S1 eksamen våren 017 løysingsforslag Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (5 poeng) Løys likningane a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0 x 0 x 5 x b) 310 3000 x 310 3000 3 3 x 10 1000 10 x 3 c) 4lg( x 15) 8 4lg( x 15) 8 4 4 lg( x 15) 10 10 lg( x15) x 15 100 3 x 100 15 85 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 1 av 0
Oppgåve (6 poeng) Skriv uttrykka så enkelt som mogleg a) 1 1 a 1 Fellesnemnar blir ab. a b ab 1 b 1 a a 1 b a a 1 b 1 ab ba ab ab ab b) 4a b a 6 4 ab 1 a b 64 a b a a 10 8 3 c) lg 3alg a lg a lg 3 lg a 3lg a lg a lg 3 (1 3 )lg a lg 3 Oppgåve 3 (3 poeng) To familiar skal på kino. Familien Hansen kjøper tre barnebillettar og to vaksenbillettar. Dei betaler 90 kroner for billettane. Familien Sørensen kjøper fem barnebillettar og tre vaksenbillettar. Dei betaler 460 kroner. a) Set opp to likningar som kan brukast til å bestemme prisen på éin barnebillett og éin vaksenbillett. x: Barnebillett. y: Vaksenbillett 3xy 90 (I) 5x3y 460 (II) Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side av 0
b) Kor mykje kostar éin barnebillett, og kor mykje kostar éin vaksenbillett? Ordnar på likning (I): y 90 3x y 90 3x 90 3x 3 y 145 x, Set inn i likning (II): 3 5x 3145 x 460 9 5x 435 x 460 10 9 x x 460 435 1 x 5 1 x 5 x 50 3 3 y 145 x 145 50 145 75 70 Barnebilletten kostar 50 kroner, og vaksenbilletten kostar 70 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 3 av 0
Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen x x 3 Først ordnar vi ulikskapen: x x 3 0 og finn nullpunkta til x x 3. b b 4 ac ( ) ( ) 4 1 ( 3) 4 1 16 4 x a 1 4 4 x 3 x 1 Testar så uttrykket x x 3 for x-verdiane, 0 og 4 for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x : ( ) ( ) 3 4 4 3 5 0 x 0 : 0 0 3 3 0 x 4 : 4 4 3 16 8 3 5 0 Vi teiknar forteiknsskjema (trengst eigentleg ikkje, vi har dei opplysningane vi treng, over): 0 0 x x 3 for x, 1 3, (eller: x 1 x 3) Vi finn at Oppgåve 5 (4 poeng) a) Skriv opp dei sju første radene i Pascals taltrekant. 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 4 av 0
b) Bestem 6 3 og 4. Den første finn vi på sjuande rad, posisjon 4, markert med oransje. Den andre finn vi på femte rad, posisjon 3, også markert med oransje. Vi får altså: 6 0 3 og 4 6 I elevrådet er det fire jenter og to gutar. Blant desse skal det trekkjast ut tilfeldig tre personar som skal representere skolen. c) Bestem sannsynet for at det blir to jenter og éin gut som skal representere skolen. Du kan få bruk for denne formelen: m n m Hypergeometrisk fordeling: k r k P( X k) n r M element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er talet på element som blir trekte frå D. Her skal det trekkjast av den sorten det er 4 av (jenter), og 1 av den sorten det er av (gutar). Det blir eit hypergeometrisk sannsyn med: m 4 k n 6 r 3 Les frå tabellen i a) ved utrekninga og får for sannsynet for at det blir to jenter og éin gut: 4 1 6 1 3 PX ( ) 6 0 0 5 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 5 av 0
Oppgåve 6 (4 poeng) Eit område i planet er avgrensa av dei tre ulikskapane y x 1 y x 4 y 0 a) Skraver området i eit koordinatsystem. Skriv først alle ulikskapane med y på venstre side: y x 1 1 1 y x y x4 y 0 1 1 Det tyder at det aktuelle området skal liggje over linja y x, kalla f på figuren nedanfor, og over linja y x 4, kalla g på figuren nedanfor. Samtidig skal det liggje under x-aksen. Teiknar dei to nemnde linjene inn i eit koordinatsystem (kalla f og g på figuren nedanfor) og skraverer området over kvar linje som samtidig ligg under x-aksen. Dette er det området som oppfyller alle ulikskapane. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 6 av 0
