Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Hausten 014 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgåve (1 poeng) Prisen for ei vare er sett opp med 5 %. No kostar varen 50 kroner. Kva kosta vara før prisen blei sett opp? Vekstfaktoren er 1,5 x 1,5 50 50 x 1,5 x 00 Varen kosta 00 kroner før prisen blei satt opp. Oppgåve 3 ( poeng) I ein klasse er det 1 elevar. 4 av elevane har vore på kino i løpet av den siste månaden. Vi trekkjer tilfeldig to elevar frå klassen. Bestem sannsynet for at nøyaktig éin av elevane har vore på kino i løpet av den siste månaden. 4 8 8 4 4 8 1 8 16 P (nøyaktig éin har vore på kino) 1 11 1 11 1 11 3 11 33
Oppgåve 4 (1 poeng) Rekn ut 3 0 8 3 3 3 1 3 4 Oppgåve 5 (4 poeng) I 014 er det 350 elevar ved ein skole. Gå ut frå at det vil vere 75 elevar ved skolen i 09, og at talet på elever minkar lineært i denne perioden. a) Bestem ein modell som viser kor mange elevar A(x) det vil vere ved skolen x år etter 014. Ein lineær modell vil vere på forma A() x ax b, der a er stigingstalet og b er konstantleddet. Konstantleddet b gjev opp elevtalet når x = 0, altså i 014. b er difor lik 350. I 09 er x = 15. y 75 350 75 a 5 x 15 0 15 Ein lineær modell for talet på elevar ved skolen etter x tal år blir A(x) = -5x + 350. b) Kor mange elevar vil det vere ved skolen i 04 ifølgje modellen i oppgåve a)? I 04 er x = 10. A (10) 5 10 350 300 Ifølgje denne modellen vil det vere 300 elevar ved skolen i 04. Ved ein annan skole meiner leiinga at funksjonen B gitt ved Bx ( ) 00 1,03 x kan brukast som modell for talet på elevar ved skolen x år etter 014. c) Kva kan du seie, utan å gjere berekningar, om talet på elevar ved denne skolen ut frå modellen? I denne modellen aukar talet på elever med 3 % kvart år, frå 00 elevar i 014.
Oppgåve 6 (3 poeng) I september 014 blei ein mobilapplikasjon lasta ned 1500 gonger. Talet på nedlastingar har auka med 8 % per månad det siste året, og vi går ut frå at denne utviklinga vil halde fram. a) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å bestemme kor mange gonger mobilapplikasjonen vil bli lasta ned i desember 014. 1500 1,08 3 b) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å bestemme kor mange gonger mobilapplikasjonen til saman blei lasta ned i juli, august, september og oktober 014. 1500 1500 1500 1500 1,08 1,08 1,08 1 1 1500 1 1,08 1,08 1,08
Oppgåve 7 (4 poeng) Histogrammet ovanfor viser aldersfordelinga blant dei besøkjande på ei kinoframsyning. a) Forklar at det var 30 besøkjande mellom 30 og 50 år. 0 1,5 30 Vi multipliserer klassebreidda med 1,5 og får då 30. Det var 30 besøkande mellom 30 og 50 år. b) Kor mange prosent av dei besøkjande var mellom 0 og 10 år? Det er 10 1 0 0 1,5 40 0,5 10 40 30 0 100 besøkande totalt. Ti av desse er mellom 0 og 10 år. 10 10 % 100 Ti prosent av dei besøkande var mellom 0 og 10 år. c) Bestem gjennomsnittsalderen blant dei besøkjande. Gjennomsnittsalderen er summen av klassemidtpunkt multiplisert frekvens, dividert på det totale talet på besøkande: 5 10 0 40 40 30 70 0 50 800 100 1400 3450 34,5 100 100 100 Gjennomsnittsalderen blant dei besøkande var 34,5 år.
