Eksamen R vår 0, løsning Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene ) f sin Bruker kjerneregelen på uttrykket sin der Vi har da guu sinu u cosu cos f cos 6cos ) g sin Vi bruker produktregelen for derivasjon. u og g u sinu u v u v u v der u og v sin ) k g sin cos 5cos 7 Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u cosu Vi har da guu cosu u sinu sin 5 k 5sin sin b) Bestem integralet Vi bruker delvis integrasjon e d e d e e d e e C e C Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
c) Vis at 7 ln d 4 du du Vi bruker metoden med variabelskifte og setter u 4 som gir dermed er d d 7 7 7 7 u 7 7 d du ln u ln 4 ln 7 4 ln 4 4 u d d u u 45 ln45 ln5 ln ln9 ln ln 5 d) Løs differensiallikningen yy når y 0 8 Likningen ovenfor er en lineær, førsteordens differensiallikning på formen Vi velger å bruke metoden med integrerende faktor for å løse likningen. Den integrerende faktor er gitt ved Gitt y y e e y e y e y 0 8 e y e e y e d e y e C e y C e p e. I dette tilfellet blir integrerende faktor 8 Ce 9 C 8 0 y p y q. e. 9 Dermed er y e Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
e) Gitt rekken e e, 0 ) Forklar at rekken er geometrisk, og at den konvergerer. an Vi ser at kvotienten k er konstant. an a e a e k e k e e a e a e e og Rekken er geometrisk med kvotient k e Når 0 er e. Det betyr at 0 e, altså er k, Rekken konvergerer. ) Vis at summen er gitt ved S S e e a e e e e k e e e e e e Oppgave ( 5 poeng ) Vi har gitt vektorene a,, og b 6, 4, Regn ut ab,, 6, 4, 8 4 4 8 a) e e y e z b) ab,, 6, 4, 4, 6, 4 6 0, 6, 8 c) a a b 6 4 a b a 8 4 8 4 Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
Oppgave ( 6 poeng ) Vi har gitt funksjonen f e a) Bestem f og f Vi bruker produktregelen for derivasjon. f e e e uv u v uv der u og v e Vi bruker produktregelen for derivasjon. uv u v uv der u e og v f e e e e b) Bestem koordinatene til bunnpunkt og vendepunkt på grafen til f. For å finne koordinatene til bunnpunktet løser vi likningen f 0 0 0 for alle verdier av e e Bunnpunktet er dermed f f 0.,, e, e For å finne koordinatene til vendepunktet løser vi likningen f 0 0 0 for alle verdier av e e Vendepunktet er dermed f,, e, f 0. e Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 4 av 8
Det blir påstått at den n-te deriverte er gitt ved n f n e Bevis formelen for den n-te deriverte ved induksjon. Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis Høyre side e I oppgave a) ovenfor viste vi at f e Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da at t f t e Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t f t e t e Bevis t t Vi har at f t e. Det betyr at f er den deriverte av Vi bruker produktregelen for derivasjon uv uv uvog finner t f, altså f t. t e t e t e 0e te e t e t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 5 av 8
Oppgave 4 (7 poeng) En automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på når det begynner å mørkne. En modell for dette tidspunktet er gitt ved ft f t 9 4cos t 80 der er tidspunktet målt i timer etter midnatt og t er antall dager regnet fra nyttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 0 dager. a) Når begynner det å mørkne 5. mars ifølge modellen? Vi setter t 85 f og finner 85 ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra. Vi gjør om 0,65 timer til minutter: 0,6560 9 Ifølge denne modellen begynner det å mørkne kl. 8:9 den 5. mars. Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 6 av 8
