Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter ved hjelp av systematiske oppstillinger og bruke addisjonssetningen og produktsetningen bruke begrepene uavhengighet og betinget sannsynlighet i enkle situasjoner lage binomiske sannsynlighetsmodeller ut fra praktiske eksempler og beregne binomiske sannsynligheter ved hjelp av formler og digitale hjelpemidler Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406 400, 401, 402, 406, 410 400, 401, 402, 405, 406, 410 4.2 Sannsynlighetsmodeller 411, 412, 415, 416, 418 411, 412, 414, 415, 416, 418 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 421, 422, 423, 425, 426, 428, 429, 430, 431, 432, 433 438, 439, 440, 441, 443, 445, 446 421, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 430, 431, 432, 433, 434, 435 438, 439, 440, 441, 443, 444, 445, 446, 447 421, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437 438, 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser 449, 450, 451, 453, 454, 455 449, 450, 452, 453, 454, 455, 457 450, 452, 453, 454, 455, 457, 458, 459, 4.6 Produktsetningen for avhengige hendelser 462, 463, 464, 465, 466 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469 460 463, 464, 466, 467, 468, 469, 470, 471 4.7 Sammensatte forsøk 474, 475, 476, 477, 478, 479 474, 476, 477, 478, 479, 480, 481 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482 4.8 Binomiske sannsynligheter 4.9 Binomiske sannsynligheter med digitale verktøy 483, 484, 485, 486, 487, 488, 490 484, 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493 15 rette eller gale: s. 108 Blandede oppgaver (494 X4.6): s. 108 Utvalgte løsninger: s. 174 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 404, 409, 456 Skriftlige ferdigheter: 403, 410, 419, 456 Leseferdigheter: 400, 403, 404, 409, 410, 419, 420, 456, 461, 491 Digitale ferdigheter: 403, 405, 406, 407, 408, 419, 420, 461, 493 Interaktive oppgaver: Lokus.no

84 Kapittel 4: Sannsynlighet 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400 Når vi kaster et pengestykke, er sannsynligheten 50 % for å få krone. Nedenfor er det gitt fem påstander. Avgjør for hver påstand om den er gal eller riktig. A Når vi kaster et pengestykke, er det like stor sjanse for å få krone som mynt. B Hvis vi har kastet et pengestykke 95 ganger og fått krone 45 ganger, vil vi få krone i de fem neste kastene. C Hvis vi kaster et pengestykke 100 ganger, vil vi få omtrent 50 krone og 50 mynt. D Hvis vi kaster et pengestykke 100 ganger, vil vi få 50 krone og 50 mynt. E Hvis vi kaster et pengestykke mange ganger, vil den relative frekvensen for 1 krone nærme seg. 2 401 Du kaster to terninger. Hva er mest sannsynlig: at summen av antall øyne blir sju, eller at du får minst én sekser. Hvordan kan du avgjøre det ved å kaste to terninger mange ganger? 402 Tabell 4.1 er tatt fra Statistisk årbok 2005. I tabellen er det blant annet oppgitt antall fødte i Norge i femårsperioder fra 1951 55 til 1996 2000. a Regn ut den relative frekvensen for jentefødsler for hver av de ti femårsperiodene. Hvordan varierer den relative frekvensen? (Tallene for femårsperiodene er årsgjennomsnitt. For å få antall fødsler i en femårsperiode må tallene ganges med fem. Siden vi er interessert i relative frekvenser, er det ikke nødvendig å gjøre det.) b Regn ut den relative frekvensen for jentefødsler for hele perioden 1951 2000. c Hvordan stemmer resultatet i oppgave b med at sannsynligheten er 48,6 % for jentefødsel (slik vi fant i læreboka)? Statistisk årbok ligger på Internett med adressen www.ssb.no/aarbok/. Tabellene i årboka kan lastes ned som regneark. Hvis du ønsker det, kan du gjøre beregningene i oppgavene a og b ved å bruke et regneark. Årsgjennomsnitt Levendefødte Dødfødte Flerfødsler I alt Gutter Jenter I alt Gutter Jenter I alt Tvillingfødsler Trillingfødsler 1951 55 62 478 32 182 30 296 967 538 429 796 787 9 1956 60 63 021 32 374 30 647 912 489 423 738 731 7 1961 65 63 989 32 992 30 997 803 430 373 708 700 8 1966 70 66 697 34 368 32 329 752 408 344 670 663 7 1971 75 61 393 31 487 29 906 560 294 266 572 568 4 1976 80 51 744 26 619 25 125 377 195 182 498 494 4 1981 85 50 660 26 030 24 630 293 153 140 503 495 8 1986 90 56 862 29 154 27 708 269 141 128 653 634 19 1991 95 60 196 30 993 29 203 263 136 127 845 821 24 1996 00 59 522 30 598 28 924 244 132 112 981 957 24 Statistisk sentralbyrå Tabell 4.1

Kapittel 4: Sannsynlighet 85 403 Problemet i denne oppgaven ble første gang presentert av den franske greven og naturforskeren Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707 88). I hans formulering av problemet ble det kastet med en nål i stedet for en fyrstikk, og problemet har derfor fått navnet Buffons nålproblem. Tegn en rekke parallelle linjer på et ark. Avstanden mellom linjene skal være like stor som lengden av en fyrstikk. I denne oppgaven skal du finne sannsynligheten for at en fyrstikk som kastes tilfeldig, vil krysse en av linjene. (Se figuren, der tre av fem fyrstikker krysser en linje.) a b c d e Kast fem fyrstikker og tell opp hvor mange det er som krysser en av linjene. Fyrstikkene må ligge «hulter i bulter» i hånda før du kaster, og du må kaste fra forholdsvis stor høyde. Hvis en fyrstikk faller utenfor arket kaster du den på nytt. Gjenta oppgave a tjue ganger, slik at du til sammen får 20 5 = 100 fyrstikkast. Regn ut den relative frekvensen for fyrstikker som krysser en linje i disse 100 kastene. Gå sammen med andre elever slik at dere til sammen får minst 10 omganger med 100 fyrstikkast. Hvordan varierer den relative frekvensen fra omgang til omgang med 100 kast? Bestem den relative frekvensen for fyrstikker som krysser en linje, når vi ser alle kastene i oppgave c under ett. Hvorfor er denne relative frekvensen tilnærmet lik sannsynligheten for at en fyrstikk som kastes «tilfeldig», vil krysse en linje? Hvis vi forutsetter at en fyrstikk kastes «tilfeldig», går det an å regne ut sannsynligheten for at den vil krysse en linje. Finn ut hva denne sannsynligheten er ved å søke på «Buffon's needle» på Internett. Hvordan stemmer den relative frekvensen du fant i oppgave d, med sannsynligheten du finner på Internett? Diskuter grunnene til eventuelle avvik.