Oppgåve 8 (3 poeng) Torbjørn og Tore padlar frå Flekkefjord til Torsøy. Der går dei i land og tek ein pause før dei padlar tilbake. Ovanfor ser du ei forenkla grafisk framstilling av padleturen til Torbjørn (blå graf) og padleturen til Tore (raud graf). a) Kven kjem først til Torsøy? Kor lenge er kvar av dei to gutane på Torsøy? Vi ser av den grafiske framstillinga over at Torbjørn kom først fram til Torsøy, 10 minutt før Tore. Begge dreg samtidig frå øya, Torbjørn etter 30 minutt og Tore etter 0 minutt. b) Kor fort padlar Tore på veg ut til Torsøy? s 4 km 4000 m v 100 m/min t 40 min 40 min Tore padlar med ein fart på 100 m/min på veg ut til Torsøy. c) Kva kan du seie om heimturen ut frå grafane ovanfor? Tore padla med ein konstant fart, medan farten til Torbjørn varierer. Torbjørn padlar fortare enn Tore til å begynne med, men tek det så roleg, før han så legg inn ein innspurt dei siste 10 minutta. Han legg også inn to pausar på fem minuttar undervegs. Tore er tilbake i Flekkefjord 10 minutt før Torbjørn.
Oppgåve 9 (5 poeng) Antall mål per kamp Frekvens Kumulativ frekvens 0 1 6 8 3 11 3 4 15 4 1 16 Oda speler ishockey. Tabellen ovanfor viser kor mange mål ho skåra per kamp i løpet av førre sesong. a) Bestem gjennomsnittet og medianen. 0 1 6 3 3 4 4 1 6 6 1 4 8 Gjennomsnitt = 1,75 6 3 4 1 16 16 Eg set opp talet på alle måla i kvar kamp i stigande rekkefølgje. 0 0 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 4 Medianen blir gjennomsnittet av 1 og. 1 1,5 I snitt skårar Oda 1,75 mål per kamp. Medianen er 1,5. b) Bestem den kumulative frekvensen for to mål per kamp. Eg reknar ut dei kumulative frekvensane i ei ny kolonne i tabellen over. Den kumulative frekvensen for to mål per kamp er 11. c) Bestem den relative frekvensen for tre mål per kamp. 4 1 0,5 16 4 Den relative frekvensen for tre mål per kamp er 5 %. d) Forklar kva svara i b) og c) fortel om kor mange mål Oda skåra denne sesongen. I 11 av 16 kampar skårar Oda to mål eller færre. I 5 % av kampane skårar ho tre mål.
Oppgåve 1 (3 poeng) I kroppsøvingstimen kasta Svein spyd seks gonger. Nedanfor ser du kor langt han kasta i kvart av dei seks kasta. 3,5 m 6,1 m 18,4 m,8 m 5,1 m 0,3 m a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket. Eg legg tala inn i eit rekneark i GeoGebra, markerer dei, høgreklikkar og vel Lag liste. Lista får namnet Liste1. Eg finn så gjennomsnitt og standardavvik i CAS-verktøyet ved å bruke kommandoane Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1]. Gjennomsnittskastet er på,7 meter. Standardavviket er på,65 meter. Kjell kasta også spyd seks gonger. Standardavviket for kasta til Kjell var 3, m. b) Kva kan du ut frå dette seie om kasta til Kjell samanlikna med kasta til Svein? Kjell har større spreiing i resultata på sine seks kast samanlikna med Svein.
Oppgåve (5 poeng) Ein tankbil med gift har vore innblanda i ei ulykke. Noko av gifta har hamna i ein innsjø. Innsjøen blir brukt som drikkevasskjelde. Giftkonsentrasjonen f(x) mg/l i drikkevatnet x døgn etter ulykka er gitt ved fx ( ) 1,4 0,87 x a) Bestem giftkonsentrasjonen i drikkevatnet rett etter ulykka. Kor mange prosent minkar giftkonsentrasjonen i drikkevatnet per døgn? 0 f (0) 1,4 0,87 1,4 Vekstfaktoren er 0,87. Då går konsentrasjonen ned med 1 0,87 = 0,13 per døgn. Giftkonsentrasjonen er på 1,4 mg/l rett etter ulukka, og går så ned med 13 % per døgn. b) Kor mykje minka giftkonsentrasjonen i drikkevatnet i gjennomsnitt per døgn den første veka etter ulykka? Reknar i CAS i GeoGebra: Giftkonsentrasjonen gjekk i gjennomsnitt ned med 0,13 mg/l per døgn den første veka etter ulukka. Når giftkonsentrasjonen kjem under0,40 mg/l, er det ikkje lenger farleg å drikke vatnet.. c) Kor mange døgn tek det før vatnet igjen kan drikkast? Reknar i CAS i GeoGebra: Det tek litt over 9 døgn før vatnet igjen er drikkande.
