Oblig 11 - Uke 15 Oppg 1,3,6,7,9,10,12,13,15,16,17,19

Oblig 11 - Uke 15 Oppg 1,3,6,7,9,10,12,13,15,16,17,19 Dersom du oppdager feil i løsningsforslaget, vennligst gi beskjed til Arnt Inge og Maiken. Takk! Oppgave 1 Youngs dobbeltspalteeksperiment med lyd? Forutsetning: at bø lgene kan superponeres, slik at resultatnbø lgens amplitude blir en addisjon eller subtraksjon av enkeltbø lgene. Selv om lydbø ger er longitudinale kan lyd akkurat som lys superponeres dersom de beveger seg i et ikke-dispersivt medie, og vi ser på lyd med en enkelt frekvens. Eksperimentelt oppsett: Vi sender ut lyd fra to høytalere, og kjører nøyaktig samme signal inn på begge slik at vi er sikre på at vi har koherens. Avstanden mellom høyttalerne bør være ere ganger høyttalernes diameter dersom man skal få et resultat som svarer til ere parallelle striper fra dobbeltspalten. Videre må vi plassere mikrofoner på andre siden av skjermen slik at vi kan plukke opp interferensmø nsteret. Mikrofonene bø r plasseres i en horisontal linje med passe mellomrom slik at bå de minima og maksima registreres. Oppgave 3 Diraksjonsbegrensning betyr den absolutte grense for opplø sning. Du kan aldri få bedre opplø sning enn diraksjonsbegrensningen. Aldri siden ny forskning har kommet opp med lø sninger for dette. Diraksjonsbegrensningen gå r som sin θ 0 = λ D 1.22 der θ er vinkelen som utspennes mellom objektivets ytterkant og inn til brennpunktet, λ er lysets bø lgelengde, og D er diameteren på strå lebunten. Eller for et vanlig diraksjonsoppsett: D er diameteren til det sirkulæ re hullet lyset treer, θ er vinkelen som utspennes mellom hullets senter og Airy skivens senter og fø rste minima. Dersom vi blender ned, altså bruker kun en del av objektivet vil dette svare til en mindre θ, som igjen vil svare til en stø rre diameter D på lysbunten. Dette vil derfor forverre opplø sningen. Dersom vi sender inn lys med lavere bø lgelgende, og objektivet forblir det samme, må D minke for at relasjonen over skal holde, dette vil derfor forbedre opplø sningen. Vi få r altså bedre opplø sning med blå tt lys i enn med rø dt lys. Relasjonen over kan også sammenstilles med geometrisk optikk slik D = 1.22λ f 0 D 0 der D er Airyskivens diameter, f 0 er objektivets brennvidde, og de andre stø rrelsene som beskrevet over. Vi ser igjen at dersom objektivet minskes (D 0 ) vil Airyskiven ø ke, og omvendt dersom bø lgelengden minker. 1

Oppgave 6 Bass: stor diameter på hø ytalerelement, lav frekvens, stor bø lgengde Diskant: liten diameter på hø ytalerelement, hø y frekvens, liten bø lgelengde Vi ø nsker at bå de bass og diskant skal spres ut i rommet noenlunde likt, slik at vi ikke opplever lyden drastisk forskjellig fra ett områ de til et annet. Vi ø nsker altså en spredning med en gitt akseptabel vinkel for bå de bass og diskant. Vi vet at fra diraksjon fra et rundt hull at sin θ λ D der D nå er diameteren på hø ytalerelementet. Dersom vi prø ver ø nsker at bå de bass og diskant skal rekke ut i en vinkel på 30 grader, og vi setter diskanten til 2000Hz og bassen til 200Hz, få r vi da hø ytalerelementenes stø rresler på : sin(30) 1.22 340m/s D bass = = 1.0m 200Hz sin(30) 1.22 340m/s D diskant = = 0.10m 2000Hz altså ser vi at for å få lik spredningsvinkel må basselementet væ re stø rre enn diskantelementet. Valget er stø rrelser er som vi ser ikke helt optimalt her, men poenget kommer fram. Oppgave 7 Et optisk gitter med mange spalter er bedre enn en dobbeltspalt dersom den skal brukes i et spektrometer hvor vi skal må le bø lgelengder fordi intensitetsmaksimaene er mye smalere. Da kan vi må le sentrum av intensitetsmaksima mer presist, og vi få r mindre overlapp mellom intensitetsmaksima fra forskjellige bø lgelengder. Oppgave 9 Figuren til venstre viser en lysbunt som går gjennom et objektiv m/ paralelle stråler, og hvor strålene samles i brennpunktet med en vinkel θ 1. Bildet til høyre viser hvordan lys som går gjennom en liten åpning D spres ut med vinkelen θ 2. De to vinklene må samsvare. 2

