Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Hausten 2014 Oppgåve 1 (2 poeng) Diagrammet ovanfor viser kor mange bøker ein forfattar har selt kvart år dei fire siste åra. Når var den prosentvise auken i salet frå eit år til det neste størst? Den prosentvise auken er størst når tilhøvet mellom auke og opphavleg verdi er størst. Auken er på 1000 bøker kvart år, så den prosentvise auken blir størst frå 2010 til 2011. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 1 av 21
Oppgåve 2 (1 poeng) Ifølgje ei oppskrift treng du 500 g kjøttdeig for å lage middag til fire personar. Kor mykje kjøttdeig treng du for å lage middag til ni personar? Eg går «vegen om 1»: 500 9 125 9 1125 4 Eg treng 1125 g kjøtdeig for å lage middag til ni personar. Oppgåve 3 (2 poeng) I basisåret kosta ei vare 600 kroner. I 2013 kosta vara 720 kroner. Vi går ut frå at prisen for vara har følgt indeksen. Bestem indeksen for vara i 2013. indeks pris indeks pris 2013 basisår 2013 basisår indeks2013 100 720 600 100 indeks2013 720 600 indeks 120 2013 Indeksen for vara i 2013 er 120. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 2 av 21
Oppgåve 4 (2 poeng) I ein klasse er det seks gutar og fire jenter. To elevar blir valde tilfeldig til å vere med i ei spørjeundersøking. Teikn eit valtre, og bruk dette til å bestemme sannsynet for at éi jente og éin gut blir valde ut. P(gut) 6 10 P(jente) 4 10 6 4 4 6 4 6 2 2 8 P(gut og jente) 2 2 10 9 10 9 10 9 5 3 15 Sannsynet for at éin gut og éi jente blir vald ut er 8/15. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 3 av 21
Oppgåve 5 (2 poeng) Trond påstår at talet på kiwiar du kjøper i denne butikken, og beløpet du betaler for kiwiane, er proporsjonale storleikar. Therese meiner det ikkje er grunnlag for å påstå dette. Korleis kan Trond og Therese argumentere? Trond vil nok hevde at prisen du betalar og talet på kiwi du får er proporsjonale, ettersom forholdstalet mellom dei to storleikane er det same i begge tilfelle. 20 8 20:2 10 2,5 8: 2 4 Therese kan derimot hevde at vi ikkje veit at prisen per stk. er 2,5 kroner. Såleis veit vi ikkje om prisen elles stig jamt med talet på kjøpte kiwi, og har ikkje nok informasjon til å påstå at storleikane er proporsjonale. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 4 av 21
Oppgåve 6 (3 poeng) I 2006 kosta ei vare 600 kroner. I 2014 kostar vara 1 000 kroner. a) I løpet av desse åtte åra har prisen auka lineært. Forklar kva det vil seie. Det vil seie at prisen har auka jamt, med like stort beløp kvart år. Vi går ut frå at prisen held fram med å auke lineært. b) Bestem ein funksjon f som viser prisen f (x) kroner for vara x år etter 2006. Ein lineær funksjon er på forma f() x ax b, der a er stigningstalet (aukar per år), og b er skjeringspunktet med y-aksen, altså prisen i 2006 i dette tilfellet. 1000 600 400 a 50 8 8 Funksjonen f blir då: f( x) 50x 600 c) Kor mykje vil vara koste i 2018 ifølgje funksjonen i oppgåve b)? f (12) 50 12 600 600 600 1200 Ifølgje denne funksjonen vil vara koste 1200 kroner i 2018. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 5 av 21