b) Bestem den minste verdien størrelsen y x kan ha dersom (x, y) skal liggje i det skraverte området. Set y x k, som då skal ha så liten verdi som mogleg. Løyser likninga ved å finne y: y x k y x k 1 k y x Dette er ei rett linje med stigingstal 1. Vel punktet (4, 0) som startpunkt og teiknar linja ved å bruke stigingstalet. Dette gir figuren nedanfor: Når k søkk, vil konstantleddet til linja søkke, og linja flyttar seg nedover. Den lågaste verdien for k vil derfor komme når linja går gjennom punktet (3, 1), skjeringspunktet mellom linjene f og g, altså når x = 3 og y = -1. Set desse verdiane inn i formelen for likninga og får som minste verdi for k: Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 7 av 0
1 k y x 1 k 1 3 3 k k 5 k 5 Den minste verdien for y x innanfor det aktuelle området er altså 5. Alternativt kan oppgåva løysast ved å sjekke kva koordinatane til hjørnepunktet. y x blir ved å setje inn Oppgåve 7 (7 poeng) Figuren viser grafen til ein andregradsfunksjon f saman med tangenten t til grafen i punktet (, f()). a) Bestem f(0) og f(4). Les av y-verdiane for x = 0 og x = 4 på figuren: f(0) 4, f (4) 0 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 8 av 0
b) Bestem likninga til tangenten t. Tangenten skjer y-aksen for y 6, som blir konstantleddet. Ser at tangenten søkk med éi eining for kvar eining i positiv x-retning. Det tyder at stigingstalet er 1. Likninga for tangenten blir: y x 6 c) Bestem f'(1) og f '(). Grafen til f har toppunkt for x 1. Då er f '(1) 0. Vi veit frå før at tangenten til grafen for x har stigingstal lik 1. Då er f '() 1 d) Bestem funksjonsuttrykket til f. Funksjonen kan skrivast som f( x) a( x x )( x x ), der x1 og x er nullpunkta til 1 funksjonen, dvs. x 1 og x 4 ved å sjå på figuren. Då kan funksjonen skrivast f( x) a( x )( x 4). Bruker no at f (0) 4 frå figuren og får: f(0) 4 a(0 )(0 4) 4 a ( 4) 4 8a 4 8a 4 8 8 1 a Funksjonen blir då: 1 1 f( x) ( x )( x 4) ( x 4x x 8) 1 1 ( x x 8) x x 4 Alternativt: Set f( x) ax bx c. Bruker at Bruker så at f (0) 4, som gir: f(0) a0 b0 c c 4. Då får vi f( x) ax bx 4 f (4) 0, som gir: f(4) a 4 b 4 4 16a 4b 4 0 (I) Deriverer funksjonen: f '( x) ax b ax b Bruker så at f '(1) 0, som gir: f '(1) a1 b a b 0 og vidare ba (II) Set (II) inn i (I): Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 9 av 0
16a 4 ( a) 4 0 16a 8a 4 8a 4 8a 4 8 8 1 a 1 Dette gir vidare: b a 1 1 Funksjonen blir då: f( x) x x 4 Oppgåve 8 ( poeng) Eit område er skravert i koordinatsystemet. Bestem tre ulikskapar som til saman avgrensar dette området. Den loddrette grenselinja er x 4. Området ligg til venstre for linja, som tyder at x 4. Den nedste grenselinja går gjennom punkta (1, ) og (3, 1). Stigingstalet for linja blir då: a 1 1 3 1 Eittpunktsformelen gir vidare: 1 1 1 y x 1 x 1 1 4 1 5 y x x Det skraverte området ligg over denne linja, som tyder at: 1 5 y x y x 5 Ser at den øvste linja går gjennom punktet (0, 3) og aukar med 1 for kvar eining vi går i positiv x-retning. Då er konstantleddet 3 og stigingstalet 1. Linja blir då: y x 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 10 av 0