Oppgåve 3 (4 poeng) Da Mads og Malin blei konfirmerte, oppretta dei kvar sin konto i banken. Begge sette inn 5 000 kroner. Renta er,5 % per år. a) Kor mykje vil Mads ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen dersom han lèt pengane stå urørte? Kor mange prosent har beløpet på kontoen hans til saman auka i denne perioden? Reknar i CAS i GeoGebra: Mads vil ha 31 30 kroner på kontoen etter 10 år. Beløpet har då vakse med til saman 5 %. Malin lèt pengane stå urørte i 5 år. Så set ho inn 5 000 kroner til på kontoen sin. b) Kor mykje vil Malin ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen? Reknar i CAS i GeoGebra: Malin vil ha 59 17 kroner på kontoen etter 10 år.
Oppgåve 4 (4 poeng) Ole lagar figurar av runde perler. Ovanfor ser du tre figurar, F 1, F og F 3. a) Følg same mønster, og teikn figuren F 4. b) Set opp ein modell som viser kor mange perler det vil vere i figur F n uttrykt ved n. F 3 1 1 F 4 4 F 5 9 3 F 6 16 4 F ( n ) n n c) Bruk modellen til å bestemme kor mange perler det vil vere i figuren F 50. F 50 (50 ) 50 104 500 604 Det vil vere 604 perler i figuren F 50. Oppgåve 5 (4 poeng)
Du skal lage eit fuglebur av hønsenetting. Buret skal ha form som eit rett, firkanta prisme. Buret skal byggjast langs ein mur slik at muren utgjer den eine veggen. Buret skal stå på bakken og treng ikkje botn. Set breidda av buret lik x meter og høgda lik h meter. Buret skal vere fire gonger så langt som det er breitt. Sjå skissa ovanfor. a) Vis at overflata O(x) m som skal lagast av hønsenetting, er gitt ved O( x) 4x 6hx O( x) x h 4x h 4x x hx 4hx 4x 4x 6hx Du skal bruke 40 m hønsenetting. b) Vis at høgda h meter av buret da er gitt ved 40 4x h 6x 4x 6hx 40 6hx 40 4x 40 4x h 6x
c) Korleis må du lage buret for at volumet skal bli størst mogleg? 40 4x V( x) G h 4x 40x 4x 6x 3 3 Eg teiknar grafen til V(x) i GeoGebra, og finn topp- og botnpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[V]. Eg må lage buret med ei bredde på 6,67 meter for at volumet skal bli størst mogleg.
Oppgåve 6 (8 poeng) Diagrammet ovanfor viser kor mange liter mjølk kvar person i Noreg drakk i gjennomsnitt kvart år i perioden 007 013. Sett x = 0 i 007, x = 1 i 008 og så vidare. a) Bruk opplysningane i diagrammet til å bestemme ein lineær funksjon som viser korleis forbruket av mjølk har endra seg i denne perioden ein andregradsfunksjon som viser korleis forbruket av mjølk har endra seg i denne perioden b) Teikn grafane til funksjonane du fann i oppgåve a) i eit koordinatsystem for 0 x 5. a) og b): Eg lagar ein tabell i reknearket i GeoGebra, markerer tala og vel Lag liste med punkt. Lista får namnet liste 1. Eg skriv så kommandoane RegLin[Liste1] og RegPoly[Liste1, ] i innskrivingsfeltet, og får dei to modellane: f ( x) 1,44x 99,49 g( x) 0,09x 0,9x 99,05 Grafar:
c) Kor mange liter mjølk vil kvar person i Noreg i gjennomsnitt drikke kvart år om ti år ifølgje kvar av dei to funksjonane? Eg skriv x = 10 i innskrivingsfeltet, og finn skjeringspunktet mellom denne linja og dei to grafane ved å bruke kommandoen «Skjering mellom to objekt»: I følgje den lineære modellen, vil kvar person drikke 85,1 liter mjølk i 017. I følgje andregradsmodellen, vil kvar person drikke 81, liter mjølk i 017.