Oppgåve 7 (4 poeng) Julie har fått denne oppgåva: «Ein føremiddag i barnehagen var det fem gonger så mange barn ute som inne. Etter lunsj kom tre barn til ut. Da blei det åtte gonger så mange barn ute som inne. Kor mange barn var det i barnehagen denne dagen?» Ho arbeider med teksten, og set først opp ein tabell: Inne x Ute 5x x 3 5x 3 Så set ho opp denne likninga: 8( x 3) 5x 3 a) Forklar korleis Julie kjem fram til uttrykka som er sette inn i tabellen, og korleis ho kjem fram til likninga. Utgangspunktet er at ho let x vere talet på barn som er inne før lunsj. På det tidspunktet er det fem gongar så mange barn ute som inne, så talet på barn som er ute blir då 5x. Etter lunsj er det tre barn til som går ut, og dermed blir det 5x + 3 barn ute, og x 3 barn inne. Då er det åtte gongar så mange barn ute som inne, så ho kan setje opp likninga 8( x 3) 5x 3. b) Løys likninga. Kor mange barn var det i barnehagen denne dagen? 8( x 3) 5x 3 8x 24 5x 3 8x 5x 3 24 3x 27 x 9 Det var 9 barn inne før lunsj, og Det var 54 barn i barnehagen denne dagen. 5 9 45 barn ute, til saman 9 45 54 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 6 av 21
Oppgåve 8 (4 poeng) a) Kva kjenneteiknar eit annuitetslån? Kva kjenneteiknar eit serielån? I eit annuitetslån er terminbeløpa like store kvar termin. Renteutgiftene blir lågare og lågare kvar termin etter kvart som lånet betalast ned, men avdraga aukar, slik at alle terminbeløpa blir like store. I eit serielån er avdraga like store kvar termin, men ettersom renteutgiftene blir lågare og lågare blir terminbeløpet lågare og lågare etter kvart som tida går. Siv tek opp eit annuitetslån på 2 000 000 kroner. Solveig tek opp eit serielån på 2 000 000 kroner. Begge får same rentesats, og dei skal betale ned låna over like lang tid b) Kvifor må Siv totalt betale meir tilbake til banken enn Solveig? Fordi ved eit annuitetslån betaler ein lite avdrag den første tida så renteutgiftene totalt sett blir høgare. c) Kvifor kan det for somme vere gunstig å velje et annuitetslån framfor eit serielån? I eit serielån er terminbeløpa i starten høgare enn det dei vil vere i eit annuitetslån. Sjølv om dei blir lågare etter kvart, vil det for nokon vere utfordrande med så høge utgifter i denne perioden, då ein kanskje er i ein etableringsfase. Oppgåve 9 (4 poeng) Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 7 av 21
Figur 1 ovanfor er sett saman av ein trekant og ein halvsirkel. Halvsirkelen har radius 5,5. Figur 2 er sett saman av ein trekant og to halvsirklar. Den minste halvsirkelen har radius 2,5 og den største har radius 6,0. a) Vis at linjestykket PQ har lengd 13. Eg brukar Pytagoras setning: PQ PQ PQ 2 2 2,5 2 6,0 5 12 2 2 2 2 169 2 2 2 13 13 13 169 PQ 13 b) Gjer berekningar, og avgjer kva figur som har størst omkrets. O 2 5,5 2 5,5 5,5 1 O 11 11 5,5 1 O 22 5,5 1 O 22 5,5 3 1 O 38,5 1 O 13 2,5 6,0 2 O 13 8,5 2 O 13 8,5 3 2 O 38,5 2 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 8 av 21
Om vi rundar π av til 3, blir omkrinsane like. π er derimot større enn tre, noko som betyr at O 2 må blir størst, ettersom π her blir multiplisert med 8,5, medan det blir multiplisert med 5,5 i O 1. Figur 2 har størst omkrins. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 9 av 21
Oppgåve 1 (4 poeng) Da skatteetaten la ut det førebelse skatteoppgjeret på nett 19. mars i år, var dette ei av overskriftene på nettsidene til Teknisk Ukeblad: Gå ut frå at pågangen var like stor heile denne dagen. a) Kor mange hadde da logga seg på i løpet av éin time? 1 t = 60 60 s 3600 s 45 3600 162000 I løpet av éin time hadde 162 000 logga seg på. Omtrent 900 000 skattytarar fekk skatteoppgjeret sitt elektronisk denne dagen. b) Kor lang tid ville det gått før alle hadde logga seg på? 900000 20000 45 20000 5,6 3600 Det ville teke litt over 5 og ein halv time før alle hadde logga seg på. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 10 av 21