86 Kapittel 4: Sannsynlighet 404 For noen år siden hadde VG overskriften «Hjelp, vi skal ha firling-dåp!» sammen med et flott bilde av foreldrene og firlingene. Under overskriften sto det blant annet: «Se godt på disse vakre dåpsbarna! Statistisk sett er det 15 år til neste gang det fødes slike firlinger i Norge. Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlinger uten hormonbehandling eller prøverør: Bare ett per million svangerskap ender med levendefødte firlinger.» a Diskuter i klassen hva det ligger i formuleringen «Bare ett per million svangerskap ender med levendefødte firlinger». b Diskuter hvordan journalisten kan ha kommet fram til påstanden «Statistisk sett er det 15 år til neste gang det fødes slike firlinger i Norge». c Tror dere utsagnet «Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlinger uten hormonbehandling eller prøverør», er riktig? (Det er lettere å gi et begrunnet svar når dere har lest kapittel 4.6 i læreboka.) 405 406 På side 165 i læreboka forklarer vi hvordan du kan simulere (etterlikne) et terningkast med regneark og med lommeregneren. Finn ut hvilke endringer du må gjøre for å simulere et kast med et pengestykke. (La 0 svare til mynt og 1 til krone.) På side 165 i læreboka viser vi deg hvordan du kan bruke lommeregneren til å simulere (etterlikne) et terningkast. Vi skal nå se nærmere på hvordan du kan bruke lommeregneren til å «kaste en terning» mange ganger og telle opp hvor mange seksere du får. Vi illustrerer framgangsmåten ved å telle opp hvor mange seksere vi får når vi kaster en terning 10 ganger. CASIO Velg RUN-menyen. Trykk OPTN F4 (CALC) F6 ( ) F3 ( Σ( ) EXIT F6 ( ) F4 (NUM) F2 (Int) ( EXIT F3 (PROB) F4 (Ran#) 6 5 ), X,q,T, 1, 10 ) EXE Før du trykker EXE, skal det stå Σ( Int (Ran# 6 5), X, 110, ) på skjermen. TEXAS Trykk LIST (MATH) 5 (sum( ) LIST (OPS) 5 (seq( ) MATH (NUM) 5 (int( ) MATH (PRB) 1 (rand) 6 5 ), X,T,q,n, 1, 10 ) ENTER Før du trykker ENTER, skal det stå sum(seq(int(rand*6/5),x,1,10) på skjermen. Hver gang du trykker EXE a b eller ENTER, får du gjort 10 nye «terningkast». Bruk lommeregneren til å gjøre 10 terningkast. Gjenta dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye den relative frekvensen for seksere vil variere i 10 terningkast. Bruk så lommeregneren til å gjøre 100 terningkast. Gjenta også dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye den relative frekvensen for seksere vil variere i 100 terningkast. c Er det størst variasjon i den relative frekvensen i oppgave a eller i oppgave b? Kunne du ha visst det uten å gjøre «terningkastene»?

Kapittel 4: Sannsynlighet 87 407 Finn ut hvordan du kan bruke lommeregneren til å kaste 100 pengestykker og telle opp hvor mange krone du får. (Ta utgangspunkt i forrige oppgave.) 408 På side 164 i læreboka viser vi deg hvordan du kan simulere et terningkast med regneark. Nå skal vi simulere 100 terningkast og telle opp hvor mange enere, toere osv. vi får. For å simulere 100 terningkast går du fram på denne måten: Gi kommandoen HELTALL(6*TILFELDIG()+1) i celle A1. Kopier kommandoen i celle A1 og lim den inn i cellene A2:A100. For å telle opp hvor mange enere, toere osv. du får, går du fram på denne måten: Skriv tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 i cellene B1:B6. Tell opp antall enere, toere osv. i de 100 kastene ved å sette inn formelen ANTALL.HVIS($A$1:$A$100;B1) i celle C1 og kopiere den til cellene C2:C6. Hver gang du trykker på F9, får du gjort 100 nye terningkast og talt opp hvor mange enere, toere osv. du får. a Gjør 100 «terningkast» og noter antall enere, toere osv. Gjenta dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye de relative frekvensene for enere, toere osv. vil variere i 100 kast. b Finn ut hvordan du kan gjøre 1000 terningkast og telle opp antall enere, toere osv. c Gjør oppgave a om igjen med 1000 terningkast. Hvordan er variasjonen i de relative frekvensene sammenliknet med oppgave a? 409 I september 1990 sto det et leserbrev i spalten «Ask Marilyn» i det amerikanske bladet «Parade Magazin». Leseren spør: «Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you Do you want to pick door No. 2? Is it to your advantage to switch your choice?» Redaktøren av spalten, Marilyn vos Savant, anbefalte deltakeren i showet å 2 bytte dør. Da ville sannsynligheten for å vinne bilen bli 3, mens sannsynligheten 1 for å vinne bare ville være hvis deltakeren holdt fast ved dør nummer 1. 3 Dette svaret førte til en storm av protester, også fra fagfolk. De mente at sannsynligheten for å vinne bilen ville være 50 %, uansett om deltakeren byttet dør eller ikke. a Hva tror du? Bør deltakeren bytte dør, eller bør hun holde fast på døra hun valgte først? Eller spiller det ikke noen rolle? Du kan avgjøre saken ved å utføre en simulering. Du kan simulere TV-showet ved at en medelev spiller programlederen og du deltakeren som håper å vinne bilen. Bilen erstattes av et rødt kort fra en kortstokk og de to geitene av to svarte kort.

88 Kapittel 4: Sannsynlighet Hvert forsøk foregår slik: Medeleven stokker de tre kortene, ser på dem og legger dem på bordet med baksiden opp. Så ber han deg tippe hvilket kort som er rødt (bil). Du velger et kort, og medeleven snur ett av de kortene du ikke valgte, for å vise at det er svart (geit). Nå kan du bestemme om du vil holde fast på det første valget, eller satse på det andre kortet som ikke er snudd. b Utfør forsøket i to serier: En serie der du konsekvent holder fast på det kortet du valgte først, og en serie der du bytter kort hver gang (slik Marilyn vos Savant anbefalte). Hva finner du ut av dette? Hvem har rett, Marilyn vos Savant eller de som kritiserte henne? 410 I tabell 4.1 på side 84 finner du antall tvilling- og trillingfødsler for hver femårsperiode fra 1951 55 til 1996 2000. (Noen få firling- og femlingfødsler er regnet med blant trillingfødslene.) a Regn ut den relative frekvensen for tvillingfødsler for hver av de ti femårsperiodene. Hvordan varierer den relative frekvensen? b Gjenta oppgave a for trillingfødsler. I læreboka forklarer vi at sannsynlighet svarer til relativ frekvens i det lange løp. En forutsetning for at det skal være tilfellet, er at det tilfeldige forsøket gjentas under like betingelser. Hvis betingelsene endrer seg, vil også sannsynligheten endre seg. c Ser det ut til at sannsynligheten for tvilling- og trillingfødsel har endret seg i femårsperiodene fra 1951 55 til 1996 2000? Kunstig befruktning, der flere befruktede egg blir satt inn i kvinnens livmor, ble innført i Norge på 1980-tallet. Diskuter om det kan forklare resultatene i oppgavene a og b. 4.2 Sannsynlighetsmodeller 411 Tenk deg at du skriver tallene fra 1 til 10 på hver sin lapp og legger de ti lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig en lapp fra esken og ser hvilket tall det står på lappen. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Gi en sannsynlighetsmodell for forsøket. * 412 I Store norske leksikon kan vi lese at rødgrønn fargeblindhet fins hos 8 % av menn. a Hva betyr egentlig denne setningen? Vi undersøker fargesynet til en gutt. b Hvilke utfall har dette forsøket? c Foreslå en sannsynlighetsmodell.

