ide av 0 NORGE TEKNIK- NATURVITENKAPELIGE UNIVERITET INTITUTT FOR FYIKK Faglig kontakt unde eksamen: Føsteamanuensis Knut Ane tand Telefon: 73 59 34 6 EKAMEN FAG TFY460 ØLGEFYIKK OG FAG FY00/MNFFY0 GENERELL FYIKK II Lødag 6. desembe 003 kl. 0900-400 okmål Hjelpemidle: C K. Rottmann: Matematisk fomelsamling O. Øgim og. E. Lian: tøelse og enhete i fysikk og teknikk estemt, enkel kalkulato ensuen kan ventes i uke, 004 Posenttallene i paentes ette hve oppgave angi hvo meget de vektlegges ved bedømmelse fo kaaktesetting. Mek at det ette noen av hovedoppgavene e oppgitt opplysninge som kan væe nødvendige fo å løse de enkelte undeoppgave.
ide av 0 Oppgave (54 %, pkt. f telle like meget som to ande punkte) Vi skal i føste del av denne oppgaven (dvs i punkt a, b og c) betakte bølge som foplante seg langs en uendelig lang steng med masse p. lengdeenhet µ og snostamming F T. Fo alle te punktene a, b og c anta vi at utsvingene e tansvesale og så små (og at vi elles ha slike fohold) at bølgeligningen: D( x, = K x D( x, t () gjelde. I ligning () e D( x, tansvesalt utsving fo et stengelement med posisjon x ved tiden t. K = µ / F T e en konstant fo en gitt steng med en gitt stamming. a) Vi betakte føst en hamonisk vandebølge beskevet ved: D ( x, = D0 cos( kx ω t + ϕ) () I ligning () e D( x, tansvesalt utsving som ovenfo, D0 e bølgens amplitude, k = π /λ de λ e bølgelengden, ω = πν de ν e fekvensen, og ϕ e en vilkålig fasekonstant. Fo fekvens ν = 6 Hz e bølgelengden λ = 0, 50 m. Finn numeisk vedi fo fasehastigheten! b) Vis at det at en hamonisk vandebølge som gitt ved lign. () med vilkålig fekvens ν, oppfylle bølgeligningen (), medføe at: ω = konstant k (3) c) Kan funksjonen: D x, = D cos( k x ω t + ϕ) + D cos( k x ω t + ) (4) ( 0 0 ϕ med k = π ad/m, ω 0 = π ad/s, k = 4 π ad/m og ω = π 5 ad/s, beskive en bølge som kan foplante seg på en steng med en elle annen gitt vedi fo K = µ / F? egunn svaet! T
ide 3 av 0 Vi skal i esten av denne oppgaven betakte oveflatebølge som foplante seg på genseflaten luft/vann. d) Finn numeisk vedi fo fasehastigheten til en hamonisk bølge som ha bølgelengde = 0,50 λ mm! En kan anta at denne bølgelengden e kot nok til at følgende dispesjonselasjon gjelde: 3 γ ω = k (5) ρ + ρ de γ e genseflatespenningen mellom vann og luft, og ρ og ρ e tetthetene til henholdsvis vann og luft. e) Finn foholdet mellom fasehastighet og guppehastighet fo de bølge som ha kot nok bølgelengde til at dispesjonselasjonen (5) gjelde! f) Vi betakte nå te situasjone som alle ha det til felles at ved tid t 0 ha vi en bølgepuls med vetikalt utsving u x, t ) som vist på figuen nedenfo: ( 0 u ( x, t0) x L He e u( x, t0) og L ment å væe foskjellig i de te situasjonene nedenfo, men ha samme innbydes fohold. Til oienteing opplyses at et slikt bølgetog kan fo alle de te situasjonene vi skal betakte, tilnæmet settes sammen av et bølgelengdespektum slik som vist på neste side. (Mek at L e foskjellig fo de foskjellige situasjonene. Mek òg at fomen elle utstekningen på spekteet ikke diekte skal nyttes til noe i denne oppgaven.)
ide 4 av 0 ølgelengdespektum 0 0,5 L,0 L,5 L,0 L,5 L λ De te foskjellige situasjonene vi skal betakte e følgende: I Alle bølgelengde som gi vesentlig bidag til spekteet, e så stoe at tyngdebølge dominee ove kapillæbølge, og dybden D e sto nok til at vi kan anta fo alle bølgelengdekomponente som gi vesentlig bidag, at dispesjonselasjonen: ω = gk (6) kan nyttes som en god nok tilnæmelse. g e tyngdens akseleasjon. II Alle bølgelengde som gi vesentlig bidag til spekteet, e så stoe at tyngdebølge dominee ove kapillæbølge, og dybden D e så liten at vi kan anta fo alle bølgelengdekomponente som gi vesentlig bidag, at dispesjonselasjonen: ω = gd k (7) kan nyttes som en god nok tilnæmelse. Vi anta fo dette tilfellet at dybden D e den samme ove alt de vi betakte bølgetoget. III Alle bølgelengde som gi vesentlig bidag til spekteet, e så små at kapillæbølge dominee ove tyngdebølge slik at dispesjonselasjonen: 3 γ ω = k (8) ρ + ρ kan nyttes som en god nok tilnæmelse.