Nedanfor ser du eit anna sitat frå nettet i samband med skatteoppgjeret. Onsdag 19. mars kan nær 900.000 skattytere sjekke selvangivelsen «I denne omgang er det bare elektroniske brukere (e-brukere) som får tilgang til selvangivelsen. Resten, det vil si rundt 3,7 millioner innbyggere, må vente til 1. april før de får skattedommen.» c) Kor mange prosent av skattytarane i Noreg er elektroniske brukarar? 900000 0,196 19,6 % 3700000 900000 19,6 % av skatteytarane er elektroniske brukarar. Oppgåve 2 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 2 f( x) 0,003x 0,005x 0,8 x, 0 x 18 a) Teikn grafen til f. Eg teiknar grafen i GeoGebra: Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 11 av 21
b) Bestem nullpunkta til f. Bestem toppunktet på grafen til f. Eg finn nullpunkta ved å skrive kommandoen Nullpunkt[f] i innskrivingsfeltet i GeoGebra. På same måte finn eg toppunktet ved å skrive kommandoen Ekstremalpunkt[f]. Nullpunkta er x = 0 og x = 15,5. Toppunktet har koordinatane (8,9, 4,6). Ei sommarnatt begynte det å snø i ei fjellbygd. Når f (x) 0 viser funksjonen f snødjupna f (x) cm i bygda x timer etter midnatt. c) Kva fortel svara du fann i oppgave b) om snødjupna i fjellbygda? Det byrjar å snø ved midnatt. Snødjupna er aukande fram til ca. kl. 9. Då sluttar det å snø, og snøen byrjar så å smelte. Ca. kl. 15:30 har all snøen smelta. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 12 av 21
Oppgåve 3 (5 poeng) I ein by abonnerer 39 % av husstandane på lokalavisa, mens 32 % av husstandane abonnerer på regionavisa. 41 % av husstandane abonnerer ikkje på nokon av dei to avisene. a) Systematiser opplysningane ovanfor i eit venndiagram eller ein krysstabell. Krysstabell: Abonnerer på regionavisa Abonnerer ikkje på regionavisa Abonnerer på lokalavisa Abonnerer ikkje på lokalavisa Sum 12 % 20 % 32 % 27 % 41 % 68 % Sum 39 % 61 % 100 % Venndiagram: 100 % Abonnerer på lokalavisa 27 % 12 % Abonnerer på regionavisa 20 % 41 % Ein husstand i byen abonnerer på regionavisa. b) Bestem sannsynet for at denne husstanden også abonnerer på lokalavisa. 12 P(abonnerer på lokalavisa abonnerer på regionavisa) 100 % 37,5 % 32 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 13 av 21
Tre husstandar i byen blir valde ut tilfeldig. c) Bestem sannsynet for at akkurat éin av husstandane abonnerer på lokalavisa. Dette kan skje på tre måtar; anten kan den første, den andre eller den tredje av dei tre husstandane abonnere på lokalavisa. Sannsynet for at ein husstand abonnerer på lokalavisa er 39 %, og sannsynet for at ein husstand ikkje abonnerer på lokalavisa er 100 % - 39 % = 61 %. P(akkurat éin av dei tre husstandane abonnerer på lokalavisa) 2 3 0,39 0,61 0,435 43,5 % Oppgåve 4 (6 poeng) ABC og BDE er formlike. AB = 4,0 cm AC = 2,4 cm BE = 20,0 cm CD =16,8 cm a) Bestem lengda av DE ved rekning. DE BE AC AB BE DE AC AB 20,0 cm DE 2,4 cm 4,0 cm DE 12 cm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 14 av 21
b) Bestem lengda av BC ved rekning. BC AB BD BE BC AB CD BC BE BC 4,0 cm 16,8 cm BC 20,0 cm Eg løyser denne i CAS i GeoGebra: BC 2,8 cm Arealet av ABC er 3,3 cm 2 c) Bestem arealet av BDE ved rekning. Finn først tilhøvet mellom lengdene i dei to trekantane: BE 20,0 cm 5,0 AB 4,0 cm Tilhøvet mellom areala blir då 2 5,0 25 2 2 Arealet av BDE blir då 25 3,3 cm 82,5 cm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 15 av 21
Oppgåve 5 (4 poeng) Stanley har laga ein sopp som skal brukast i ei juleutstilling. Soppen er ein sylinder med ei halvkule på toppen. Sylinderen har radius 2,0 dm, og halvkula har radius 4,0 dm. Høgda i sylinderen er lik radien i halvkula. a) Bestem volumet av soppen. V V V sylinder halvkule 1 4 V (2,0 dm) 4,0 dm (4,0 dm) 2 3 3 V 184,3 dm 2 3 Stanley skal male soppen. 1 L maling er nok til 6 m 2. b) Kor mykje maling treng han? Finn først overflata til soppen: O O O sylinder halvkule 1 2 2 2 O 2 2,0 dm 4,0 dm 4 (4,0 dm) (4,0 dm) (2,0 dm) 2 2 2 O 188,5 dm 1,885 m 1,885 0,31 6 Stanley treng 0,31 liter måling. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 16 av 21