Kapittel 4: Sannsynlighet 89 413 Et svangerskap kan gi ett barn eller en flerfødsel. (Vi skiller ikke her mellom tvillinger, trillinger osv.) a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Bruk tabell 4.1 på side 84 til å foreslå en sannsynlighetsmodell. 414 Et tilfeldig forsøk har utfallsrommet 1, 2, 3, 4. I hvilke av tilfellene nedenfor har vi en sannsynlighetsmodell? A B C D E 1 1 1 1 P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = 3 3 6 6 1 1 1 1 P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = 4 4 5 3 1 1 1 1 P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = 2 2 4 4 1 1 1 1 P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = 5 5 5 5 1 1 1 1 P() 1 =, P() 2 =, P() 3 = og P() 4 = 4 4 4 4 415 En astragalus er en slags terning som ble mye brukt til spill i oldtiden. Den ble laget av en knokkel i sauefoten og har fire sider den kan lande på. Disse sidene er merket med tallene 1, 3, 4 og 6. U = { } Vi regner med at for alle astragaler er sannsynligheten 10 % for at den vil lande på siden merket 1 40 % for at den vil lande på siden merket 3 40 % for at den vil lande på siden merket 4 10 % for at den vil lande på siden merket 6 Vi kaster én astragalus. Hva er sannsynligheten for at vi får a et oddetall b et partall c høyst tre (altså tre eller mindre) d minst tre (altså tre eller mer) 416 Du kaster én terning og ser hva du får. a Hvilke utfall er med i hendelsen A = «høyst to øyne»? b Hvilke utfall er med i A? Uttrykk A med ord. c Hva er sannsynlighetene for hendelsene A og A?

90 Kapittel 4: Sannsynlighet 417 Et tilfeldig forsøk har utfallsrommet 1, 2, 3, 4, der 1 1 1 P() 1 =, P() 2 = og P() 3 = 3 4 6 U = { } a Bestem P( 4). Vi ser på hendelsene A = { 1, 2, 3} og B = { 2, 4}. b Bestem PA ( ) og PB ( ). c Bestem PA ( ) og PB ( ) 418 Ved Stortingsvalget i 2005 var oppslutningen om de ulike partiene slik: RV SV Ap Sp V KrF H FrP Andre 1,2 % 8,8 % 32,7% 6,5 % 5,9 % 6,8 % 14,1% 22,1% 1,9 % Tenk deg at du var med på å gjennomføre en valgdagsmåling i 2005, og at du spurte en tilfeldig velger hvilket parti hun eller han hadde stemt på. a Gi en sannsynlighetsmodell for forsøket. b Hva er sannsynligheten for at velgeren 1 hadde stemt på RV, SV eller Ap 2 ikke hadde stemt på disse partiene 3 hadde stemt på Sp, V, KrF, H eller Frp 4 ikke hadde stemt på disse partiene 5 hadde stemt på Sp, V eller KrF 6 ikke hadde stemt på disse partiene 419 De politiske meningsmålingene gir oppslutningen om partiene slik den er «her og nå». Hver for seg er meningsmålingene usikre, men flere målinger sett under ett gir et godt bilde av styrkeforholdet mellom partiene. a Finn fram (i aviser eller fra Internett) resultatet av de fem siste meningsmålingene. b Regn ut den gjennomsnittlige oppslutningen om partiene i disse meningsmålingene. Bruk svarene til å sette opp en sannsynlighetsmodell for forsøket som består i å spørre en person hvilket parti han eller hun ville ha stemt på hvis det hadde vært stortingsvalg i morgen. c Sammenlikn modellen i oppgave b med modellen i oppgave 418. Hva forteller forskjellene deg? 420 Sannsynligheten for en hendelse er den relative frekvensen for hendelsen i det lange løp. Denne oppfatningen av hva sannsynlighet er, har bare mening hvis det er mulig å gjenta forsøket mange ganger. Men i dagliglivet blir ordet sannsynlighet også brukt i situasjoner der et forsøk bare kan gjøres én gang. Et eksempel er spillet «Oddsen», der en skal tippe resultatet av en fotballkamp eller en annen idrettskonkurranse. Om vinnersjansene for «Oddsen» skriver Norsk Tipping: «Sannsynligheten for å vinne på Oddsen varierer stort avhengig av hva man spiller på. Kort fortalt gjenspeiler størrelsen på oddsene sannsynligheten for å

Kapittel 4: Sannsynlighet 91 vinne. Jo lavere odds, jo mer sannsynlig er det at du vinner. Til gjengjeld vinner du da mindre enn med høyere (og mer usannsynlige) odds.» De sannsynlighetene det er snakk om her, kan ikke tolkes som relative frekvenser i det lange løp. En fotballkamp eller en idrettskonkurranse kan ikke gjentas mange ganger (under like betingelser). Sannsynlighetene er her et uttrykk for de vurderingene ekspertene til Norsk Tipping har gjort. Når ordet sannsynlighet blir brukt på denne måten, kaller vi det subjektiv sannsynlighet. Finn eksempler på subjektiv sannsynlighet i dagspressen eller på Internett. 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 421 I hvilke av disse situasjonene er det rimelig å bruke en uniform sannsynlighetsmodell: a Du ser om en gutt er rødgrønn fargeblind eller ikke. b Du kaster en femtiøring, et kronestykke og en femkroning og ser hva du får. c Du skriver de 29 bokstavene i alfabetet på hver sin lapp og legger lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. d Vi ser om et svangerskap gir ett barn eller en flerfødsel. (Vi skiller ikke her mellom tvillinger, trillinger osv.) 422 Du kaster én terning. Hva er sannsynligheten for at du får a minst 3 øyne (altså 3 øyne eller mer) b minst 4 øyne c høyst 3 øyne (altså 3 øyne eller færre) d høyst 4 øyne 423 I en skål ligger det 12 røde Non Stop, 8 gule Non Stop, 4 grønne Non Stop og 6 blå Non Stop. Du tar tilfeldig én Non Stop fra skåla. Hva er sannsynligheten for at du a får en blå Non Stop b får en rød Non Stop c ikke får en grønn Non Stop d ikke får en gul Non Stop 424 Du skriver tallene fra 1 til 20 på hver sin lapp og legger de tjue lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilket tall det står på lappen. Hva er sannsynligheten for at du får a et oddetall b et partall c et primtall d et kvadrattall