ide 5 av 0 t 0 Vi betakte så en gitt tid så meget støe enn t, at bølgepulsen ha foplantet seg et så langt stykke i x-etning at de foskjellige bølgelengdekomponentene (fouiekomponentene) i en elle flee av situasjonene I, II, og III ovenfo e spedt vesentlig utove i x-etning. En mulighet (vi kalle den A) e at bølgepulsen da tilnæmet e fovandlet til det bølgetoget som e vist nedenfo: u x, t ) ( Mulighet A x En annen mulighet (vi kalle den ) e at bølgepulsen tilnæmet e fovandlet til: u x, t ) ( Mulighet x Mek at t fo mulighet A og ikke tenge væe den samme. En tedje mulighet (vi kalle den C) e at bølgepulsen tilnæmet fobli ufoandet nå den foplante seg botove, dvs at den tilnæmet fotsatt se ut som oppinnelig uansett vedi fo, dvs: t u x, t ) ( Mulighet C x
ide 6 av 0 Hvilken av de te mulighetene A,, og C vil ealisees i hve av de te situasjonene I, II og III? egunn svaene! (He e det meningen at du fo hve av de te situasjonene I, II og III skal velge en av mulighetene A, og C selv om den du velge bae e tilnæmet koekt.) Oppgitt 3 Genseflatespenningen vann/luft: γ = 73 0 N/m. 3 Tettheten av vann: ρ =,00 0 kg/m 3. Tettheten av luft: ρ =, kg/m 3.
ide 7 av 0 Oppgave (3 %) a) Med utgangspunkt i Maxwells ligninge på diffeensialfom (som finnes i vedlagte fomelsamling), utled bølgeligningene: og: E = c = c E t t som gjelde fo foplantning av elektisk felt E og magnetisk felt i vakuum. (Mek at fo vakuum e ladningstetthet ρ og stømtetthet j begge lik null.) Angi c uttykt ved ε 0 og µ 0! () () b) Fo elektomagnetiske planbølge som foplante seg i én dimensjon langs x-aksen ta ligning () og () fomen: og: E x = c E t = x c t (3) (4) Vis at bølgefunksjonene gitt ved: E( x, = E0ez cos( kx ω og: ( x, = 0 ey cos( kx ω (5) (6) de E0 og 0 e positive konstante, oppfylle ligning (3) og (4) fo alle vedie ω og k som e slik at ω / k = c! ω e vinkelfekvens og k = π / λ de λ e bølgelengde. e y og e z e enhetsvektoe henholdsvis i y- og z-etning. c) eskive ligning (5) og (6) ovenfo en elektomagnetisk bølge som tilnæmet kan ealisees fysisk? egunn svaet utfølig!
ide 8 av 0 d) Fo en type glass gjelde med god tilnæmelse dispesjonselasjonen: k ω = (7) A + k fo lys i den synlige del av spekteet. He e A og konstante ulik null. Oppfylle kvitt lys som foplante seg i slikt glass i én dimensjon (i x-etning), bølgeligningen: E x E = C t (8) de C e en konstant? Hvis ja, fokla hvodan C kan bestemmes! Hvis nei, begunn svaet! Oppgitt ( a) = ( a) a
ide 9 av 0 Oppgave 3 (5 %) Vi gjø følgende tankeekspeiment (innen spesiell elativitetsteoi). Vi ha en oppinnelig situasjon som illustet på figuen unde. L L A To helt like omskip gå ettlinjet (uten otasjon) med konstant og eksakt samme hastighet langs samme ette linje. Refeansesystemet som følge bevegelsen, kalle vi, og en obsevatø i o i dette systemet kalle vi O. Avstanden mellom sentum av omskipene som kan obsevees av O i denne oppinnelige situasjonen (begynnelsestilstanden), kalle vi A, og lengden av hvet av omskipene kalle vi. L Vi anta at de to omskipene ha identiske akseleasjonspogam som bli statet samtidig i. Vi anta videe at disse e slik at begge omskipene akseleee langs samme ette linje som de fø ha beveget seg langs, inntil de begge ha nådd en hastighet som elativt til målt av O, e 7 5 c de c e lyshastigheten. Denne tilstanden kalle vi sluttilstanden. Det efeansesystemet som følge bevegelsen til de to omskipene ette at akseleasjonene e avsluttet og de begge igjen ha konstant og samme hastighet, kalle vi, og en obsevatø i o i dette efeansesystemet kalle vi O. Avstanden mellom omskipene som kan obsevees av O i sluttilstanden (dvs ette at begge omskipene e kommet til o i ) kalle vi A, og lengdene dees kalle vi L.
ide 0 av 0 L L A Vi anta fo hele oppgaven at alle gavitasjonskefte kan neglisjees, slik at vi kan nytte spesiell elativitetsteoi. Alle avstande og lengde som det spøes om nedenfo, skal uttykkes ved A elle L. a) Finn i sluttilstanden avstanden A mellom omskipene og lengdene dees L som kan obsevees av O! b) Finn avstanden A mellom omskipene i sluttilstanden (ette at begge omskipene e kommet til o i ) og lengdene dees L som kan obsevees av O! Finn også avstanden A mellom omskipene i den oppinnelige tilstanden (dvs fø noen av dem ha begynt akseleasjonen i ) og lengdene dees L som kan obsevees av O!