorer er like stort som antall individer vi trekker ut. På kalkulatorer kan en finne antall utvalg ved hjelp av funksjonen ncr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. 5 På kalkulatorer vil en også finne at 1 0 =. Den praktiske situasjonen er her noe vanskelig å se, men matematisk er dette en rimelig definisjon. Eksempel 10.7 I oppgave 75 ble tallspillet Lotto lagt til grunn. Vi skal nå benytte binomialkoeffisienten til å finne sannsynligheten for 7 rette i Lotto, eller nærmere bestemt antall ulike rekker en må levere inn for å være sikret 7 rette. Det er i alt 7 tall som trekkes tilfeldig fra samlingen av 34 tall. Ved overføring av Lotto-trekningen på fjernsyn blir vi klar over at rekkefølgen trekningen skjer er likegyldig («kulene» blir ordnet etter trekning) og ingen kule som blir trukket ut, blir lagt 132 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

tilbake igjen. Det er altså et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall ulike rekker som finnes er da 34 34 33 32 31 30 29 28 = = 5 379 616 7 7 6 5 4 3 2 1. Leverer du inn én rekke, er sannsynligheten for å få 7 rette lik 1 34 7 1 = = 0.000 000 186 5 379 616 Generelt Vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer uten tilbakelegging. Antall måter dette kan gjøres på er ( ) ( ) ( + ) ( ) n n n n n r r = 1 2 1. r r 1 3 2 1 Oppgaver Oppgave 80 Finn 6 2 7, 3 7, 4 6, 4 8 og 6. Oppgave 81 En elev kan fargelegge en blomst bestående av korg og korgdekkblad. Korga kan farges gul, rød eller blå. Korgdekkbladene kan farges hvite eller grønne. Hvor mange forskjellige blomster kan du farge? av Kjøsnes, Kvammen, Tvete). Oppgave 82 Knut og Ellen er på sykkeltur i Danmark. Fra Snildby til Godby kan de velge mellom tre veier. Fra Godby til Storby har de to veivalg, og fra Storby til Strandby går det fire veier. Hvor mange forskjellige sykkelturer kan de ta fra Snildby til Strandby, når de skal innom Godby og Storby? Tegn problemet! KAPITTEL 10 133

Oppgave 83 Klasse 8C har 15 gutter og 12 jenter. De skal velge en gutt og en jente til elevrådet. Hvor mange måter kan det gjøres på? Tegn en skisse av løsningen. Oppgave 84 Hvor mange forskjellige «ord» (eller tegn) på fire bokstaver kan lages ved å bruke bokstavene A, B, C og D? («ordet» kan bruke samme bokstav flere ganger.) Oppgave 85 Hvor mange «ord» på fire bokstaver kan lages av A, B, C og D når hvert «ord»skal ha forskjellige bokstaver? Oppgave 86 I hvor mange ulike rekkefølger kan sju personer stille seg i kø? Oppgave 87 På Maries koffert er det et kodelås med 5 siffer. Alle 5 sifrene kan innstilles på tallene 0, 1, 2,..., 9. Låsen går opp på bare en kode. Hvor mange kombinasjoner må Marie i verste fall utføre dersom hun har glemt koden? Oppgave 88 a) I kortspillet poker får hver deltaker utdelt 5 kort. Hvor mange ulike korthender finnes det i poker? b) Hva er sannsynligheten for å få inngitt «flush» (5 kort av samme sort)? Oppgave 89 a) En lærer trenger hjelp av tre elever. Hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan han få dersom det er 25 elever i klassen? b) Det er 12 jenter i klassen. Hvor mange forskjellige utvalg består av bare jenter? c) Hva er sannsynligheten for at læreren får et utvalg bestående av bare jenter? d) Forklar hvilke forutsetninger du gjør når du utførte oppgave c). 134 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

Oppgave 90 En skoleklasse blir satt sammen av 23 elever. Finn sannsynligheten for at minst to av elevene har fødselsdag på samme dag (Hint: Finn først sannsynligheten for at ingen har fødselsdag på samme dag). Oppgave 91 En bokstav i blindeskrift består av et lite seksdelt felt. Noen av disse seks kan være opphøyde punkter på papiret. En som har lært systemet, kan da kjenne med fingertuppene hvilken bokstav det er. Det blir 63 mulige kombinasjoner eller grupper av de seks punktene. Hver kombinasjon står da for en bokstav, et tall eller et annet skrifteller regnetegn. a) Kontroller at det blir i alt 63 tegn. b) Dersom du skal opphøye to av de seks punktene, er det mulig å gjøre dette på 15 måter. Kontroller dette ved å skrive ned systematisk alle mulighetene. c) Hvor mange muligheter har vi om vi skal opphøye fire av de seks punktene? d) Hvor mange bokstaver eller tegn i blindeskriften kan lages ved å opphøye hhv. ett punkt, fem punkter og tre punkter? (fra Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for 9. klassetrinn). Oppgave 92 I Lotto må en levere inn minst to rekker for å kunne delta i spillet. Anta at du leverer inn to ulike rekker. Hva er sannsynligheten for å få 7 rette? Hvilke forutsetninger gjør du? Oppgave 93 a) Eivind leverer inn en Lotto-kupong med 10 ulike rekker. Hva er sannsynligheten for at Eivind får 7 rette? b) Hva er sannsynligheten for at Eivind ikke får 7 rette? c) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i fire omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de fire omgangene. d) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i 52 omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de 52 omgangene. KAPITTEL 10 135