92 Kapittel 4: Sannsynlighet 425 6 5 Andre kast 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Første kast Du kaster én terning to ganger. Figuren viser utfallsrommet. a Tegn av figuren og merk av hendelsene (se figur i eksempel 1 på side 172 i læreboka) 1 femmer i første kast 2 sum antall øyne lik fem 3 minst én sekser 4 sum antall øyne høyst fire b Finn sannsynlighetene for hendelsene i oppgave a. 426 Du stokker en kortstokk godt og ser hvilket kort som ligger øverst (se eksempel 2 på side 173 i læreboka.) Hva er sannsynligheten for at kortet a er et ess b ikke er et ess c er en spar d ikke er en spar e er rødt (ruter eller hjerter) 427 Se på oppgave 414. I hvilket av tilfellene har vi en uniform sannsynlighetsmodell? 428 Oda har kjøpt 15 lodd i jubileumslotteriet til idrettslaget Komiform. Oda vet at sannsynligheten er 0,5 % for at hun vil vinne førstepremien. Hvor mange lodd ble det solgt i lotteriet? 429 Du kaster et kronestykke tre ganger og ser for hvert kast om du får mynt eller krone. a Bruk et valgtre til å finne alle utfallene i dette sammensatte forsøket. b Hva er sannsynligheten for at du får 1 én mynt 2 to mynt 3 minst én mynt 4 høyst én mynt

Kapittel 4: Sannsynlighet 93 430 * 431 432 433 434 435 Du skriver bokstavene H, U og B på hver sin lapp, og legger de tre lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. Du legger lappen tilbake i esken, trekker én lapp på nytt og ser hvilken bokstav du nå får. a Forklar at du kan trekke de to bokstavene på 9 måter. b Tegn et valgtre som viser de 9 måtene du kan trekke bokstavene på. c Hva er sannsynligheten for at du får to H-er? d Hva er sannsynligheten for at du får én H og én B? Du stokker en kortstokk godt og trekker først ett kort, og så ett kort til, uten å legge det første tilbake før du trekker det andre. a Hvor mange utfall har dette forsøket? b Hvor mange utfall er gunstige for hendelsen at du får to spar? c Hva er sannsynligheten for at du får to spar? Vi har en eske med 7 hvite og 3 svarte kuler. Vi trekker én kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi én kule til og ser hvilken farge den kula har. Vi er interessert i sannsynligheten for at vi trekker én hvit og én svart kule. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 23,3 % B 11,1 % C 46,7 % D 22,2 % I klasse 1b er det 12 jenter og 16 gutter. Klassen skal velge en festkomité med to medlemmer. Valget gjøres ved loddtrekning. Først blir ett medlem av festkomiteen valgt ved loddtrekning blant alle de 28 elevene. Deretter blir det trukket lodd blant de gjenværende 27 elevene om hvem som skal være det andre medlemmet av festkomiteen. Hva er sannsynligheten for at a begge medlemmene av festkomiteen blir jenter b begge medlemmene av festkomiteen blir gutter c det blir én jente og én gutt i festkomiteen Vi kaster fire kronestykker og ser for hvert av dem om vi får mynt eller krone. a Bruk et valgtre til å finne alle utfallene i dette sammensatte forsøket. Hva er sannsynligheten for at vi får b én krone c to krone d høyst to krone e minst to krone I en skuff ligger det 4 blå, 2 grå og 6 svarte sokker. Du tar to sokker i mørket, først én og så én til. Hva er sannsynligheten for at du får a to blå sokker b to grå sokker c to svarte sokker d to sokker med samme farge

94 Kapittel 4: Sannsynlighet 436 Du stokker en kortstokk godt og trekker først ett kort og så ett kort til uten å legge det første tilbake før du trekker det andre. Hva er sannsynligheten for at du får a to kløver b to kort i samme farge (dvs. to kløver, to ruter, to hjerter eller to spar) c først en ruter og så en hjerter d én ruter og én hjerter 437 Du skriver bokstavene H, U og B på hver sin lapp og legger de tre lappene i en eske. Du trekker tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. Du legger lappen tilbake i esken, trekker én lapp på nytt og ser hvilken bokstav du nå får. Du gjentar trekningen av bokstaver på denne måten til du i alt har fått 12 bokstaver. a På hvor mange måter kan du trekke 12 bokstaver på denne måten når du tar hensyn til rekkefølgen du trekker dem i? b Hva er sannsynligheten for at du får akkurat denne serien: HUB BUB HHU HBU? På en tippekupong er det gitt 12 fotballkamper. For hver kamp skal en tippe om det blir hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). En tipperekke består av ett tips for hver av de 12 kampene. c d Forklar at svaret i oppgave a gir antall ulike rekker en kan tippe. Vil svaret i oppgave b gi oss sannsynligheten for å få tolv rette når vi tipper én rekke? Begrunn svaret!

Kapittel 4: Sannsynlighet 95 4.4 Addisjonssetningen 438 Du kaster én terning. Figuren viser et venndiagram for utfallsrommet. A 1 2 3 4 5 6 Hendelsen A = «høyst fire øyne» er merket av i venndiagrammet. a Tegn av venndiagrammet. b Merk av hendelsen B = «minst tre øyne» i venndiagrammet. c Hvilke utfall utgjør hendelsene A B og A B? d Bestem PA ( B) og PA ( B). 439 Du kaster én terning to ganger. Se på hendelsene A = «sum øyne høyst fem» og B = «firer i minst ett av kastene». a Hvilke utfall er med i hendelsene A og B? b Hvilke utfall er med i hendelsene A B og A B? c Bestem PA ( B) og PA ( B). * 440 Friidrettsgruppa til Koll har 50 utøvere. 35 av dem konkurrerer i løpsøvelser og 12 i høydehopp. Sju av utøverne konkurrerer både i høydehopp og løpsøvelser. a Lag en oversiktstabell eller et venndiagram som viser hvordan utøverne fordeler seg på løpsøvelser og høydehopp (se side 178 i læreboka). b En utøver i friidrettsgruppa trekkes ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne utøveren konkurrerer 1 i høydehopp 2 i løpsøvelser 3 både i høydehopp og løpsøvelser 4 i høydehopp eller løpsøvelser eller begge deler 441 Narvestad videregående skole har 80 elever i første klasse. En uke har 57 elever sett Idol og 35 Hotel Cæsar, mens 13 elever ikke har sett noen av programmene. a Lag en oversiktstabell eller et venndiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på de to programmene (se side 178 i læreboka). Én av de 80 elevene trekkes tilfeldig for å bli intervjuet i skoleavisa. b Hva er sannsynligheten for at denne eleven har sett 1 Idol 2 Hotel Cæsar 3 ingen av programmene 4 begge programmene 5 minst ett av programmene