De to vinklene θ 1 og θ 2 må stemme overens. Det er alltid diraksjon i lys. Vi vet at lysstrålene fra objektivet danner en lysbunt med vinkelen θ 1, og at det i brennplanet dannes et bilde med en viss utstrekning D. Vi kan tenke oss en blender i brennplanet med diametere D. Da vet vi at lyset vil spres utover med vinkelen θ 2 jmf sin θ 2 λ D. Dersom D var bitteliten, som i det ideelle geometriske tilfellet at parallellt lys samles fra objektivet i et punkt i brennplanet (brennpunktet) kan vi tenke oss en veldig liten blender akkurat i brennpunktet slik at λ/d 0, dette medfører sin θ 2 1, altså θ 2 π/2. Men vi observerer ingen vinkel θ 2 = π/2, men heller en vinkel θ 2 = θ 1, altså at vinkelen samsvarer. Dette forklarer altså hvorfor vi ikke kan samle lyset i et vilkårlig lite punkt i brennplanet, men vil alltid ende opp med en lysstråle med en viss utstrekning. Oppgave 10 To koherente radiobølger avstand mellom kildene D=5.00 m, bølgenlengde er λ6.00m. Konstruktiv interferens når veilengdeforskjellen er d sin θ = nλ Destruktiv interferens når veilengdeforskjellen er d sin θ = (n + 1/2) λ hvor (n = 0, ±1, ±2...) Vi kan sette opp et generelt utrykk for veilendgen en bølge må reise til et vilkårlig punkt på linjen mellom A og B, som vi kaller x. Dette er d = D/2 x 3

Men for å gjøre beregningene våre deler vi heller opp i to tilfeller 1) innenfor linjen mellom A og B 2) utenfor linjen mellom A og B, og setter opp enklere utrykk for disse spesialtilfellene 1) Innenfor A, B kan veilengdene x a og x b utrykkes som x a = D/2 + x x b = D/2 x Da er forskjellen i veilengde en lydbølgene opplever til punktet x (vilkårlig mellom A, B) Vi nner da utrykket for konstruktiv interferens: d = x a x b = D/2 + x (D/2 x) = 2x d = 2x = n λ = n 6.0m x = n/2 6m, n = 0 x = 0m, n = ±1 x = ±3m Ser at kun x=0 er innenfor gyldighetsområdet mellom A,B. For destruktiv interferens: x = (n + 1/2)/2 λ, n = 0 x = 3 2 m (n=1 gir punkt utenfor A,B) 2) Utenfor A, B kan veilengdene x a og x b utrykkes når x>0 og når x < 0 x a = x D/2 x b = x D/2 x a = x + D/2 x b = x + D/2 p.g.a symmetri velger vi å bare vurdere tilfellet når x>0. Dette gir en forskjell i veilengde d = x a x b = x D/2 ( x D/2) = x D/2 x + D/2 = D Vi ser altså at veilengdeforskjellen alltid blir D stor, og fordi D hverken er en heltallig eller halvtallig bølgelengdetall, får vi ingen interferens utenfor A eller B. Vi har interferens kun på linjen mellom A og B. Konstruktiv interferens ved x=0m, og destruktiv ved x=± 1.5 m Oppgave 12 To spalter med avstand d=0.450 mm plassert 75.0 m fra en skjerm, se gur. Koherent lys med bølgelengde λ = 500 nm sendes mot spaltene. Finner avstand mellom andre og tredje mørke linje i interferensmøns- 4

teret på skjermen. Vi har at posisjonen til midten av de lyse båndene y n kan utrykkes rent geometrisk som y n = R tanθ n Vi har også at destruktiv interferens forekommer når d sin θ = (n + 1 2 )λ, n = 0 ± 1, ±2 osv der d sin θ er forskjellen i veilengde de to strålene følger, se gure under. Fordi θ <<1 er tan θ sin θ. Dersom vi nå slår sammen de to relasjonene får vi 5

y n R = (n + 1 2 )λ d y n = R (n + 1 2 )λ d Dette gir da for andre mørke bånd ( n = 1) og tredje mørke bånd ( n = 2) y 2 = 3 2 75.0m m 4.5 10 4 m = 0.125m y 3 = y 2 2 3 5 2 = 0.208m Avstanden mellom det 2. og 3. båndet er derfor y 3 y 2 = 0.208 0.125m = 0.083m = 8.3cm Oppgave 13 Antireeksbelegg med brytningsindeks n=1.42 Glass med brytningsindeks n=1.52 Finner minste tykkelse t belegget må ha for at rødt lys med bølgelengde λ = 650 nm skal ha minst reeksjon. Vi ønsker desktruktiv interferens mellom de to reekterte strålene på toppen av lmen og bunnen av lmen. For desktruktiv interferens må veilengden 2t være lik (m+1/2) bølgelengder, slik at de to reekterte bølgene er akkurat en halv bølgelengde ute av fase Minste tykkelse får vi for m=0 slik at 2t = (m + 1 )λ, m = 0, 1, 2, 3... 2 vi har også at bølgelengden i et medie er λ = λ0 n t = λ 0 650 nm = = 114.43 nm 4 n 4 1.42 Minste tykkelse lmen kan ha er altså 114 nm t = λ 4 der λ 0 er bølgelengden i vakum. Fra dette får vi da at 6