Oppgåve 6 (4 poeng) År 2010 2011 2012 2013 Konsumprisindeks 128,8 130,4 131,4 134,2 I 2011 flytta Per inn i ny leilegheit. Husleiga var da 8000 kroner per månad. I leigekontrakten til Per står det blant anna: Månadsleiga blir justert éin gong per år. Dette skjer i januar i samsvar med konsumprisindeksen frå året før. Månadsleiga blir alltid runda opp til nærmaste heile krone. a) Vis at månadsleiga frå og med januar 2012 var 8100 kroner. Leige Indeks Leige Leige Indeks 2012 2011 2011 2010 Leige Indeks Indeks 2011 2012 2011 2010 8000 kr Leige2012 130,4 128,8 Leige 8099,4 kr Leige 2012 2012 8100 kr Månadsleiga frå og med januar 2012 var 8100 kroner. b) Kor mykje betalte Per til saman i husleige frå og med januar 2012 til og med desember 2013? Eg finn på same måte månadsleiga i 2013: 8100 kr Leige2013 131,4 8162,1 kr 8163 kr 130,4 Samla husleige = 12 (8100 kr 8163 kr) 195156 kr Per betalte til saman 195 156 kr i husleige frå og med januar 2012 til og med desember 2013. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 17 av 21
Oppgåve 7 (7 poeng) Arne oppretta ein høgrentekonto i banken 1. januar 2014 og sette inn 75 000 kroner. Renta er 1,75 % per år. a) Kor mykje vil han ha i banken 1. januar 2017? Reknar i CAS i GeoGebra: Arne vil ha 79 006,81 kroner i banken 1. januar 2017. Eirik oppretta ein BSU-konto (bustadsparing for ungdom) i banken 1. januar 2014 og sette inn 25 000 kroner. Renta er 4,5 % per år. Eirik vil setje inn 25 000 kroner på kontoen 1. januar 2015 og 1. januar 2016. b) Kor mykje vil han ha i banken 1. januar 2017? Reknar i CAS i GeoGebra: Eirik vil ha 81 954,78 kroner på BSU-kontoen 1. januar 2017. Eirik får eit skattefrådrag på 20 % av beløpet han set inn på kontoen kvart år. c) Vis at dette betyr at han til saman betaler 15 000 kroner mindre i skatt i løpet av desse tre åra enn han elles ville ha gjort. 3 25000 kr 0,20 15000 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 18 av 21
d) Vis at når vi ser på renter og skattefrådrag, «tener» Eirik omtrent 448 % meir enn Arne ved å velje BSU framfor høgrentekonto. Finn først kor mykje kvar av dei har fått i renter: Arne: 79006,81 kr 75000 kr 4006,81 kr Eirik: 81954,78 kr 75000 kr 6954,78 kr Differanse = 6954,78 kr 4006,81 2947,97 kr I tillegg «tener» Eirik 15 000 kr på mindre skatt. 2947,97 kr 15000 kr 100 % 447,9 % 448 % 4006,81 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 19 av 21
Oppgåve 8 (2 poeng) Målar Jensen tilbyr ein kunde ein fast pris for å måle eit hus. Grafen ovanfor viser samanhengen mellom talet på timar Jensen bruker på jobben, og timelønna han vil få. Bestem timelønna til Jensen dersom han bruker 64 timar på jobben. Dette er ein omvendt proporsjonal samanheng. Denne kan skrivast med formelen y k, der k er x den faste prisen. Eg finn den faste prisen ved å multiplisere talet på timar med timeløn på eit gjeve tidspunkt: 20 1400 kr 28000 kr Timeløn ved 64 timars arbeid = 28000 kr 437,5 kr 64 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 20 av 21
Bileteliste Skatteoppgjer: http://www.tu.no/it/2014/03/19/45-palogginger-hvert-sekund-for-a-sjekke-skatten (14.04.2014) http://www.nrk.no/livsstil/far-du-selvangivelsen-i-natt_-1.11611940 (18.03.2014) Andre bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten 2014 løysing Side 21 av 21