96 Kapittel 4: Sannsynlighet 442 Ved en teknisk kontroll ble lys og bremser kontrollert på en rekke biler. Det viste seg at 18 % av bilene hadde feil med lysene og 12 % hadde feil med bremsene. 74 % av bilene hadde både lys og bremser i orden. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt bil blant de som ble kontrollert, hadde a lys som var i orden b bremser som var i orden c verken lys eller bremser i orden d lys, men ikke bremser i orden 443 Du stokker en kortstokk godt og trekker ett kort. Finn sannsynligheten for at kortet a er en konge b er et svart kort (kløver eller spar) c er en svart konge (kløver konge eller spar konge) d enten er et svart kort eller en konge (eller begge deler) 444 a Finn P(A B) når P(A) = 0,22, P(B) = 0,18 og P(A B) = 0,03. b Finn P(A B) når P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 og P(A B) = 0,65. 445 446 Du kaster én terning to ganger. Avgjør i hvert av tilfellene nedenfor om hendelsene A og B er disjunkte (se side 181 i læreboka). a A = «minst én sekser» og B = «sum antall øyne mindre enn sju» b A = «minst én sekser» og B = «femmer i første kast» c A = «sum antall øyne minst ni» og B = «treer i andre kast» d A = «sum antall øyne større enn ni» og B = «treer i andre kast» Tabell 4.2 på neste side gir en oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter brudens og brudgommens alder. Se på et tilfeldig valgt brudepar fra dette året. a Hva er sannsynligheten for at bruden er 20 24 år? b Hva er sannsynligheten for at brudgommen er 20 24 år? c Hva er sannsynligheten for at både bruden og brudgommen er 20 24 år? d Hva er sannsynligheten for at minst én av de to ektefellene er 20 24 år?

Kapittel 4: Sannsynlighet 97 Aktuelle befolkningstall 9/98 3 Inngåtte ekteskap etter brudens og brudgommens alder. 1997 Brudgommens alder I alt Brudens alder 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 Ekteskap i alt 23 815 527 4 935 8 684 4 2 1 767 450 188 55 32 23 669 241 244 15 19 106 55 41 4 5 1 20 24 2 263 251 1 537 404 49 16 2 2 2 25 29 7 728 137 2 408 4 265 745 124 41 5 1 2 30 34 6 132 61 690 2 873 1 970 435 79 13 9 2 35 39 3 078 14 156 762 1184 710 201 40 9 2 40 44 1 756 7 56 233 464 513 353 102 25 2 1 45 49 1 162 2 27 96 160 264 294 234 73 10 2 50 54 882 7 38 68 135 181 248 163 35 4 3 55 59 400 11 4 17 33 70 85 97 66 15 1 1 60 64 160 2 3 6 9 16 29 44 35 9 5 2 65 69 73 2 1 1 4 7 17 21 12 6 2 70 75 1 3 2 10 12 12 17 18 Statistisk sentralbyrå Tabell 4.2 447 448 Tabell 4.2 gir en oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter brudens og brudgommens alder. Vi ser på et tilfeldig valgt brudepar fra dette året. Vi er interessert i sannsynligheten for at minst én av ektefellene er under 20 år. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 2,4 % B 2,2 % C 0,4 % D 2,7 % Et TV-apparat kan ha to hovedtyper av feil, A og B. Sannsynligheten er 3,0 % for feil av type A og 1,0 % for feil av type B, dvs. PA ( ) = 0, 030 og PB ( ) = 0, 010. Sannsynligheten for at et apparat har begge feilene, er 0,2 %, dvs. PA ( B) =0, 002. Finn sannsynligheten for at et TV-apparat har a minst én av de to feilene b ingen av de to feilene

98 Kapittel 4: Sannsynlighet 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser 449 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Du trekker én kule tilfeldig fra esken og ser hvilken farge den har. Du legger kula tilbake i esken og trekker tilfeldig én kule til og ser hvilken farge den har. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er røde b begge kulene er blå c den første kula er rød og den andre er blå d den første kula er blå og den andre er rød 450 På et bord står det to skåler. I den ene skåla er det 5 røde og 4 gule seigmenn. I den andre skåla er det 3 oransje og 6 grønne seigdamer. Vi trekker en «seigperson» fra hver skål. Finn sannsynligheten for at det blir a en rød seigmann og en oransje seigdame b en rød seigmann og en grønn seigdame c en gul seigmann og en oransje seigdame d en gul seigmann og en grønn seigdame 451 Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger. Hva er sannsynligheten for at a paret har to gutter b det eldste barnet er en gutt og det yngste er en jente c det eldste barnet er en jente og det yngste er en gutt d paret har to jenter 452 * 453 I en gjettekonkurranse blir det gitt to spørsmål. For det første spørsmålet er det oppgitt tre mulige svar, mens det er oppgitt 5 mulige svar for det andre. Hvor stor sannsynlighet er det for at en som bare tipper, vil få a galt svar på begge spørsmålene b riktig svar på begge spørsmålene c minst ett riktig svar d høyst ett riktig svar Mia driver en motebutikk. Hun har ført statistikk over lang tid og funnet at 60 % av dem som kommer innom butikken, handler før de går ut. En ellers rolig mandag formiddag kommer det tre personer, som ikke er i følge, inn i butikken. Finn sannsynligheten for at a alle tre handler b ingen av dem handler c minst én av dem handler 454 En familie har fire barn som ikke er tvillinger, trillinger eller firlinger. Hva er sannsynligheten for at søskenflokken består av a fire gutter b minst én jente c en storebror med tre småsøstere

Kapittel 4: Sannsynlighet 99 455 Vi kaster fire terninger. Vi er interessert i sannsynligheten for at vi får minst én sekser. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 48,2 % B 66,7 % C 51,8 % D 36,0 % 456 I spalten «Barnelegen» i Aftenposten sto det for noen år siden følgende spørsmål fra «tante» med svar fra barnelegen Gunnar Oftedal: Gutt eller pike Da min søster fødte sin tredje sønn i fjor, ble hun fortalt av jordmoren at når en kvinne har født to gutter, er det 70-80 prosent sjanse for at barn nr. tre også blir en gutt. Stemmer det? Og i så fall, hvorfor? Hvis en kvinne har født tre gutter, hva er da sjansen for at barn nr. fire blir en jente? Nei det stemmer ikke, jordmoren tar feil. Ved hver befruktning er det 50 prosent sjanse for begge kjønn, uavhengig av hvor mange barn kvinnen har født tidligere, og uavhengig av hvilke kjønn tidligere barn har. Det er kjønnskromosomene som avgjør barnets kjønn. Eggcellene inneholder et x-kromosom, spermiene enten et x- eller et y-kromosom, og det er helt opp til tilfeldighetene om kombinasjonen eller sammensmeltingen blir xx (pike) eller xy (gutt). Helt korrekt er heller ikke dette, fordi sjansen for å få en gutt er litt større enn for å få en jente. Det fødes omkring 105 gutter i forhold til 100 jenter, dvs. at det hver gang er 5 prosent større mulighet for gutt. I praksis er det likevel som å slå kron og mynt, det er like sannsynlig at begge sider kommer opp. a b Diskuter spørsmålet til «tante» ut fra begrepene avhengige og uavhengige hendelser. Diskuter barnelegens svar. 457 458 Fra offisiell statistikk vet vi at 1 % av fødslene i Norge er tvillingfødsler. Anta at et sykehus har 200 fødsler i løpet av ett år. Hva er sannsynligheten for at det a ikke blir født noen tvillingpar b blir født minst ett tvillingpar Rødgrønn fargeblindhet er arvelig, men blir arvet forskjellig for gutter og jenter. En gutt blir rødgrønn fargeblind hvis han arver genet for rødgrønn fargeblindhet fra sin mor. Sannsynligheten for det er 8 %. a b Hva er sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind? Ola, Kristoffer og Hans er bestevenner. Hva er sannsynligheten for at ingen av dem er rødgrønn fargeblind?