b) Tegn grafen til f. Bestem likevektslinjen, amplituden og perioden til f. Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på? Vi tegner grafen til f i GeoGebra. Likevektslinja er: fmaks f min 5 9, Det ser vi også ut fra funksjonsuttrykket til f Amplituden er: fmaks f min 5 4, dvs. utslag fra likevektslinja. Vi har fått oppgitt at funksjonen f er en modell for når en automatisk strømbryter skal slås på. Modellen forutsetter at hver måned har 0 dager. Vi må da anta at en periode er på måneder av 0 dager, altså 60 dager. Likevektslinja viser det gjennomsnittlige tidspunktet i løpet av året når lyset slås på. Det gjennomsnittlige tidspunktet lyset slås på blir dermed 9 timer etter midnatt, altså kl. 9:00 Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 7 av 8
c) Bestem når på året lyset slås på klokken 8.00. Vi velger å løse grafisk ved å legge inn linjen y 8 og finner skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til f ved å bruke kommandoen skjæring mellom to objekt. Vi finner at lyset slås på kl. 8:00, 75,5 dager og 84,48 dager etter nyttår. Det vil si 6. mars og 5. oktober. d) Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen. Dagslyset varer lengst når utelyset slås på lengst etter midnatt. Det betyr at vi må finne når har sin største verdi. Vi velger å finne den største verdien til Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt] ft grafisk ved å bruke kommandoen ft ft Vi finner at har sin største verdi 80 dager etter nyttår. Ifølge denne modellen varer dagslyset lengst 0. juni. Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 8 av 8
Oppgave 5 (8 poeng) a) Bruk formlene for sin u v og cosu v til å vise at tanu v Vi bruker formlene sin u v sinucosv sinv cosv cos u v cosucos v sinucos v tan uv sin cos uv uv sinucosv sinv cosu cosucosv sinusinv sinucosv sinv cosu cosucosv cosucosv cosucosv sinusinv cosucosv cosucosv tanu tanv sinu sinv cos u cos v tanu tanv tanu tanv tanu tanv tanu tanv Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 9 av 8
Et bilde har høyde CD,0 m. Bildet henger på en vegg slik at undersiden av bildet er,0 m over øyenivå hos personen i A (se skissen). Avstanden fra veggen til personen er AB. På skissen er DAC DAB u CAB v f Vi setter tan tanu v, og. b) Bruk a) til å vise at f 4 Vi har at tan tan f u v. Vi bruker definisjonen til tangens og setter BD,0,0 4,0 4 BC,0 tan u og tanv AB AB dermed er 4 tanu tanv f tan tanu v tanu tanv 4 4 4 4 Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 0 av 8
Vi ønsker å bestemme avstanden slik at synsvinkelen blir størst mulig. f c) Bestem største verdi for og tilhørende verdi for. f f i GeoGebra og finner den største verdien for Vi tegner grafen til kommandoen Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt]. ved å bruke Vi leser av grafen til f at den største verdien for f er 0,75 når. d) Bestem den største synsvinkelen. f Vi har tan. Det betyr at synsvinkelen er størst når f er størst. Vi bruker resultatet fra c) og finner tan 0,75. Løser i CAS-verktøyet i GeoGebra Den største synsvinkelen er 6,9 Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
Oppgave 6 (6 poeng) En rask fritidsbåt kjører med farten 5 m/s da motoren plutselig stanser. Båten bremses ned i vannet, og sekunder etter motorstansen er farten y m/s, og akselerasjonen er y m/s. I denne situasjonen gjelder differensiallikningen, 0 y k y k a) Med det samme motoren stanser, er akselerasjonen Vis at den generelle løsningen av differensiallikningen er y 0,0 C,5 m/s. Bestem konstanten k. der C er en konstant. Vi vet at farten til båten er gitt ved y og akselerasjonen er gitt ved y. Ved 0 er farten 5 m/s og akselerasjonen,5 m/s. Vi setter disse størrelsene inn i likningen y k y og finner k.,5 k 5,5 k 0,0 65 Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
Vi løser differensiallikningen y ved hjelp av CAS- verktøyet i GeoGebra. 0,0y Vi har da at 50 50 y 50 der C C 50C 50C 0,0 C 50 50 b) Bestem konstanten C og farten til båten s etter motorstansen. Vi har at farten er 5 m/s når 0. Det gir 5 0,0 0 C 5 C C 0,04 Farten etter s er gitt ved y 0,0 0,04 y 0 Vi finner at farten er 0 m/s sekunder etter motorstansen. Strekningen båten forflytter seg, er s meter etter motorstansen. Da gjelder: s y c) Bestem hvor langt båten forflytter seg i løpet av de tre første sekundene etter motorstansen. Vi finner først s s yd 50ln 0,00,04 d 0,0 d C Vi har at s0 0. Det gir Videre er 0 50ln 0 C C 50ln s 50ln 50ln s 45,8 Båten forflytter seg 45,8 meter på de sekundene. Dette kunne vi også ha funnet ved å regne ut 0 yd Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side av 8
