S1 eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 5 + 1 = 3 6+ 4 = 0 3+ = 0 3 3 4 = 3 1 = = 1 = b) lg( + 7) = 4 lg( + 7) 4 = lg + 7 = ( ) ( + ) 10 = 10 lg 7 + 7 = 100 = 93 c) 3 = 1 3+ 6 3 1 = 3 3 3+ 6 = 4 3+ 6 = 3+ 6 = 3+ 8 3 + = 8 3 = 6 = Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 1 av 19
Oppgave ( poeng) Løs likningssettet + 3y = 7 3 y = 1 y = 3 1 ( 3 1) + 3 = 7 + 9 3 7 = 0 + 9 10 = 0 9 81 + 40 = 9 11 = 9 11 = = 10 = 1 = 10 gir y = 3 ( 10) 1 = 31 og = 1 gir y = 3 1 1 = Oppgave 3 (6 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) ( 3) ( 6) = + + = 4 1 9 4 1 9 b) lg( a) + lg( 4a) + lg( 8a) lg( 16a) a 4a 8a = lg = lg 4 = lg 4 + lg = lg + lg = lg + lg = lg 16a ( a ) a a a ( a) c) 1 1 a b + a b ab ( ) 1 b 1 a a b b + a a b b = + = = = a b b a ab ab ab a Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side av 19
Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten 3+ 0 3+ = 0 3 9 8 = = 1 = Vi tegner fortegnskjemaet 0 0 Det gir at 3+ 0 for,1, Alternativ skrivemåte 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 3 av 19
Oppgave 5 (5 poeng) a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant. 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging. b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler. Bruker Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling 4 3 3 0 4 1 4 = = 7 35 35 3 4 Sannsynligheten for å trekke 3 blå kuler er 35. c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de kulene du trekker. P(Både røde og blå kuler)=1 (P(Bare blå kuler) + P(Bare røde kuler)) 4 3 4 0 3 4 1 5 7 1 6 1 + = 1 + = 1 = = 35 7 35 35 35 7 7 3 Sannsynligheten for å trekke både røde og blå kuler er 6 7. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 4 av 19
Oppgave 6 ( poeng) Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem. 0 y 8 + y 10 3 y Skriver om likningene med hensyn på y, og tegner inn linjene i et koordinatsystem. y 10 y 3 3 y 3 y + 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 5 av 19
Oppgave 7 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved ( ) f 1 =, + a) Lag en skisse av grafen til f. Vi finner vertikal asymptote. Vi ser at nevneren + blir null for =. Telleren er ulik 0 for denne verdien av. Det betyr at = er en vertikal asymptote. Vi finner horisontal asymptote ved å se hva funksjonsuttrykket går mot når går mot uendelig. 1 1 lim f( ) = lim = lim = + + Det betyr at = er en horisontal asymptote. Vi tegner asymptotene og regner ut noen funksjonsverdier. f( ) -3 7 11-5 3-1 3 1 0 3 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 6 av 19
b) Løs likningen f ( ) = Ved regning 1 = + 1 = + 1 = 4 3 = 0 ( )( ) 4 + 1 = = 1 = 3 Grafisk løsning: Vi tegner inn linja y = og finner skjæringspunktene mellom grafen og linja. Se punkt A og B. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 7 av 19
Oppgave 8 (7 poeng) Funksjonen g er gitt ved ( ) 3 g = + 3 1 a) Bestem g' ( ). ( ) g ' = 6 + 6 1 b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. Vi setter g' ( ) = 0 og løser likningen 6 + 6 1 = 0 + = 0 ( )( ) + 1 = 0 = = 1 Vi tegner fortegnskjema 0 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 1) 1 3 1 1 1 3 1 7 g = + 3 1 = 8 + 3 4 + 4 = 0 g = + = + = Vi ser at grafen til g har toppunkt i (, g ( ) ) = (, 0) og bunnpunkt i ( 1, g ( 7) ) = ( 1, 7) c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet 0,. Gjennomsnittlig vekstfart i dette intervallet blir: 3 ( ) ( ) ( ) g g 0 + 3 1 0 4 = = = 0 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 8 av 19
d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 4. Vi løser likningen g' = 4 ( ) 6 + 6 1 = 4 + 6= 0 1 1 + 4 = = 3 = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 1 8 3 4 4 4 g 3 = 3 + 3 3 1 3 = 7 + 3 9 + 36 = 9 g = + = + = Vi finner at den momentane vekstfarten er 4 i punktene ( 3,9) og (,4 ). Oppgave 9 (3 poeng) Nedenfor ser du fortegnslinjen til f' ( ), for en funksjon f. a) Bruk fortegnslinjen til å bestemme hvor grafen til f stiger, og hvor den synker. Grafen til f stiger hvor den deriverte er positiv, altså når,,1 Grafen til f synker hvor den deriverte er negativ, altså når 1, b) Lag en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Vi ser av fortegnsskjemaet at grafen til f har et terrassepunkt for = og et toppunkt for = 1. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 9 av 19
DEL Med hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 00 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 30 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien. Vi lar prisen per kg torsk være lik og prisen per kg sei være lik y, og setter opp to likninger. 110+ 00y = 6795 150+ 30y = 8390 Vi løser likningssettet i CAS Vi finner at prisen for torsk er 4,50 kr per kg, og prisen for sei er 0,50 kr per kg. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 10 av 19