100 Kapittel 4: Sannsynlighet c Per, Pål og Espen er brødre. Kan vi finne sannsynligheten for at ingen av dem er rødgrønn fargeblind, på samme måte som i oppgave b? (Du skal ikke regne her.) For at en jente skal bli rødgrønn fargeblind, må hun arve genet for rødgrønn fargeblindhet både fra mor og far. Hun arver genet fra de to foreldrene uavhengig av hverandre. Sannsynligheten er 8 % for å få genet for rødgrønn fargeblindhet fra mor og 8 % for å få det fra far. d Hva er sannsynligheten for at en jente skal være rødgrønn fargeblind? e f Hva er sannsynligheten for at en jente ikke skal være rødgrønn fargeblind? Kari, Linda og Mette er bestevenner. Hva er sannsynligheten for at ingen av dem er rødgrønn fargeblind? 459 Om to hendelser A og B vet vi at PA ( )= 1 og. Finn P(A B) 6 PB ( )= 2 7 a hvis A og B er disjunkte b hvis A og B er uavhengige 460 461 Alle sykehus har et nødaggregat som koples inn for å sikre strøm til operasjonsstuer og overvåkingsutstyr hvis det skulle bli brudd på den ordinære elektrisitetsforsyningen. Strømforsyningen til et sykehus er et eksempel på et system med to «komponenter» den ordinære strømforsyningen og nødaggregatet. Systemet fungerer det leverer strøm hvis minst én av komponentene fungerer. Vi sier at komponentene er koplet i parallell. Vi har et system med to parallellkoplede komponenter. De to komponentene fungerer uavhengig av hverandre. Vi ser på hendelsene A=«første komponent fungerer» B = «andre komponent fungerer» og antar at PA ( ) = PB ( ) =095,. a Finn PA ( B). b Finn PA ( B), det vil si sannsynligheten for at systemet fungerer. c Hva er sannsynligheten for at systemet ikke fungerer? Sammenlikn denne sannsynligheten med sannsynligheten for at hver av komponentene ikke fungerer. Det er blitt sagt at hvis en apekatt skriver lenge nok på en skrivemaskin, så vil den før eller seinere komme opp med en perfekt kopi av Hamlet av Shakespeare. Vi skal i denne oppgaven se på en enklere versjon av dette problemet. a Starten av en kjent barnesang er «bæ bæ lille lam har du noe ull». Hva er sannsynligheten for at apekatten vil skrive dette hvis den trykker tilfeldig på tastaturet tretti ganger? For enkelhets skyld kan du regne som om det bare er tretti taster på tastaturet én tast for hver av de 29 bokstavene i alfabetet og én tast for mellomrom. b Tenk deg at apekatten bruker et halvt minutt på å taste tretti tegn (medregnet mellomrom), og at den skriver dag og natt i ett år. Tenk deg videre at teksten blir delt inn i sekvenser på 30 og 30 tegn. Hva er sannsynligheten for at minst én av disse sekvensene vil være «bæ bæ lille lam har du noe ull»? c Hvor lenge må apekatten skrive for at sannsynligheten skal være 1 % for at den skriver sekvensen «bæ bæ lille lam har du noe ull» minst én gang?

Kapittel 4: Sannsynlighet 101 I oppgavene b og c har du bruk for å regne ut uttrykk av formen 1 ( 1 p) n når p er et veldig lite positivt tall, og n er et stort helt tall. Slike uttrykk er det vanskelig å bestemme på lommeregneren. Det kommer av at lommeregneren bare har kapasitet til å lagre et visst antall sifre, og at den derfor vil runde av 1 p til 1 når p er et veldig lite positivt tall. I slike n situasjoner kan du bruke tilnærmingen 1 ( 1 p) np. 4.6 Produktsetningen for avhengige hendelser 462 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Vi trekker en kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi en kule til og ser hvilken farge den har. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er røde b første kule er rød og andre kule er blå c første kule er blå og andre kule er rød d begge kulene er blå 463 En klasse har 12 gutter og 9 jenter. To elever trekkes ut tilfeldig. Finn sannsynligheten for at a begge er gutter b minst én er en jente 464 Du stokker en kortstokk godt og trekker først ett kort og så ett kort til (uten å legge det første kortet tilbake før du trekker det andre). Hva er sannsynligheten for at du får a ingen spar b minst én spar c ingen ess d minst ett ess 465 I en eske ligger det 5 hvite og 3 svarte legoklosser. Vi trekker etter tur tre legoklosser og ser hvilken farge de har (uten å legge klossene tilbake igjen). Hva er sannsynligheten for at a alle legoklossene er hvite b minst én legokloss er svart c de to første legoklossene er hvite og den siste er svart d den første legoklossen er svart og de to siste er hvite 466 I en klasse er det 14 jenter og 10 gutter. Fire elever trekkes ut tilfeldig. Finn sannsynligheten for at a alle er jenter b minst én av de fire er en gutt c de to første er jenter og de to siste er gutter

102 Kapittel 4: Sannsynlighet 467 468 Per skriver bokstavene i alfabetet på hver sin lapp og legger de 29 lappene i en hatt. Han trekker så tilfeldig fire lapper, én etter én, og ser hvilke bokstaver det står på lappene (uten å legge lappene tilbake igjen). Hva er sannsynligheten for at Per a får bare konsonanter b får minst én vokal c får bare vokaler Vi trekker tilfeldig fem kort fra en kortstokk. a Hva er sannsynligheten for at alle kortene er spar? b Hva er sannsynligheten for at minst ett kort ikke er en spar? * 469 Når du tipper én rekke i Viking Lotto, krysser du av seks tall fra 1 til 48. Ved trekningen blir det tilfeldig trukket seks vinnertall (og to tilleggstall). Førstepremien går til den eller de som tipper alle de seks vinnertallene riktig. Anta at du har tippet én rekke i Viking Lotto. Hva er sannsynligheten for at du a vinner førstepremie b ikke tipper et eneste vinnertall riktig c tipper minst ett vinnertall riktig 470 En søskenflokk er på tre barn der ingen er tvillinger eller trillinger. a Forklar at sannsynligheten for at barna ble født på hver sin ukedag er 7 6 5 7 7 7 b Hva er sannsynligheten for at minst to av barna ble født på samme ukedag? 471 (Før du gjør denne oppgaven, bør du gjøre oppgave 470.) I en klasse er det 25 elever. a Hva er sannsynligheten for at ingen av elevene har samme fødselsdag? (Du kan se bort fra skuddårsdagen og regne som om alle fødselsdager er like sannsynlige.) b Hva er sannsynligheten for at minst to av elevene har samme fødselsdag? 472 Etter offentlig statistikk er det 93 % sannsynlig at en 50 år gammel mann skal bli minst 60 år, mens sannsynligheten er 81 % for at en 60 år gammel mann skal bli minst 70 år. Vi skal se på hvordan disse opplysningene kan brukes til å finne sannsynligheten for at en 50 år gammel mann skal bli minst 70 år. Vi tar for oss en 50 år gammel mann og ser på hendelsene A = mannen blir minst 60 år B = mannen blir minst 70 år Vi har da P(A) = 0,93. Hvis hendelsen A inntreffer, er mannen blitt 60 år, slik at vi har PB ( A) = 081,. a Bruk produktsetningen for avhengige hendelser til å finne PA ( B). b Her er A B= B. Hvorfor? c Hva er sannsynligheten for at en 50 år gammel mann skal bli minst 70 år?