Oppgave 7 (6 poeng) En figur består av n søyler med kvadratiske ruter med side. Den første søylen inneholder én rute, n den andre to ruter, og så videre. Søyle nummer n inneholder n ruter. Figuren nedenfor er tegnet for n 5 a) Bestem arealet av figuren ovenfor. Vi ser at antall kvadrater i figurer er 5. 5 Når n 5, blir arealet: 5 5 5 5 5 b) Forklar at det samlede arealet av n søyler er Sn n n n n n Hver søyle inneholder like mange kvadrater som nummeret på søylen. Arealet av rutene er gitt ved. Med n søyler blir det n kvadrater som alle har arealet n n n n. Det samlede arealet av n søyler kan da skrives som Sn n n n n n n n n Vis at summen av rekken kan skrives som Sn n Rekken S n ovenfor øker med for hvert ledd. Det betyr at vi har lik differanse, d mellom n hvert ledd i rekken. Vi har altså en aritmetisk rekke med d, a og an n n n n. Summen er gitt ved: n n a a n n n n Sn n n n n n n n Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 4 av 8
c) Bruk rekken til å bestemme S. 5 Kommenter svaret. 5 6 S 5 Vi får samme svar som i oppgave a) 5 0 5 d) Vis at lim Sn n Bruk også et geometrisk resonnement til å begrunne at svaret er riktig. n n 0 lim lim lim n n n lim n S n n n n n n n Når n vil avstanden mellom A og C nærme seg en rett linje. Figuren nærmer seg da en rettvinklet trekant med grunnlinje og høyde. Arealet må da gå mot Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 5 av 8
Oppgave 8 (9 poeng) P I et koordinatsystem er det gitt et punkt 5,, 4 og et plan : y z 0 A Punktene 0, 0, 4, B, 0, 0 og C,, 4 ligger i et annet plan. a) Bestem likningen til, og forklar at. Vi finner først normalvektoren n til ved å finne, 0, 4 og AC,, 0 AB Vi velger å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra for å finne AB AC. AB AC Vi finner at 4, 4,,, AB AC Vi velger punktet A i planet. Likningen til planet kan da skrives som: y z 0 0 4 0 y z 4 0 Planene og n er parallelle fordi de har samme normalvektor,, b) Regn ut avstanden mellom planene og. Vi bruker formelen for avstanden mellom punkt og plan. Vi velger å bruke punkt A i planet. d a by cz d 0 0 4 6 a b c Avstandene mellom planene er. Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 6 av 8
Planene og er begge tangentplan til en kule. Sentrum S i kula og de to tangeringspunktene D og E ligger på en rett linje l gjennom punktet P. Se figurene nedenfor. c) Sett opp en parameterframstilling for l. Linjen l går gjennom begge tangeringspunktene. Det betyr at linjen står vinkelrett på begge planene. Retningsvektoren r til linja l er da lik normalvektoren n til planene. P Linja går gjennom punktet 5,, 4 En parameterframstilling for linjen l blir dermed:. 5t l : y t z 4 t d) Bestem koordinatene til D og E. Linja l går gjennom tangeringspunktene D og E. Skjæringspunktene mellom planet og linjen l er da: t t t 5 4 0 0 4t 4t 4 t 0 9t 8 t D Koordinatene til punktet D blir da: 5,, 4 D,, Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 7 av 8
Skjæringspunktene mellom planet og linjen l er da: t t t 5 4 4 0 0 4t 4t 4 t 4 0 9t 4 t Koordinatene til punktet E blir da: 4 4 4 5 8 8 4 7 5 8 E 5,, 4 E,, E,, e) Bestem likningen til kula. Fra oppgave b) vet vi at avstanden mellom planene er. Det må også være diameteren i kula. Radien er altså. Sentrum S i kula må være midtpunktet på DE. 7 5 8 0 4 4 0 4 6 5 7 7 S,, S,, S,, S,, 6 6 6 Likningen for kula blir 5 7 7 5 7 7 y z y z Eksamen REA04 Matematikk R Vår 0 Side 8 av 8