Oppgaver Innhold Linjer og vinkler... 2 Måling av lengder... 3 Setninger om vinkler... 6 Mangekanter og sirkler... 7 Formlikhet... 10 Kart og arbeidstegninger... 14 Pytagoras setning... 17 Areal... 20 Volum og overflate... 26 Tilleggsressurser: Skisser og perspektiv.... 32 1
Linjer og vinkler 1.1 Hvordan definerer vi - en linje? - et linjestykke? - en stråle 1.2 Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel. 1.3 a) Tegn to komplementvinkler. b) Tegn to supplementvinkler. 2
Måling av lengder 2.1 Gjør om til meter. a) 100 cm b) 10 dm c) 1 000 mm d) 1 km e) 1 mil 2.2 Gjør om til centimeter. a) 1,2 m b) 20 dm c) 120 mm d) 2 950 mm e) 3,25 m 2.3 Gjør om til desimeter. a) 3,2 m b) 20 cm c) 320 mm d) 3 750 mm e) 5,25 m 3
2.4 Fyll ut tabellen. m dm cm mm 1,25 125 340 590 2.5 Fyll ut tabellen. Mil km m 2,0 340 2 920 2.6 Regn ut. Oppgi svarene i meter. a) 20,0 cm + 1,4 m + 38,0 dm b) 740 mm + 320 cm + 6,0 dm c) 85 mm + 240,00 dm + 9,0 cm 2.7 Regn ut. Oppgi svarene i kilometer. a) 2,50 km + 900 m + 3,250 mil b) 12,00 mil + 3 250 m + 12 350 m 4
2.8 Regn ut. Oppgi svarene i passende enhet. a) 400 m + 2,0 km + 400 mm b) 4,0 m + 61 dm + 2900 mm c) 4,4 m + 61,5 dm + 2900,1 mm 2.9 De første målesystemene som ble brukt, tok utgangspunkt i lengden av ulike kroppsdeler. Finn ut hvilken del av kroppen disse gamle enhetene stammer fra, og hva de tilsvarer i dagens metriske system. Du kan for eksempel finne svarene ved å gå inn på www.wikipedia.no Tidligere måleenhet Lengde Opprinnelse Fot Tomme Alen Favn 2.10 Gjør et overslag og skriv ned hvor lang og bred du tror pulten din er. Mål med linjal og finn ut hvor god du var til å beregne lengder. Gå sammen to og to og gjør overslag på andre lengder du finner i klasserommet. Hvem har best «øyemål»? 5
Setninger om vinkler 3.1 Vis at w= z. 3.2 Tegn to samsvarende vinkler som er like store. 3.3 Forklar hvorfor u= v. 6
Mangekanter og sirkler 2.2.1 Hvilke trekanter er a) rettvinklede? b) Likebeinte? c) Likesidet? - 2.2.2 Tegn og beskriv - et trapes - et parallellogram - et rektangel - en rombe - et kvadrat 7
2.2.3 Figuren viser et parallellogram. Bestem de ukjente vinklene. 2.2.4 - Bestem B på figuren 8
2.2.5 Sett navn på linjene og linjestykkene på figuren 9
Formlikhet 5.1 Forklar at trekanten ABC er formlik med trekanten DEF. Finn den siste vinkelen i trekantene. 5.2 Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike. a) Finn lengden AC b) Finn lengden EF 10
5.3 Se på figuren og forklar hvorfor trekanten BTS er formlik med trekanten B T S. 5.4 I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at trekanten DEF er formlik med trekanten GHF. 11
5.5 Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB. Forklar at trekanten DSC er formlik med trekanten ASB. 5.6 Trekantene CSD og ASB nedenfor er formlike. a) Finn lengden DS. b) Finn lengden BS. 12
5.7 Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike. A= D Hvor store er de andre vinklene i trekantene? 5.8 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog-Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. 5.9 Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din. Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er. Utstyr: Målbånd/tommestokk Metode: Gå ut i solen rett ved skolen. Få medeleven din til å måle skyggen som du lager. Mål lengden av skyggen som skolen lager. Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er. Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er! 13
Kart og arbeidstegninger 9.1 Vi har et kart i målestokk 1 : 40 000 a) På kartet måler vi at det er 8,5 cm fra fastlandet og ut til en øy. Hvor lang er denne avstanden i virkeligheten? b) Avstanden mellom to skjær er omtrent 5 200 meter. Finn hvor mange centimeter dette utgjør på kartet. Avstand på sjøen måles vanligvis i nautiske mil. En nautisk mil er 1 852 meter. c) På kartet måler vi at det er 10,5 cm fra Sånum til Stussøy. Finn avstanden i nautiske mil mellom disse to stedene. Fart på sjøen måles vanligvis i knop. Knop er antall nautiske mil per time. Er farten din 10 knop, kommer du 10 nautiske mil på 1 time. Er farten 7 knop, kommer du 7 nautiske mil på en time osv. d) Tenk deg at du er på båttur fra Sånum til Stussøy med en fart på 6 knop. Hvor lang tid tar båtturen? 14