Oppgave (6 poeng) Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang. a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen? Hvert av delforsøkene må ha to mulige utfall. I dette tilfellet betyr det at en passasjer som har kjøpt billett enten møter til flyavgangen eller ikke møter opp. Delforsøkene må være uavhengige av hverandre. Det betyr at sannsynligheten for at en person møter eller ikke møter til en flyavgang ikke påvirker sannsynligheten for at en annen person møter til flyavgangen eller ikke. Hvert av delforsøkene må ha lik sannsynlighet. Det betyr at sannsynligheten på 6 % for at en passasjer ikke møter til en flyavgang, og sannsynligheten for at passasjeren møter er 94 %, er lik hele tiden. I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt. b) Til en flyavgang er det solgt 1 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet. At alle passasjerene som møter får plass på flyet betyr at seks av dem som har kjøpt billett ikke møter. Vi finner sannsynligheten for at seks passasjerer ikke møter ved å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Vi finner at sannsynligheten er 74,7 % for at seks passasjerer ikke møter og at 116 passasjerer får plass på flyet. Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet. c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da? Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 11 av 19
Vi prøver oss fram i sannsynlighetskalkulatoren og finner at flyselskapet maksimalt kan selge 119 billetter dersom de skal være sikre på at minst 95 % får plass. Oppgave 3 (7 poeng) Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem. Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B. Peter bruker 0 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B. I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer. I løpet av en uke kan Peter jobbe 0 timer. De produserer kasser av type A og y kasser av type B. a) Forklar at og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor. 0, y 0 + 3y 90 + 3y 10 Antall kasser og y, kan ikke være mindre enn null, men de kan være lik null. Vi har derfor 0 og y 0. Frode bruker 10 minutter per del på kasse A og 30 minutter per del på kasse B. Han kan jobbe inntil 15 timer per uke. Vi kan dermed sette: 10+ 30y 15 60 + 3y 90 Peter bruker 0 minutter på kasse A og 30 minutter på kasse B. Han kan jobbe inntil 0 timer per uke. Vi kan dermed sette: 0+ 30y 0 60 + 3y 10 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 1 av 19
b) Skraver dette området i et koordinatsystem. Vi tegner likningene + 3y = 0 og + 3y = 90 i GeoGebra og skraverer aktuelt område. Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B. c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig? Fortjenesten kan finnes ved likningen 60+ 150y = 0. Vi tegner denne linjen (svart) inn i samme koordinatsystem som ovenfor og skyver denne linjen til den tangerer det øverste punktet i det skraverte området. Nedenfor ser vi at det er i punkt E. Vi finner at de vil få størst mulig fortjeneste er i punkt E på grafen. Det vil si at de bør produsere 30 kasser av type A og 0 kasser av type B. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 13 av 19
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke. d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste? Vi endrer funksjonen for Frode og får: 10+ 30y 18 60 + 3y 108 Vi tegner inn likningen + 3y = 108 i GeoGebra (rød). Vi ser nå at de bør produsere 1 kasser av type A og 3 kasser av type B, se punktet F på grafen. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 14 av 19
Oppgave 4 (8 poeng) Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet. Timer jobbet 0 4 6 8 Pumper montert så langt den dagen 0 38 93 135 169 a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de første timene på jobb en dag. Vi legger inn verdiene fra tabellen regnearket i GeoGebra og bruker verktøyet regresjonsanalyse. Vi velger polynom av grad 3, se nedenfor. En funksjon som passer til verdiene er y = + + 3 0,6,75 15,79 0,5 Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 15 av 19
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt ved ( ) 3 f = 0,6 +,8 + 16, 0 9 være en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de første timene på jobb en dag. b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem. Vi skriver funksjonen inn i GeoGebra ved å bruke kommandoen "Funksjon( <Funksjon>, <Start>, <Slutt> )" Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 16 av 19
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber. c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe? Funksjonen I( ) = 190 vil vise timelønnen til Arne dersom han velger en modell med 190 kroner per time, og funksjonen J( ) 9 f ( ) = vil vise lønnen til Arne dersom han velger lønn etter hvor mange pumper han monterer. Vi bruker skjæring mellom to objekt og finner punktene C og D. Vi ser at han dersom han jobber mer enn,33 timer, det vil si timer og 0 minutter, og mindre enn 8,44 timer, det vil si 8 timer og 7 minutter, på en dag, vil det lønne seg å velge modellen med betaling for hver pumpe han monterer. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 17 av 19
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig? = i CAS og løser likningen K ( ) = 0. Vi definerer funksjonen K( ) J( ) I( ) Vi ser av utregningene ovenfor at det er størst mulig forskjell når han jobber i 6,11 timer, det vil 6 timer og 7 minutter. Alternativt: Grafisk løsning i GeoGebra Vi bruker kommandoen "ekstremalpunkt" og finner at grafen til funksjonen K har et toppunkt for = 1,07 og et bunnpunkt for = 6,11. funksjon. Forskjellen er altså størst etter 6,11 timer, det vil si 6 timer og 7 minutter. Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 18 av 19
Kilder for bilder, tegninger osv. Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA306 Matematikk S1 Våren 018 Side 19 av 19