Kapittel 4: Sannsynlighet 103 Det er 96 % sannsynlig at en 50 år gammel kvinne skal bli minst 60 år, mens sannsynligheten er 90 % for at en 60 år gammel kvinne skal bli minst 70 år. d Hva er sannsynligheten for at en 50 år gammel kvinne skal bli minst 70 år? Hos et ektepar er både mannen og kona 50 år. e Hva er sannsynligheten for at begge to vil bli minst 70 år? f Diskuter forutsetningen du må gjøre i oppgave e. 473 Mads bestemmer seg for å spille én rekke i Lotto hver uke fra han fyller 20 år til han blir 50 år. Hva er sannsynligheten for at han vil vinne førstepremie minst én gang i løpet av disse 30 årene? 4.7 Sammensatte forsøk 474 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Vi trekker en kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi en kule til og ser hvilken farge den har. a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket som består i å trekke de to kulene. b Hva er sannsynligheten for at de to kulene har samme farge? 475 Et ektepar har to barn. Vi kan se på dette som et sammensatt forsøk med to delforsøk, ett for hvert barn. a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket. b Hva er sannsynligheten for at paret har én gutt og én jente? 476 I en skål ligger det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekker tilfeldig to «seigpersoner» fra skåla. Vi kan se på dette som et sammensatt forsøk med to delforsøk, ett for hver «seigperson» du trekker. a b Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket. Hva er sannsynligheten for at du får 1 to seigdamer 2 to seigmenn 3 én seigdame 4 minst én seigmann 477 I en eske ligger det 5 hvite og 3 svarte legoklosser. Vi trekker etter tur tre legoklosser og ser hvilken farge de har (uten å legge klossene tilbake igjen). a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket som består i å trekke de tre klossene. b Hva er sannsynligheten for at vi får 1 én hvit legokloss 2 to hvite legoklosser

104 Kapittel 4: Sannsynlighet 478 * 479 480 481 482 En familie har tre barn som ikke er tvillinger eller trillinger. Hva er sannsynligheten for at det er én jente og to gutter i søskenflokken? Et menneske har én av blodtypene A, B, AB og 0. I Norge har 48 % blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0. En lege undersøker blodtypen til tre nordmenn som ikke er i slekt. a Hva er sannsynligheten for at alle har blodtype 0? b Hva er sannsynligheten for at minst én ikke har blodtype 0? c Hva er sannsynligheten for at én har blodtype A og to har blodtype 0? d Hvorfor må vi forutsette at de tre ikke er slektninger? For å starte i Ludo må en kaste en sekser med terningen. Finn sannsynligheten for at en spiller a starter etter første kast b starter etter andre kast c starter etter enten første eller andre kast En astragalus er en slags terning som ble mye brukt til spill i oldtiden. Den ble laget av en knokkel i sauefoten og har fire sider den kan lande på. Disse sidene er merket med tallene 1, 3, 4 og 6. (Se bilde i oppgave 415.) Vi regner med at for alle astragaler er sannsynligheten 10 % for at den vil lande på siden merket 1 40 % for at den vil lande på siden merket 3 40 % for at den vil lande på siden merket 4 10 % for at den vil lande på siden merket 6 En ener kalles noen ganger en «hund». Hvis vi kaster fire astragaler samtidig og alle viser forskjellig, kalles det «venus». Vi kaster to astragaler samtidig. a Hva er sannsynligheten for å få to firere? b Hva er sannsynligheten for at de to astragalene vil vise det samme? Vi kaster fire astragaler samtidig. c Hva er sannsynligheten for å få minst én «hund»? d Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig én «hund»? e Hva er sannsynligheten for å få «venus»? Du spiller Yatzy og kaster fem terninger. a Hva er sannsynligheten for at du får fem enere? b Hva er sannsynligheten for at du får Yatzy, det vi si like mange øyne på hver av terningene?

Kapittel 4: Sannsynlighet 105 4.8 Binomiske sannsynligheter 4.9 Binomiske sannsynligheter med digitale verktøy 483 Du kaster et kronestykke fire ganger. a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket som består av de fire kastene. b Hva er sannsynligheten for at du får 1 ingen krone 2 én krone 3 to kroner 4 tre kroner 5 fire kroner c Hva blir summen av sannsynlighetene i oppgave b? Kunne du ha funnet svaret uten å regne? d Hva er sannsynligheten for at du får 1 høyst to krone 2 minst tre krone 484 Du kaster én terning seks ganger. Hva er sannsynligheten for at du får a ingen seksere b én sekser c to seksere d tre seksere 485 I hvilke av situasjonene har vi et binomisk forsøk (se side 202 i læreboka): a Vi kaster ti femkroner og ser for hver av dem om vi får mynt eller krone. b I en eske ligger det 10 blå og 15 røde kuler. Vi trekker en kule, ser hvilken farge den har og legger den tilbake igjen. Det gjør vi ti ganger. c I en eske ligger det 10 blå og 15 røde kuler. Vi trekker etter tur ti kuler og ser hvilken farge de har (uten å legge kulene tilbake igjen). d Du trekker tilfeldig 5 kort fra en kortstokk og ser hvilke kort du får. e På et sykehus blir det en uke født 20 barn som ikke er tvillinger, trillinger, osv. Vi er interessert i kjønnet til barna. 486 Vi kaster et kronestykke sju ganger og noterer antall mynt. Finn sannsynligheten for at antall mynt er a to b tre c fire d fem 487 Et politisk parti har ved et bestemt tidspunkt støtte av 30 % av befolkningen. Tjue personer blir trukket ut tilfeldig. Finn sannsynligheten for at akkurat a 5 støtter partiet b 6 støtter partiet c 7 støtter partiet