9.2 Tegningen nedenfor viser grunnflaten til et hus i målestokk 1 : 100. a) Hva betyr det at målestokken er 1 : 100? b) Hvor mange kvadratmeter blir utvidelsen av stuen? 15
9.3 Tegn en skisse av pulten du sitter ved. Bruk målestokk 1:10. 9.4 En arbeidstegning av en maskindel er i målestokk 5 : 1. a) Hva betyr det at målestokken er 5:1? b) Et mål på tegningen er 100 mm. Hvor mange millimeter blir dette i virkeligheten? c) Maskindelen har en lengde på 21 mm. Hva blir dette målet på tegningen? 9.5 Bruk oppskriften fra teorien og lag din egen skisse av et rom med noen møbler. Dersom du bruker for eksempel GeoGebra, vil du kunne dreie tegningen din i ulike retninger. Ta deg tid til å gjøre dette skikkelig. 16
Pytagoras setning 6.1 Finn lengden av siden b i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. 6.2 Finn lengden BC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. 17
6.3 Figuren viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen BC. 6.4 Mål lengden og bredden av pulten du sitter ved. Bruk Pytagoras læresetning og regn ut lengden av diagonalen på pulten din. Sjekk om du har regnet riktig ved å måle diagonalen. 6.5 Sjekk om det er riktig at trekanten nedenfor er rettvinklet. 18
6.6 Regn ut lengden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. 6.7 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten 2,50 cm lang. Regn ut lengden av den andre kateten. 6.8 Trekanten ABC nedenfor er likebeint. AC er 6,75 m og AB er 10,80 m. Finn høyden h. 19
Areal 7.1 Fyll ut tabellen m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1,2 120 12 000 1 200 000 15 250 760 000 7.2 Gjør om til kvadratdesimeter, dm 2. a) 670 cm 2 b) 120 m 2 c) 900 cm 2 7.3 Legg sammen og skriv svaret i kvadratmeter, m 2. a) b) 2 2 2 34 dm + 800 cm + 8,9 dm 2 2 2 430 000 mm + 7 800 cm + 45 dm 7.4 Legg sammen og skriv svaret i kvadratcentimeter, cm 2. a) b) 2 2 2 3,1 m + 80 dm + 79 000 mm 2 2 2 8 300 mm + 7 dm + 0,05 m 20
7.5 Gitt rektangelet ABCD nedenfor. a) Regn ut arealet av rektangelet. b) Regn ut lengden av diagonalen AC. c) Regn ut arealet av trekanten ABC. d) Hva er arealet av trekanten ACD? 7.6 Et kvadrat har sidelengde på 10,0 cm. Regn ut arealet av kvadratet. 7.7 a) Mål opp pulten din og regn ut arealet. b) Sjekk om du får samme areal som eleven nærmest deg. c) Hva er årsaken dersom dere ikke fikk samme svar? Målefeil? Ulik størrelse? Avrunding? 21
7.8 Gitt trapeset ABCD. a) Finn arealet av trapeset. b) Finn arealet trekanten FBC og rektangelet AFCD. c) Legg sammen arealene du fant i b). Hva observerer du? 7.9 Finn arealet av parallellogrammet EFGH. 7.10 Finn arealet av trekanten ABC nedenfor. 22
7.11 Regn ut arealet av sirkelen nedenfor. 7.12 Gitt en halvsirkel med radius 5 m. Regn ut arealet av halvsirkelen. 7.13 Ei DVD-plate har en diameter på 12,0 cm. Innerst er det et hull med en diameter på 1,5 cm. Finn arealet av DVD-plata. 23
7.14 Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm). Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m 2. 7.15 Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm. a) Regn ut høyden i trekanten. b) Regn ut arealet av den utskårne trekanten. c) Regn ut omkretsen av den utskårne trekanten. 24
7.16 Figuren nedenfor viser en arbeidstegning. Målene er satt på figuren. Regn ut overflaten (arealet) av gjenstanden. 7.17 Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm? 7.18 Regn ut arealet av det blå området på figuren. 25