Det skraverte området ligg under denne linja, som tyder at: y x 3 Oppgåve 9 (3 poeng) Figuren nedanfor viser grafen til ein rasjonal funksjon f. Grafen har asymptotane x 1 og y 3. ax b Funksjonsuttrykket til f kan skrivast på forma fx ( ) cx 1 Bestem a, b og c. Ser at f (0) 6. Det gir: a0 b b f(0) b 6 c 0 1 1 b 6 ax 6 Då har vi at fx ( ) cx 1 Ser også at f () 0. Det gir: a 6 a 6 f() 0 c 1 c 1 a 6 (c 1) 0(c 1) 0 c 1 a 6 0 a 6 a 6 a 3 3x 6 Då har vi at fx ( ). cx 1 Når vassrett asymptote er y 3, veit vi at f( x) 3 når x. Når x, kan vi sjå bort ifrå 6 i teljaren og 1 i nemnaren på funksjonen, for dei blir så små i høve til ledda med x i. Då får vi, når x : ( ) 3 x fx cx 3 3 c 3 c c 3 c 3c 3 3 3 c 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 11 av 0
Oppgåve 1 (8 poeng) Vi går ut frå at konsentrasjonen av CO i lufta var 80 ppm (parts per million) i året 1800. Sidan den gongen har konsentrasjonen auka. Tabellen nedanfor viser utviklinga av CO-konsentrasjonen for nokre utvalde år mellom 1870 og 000. År 1870 1890 1930 1950 1970 000 CO konsentrasjon (ppm) 85 87 95 305 35 365 Kor mykje CO konsentrasjonen har auka sidan 1800 (i ppm) 5 7 15 5 45 85 La x vere åra etter 1870. a) Bruk regresjon til å bestemme ein funksjon som tilnærma beskriv korleis CO-konsentrasjonen har auka sidan 1870. Bruker 1800 som nullnivå, dvs. at vi bruker tala i tabellen direkte. Skriv tala inn i reknearket på Geogebra inkludert ein kolonne med x tal år etter 1870 og ein kolonne med kor mykje CO-konsentrasjonen har auka sidan 1800, som i oppgåvetabellen. Markerer kolonnene med auking i CO-konsentrasjon og x og vel Regresjonsanalyseverktøyet. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 1 av 0
Vel eksponentiell modell. Modellen som passar bra med måleverdiane, blei: fx ( ) 4,55 1,0 x der x er år etter 1870, og fx ( ) er aukinga i CO- konsentrasjonen sidan 1800. Ein modell for konsentrasjonen av CO i lufta x år etter 1870 er gitt ved Kx ( ) 80 5,0 1,0 x b) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til K. Skreiv funksjonen inn i inntastingsfeltet i Geogebra, sjå raud graf nedanfor. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 13 av 0
c) Bestem konsentrasjonen av CO i 050 dersom utviklinga følgjer modellen K. År 050 er (050 1870) år = 180 år etter 1870, dvs. x = 180. Skreiv inn punktet (180, K (180)) i inntastingsfeltet i Geogebra, sjå punktet A i figuren i figuren i b). CO- konsentrasjonen i år 050 blir 531 ppm etter modellen i b). d) Bruk CAS til å bestemme når CO konsentrasjonen blir 45 ppm, dersom utviklinga følgjer modellen K. Skreiv inn likninga Kx ( ) 45 i CAS i Geogebra og brukte verktøyet NLøs, sjå figuren. CO-konsentrasjonen blir 45 ppm 155 år etter 1870, dvs. år 05 etter modellen i b). e) Bestem den momentane vekstfarten til K for x = 10. Kva fortel dette svaret oss? Skreiv inn Tangent (10, K) i inntastingsfeltet og fekk tangenten g til K for x = 10, sjå figuren i oppgåve b). Den momentane vekstfarten er lik stigingstalet til tangenten, altså 1,48. Det fortel oss at CO-konsentrasjonen aukar med 1,48 ppm per år 10 år etter 1870, dvs. år 1990. Alternativt kan vi skrive K (10) i CAS. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 14 av 0
Oppgåve (8 poeng) Simon passerer 10 lyskryss på veg til skolen. Lyskryssa verkar uavhengige av kvarandre. Det er grønt lys i 4 s kvart minutt i kvart av lyskryssa. a) Grunngi at vi kan sjå på dette som eit binomisk forsøk med p = 0,40. Det er grønt lys i 4 av 60 sekundar. Sannsynet for å få grønt lys i eit av lyskryssa er då: 4 4 0,4 60 10 Sidan lyskryssa har same sannsynet for å få grønt lys og er uavhengige av kvarandre, vil dette vere eit binomisk forsøk med p = 0,40. b) Bestem sannsynet for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss. Opnar sannsynskalkulatoren i Geogebra, vel Binomisk sannsyn, n = 10 og p = 0,40. Svaret på oppgåva er då P (X = 5) i tabellen til høgre, dvs. at sannsynet