106 Kapittel 4: Sannsynlighet * 488 489 490 Ali er med i en spørrekonkurranse på TV. Han blir stilt 20 spørsmål. For hvert spørsmål kan han velge mellom tre svaralternativer, hvorav ett er riktig. Hvis Ali svarer riktig på minst 18 spørsmål, vinner han 100 000 kroner. a Hva er sannsynligheten for at Ali vinner 100 000 kroner hvis han bare gjetter? b Anta at Ali vet svaret på ti av spørsmålene, men bare gjetter på de ti andre. Hva er da sannsynligheten for at han vinner 100 000 kroner? Fra offentlig statistikk vet vi at 1 % av fødslene i Norge er tvillingfødsler. Anta at et sykehus har 200 fødsler i løpet av ett år. Hva er sannsynligheten for at det a ikke blir født noen tvillingpar b blir født ett tvillingpar c blir født to tvillingpar d blir født tre tvillingpar e blir født minst tre tvillingpar En bestemt type frø spirer med 80 % sannsynlighet. Du sår 250 frø. a Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 200 frø vil spire? b Hva er sannsynligheten for at minst 210 frø vil spire? c Hva er sannsynligheten for at høyst 190 frø vil spire? 491 En frøprodusent påstår at en bestemt type frø har en spireprosent på 90 %. Ane har mistanke om at spireprosenten ikke er så høy, og bestemmer seg for å gjøre et lite forsøk for å teste produsentens påstand. Det gjør hun ved å så 50 frø og se hvor mange av dem som spirer. Anta at 39 av frøene spirte. Gir dette Ane god grunn til å påstå at spireprosenten er mindre enn 90 %? For å svare på dette er det ikke nok å vise til at mindre enn 90 % av frøene spirte. For det kan godt skje selv om spireprosenten er 90 %. I stedet må vi finne sannsynligheten for at høyst 39 av 50 frø vil spire hvis spireprosenten er 90 %. Hvis den sannsynligheten er liten, gir det Ane god grunn til å påstå at spireprosenten ikke kan være så høy som 90 %. a Bestem sannsynligheten for at høyst 39 av 50 frø vil spire hvis spireprosenten er 90 %. b Har Ane god grunn til å påstå at spireprosenten er mindre enn 90 %? 2 2 2 492 a Første kvadratsetning sier at ( a+ b) = 1 a + 2 ab+ 1 b. Koeffisientene (tallfaktorene) i dette uttrykket er 1, 2 og 1. Hvor finner du disse koeffisientene i Pascals talltrekant (se side 197 i læreboka)? 3 3 2 2 3 b Vis at ( a+ b) = 1 a + 3 a b+ 3 ab + 1 b. Koeffisientene i dette uttrykket er 1, 3, 3 og 1. Hvor finner du disse koeffisientene i talltrekanten? c Regn ut ( a+ b) 4. Vis at du finner koeffisientene i dette uttrykket i fjerde rad i Pascals trekant.

Kommentar. I oppgavene a c fant vi formler for å regne ut ( a + b) n når n er lik 2, 3 og 4. Generelt får vi en formel for å regne ut ( a + b) n ved å bruke tallene i n-te rad i Pascals trekant som koeffisienter. Uttrykket a + b kalles et binom, og formelen for å regne ut ( a + b) n kalles binomialformelen. Grunnen til at tallene binomialformelen. n r Kapittel 4: Sannsynlighet 107 kalles binomialkoeffisienter, er at de er koeffisienter i 493 Vi vil i denne oppgaven se nærmere på en formel for binomialkoeffisientene. Da er det praktisk å ha en egen skrivemåte for produktet av alle naturlige tall fra 1 til n. Vi skriver dette produktet n!, som vi leser «n fakultet». Vi har altså at n! = 1 2... ( n 1) n For eksempel er 4! = 1 2 3 4= 24. Vi har også bruk for «null fakultet», som vi definerer 0! = 1. a Regn ut n! for n = 12,,..., 7. En kan vise at binomialkoeffisientene er gitt ved formelen n n ( r ) =! r!( n r)! 7 b Bruk denne formelen til å bestemme for,,,..., r og kontroller at du får tallene i rad 7 av Pascals talltrekant. ( ) r = 012 7 Du kan bruke lommeregneren til å finne n!. Vi bruker n = 5 som eksempel CASIO Velg RUN. Trykk 5 OPTN F6 ( ) F3 (PROB) F1 (x!) EXE TEXAS Trykk 5 MATH (PRB) 4 (!) ENTER c Bruk lommeregneren til å kontrollere svarene i oppgave a. d Bruk formelen for binomialkoeffisientene og fakultet på lommeregneren 8 9 10 12 til å finne ( 5 ), ( 4 ), ( 5 ) og ( 8 ). Kontroller svarene ved å bruke ncr på lommeregneren (se side 200 i læreboka). På side 197 i læreboka forklarer vi at Pascals talltrekant er bygd opp ved at du får et tall i trekanten ved å legge sammen de to nærmeste naboene i raden ovenfor. n 1 n n Denne sammenhengen kan uttrykkes ved formelen ( r ) + 1 1 ( r ) ( r ) =. e Bruk formelen for binomialkoeffisientene til å vise denne sammenhengen.

108 Kapittel 4: Sannsynlighet 15 rette eller gale 1 Når vi kaster én terning 1200 ganger, får vi 200 seksere. 2 En hendelse omfatter minst to utfall. 3 A er en hendelse i et utfallsrom U. Da er alle utfall i U enten med i A eller i A. 4 Når vi kaster én terning, er «høyst fire øyne» og «minst fire øyne» komplementære hendelser. 5 Vi har et forsøk med hendelsene A, B og C. Hvis PA ( ) = PB ( ) = PC ( ) = 1, er 3 sannsynlighetsmodellen uniform. 6 Når vi kaster tre terninger, er det 216 mulige utfall. 7 A B og A B er komplementære hendelser. 8 I en klasse med 28 elever har 12 snøbrett og 13 langrennsski, mens 5 av elevene verken har snøbrett eller langrennsski. Da har 2 elever både snøbrett og langrennsski. 9 A og A er disjunkte hendelser. 10 Hvis A og B er uavhengige hendelser, er PA ( B) = PA ( ) + PB ( ). 11 Når vi kaster fem kronestykker, er sannsynligheten 3,1 % for at vi ikke får en eneste mynt. 12 I en eske ligger det fire blå og tre røde kuler. Vi trekker etter tur tre kuler fra esken (uten å legge kulene tilbake igjen). Gitt at de to første kulene vi trakk var blå, er den betingede sannsynligheten for at også den tredje kula er blå, 2 lik. 7 13 I en eske ligger det fire blå og tre røde kuler. Vi trekker etter tur tre kuler fra esken (uten å legge kulene tilbake igjen). Da er sannsynligheten for at vi får to 18 blå kuler lik 35. 14 Hvis delforsøkene i et sammensatt forsøk er uavhengige, har vi et binomisk forsøk. 15 En flervalgsprøve har 10 spørsmål og fire svaralternativer for hvert spørsmål. For å bestå prøven må du ha riktig svar på minst fem spørsmål. Sannsynligheten for å bestå prøven hvis du bare tipper, er 7,8 %. Blandede oppgaver 494 Sannsynligheten er 25 % for at en 16 år gammel jente skal være minst 170 cm høy. For en 16 år gammel gutt er denne sannsynligheten 75 %. I en venneflokk er det 5 jenter og 4 gutter som alle er 16 år. Hva er sannsynligheten for at a alle guttene er minst 170 cm b minst én av guttene er lavere enn 170 cm c alle jentene er lavere enn 170 cm d minst én av jentene er 170 cm eller mer (Opplysningene i denne oppgaven stammer fra målinger fra 1970 av elever i Oslo-skolene.)