Volum og overflate 8.1 Fyll ut tabellen m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0,002 2 2 000 2 000 000 15 250 760 000 8.2 Gjør om til kubikkdesimeter, dm 3. a) 6 700 cm 3 b) 1 m 3 c) 900 000 mm 3 8.3 Legg sammen og skriv svaret i liter. a) b) 3 3 3 3,4 dm + 800 cm + 0,001 m 3 3 3 430 000 mm + 7 800 cm + 0,045 m 26
8.4 Fyll ut tabellen l dl cl ml 2,1 21 210 2 100 150 25 250 76 8.5 En eske har form som vist på figuren. Esken har ikke lokk. a) Regn ut arealet av grunnflaten b) Regn ut volumet av esken. Gi svaret i liter. c) Regn ut overflaten av esken. 8.6 En kartong med appelsinjuice har målene: Høyde 24,0 cm, bredde 6,6 cm og dybde 6,4 cm. Hvor mye rommer juicekartongen? Gi svaret i liter. 27
8.7 En tilhenger har følgende mål. Lengde: 2037 mm Bredde: 1160 mm Høyde: 350 mm a) Hvor mange liter rommer tilhengeren? Største nyttelast tilhengeren kan ha er 610 kg. b) Hvor tykt lag med grus kan du fylle oppi tilhengeren når 1 liter grus veier 2,5 kg? 8.8 Et svømmebasseng har en rektangelformet bunn med lengde 9,80 m og bredde 5,20 m. Høyden er over alt 1,90 m. Alle målene er innvendige. Veggene og bunnen i bassenget er av betong og er 20 cm tykke. a) Hvor mange kubikkmeter betong har gått med til å lage vegger og bunn? b) Hvor mange kvadratmeter fliser har gått med til å bekle vegger og bunn i bassenget? Se bort fra fuger mellom flisene. 8.9 Figuren nedenfor viser en traktorskuffe. Skuffen er laget av jernplater med en tykkelse på 6 mm. Jernet har en vekt på 7,87 g per cm 3 Hvor mange kilo veier skuffen? 28
8.10 Det er planlagt å grave ut en 2 km lang kanal. Kanalen skal være 2,5 m dyp, 5 m bred øverst og 2,5 m bred i bunnen. Sidene skråner jamt. Hvor mange kubikkmeter masse må graves ut? 8.11 En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 21,0 cm og en høyde på 16,0 cm. Hvor mange liter rommer kakeboksen? 8.12 En oljetank har form som en sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høy. Diameteren er 3,0 meter. a) Hvor mange liter olje rommer oljetanken? b) Regn ut overflaten av oljetanken. 8.13 En gryte har form som en sylinder. Gryta har en diameter på 260 mm og rommer 8 liter. Regn ut høyden til gryta. 8.14 En tresøyle har form som en sylinder med diameter 30 cm og høyde 4,20 m. Søylen skal gis to strøk maling. En liter maling dekker 6 m 2. Hvor mye maling vil gå med? 29
8.15 Verdens mest kjente pyramide, Keopspyramiden like utenfor Kairo i Egypt, har kvadratisk grunnflate med sidelengde 230 m. Høyden på pyramiden var opprinnelig 146 meter, men 10 meter har forsvunnet. a) Finn volumet av den opprinnelige Keopspyramiden. Et svømmebasseng har en lengde på 25,0 meter, en bredde på 12,5 meter og en gjennomsnittsdybde på 2,4 meter. b) Hvor mange liter rommer dette svømmebassenget? Gizapyramidene. Kefrenpyramiden og Keopspyramiden i Giza ved Cairo. c) Hvor mange slike basseng rommer den opprinnelige Keopspyramiden? 8.16 Gitt en kjegle med radius 12,0 cm og høyde 24,0 cm. a) Finn volumet av kjeglen. b) Finn overflaten av kjeglen. 30
8.17 En kjegle har radien 2,4 dm og en sidekant på 6,4 dm. a) Finn høyden i kjeglen. b) Finn volumet av kjeglen. 8.18 En kuleformet appelsin har en diameter på 8,0 cm. a) Finn overflaten av appelsinen. b) Forklar hva overflaten er i praksis. c) Finn volumet av appelsinen. Skallet på appelsinen er 3 mm tykt. d) Finn volumet av den spiselige delen av appelsinen (dersom du ikke er en som spiser skallet da). e) Finn volumet av skallet. 8.19 En kroneis består av en kjegleformet kjeks med is. I tillegg er det ei halvkule med is øverst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høyden på kjeksen er 12,0 cm. a) Finn radien i kula b) Finn volumet av isen. 31
Tilleggsressurser: Skisser og perspektiv. 9.6 Tegn en melkekartong fra ulike vinkler. Se teorien for tips. 32
Oppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Lister videregående skole, Studiested Flekkefjord Foto: Anne Seland/NDLA Gizapyramidene Foto: Karsten Schnack/Scanpix Denmark Mjølkekartongar i trepunktsperspektiv Teikning: Knut Høihjelle/NDLA Skisse av hus Teikning: Alv Tore Romedal 33