for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss, er 0,. c) Bestem sannsynet for at Simon får grønt lys oftare enn raudt lys. Det tyder at Simon må få fleire enn 5 grøne lys, dvs. at 6 X 10 i sannsynskalkulatoren, sjå figuren i b). Sannsynet for å få grønt lys oftare enn raudt lys er altså 0,166. d) Bestem sannsynet for at han får grønt lys i tre kryss etter kvarandre og raudt lys i alle dei andre kryssa. Sannsynet for å få grønt lys i for eksempel dei tre første kryssa etter kvarandre (og raudt på resten) er: 3 103 0,4 (1 0,4) 0,00179. Same sannsynet vil det vere for grønt lys i kryss nr., 3 og 4, og så vidare. I alt er det 8 moglegheiter for å få tre grøne lys etter kvarandre (og raudt på resten). Totalt sannsyn for å få tre grøne lys etter kvarandre og raudt på resten blir då: 3 103 8 0,4 (1 0,4) 0,014. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 15 av 0
Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 16 av 0
Oppgåve 3 (4 poeng) Ein kennel tek imot både hundar og kattar. Dei har plass til 0 hundar og 30 kattar. Kvar hund krev 45 min med stell kvar dag. Kvar katt krev 30 min med stell kvar dag. Kennelen kan høgst bruke 4 arbeidstimar per dag til stell av dyra. La x vere talet på hundar og y talet på kattar som er i kennelen ein dag. a) Set opp ulikskapar som beskriv situasjonen over. Skraver området som tilfredsstiller ulikskapane, i eit koordinatsystem. Både talet på hundar og talet på kattar må vere positivt eller null. Dette gir x 0 og y 0. Talet på hundar må vere mindre enn 0, som gir x 0. Talet på kattar må vere mindre enn 30, som gir y 30. Maksimalt 4 arbeidstimar gir maksimalt 4 60 1440 arbeidsminuttar. Då må: 45x 30y 1440 0 x 0 0 y 30 Skriv ulikskapane inn i inntastingsfeltet i Geogebra. Det mørkaste området på figuren nedanfor blir då det området som tilfredsstiller alle ulikskapane. Dei daglege utgiftene til mat er 100 kroner for ein hund og 50 kroner for ein katt. Kennelen tek 350 kroner per døgn for ein hund og 00 kroner per døgn for ein katt. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 17 av 0
b) Kor mange hundar og kor mange kattar bør kennelen ha i opphald per døgn for å få maksimal forteneste? Kor stor er fortenesta då? Inntekta I kan skrivast som: (350 100) x (00 50) y I 50x 150y I Skriv dette inn i Geogebra slik at det blir ein glider av I: Linja f på figuren er linja for konstant inntekt I. Ser at inntekta er størst når talet på hundar er størst mogleg, dvs. at x 0. Bruker CAS til å rekne ut kor mange kattar y det er når x 0 ved hjelp av linja c: 45x30y 1440, sjå figuren over. Inntekta er altså størst når det er 0 hundar og 18 kattar. Fortenesta blir då i kroner: I 50x 150y 500 15018 7700 Oppgåve 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x 4x ax b x 7 Grafen til f har eit toppunkt i (3, 3). a) Vis at dette gir oss likningane 6ab 648 9a3b 678 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 18 av 0
f(3) 3 3 4 3 a 3 b 3 7 3 648 9a 3b 7 3 9a 3b 648 30 9a3b 678 Toppunktet tyder at f '(3) 0. Bruker CAS til å løyse oppgåva. Det gir: Den siste linja er det same som 6ab 648 b) Bruk CAS til å bestemme a og b. Sjå utklippet i a). Løysinga er: 4 a, b 14 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 19 av 0
Sjekkar for sikkerheits skuld at grafen har toppunkt i (3, 3) (og ikkje eit botnpunkt) ved å teikne grafen til 3 4 f x 4x x 14 x 7 3 Sjekkar ved å bruke verktøyet Ekstremalpunkt. Løysinga er altså riktig. Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar og bildar: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 0 av 0