Oppgave 15 Bikonveks linse,d 0 = 10 cm,f = 50 cm Sola fokuseres av linsen, bildet har en diameter d i brennplanet som stammer fra bildet linsen lager og diraksjonen. Vi bestemmer størrelsen fra hvert enkelt bidrag. Siden sola har en viss utstrekning på himmelen, vil vi i det enkle geometriske oppsettet få et bilde i brennplanet, og ikke kun et enkelt punkt. Vi bruker at sola utspenner en vinkel θ = 0.5 grader (Kan regnes ut fra enkel geometri og bruke at avstand sol-jord = 1.49 10 11 m, og soldiameter på 1.392 10 9 m). Fra geometrisk optikk nner vi da at bildet får en utstrekning (D optikk ), når vinkelen mellom linseaksen og sola er 0.25 grader D optikk = 2 tan(θ/2) f = 2 tan(0.25) 0.50m = 0.0436m = 4.36 10 3 m Solas avbildning fra linsen har en utstrekning på 4.36 mm Vi kan nne bidraget fra diraksjon ved å bruke relasjonene beskrevet i oppgave 9, og fra første ligning på side 16 i kompendiet Da nner vi D 0 = θ = 1.22λ 2f 0 D diraksjon D diraksjon = 2 1.22 f 0 λ D 0 = 2 1.22 0.5 m 570 10 9 m 0.1 m = 6.95 10 6 m Bidraget fra diraksjon er 6.95 10 6 m, dette er 3 størrelsesordener mindre enn bidraget fra ren geometrisk optikk. Det er derfor tydelig at det er bidraget fra bildet linsen skaper som er det viktigste. 7

Oppgave 16 CCD brikke 15.8 23.6 mm pixler 2592 2872 35 mm brennvidde på objektivet med blender 3.3 til 22 (f texttall ) Ønsker å nne største og minste Airy skive for objektivet Fra geometrisk optikk har vi at blendertallet f tall er f tall = f D der f er brennvidden og D er objektivets diameter. Lys som går gjennom et hull (blender) med en diameter D, har en vinkel til første minimum (Airy skiven) og siden nner vi utrykket for Airy skiven sin θ = 1.22 λ D D = f f tall sin(θ) = 1.22 λ D = 1.22λ f tall f Vi antar at sin θ θ siden vinklene vi opererer med er små, da nner vi max og min vinkler θ max = 1.22 500 10 9 m 22 f θ min = 1.22 500 10 9 m 3.3 f Fra enkel geometri har vi at tan θ = D f Vi har da at D max D min airy = 26.8µm airy = 4.03µm 1 airy = f θ max = 1.22 22 500 10 9 m = 1.342 10 5 m 2 Dmax 1 2 Dmin airy = f θ min = 1.22 3.3 500 10 9 m = 2.013 10 6 m 8

Finner så pixelstørrelsen: Pixel størrelse på 6.1 µ m 15.8 10 3 /2592 = 6.095 10 6 m 6.1 10 6 m Ser altså at for minste blenderåpning, f tall =22 (størst Airy skive) er det Airy-skiven som setter begrensning for oppløsningen, mens for største blenderåpning f tall =3.3 (minst Airy skive) 7er det pixel størrelsen som setter begrensningen Oppgave 17 λ = 532 nm d = 16.2 cm mellom 2 minima med 11 lyse områder mellom R = 185 cm fra laseren (og håret) til skjermen. Vi regner først ut vinkelen mellom to nærliggende minima. Årsaken til at vi oppgir avstanden mellom 2 minima med hele 11 lyse områder mellom er at nærmest umulig å måle avstanden korrekt mellom 2 nærliggende minima. Fra enkel geometri nner vi vinkelen θ tan θ = (16.2/11)/185 = 7.96 10 3 θ Da kan vi sette inn i utrykket for diraksjon siden tan θ sin θ θ θ = λ d d = λ θ d = 532 10 9 m 7.96 10 3 = 0.068 mm (1) Hårstrået har altså en tykkelse på 0.068 mm, og fra Wikipedia nner jeg at menneske hår har en tykkelse på 0.04-0.25 mm. Det stemmer godt overens med mitt resultat. Oppgave 19 He-Ne laser med bølgelengde 632.8 nm lyser vinkelrett ned på en cd-plate. Rillene i Cd-plante er 1.60 µ m fra hverandre. Vi nner vinklene hvor vi får reeksjoner. 9

Fordi vi kan behandle cd-en som et optisk gitter kan vi bruke Vi får da et utrykk for vinkelen θ sin θ = mθ d prøver for m=± 0 θ = 0 prøver for m=± 1 θ = ±23.29 ±23 prøver for m=± 2 θ = ±52.27 ±52 prøver for m 3 går ikke ( ) m λ θ = arcsin d ( ) m 632.8 10 9 m = arcsin 1.6 10 6 m Vi får altså reeksjoner i vinkelene 0, ±θ = 23 og ±52 10