d) Kor mange liter vil forbruket per person minke med per år om ti år ifølgje kvar av dei to funksjonane? I den lineære modellen går forbruket per person konstant ned med 1,44 liter per år heile perioden. For å finne kor mykje forbruket går ned per år i andregradsmodellen, brukar vi kommandoen «Tangentar», og lagar ein tangent (grøn linje) i punktet (10, 81.). Stigingstalet til denne tangenten fortel oss kor mykje forbruket går ned med per år dette året. Ifølgje den lineære modellen går forbruket per person ned med 1,44 liter per år i 017. Ifølgje andregradsmodellen går forbruket per person ned med,65 liter per år i 017.
Oppgåve 7 (8 poeng) I displayet på ei tredemølle kan farten justerast mellom 0 km/h og 0 km/h. Det er mistanke om at bandet på tredemølla går for fort i forhold til farten som blir angitt i displayet (angitt fart). Ei gruppe P-elevar får i oppgåve å undersøkje dette. Elevane måler at løpebandet på tredemølla er 3,5 meter langt. Når bandet har gått éin runde, har ein altså sprunge 3,5 meter. For å undersøkje samanhengen mellom angitt fart og reell fart tel elevane kor mange rundar bandet går i løpet av eitt minutt ved ulike fartsangivingar. Oppgjeve fart x km/h Rundar i løpet av eitt minutt Reell fart f(x) km/h,5 18 3,51 5,0 35 10,0 65 15,0 95 0,0 14 a) Skriv av tabellen ovanfor i svaret ditt, gjer berekningar, og fyll inn verdiane for reell fart i kolonnen til høgre. Oppgjeve fart x km/h Talet på rundar i løpet av eitt minutt Talet på rundar i løpet av ein time,5 18 18 60 1080 5,0 35 35 60 100 10,0 65 65 60 3900 15,0 95 95 60 5700 0,0 14 14 60 7440 Reell fart f(x) km/h 1080 3,5 3,51 100 100 3,5 6,85 1000 3900 3,5 1,675 1000 5700 3,5 18,55 1000 7440 3,5 4,18 1000 Elevane vil lage ein modell som viser den reelle farten f(x) km/h som funksjon av den angitte farten x km/h. b) Bestem den lineære funksjonen som passar best som modell for denne samanhengen. Bestem den potensfunksjonen som passar best som modell for denne samanhengen. Kva for ein av desse to modellane meiner du elevane bør velje? Grunngi svaret.
Eg lagar ein tabell i reknearket i GeoGebra, markerer tala og vel Lag liste med punkt. Lista får namnet liste 1. Eg skriv så kommandoane RegLin[Liste1] og RegPot[Liste1] i innskrivingsfeltet. Den lineære funksjonen: f( x) 1,18x 0,79 Potensfunksjonen: g( x) 1,5 x 0,9 Begge modellane passar godt med tala, men eg meiner elevane bør velje potensfunksjonen, ettersom han startar i 0 og passar veldig godt med tala vi har.
Henrik vil springe i 15 km/h. c) Kva fart bør han angi i displayet på tredemølla ifølgje modellen du valde i oppgåve b)? Eg teiknar linja y = 15, og finn skjeringspunktet mellom denne og grafen til potensfunksjonen ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt». Om Henrik vil løpe i 15 km/h må han setje displayet på 11,9 km/h.
Elevane vil lage eit oppslag som skal henge ved sida av tredemølla, slik at dei som spring, kan finne den reelle farten. d) Lag eit forslag til oppslag. Undersøkingar har vist at farten som er gjeven opp på displayet er lågare enn den reelle farten. Grafen under viser samanhengen mellom oppgjeve fart og reell fart.
Bileteliste Kjelder for bilete, teikningar osv.: Mjølk: http://www.melk.no/meierifakta/ (0.10.014) Andre bilde, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk.