8 Eksamenstrening 8 Eksamenstrening

Transkript

1 4 Uten hjelpemidler E (Kapittel ) Figuren viser grafene til funksjonene F og f. Det er gitt at F ( ) = f ( ). a Bruk figuren til å bestemme F ( 4). b Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestkket. (Eksamen høsten 05) F f E (Kapittel ) I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen b F ( ) d = F( b) F() a a Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f, g og h. f() g() h() Det opplses i tillegg at f( ) = g ( ) og h( ) = g ( ). Bruk tabellen og tilleggsopplsningene til å finne integralene. f ( ) d 3 (Eksamen våren 00) h ( ) d 3 4 Aschehoug 06

2 Uten hjelpemidler 43 E3 (Kapittel ) Funksjonene f og g er gitt ved 3 f ( ) = 5, D = R g ( ) = + 3, D = R Grafene til f og g skjærer hverandre i tre punkter. Grafene avgrenser to områder med areal A og A. Vis ved regning at A = A. (Eksempeloppgave 04) g f f A A g E4 (Kapittel ) En funksjon f er gitt ved f f ( ) = r, D = [ r, r] f Grafen til f dreies 360 om -aksen. r r Regn ut volumet av omdreiningslegemet som da framkommer. Hva oppdager du? (Eksempeloppgave 04) E5 (Kapittel ) 3 Grafen til en funksjon f er gitt nedenfor. Bestem f ( ) d. 3 0 f (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

3 44 E6 (Kapittel ) En funksjon f er gitt ved f ( ) =. Vi vil regne ut arealet mellom grafen til f og -aksen mellom = 0 og = 4. Til høre ser du grafen til f og dette (fargelagte) arealet. 4 6 a Forklar kort at f ( ) d = 3 ikke er en korrekt utregning av det fargelagte arealet. b Bestem arealet av det fargelagte området. (Eksempeloppgave 0) C = (4, 8) A = (0, 0) B = (, 0) E7 (Kapittel ) 4 = 4 3 f Figuren viser grafen til en funksjon f, der [ 0,9]. t La g() t = f ( ) d, dert [ 0,9] 0 a Bestem g(). Forklar at den største verdien til g(t) er 0. b Bestem nullpunktet til g. Avgjør hvilke verdier av t som gjør g(t) negativ. (Eksamen høsten 04) Aschehoug 06

4 Uten hjelpemidler 45 E8 (Kapittel ) Et område er avgrenset av -aksen og funksjonen f( ) = og = k. Området dreies 360 om -aksen slik at et omdreiningslegeme framkommer. f = k Forklar at volumet av omdreiningslegemet kan regnes ut ved V =π d. Bestem volumet av omdreiningslegemet. 0 (Eksempeloppgave 0) k E9 (Kapittel ) Løs likningene. a sin cos = 0, [ 0,360 ] b sin cos =, [ 0,π ] c sin + cos = 0, π,π sin 3sin + = 0, 0,π d ( ) [ ] [ ] + = [ π ] = [ ] e sin 3cos 0, 0, f 3tan 0, 0,5 E0 (Kapittel ) En trigonometrisk formel er gitt ved cos( u + v) = cos u cosv sinu sinv. a Bruk formelen til å bestemme et uttrkk for cos( ). 4 4 b Skriv uttrkket cos sin så enkelt som mulig. (Eksamen våren 05) E (Kapittel ) En formel er gitt ved cosv = sin v. Bruk denne formelen til å bestemme eksakt verdi av cos36, gitt at sin8 = ( 5 ). 4 (Eksempeloppgave 0) E (Kapittel 3) Deriver funksjonene. a f ( ) = sin5 cos b g 3 ( ) = e sin 3 sin3 ( ) = e j ( ) = e d i c h ( ) = sin6 f k ( ) = cos Aschehoug 06

5 46 E3 (Kapittel 3) Figuren viser grafen til en trigonometrisk funksjon av tpen f ( ) = a sin ( c + ) + d Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrkket f() for denne funksjonen. (Eksempeloppgave 0) E4 (Kapittel 3) En funksjon f er gitt ved f ( ) = asin ( c + ) + d Grafen til funksjonen har et toppunkt i (0, 7). Det nærmeste bunnpunktet til høre for dette toppunktet er (, 3). a Forklar at funksjonsuttrkket kan skrives π π f ( ) = sin b Lag en skisse av grafen til f for [ 0,]. (Eksamen våren 04) E5 (Kapittel og 3) Funksjonen f er gitt ved f ( ) = 3 3cos( ), π, π a Bestem nullpunktene til f ved regning. b Bruk f ( ) til å bestemme -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. c Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til f. Avgjør hvilken. Begrunn svaret. () () (3) (Eksamen våren 05) Aschehoug 06

6 Uten hjelpemidler 47 E6 (Kapittel og 3) Regn ut integralene. a 4e d b sinπ d 4 0 c 4ln d d d 4 e d f d π g 8e d h sin d E7 (Kapittel 4) Vi har gitt punktene A(, 0, 0), B(0,, ), C(,, ) og D(4,, 3). Punktene danner en pramide med toppunkt i D og med rabc som grunnflate. a Bestem AB AC. b Bestem arealet av grunnflaten og volumet av pramiden. (Eksempeloppgave 0) E8 (Kapittel 5) En kuleflate er gitt ved likningen z 4z = 0 a Vis at punktet P(4,, ) ligger på kuleflaten. b Bestem sentrum og radius til kula. c Bestem en likning for tangentplanet til kula i punktet P. (Eksamen høsten 05) E9 (Kapittel 4 og 5) Punktene A(,, ), B(, 3, 4) og C(, 3, ) er gitt. a Bestem ved regning vektorproduktet AB AC. b Forklar at C ikke ligger på linja gjennom A og B. c Bestem en likning for planet α gjennom A, B og C. d Avgjør om punktet D(,, 3) ligger i α. (Eksamen høsten 05) E0 (Kapittel 4 og 5) Punktene A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) og C(0, 0, ) er gitt. a Bestem AB AC. Bestem arealet av rabc. b Punktene A, B og C ligger i et plan α. Bestem likningen for planet α. En partikkel starter i origo O(0, 0, 0). Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved t t OP = t,, t 3 4, 0 c Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet α? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer α. (Eksamen våren 05) Aschehoug 06

7 48 E (Kapittel 4 og 5) Vektorene u = [,, ] og v = [,, ] er gitt. a Bestem ( u, v ). Et plan β går gjennom punktet P(, 0, ). Videre er β u og β v. b Vis at n = [,,] er en normalvektor til planet β. c Bestem likningen til planet β. (Eksempeloppgave 04) E (Kapittel 4 og 5) Punktene A(0, 6, 6), B(0, 0, 7) og C(6, 0, 5) ligger i planet α. a Bestem likningen for α. Et punkt P ligger på linja gjennom punktene O(0, 0, 0) og A(0, 6, 6). b Bestem mulige koordinater til P slik at volumet av tetraedret ABCP blir 4. (Eksamen høsten 04) E3 (Kapittel 4) Gitt vektorene a, b og c. Ingen av vektorene er 0. a Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre når a b = 0 a b = 0 3 a ( b c ) = 0 b Bruk definisjonen av a b og a b til å vise at a b + a b = a b. c Skisse viser en trekant utspent av vektorene a og b. ( ) ( ) ( ) Forklar at arealet F av trekanten er F = a b a b. Kommenter hvert av de to tilfellene der a b = 0 og a b = 0. d Bruk uttrkket i oppgave c til å regne ut arealet av rabc i skisse. C(3,, 5) b F B(, 3, 4) a Skisse A(,, ) Skisse (Eksamen høsten 0, del ) Aschehoug 06

8 Uten hjelpemidler 49 E4 (Kapittel 4 og 5) Vi har gitt punktene A(3, 0, ), B(0,, 0) og C(,, 4). a Bestem AB AC. b Finn en likning for planet α som går gjennom punktene A, B og C. En rett linje l går gjennom punktene P(5, 4, 4) og står vinkelrett på planet α. = 5 + t c Vis at en parameterframstilling for l er = 4 + t z = 4 + t Finn skjæringspunktet mellom l og z-planet. Vi lar Q være et vilkårlig punkt på linja l. d Bestem volumet av pramiden ABCQ uttrkt ved t. e Bestem koordinatene til Q slik at volumet av pramiden ABCQ blir 4. (Eksamen våren 00) E5 (Kapittel 6) Løs differensiallikningene. a = b + = e c + 5 = når ()= 0 d = 0 når ( 3) = e π + sin = 0 når 3 = f 6 = 0 når ()= 0 5 og () 0 = 5 E6 (Kapittel 6) a Finn den generelle løsningen på differensiallikningen = 5 der er en funksjon av. b Bestem konstanten i den generelle løsningen når du får vite at (0) =. 49 Bestem når =. Du kan få bruk for at ln 6,8. c Grafen til har en tangent i punktet (0, ). Finn likningen for denne tangenten. (Eksamen våren 0) E7 (Kapittel 7) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S ( ) = , 0 a Bestem konvergensområdet til rekka. b Bestem slik at S() = 4. (Eksamen våren 05) Aschehoug 06

9 40 E8 (Kapittel 7) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved a Bestem konvergensområdet til rekka. b Bestem summen s() av rekka. c Vis at s( ). (Eksempeloppgave 04) E9 (Kapittel 7) a En aritmetisk rekke med a = og d = 3 er gitt. Bestem a 5. Første rad i en kinosal har 30 plasser. Radene bak øker med seter per rad. Rad 0 er den bakerste raden i kinosalen. b Bruk relevante formler og bestem hvor mange seter det er på den bakerste raden, og hvor mange seter det er i salen totalt. (Eksempeloppgave 0) E30 (Kapittel 7) En geometrisk rekke har seks reelle, positive ledd. Videre har vi at a 8, = a6 = a a 4, 5 = 3 3 a Bestem eksakt verdi for. 7 b Vis at S6 = 7( ) = +. (Eksempeloppgave 0) E3 (Kapittel 7) Bevis at påstandene er sanne for alle n N ved induksjon. n n 5 a = 4 b 3 4 n n + = n + c En følge er gitt ved a = og a n + = a n + n 3. ( n )( n 5) Da er det n-te leddet gitt ved an =. d En funksjon f er gitt ved f( ) = e k, k R. ( n) n k Da er den n-tederiverte gitt ved f ( ) = k e. Aschehoug 06

10 Med hjelpemidler 4 Med hjelpemidler E3 (Kapittel ) Funksjonen f er gitt ved f ( ) = a + b + c, a < 0 og c > 0 Grafen har toppunkt i R. Se skissen nedenfor. R T T P Q P Q a Forklar at grafen til f skjærer -aksen i punktene b + b 4ac b b 4ac P,0 og Q,0 a a der P ligger til venstre for Q. b Bruk CAS til å vise at arealet T til rpqr er gitt ved c T = ( ) b 4ac b 4ac 8a Bestem arealet T mellom grafen til f og -aksen. d Bestem forholdet T. T (Eksamen høsten 05) Aschehoug 06

11 4 E33 (Kapittel ) Funksjonen f er gitt ved f ( ) = + a + b, Df = R. Tangentene i punktene Q( sfs, ()) og R( t, ft ()) skjærer hverandre i et punkt P. Se skisse. a Vis at likningen for de to tangentene er g ( ) = ( a + s) + b s og h( ) = ( a + t ) + b t b Bruk CAS til å vise at -koordinaten til punktet P er s t gitt ved p = +. Q(s, f(s)) Skisse P R(t, f(t)) Den vertikale linja = p deler området mellom grafen og tangentene i to områder. Se skisse. c Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b. (Eksamen våren 05) Q(s, f(s)) P R(t, f(t)) p E34 (Kapittel ) Skisse Figur nedenfor viser grafen til funksjonen f gitt ved f ( ) =, [, a ] Vi dreier grafen til f 360 om -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur. a Figur Figur a Bestem volumet V(a) av omdreiningslegemet. a b Bestem f ( ) d. Omdreiningslegemet har overflateareal O(a). Forklar at O() a > f ( ) d. a c Vi lar a. Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn. Bestem lim Oa () og limv() a hvis grenseverdiene eksisterer. a Kommenter svarene. (Eksamen våren 04) a Aschehoug 06

12 Med hjelpemidler 43 E35 (Kapittel ) En rett linje går gjennom punktene A(0, R) og B(h, r). Se figur. En rett, avkortet kjegle framkommer ved å rotere linjestkket AB 360 om -aksen. Se figur. A(0, R) R r B(h, r) r h h Figur Figur r R a Vis at linja gjennom A og B har likningen = + R. h b Bruk CAS til å vise at volumet V av den rett avkortede kjegla er h V R Rr r = π ( + + ) 3 c Forklar kort hvilket omdreiningslegeme vi får hvis r = 0 og hvis r = R. (Eksempeloppgave 04) E36 (Kapittel ) Et kulesegment framkommer ved at vi dreier en del av en sirkel 360 om -aksen. Se skissene nedenfor. Sirkelen er gitt ved + = r. r r r h h h Vis at volumet av kulesegmentet er gitt ved V =πh r 3. (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

13 44 E37 (Kapittel ) En funksjon f er gitt ved f ( ) = a + b + c D = R., f Et område er avgrenset av grafen til f og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til f og den rette linja har -koordinater p og q. Se skissen til høre. f Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til f og den rette linja, bare er avhengig av differansen p q og a (eller differansen q p og a). (Eksempeloppgave 04) p q E38 (Kapittel ) Grafene til funksjonene 3 f ( ) = + + k + 3, k > 0 g ( ) = + 3 er gitt til høre. g Vis at A = A for alle k > 0. (Eksempeloppgave 0) A f A Aschehoug 06

14 Med hjelpemidler 45 E39 (Kapittel ) En oljetank framkommer ved at vi dreier grafene til funksjonene f ( ) = 600 6, [ 0,0] g ( ) = 600 6( 80 ), [ 80,90] h ( ) = 40, [ 0,80] 360 om -aksen. Se skissen nedenfor. Alle mål er i centimeter og er innvendige mål i tanken Bestem hvor mange liter oljetanken kan romme. (Eksempeloppgave 0) E40 (Kapittel ) Hvis vi legger tverrsnittet av et spesielt glass i et koordinatsstem, kan innvendig radius beskrives med funksjonen r gitt ved 3 r ( ) = 0, ,069 0,33 +,9, [ 0,4,5] der både r og oppgis i centimeter. a Tegn grafen til r, og bestem minste og største innvendige radius i glasset. b Bestem volumet av mengden brus som kan flles i glasset. c Bestem hvor høt 50 cm 3 brus står i glasset. (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

15 46 E4 (Kapittel ) En sirkel med sentrum i origo O er gitt ved + = r Hvis vi dreier øvre halvdel av sirkelen 360 om -aksen, kalles omdreiningslegemet en kule. r r O r a Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av kula er En såkalt ellipse med sentrum i origo O er gitt ved a + b = 4 3 π r. 3 Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen 360 om -aksen, kalles omdreiningslegemet en ellipsoide. b a O a 4 b Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er π ab. 3 (Eksempeloppgave 0) E4 (Kapittel 3) Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var snlig ved midnatt på noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år. Døgn nr. () Snlig del 0,5 0,8 0, 0,06 0,0 0,00 0, 0,57 0,99,00 Døgn nr. () Snlig del 0,80 0,3 0,0 0,4 0,64,00 0,77 0,3 0,0 0,00 a Lag en sinus-funksjon f som gir en god modell for dataene ovenfor. Bestem perioden, amplituden og likevektslinja. b Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i denne perioden. (Eksempeloppgave 04) Aschehoug 06

16 Med hjelpemidler 47 E43 (Kapittel 3) Ut fra et kvadrat med side A skal vi skjære ut overflaten av en pramide for å få størst volum i pramiden. Overflaten av pramiden har en kvadratisk grunnflate med side s og fire likebeinte trekanter. Se figuren nedenfor. Vi skal bestemme hvor me vi må skjære ut av kvadratet,, for å få størst volum av pramiden. A s A s Det kan vises at s =, og at høden h i pramiden er h = A. a Vis at volumet av pramiden kan skrives som V( ) = ( A ) A. 6 b Bestem eksakt verdi for uttrkt ved A slik at volumet av pramiden blir størst mulig. (Eksempeloppgave 0) E44 (Kapittel 3) Lufttemperaturen g (målt i grader celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved π π g ( ) = 5sin 5cos, [ 0,4] der er tiden målt i timer etter midnatt. Bestem høeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter inntreffer disse temperaturene? (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

17 48 E45 (Kapittel og 3) Thomas står i et punkt A på kanten av et sirkelformet svømmebasseng med diameter AB = 40 m. Thomas vil komme seg raskest mulig over til punkt B. Thomas kan løpe med B farten k m/s og svømme med farten k m/s. Et punkt C på bassengkanten er gitt ved at AOC = θ der θ [ 0, π ]. I punktet A er θ = 0. I punktet B er θ =π. θ BOM = π, der M er midtpunktet på BC. Se skissen. M 0 m O 0 m θ C A a Vis at tiden som Thomas bruker for å løpe fra A til C og deretter svømme fra C til B, kan beskrives av funksjonen T gitt ved π θ 40sin 0θ T ( θ) = +, DT = [ 0, π], k R + k k b Bruk blant annet T ( θ) til å avgjøre hvordan Thomas på raskest mulig måte kan komme seg fra A til B. (Eksempeloppgave 04) E46 (Kapittel og 3) v Figuren ovenfor viser et rektangel som er innskrevet i en halvsirkel med radius. a Forklar at arealet av rektanglet er gitt ved Av ()= sinv cos v b Bestem eksakt vinkel v slik at arealet av rektanglet blir størst mulig. Bestem arealet av det største rektanglet. (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

18 Med hjelpemidler 49 E47 (Kapittel 3) I en bilmotor kan avstanden fra sentrum i veivakselen til toppen av et av motorens stempler beskrives som en funksjon s av tiden t. Avstanden er målt i centimeter og tiden i sekunder. st () = 3,5 sin ( 0t + 4,7) + 7,5 a Tegn grafen til s for t 0,0,06, og merk av amplitude, likevektslinje og periode. b Bestem den største farten v til stemplet, målt i m/s når v() t = s () t. c Bestem den største akselerasjonen a til stemplet målt i m/s når at () = s () t. (Eksempeloppgave 0) E48 (Kapittel 3) En kjegle skal ha overflate (sideflate og grunnflate) på m. s s Sideflate: πrs h s πr r r Bunn: πr Bestem radius og høde i kjegla slik at volumet av kjegla blir størst mulig. (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

19 430 E49 (Kapittel 3) I en planlagt operasjon fra MI6 skal James Bond først kjøre en vannscooter med gjennomsnittsfart på 95 km/h. Deretter skal han kjøre en motorskkel med gjennomsnittsfart på 60 km/h. Bond må beregne hvor han skal plassere motorskkelen i punktet P slik at han kan komme seg raskest mulig fra punkt A til bilen i punkt C. A 5 km S S B P C km a Forklar at funksjonen f gitt ved f ( ) = beskriver tiden som James Bond vil bruke på vannscooteren og motorskkelen. b Bestem og dermed punktet P slik at James Bond bruker minst mulig tid fra punkt A til punkt C. (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

20 Med hjelpemidler 43 E50 (Kapittel 3) Grafen nedenfor viser snittflaten av en skateboardrampe. Alle mål er oppgitt i meter Bakkenivå 3 4 Kurven til skateboardrampen kan beskrives ved funksjonen = cos a Hva er det høeste punktet på skateboardrampen? b Vis at stigningen på skateboardrampen alltid er mindre eller lik eller alltid større eller lik. c Bestem arealet av snittflaten av skateboardrampen (fargelagt område under grafen). (Eksempeloppgave 0) E5 (Kapittel og 3) Et rektangel ABCD er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i O og radius 0. Vi setter COD = v, der 0 < v < π. Se figuren nedenfor. D C 0 0 v O A B a Vis ved regning at arealet F av sirkelsektoren COD er F(v) = 50v. b Vis ved regning at arealet T av det fargelagte området på figuren kan skrives som T(v) = 50(v + 3sinv) c Bestem v grafisk slik at T blir størst mulig. Bestem T maks. (Eksamen våren 04) Aschehoug 06

21 43 E5 (Kapittel, og 3) Funksjonene f og g er gitt ved f ( ) = cos g ( ) = k, k > 0 Skisse av grafene til f og g er tegnet nedenfor. f A A g a Bestem nullpunktene til g uttrkt ved k. b Bestem k slik at arealene A og A på figurene ovenfor er like store. c Bruk formelen cos( u + v) = cos ucosv sinusinv til å vise at cos ( ) = + cos ( ) (*) Når vi dreier flatestkket med arealet A 360 om -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum V. d Bruk formelen (*) i oppgave c til å bestemme et eksakt uttrkk for V. (Eksamen høsten 03) E53 (Kapittel og 3) En pramide ABCDT med kvadratisk grunnflate er slik at TA = TB = TC = TD = 0 m. De fire sideflatene i pramiden er likesidede, kongruente trekanter. Vinkelen i disse trekantene er slik at π π < <. 4 Pramiden ABCDT og en sideflate ABT er vist på figuren nedenfor. T T D C A N M B A M B Aschehoug 06

22 Med hjelpemidler 433 a Bestem AB og TM uttrkt ved. b Vis at det totale overflatearealet av pramiden (inkludert grunnflaten), målt i kvadratmeter er gitt ved O( ) = 400( cos + cos sin ). c Vis at høden i pramiden er gitt ved TN = 0 sin cos. Vis at volumet av pramiden, målt i kubikkmeter, er gitt ved V ( ) = cos cos 3 Bestem grafisk slik at volumet av pramiden blir størst mulig. Bestem volumet av pramiden da. (Eksempeloppgave 0) E54 (Kapittel 3) En kule med konstant radius r er innskrevet i en regulær firkantet pramide med variabel høde. Kula tangerer pramidens bunn og fire sideflater. Lengdene og z er hjelpestørrelser som du kan få bruk for i utregningene. Se skissene nedenfor. T T z z S r C S r C A O B Figur : Kule og pramide i rommet A O B Figur : Tverrsnitt av kule og pramide 4 r a Vis at volumet av pramiden kan skrives som V = r 3 r, >. (Tips: Bruk blant annet ptagorassetningen og formlikhet) 3 b Vis at det minste volumet av pramiden er r 3. 3 Vis at da er høden i pramiden lik 4r. En setning sier at når volumet av pramiden ovenfor er minst mulig, er også den samlede overflaten av pramiden minst mulig. c Bruk dette til å bestemme den minste overflate pramiden kan ha. Vis at O r V = 3 (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

23 434 E55 (Kapittel og 3) En person står og ser på et bilde på en vegg. Vi ønsker å bestemme hvor langt fra veggen han må stå for at snsvinkelen α skal bli størst mulig. Snsvinkelen varierer med avstanden AB =. På figuren nedenfor er DAC = α, DAB = u, CAB = v, BD = b, BC = a. Vi setter f( ) = tan( α) = tan ( u v). D C B m α A tanu tanv a Vis at f( ) = ( b a) ved å bruke at tan ( u v) =. + ab + tanu tanv Vi ønsker å bestemme avstanden slik at snsvinkelen α blir størst mulig. b Vis at = ab gir f( ) maks. (Eksempeloppgave 0) E56 (Kapittel 3) London Ee er et pariserhjul med diameter 35 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går om bord i pariserhjulet fra en plattform som ligger m over bakkenivå. Etter t min fra ombordstigning er en passasjer h(t) m over bakkenivå. π Det kan vises at ht ()= 67,5cos t 69, a Bruk graftegner til å tegne grafen til h for t 0,30. Bestem grafisk når passasjerene er 50 m over bakkenivå. b Bestem vendepunktene på grafen til h. Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av h ( 7,5) og h (,5) gir. (Eksamen våren 05) Aschehoug 06

24 Med hjelpemidler 435 E57 (Kapittel, og 3) Vi har tegnet grafen til f( ) = cos og en tangent til denne i punktet P( a, fa ()). Skjæringspunktet mellom tangenten og koordinataksene er A og B. Se skissen til høre. a Vis at likningen for tangenten er = ( sina) + a sin a + cos a b Bestem koordinatene til punktene A og B. Vis at arealet av roab er cos a F r OAB = ( a sina + cos a) a + sin a O B P A c Forklar at arealet T av det fargelagte området på skissen til høre kan skrives Ta ()= F r OAB d Tegn grafen til T når a 5, π e Bestem T min med tilhørende verdi av a. Finn ut hva som skjer med arealet av det O B P A fargelagte området når a π. (Eksamen høsten 00) E58 (Kapittel og 3) Et fotballmål har lengde CD = 7,3 m. En fotballspiller løper med ballen langs linjestkket AB, slik figuren nedenfor viser. Punktet B ligger 8,0 m fra punkt C. Han vil skte på mål når α = DAC er størst mulig. α avhenger av lengden = AB. D 7,3 m C 8,0 m B m α A Vi setter DAB = u og CAB = v og lar f( ) = tan( α) = tan ( u v). tanu tanv a Bruk formelen tan ( u v) = til å vise at f( ) = + tanu tanv b Bestem den største verdien for f() og tilhørende verdi for. Vi vet at α har sin største verdi når tan α har sin største verdi. c Bestem α maks. (Eksamen høsten 04) Aschehoug 06 7,3. +,4

25 436 E59 (Kapittel, og 3) En funksjon er gitt ved f ( ) = 8e sin a Tegn grafen til f, og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når 0, π. I en formelsamling for matematikk finner vi formelen a e a sin b d e = asinb bcos b C a b ( + ) + b Bruk formelen til å bestemme f ( ) d. Kontroll svaret ved derivasjon. c Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av -aksen og grafen til f når 0, π. (Eksamen høsten 0) E60 (Kapittel 3) En automatisk strømbrter for utels skal programmeres. Lset slås på når det begnner å mørkne. En modell for dette tidspunktet er gitt ved π ft ()= 9 4cos t 80 der f(t) er tidspunktet målt i timer etter midnatt og t er antall dager regnet fra nttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 30 dager. a Når begnner det å mørkne 5. mars, ifølge modellen? b Tegn grafen til f. Bestem likevektslinja, amplituden og perioden til f. Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lset slås på? c Bestem når på året lset slås på kl d Bestem når på året dagslset varer lengst ifølge modellen. (Eksamen våren 0) E6 (Kapittel 3 og 4) Hjørnene i en pramide ABCP er A( 0,0,0, ) B(, 0,, ) C(,, 0) og P( t,t +, t + ), t R. a Bestem et uttrkk for volumet V(t) av pramiden. 7 b Bestem koordinatene til P slik at V()= t. c Bestem koordinatene til P slik at volumet V(t) blir minst mulig. (Eksamen våren 05) E6 (Kapittel 5) Et plan α er gitt ved + z + 3 = 0. a Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet S(,, 6), og som har α som tangentplan. b Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet α. Et plan β er gitt ved + z = 0. Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel. c Bestem radien i denne sirkelen. (Eksamen høsten 04) Aschehoug 06

26 Med hjelpemidler 437 E63 (Kapittel 4 og 5) Punktene A(4, 3, ), B(,, 0) og C(,, ) er gitt. En setning i geometri sier: Et plan er entdig bestemt av tre punkter hvis disse punktene ikke ligger på en rett linje. a Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan α entdig. b Bestem en likning til planet α. Et punkt T har koordinatene (, 5, 4t + ). c Bestem t slik at volumet av pramiden ABCT blir 3. (Eksamen våren 04) E64 (Kapittel 4 og 5) z T (0, 0, 4) A 4 D 35 B (4, 0, 0) C En pramide ABCDT er gitt på figuren ovenfor. Pramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsstem slik at koordinatene til A, B og T er gitt ved A(0, 0, 0), B(4, 0, 0) og T(0, 0, 4). Punktene C og D ligger i -planet. a Vi setter BAD = 35 og AD = 4. Vis at D har koordinatene ( 4, 4, 0). b Punktet C er slik at BC = AB + AD. Vis at C har koordinatene (, 4, 0). Punktene B, D og T ligger i et plan α. c Vis at likningen for α er + + z 4 = 0. Volumet av pramiden ABDT kalles V, og volumet av pramiden CBDT kalles V. d Bestem forholdet V. V (Eksamen høsten 04) Aschehoug 06

27 438 E65 (Kapittel 5) En kule K har sentrum i S(, 0, ) og radius. En linje l går gjennom punktene A(7,, 5) og B(5, 4, 9). Bestem skjæringspunktene mellom linja l og kula K. (Eksamen høsten 05) E66 (Kapittel 5) En kule med sentrum i (, 3, 3) er gitt ved z 6z 4 = 0 En rett linje l gjennom sentrum er gitt ved = + t l: = 3 + 4t z = 3 + 4t a Bestem skjæringspunktene mellom l og kula. b Bestem likningen til hvert av planene som tangerer kula i skjæringspunktene. (Eksempeloppgave 0) E67 (Kapittel 5) En rett linje i planet skjærer koordinataksene i A(a, 0) og B(0, b). Se skissen til høre. a Vis at likningen til linja kan skrives b = a + b b Vis at dette også kan skrives + = a b B Et plan α i rommet skjærer koordinataksene i A(a, 0, 0), B(0, b, 0) og C(0, 0, c). c Vis at normalvektoren til planet α er n = bc, ac, ab. d Vis at likningen til α kan skrives z + + = a b c Planet β skjærer -aksen i D(5, 0, 0) og -aksen i E(0, 4, 0). Planet er parallelt med z-aksen. e Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d til å bestemme likningen for planet β. (Eksamen høsten 03) A z C O A B Aschehoug 06

28 Med hjelpemidler 439 E68 (Kapittel 5) I et koordinatsstem er det gitt et punkt P(5,, 4) og et plan α: + z + = 0 Punktene A(0, 0, 4), B(, 0, 0) og C(,, 4) ligger i et annet plan β. a Bestem likningen til β, og forklar at α β. b Regn ut avstanden mellom planene α og β. Planene α og β er begge tangentplan til en kule. Sentrum S i kula og de to tangeringspunktene D og E ligger på en rett linje l gjennom punktet P. Se figurene nedenfor. l P α β l P α D D β E S E Figur : Kule og plan i rommet Figur : Tverrsnitt av kule og plan c Sett opp en parameterframstilling for l. d Bestem koordinatene til D og E. e Bestem likningen for kula. (Eksamen våren 0) E69 (Kapittel 5) En kule har sentrum i S(0, 0, 5) og punktet P(,, 3) ligger på kula. a Bestem en likning for kula, og bestem en likning for kulas tangentplan i P. Et annet tangentplan til kula er gitt ved α : z + 3 = 0. b Bestem koordinatene til berøringspunktet Q mellom kula og α. (Eksempeloppgave 0) E70 (Kapittel 6) I en modell for utviklingen av en bestemt tpe kreftceller er antallet kreftceller en funksjon av tiden, som oppfller differensiallikningen N () t = 0,8 0,88 t Nt () der N er antallet kreftceller (målt i millioner) ved tidspunktet t (målt i døgn). Videre er N(0) = 66. a Bestem vekstfarten ved tidspunktet t = 0. Forklar hva dette svaret betr i praksis. b Bestem et uttrkk for N(t). (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

29 440 E7 (Kapittel 6) Roger planlegger en skkeltur. Han regner med å kunne starte med farten 6 km/h. Etter hvert vil farten avta etter formelen v() t = 6 0,08 st (). v(t) og s(t) er begge funksjoner som er avhengige av tiden t målt i timer. v(t) er farten målt i kilometer per time. s(t) er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer. a Bestem farten etter 5 km. Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen s () t = 6 0,08 st () b Bestem s(t) når s(0) = 0. c Hvor langt skler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 5 km? (Eksamen våren 05) E7 (Kapittel 6) En båt veier 4 tonn og holder en jevn fart på 5 m/s. Motoren stanser plutselig, og vannet bremser med en kraft som er proporsjonal med den farten båten har. Proporsjonalitetsfaktoren er 400 kg/s. v a Forklar at differensiallikningen v =, der v er farten til båten ved 0 tiden t, kan beskrive denne situasjonen. Forklar også at s differensiallikningen s =, der s er posisjonen til båten ved tiden t, 0 også kan beskrive situasjonen. b Bestem farten til båten 3 s etter at motoren er stanset, og hvor langt båten kommer i løpet av denne tiden. c Bestem hvor langt båten kommer før den stopper helt. (Eksempeloppgave 0) E73 (Kapittel 6) 0,5 a Tegn et retningsdiagram for differensiallikningen = e + 4 og integralkurven gjennom punktet P(0, 4). b Bestem funksjonsuttrkket til integralkurven og bestem stigningstallet for tangenten til integralkurven i P. (Eksempeloppgave 0) E74 (Kapittel 6) En rask fritidsbåt kjører med farten 5 m/s da motoren plutselig stanser. Båten bremses ned i vannet, og sekunder etter motorstansen er farten m/s og akselerasjonen er m/s. I denne situasjonen gjelder differensiallikningen = k, k < 0. a Med det samme motoren stanser, er akselerasjonen m/s. Bestem konstanten k. Vis at den generelle løsningen på differensiallikningen er = 0,0 + C, der C er en konstant. b Bestem konstanten C og farten til båten 3 s etter motorstansen. Strekningen båten fltter seg, er s() meter etter motorstansen. Da gjelder s =. c Bestem hvor langt båten fltter seg i løpet av de tre første sekundene etter motorstansen. (Eksamen våren 0) Aschehoug 06

30 Med hjelpemidler 44 E75 (Kapittel 6) En tank inneholder vann. Vi vil undersøke hvor høt vannet står i tanken t minutter etter at vannet har begnt å renne ut. Vi lar vannstanden (vannhøden) være (t). (0) (t) Torricellis lov sier følgende: Vannstanden avtar med en fart som er proporsjonal med kvadratroten av vannstanden. a Forklar at Torricellis lov gir differensiallikningen = k, k > 0. b Bruk metoden for løsning av separable differensiallikninger til å vise at den generelle løsningen til likningen i oppgave a er gitt ved = ( kt + C) 4 h Du får vite at (0) = h og ( 0) =. 4 h c Vis at én løsning for konstantene er C = h og k =. 0 Bestem hvor lang tid det tar før tanken er tom. (Eksamen høsten 0) E76 (Kapittel 6) Vis at f( ) = 5e 3 sin( ) er en løsning av differensiallikningen = 0, () 0 = 0 og () 0 = 0 (Eksamen høsten 05) E77 (Kapittel 6) I en kriminalserie på TV ble et drapsoffer funnet kl..00. Kroppstemperaturen ble da målt til 30 C. Rommet der den drepte ble funnet, hadde hatt en konstant temperatur på C siden mordet skjedde. Vi lar kroppstemperaturen være (t) C t timer etter at den døde ble funnet. a Ifølge Newtons avkjølingslov er temperaturendringen per time proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen. Forklar at dette gir differensiallikningen = k( ), der k > 0. b Forklar at (0) = 30, og løs differensiallikningen. c En time etter at den døde ble funnet, ble kroppstemperaturen målt til 8 C. Bruk dette til å bestemme konstanten k. Vi antar at drapsofferet hadde en kroppstemperatur på 37 C like etter at døden inntraff. d Bruk (t) til å anslå når drapet ble utført. (Eksamen våren 04) Aschehoug 06

31 44 E78 (Kapittel 6) Hvis en person blir liggende i vann med temperatur 0 C, kan endringen i kroppstemperatur K C under visse betingelser kunne beskrives med differensiallikningen K () t = 0,0Kt () der t er målt i minutter. En person faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen snker etter modellen ovenfor. a Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å snke fra 37 C til 5 C (5 C er antatt grense for å overleve). b Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 0 min etter at personen faller i vannet. (Eksempeloppgave 04) E79 (Kapittel 6) En kloss med masse m er festet i en fjær med fjærkonstant k. Klossen kan fltte seg langs en vannrett, rett linje. Vi ser bort fra luftmotstand og andre tper friksjon. = 0 = (t) a Bruk Newtons andre lov til å sette opp en differensiallikning for utslaget fra likevektsstillingen ved tiden t. Sett m = 0,50 kg og k =,0 N/m i resten av oppgaven. Vi drar klossen 6,0 cm fra likevektsstillingen før vi slipper den. b Finn (t), og tegn grafen til funksjonen. c Finn amplituden og svingetiden. I et annet forsøk måler vi med datalogger at klossen har farten,4 m/s når den passerer likevektstillingen. d Finn utslaget som funksjon av tiden i dette forsøket. Sammenlikn med resultatene i oppgavene b og c. E80 (Kapittel, 3 og 6) En differensiallikning er gitt ved = 0. a Sett opp den karakteristiske likningen, løs den og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrkk for. b Finn integrasjonskonstantene når du får vite at ()= 0 3 og 3 π 0 4 =. c Tegn grafen til = f( ) for [ 0,3π. d Bestem eventuelle nullpunkter til f og koordinatene til eventuelle toppog bunnpunkter på grafen til f når [ 0,3π. (Eksamen høsten 04) Aschehoug 06

32 Med hjelpemidler 443 E8 (Kapittel 6) I denne oppgaven skal vi se på hvordan temperaturen T(t) (målt i C) på te avtar avhengig av tiden t målt i minutter. En flt tekopp står i et rom med jevn temperatur Tr = 9 C. Ved tiden t = 0 er temperaturen av teen og tekoppen T ()= 0 80 C. Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen per tid er proporsjonal med forskjellen mellom rommets temperatur T, og teens temperatur T(t). ( ) a Forklar at T () t = ktr Tt (). b Gitt at k = 0,06. Vis at utviklingen av teens temperatur T(t) kan beskrives 0,06t med funksjonen gitt ved T()= t 9 + 6e. c Tegn grafen til T, og bestem når temperaturen passerer 55 C. (Eksempeloppgave 0) E8 (Kapittel, 3 og 6) Funksjonen f er gitt ved 0, f ( ) = 4 e ( 4sin ( ) + 3cos( ) ), 0,5π a Tegn grafen og bestem topp- og bunnpunktene på grafen til f. Funksjonsuttrkket til f kan skrives på formen 0, f ( ) = K e sin ( + ) b Bestem konstantene K og. Funksjonen = f() er en løsning av differensiallikningen + a + b = 0. c Bestem konstantene a og b. (Eksempeloppgave 0, noe endret) E83 (Kapittel 7) En uendelig rekke er gitt ved a Vis at =,når,. 3 Det kan vises at () + ( ) + ( ) + ( ) + =,når,. 3 b Vis at =,når,. ( ) 3 4 c Bruk resultatet i oppgave b til å vise at = 4. d Bruk induksjon til å bevise påstanden n n Pn ( ): n N + n n, = + n + e Bruk det du har funnet ovenfor, til å bestemme lim n n. (Eksamen våren 04) Aschehoug 06

33 444 E84 (Kapittel 7) Sierpinski-trekanten, som har fått navnet sitt etter den polske matematikeren Waclaw Fanciszek Sierpinski (88 969), lager vi slik:. Vi starter med en likesidet, blå trekant med areal A. Se figur.. Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørner i en n hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står igjen med tre likesidede, blå trekanter. Se figur. 3. Vi gjentar denne prosessen med hver av de blå trekantene. Se figurene 3 5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Denne «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, blir kalt Sierpinski-trekanten. Figur Figur Figur 3 Figur 4 Figur 5 Summen av arealene som blir fjernet (de hvite trekantene), er gitt ved rekka A a Bestem summen av rekka ovenfor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpinski-trekanten? b Sidene i trekanten i figur er lik a. Forklar at omkretsen av de blå trekantene i figurene 5 ovenfor er henholdsvis 3 3 a,3 9 a,3 7 a og 3 8 a c Vi gjør prosessen som forklart i trinn ovenfor n ganger. n 3 Forklar at omkretsen av de blå trekantene da er lik 3 a. n 3 Forklar at 3 a når n. Hva forteller det om omkretsen til Sierpinski-trekanten? (Eksamen våren 03) Aschehoug 06

34 Med hjelpemidler 445 E85 (Kapittel 7) a Vi har en uendelig geometrisk rekke a + a + a3 + som er konvergent. Vis at summen av rekka kan skrives S = a a a Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint rabc der kantene har lengde. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige. C A B b Forklar at summen S av arealene til kvadratene kan skriver som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a til å bestemme S. c rabc inneholder også uendelig mange rettvinklede og likebeinte trekanter (markert med oransje på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene av disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen. d Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b og oppgave c ved hjelp av et geometrisk resonnement. (Eksamen høsten 04) E86 (Kapittel 7) Vi har gitt rekka nn ( + ) Bestem S n. Hvor mange ledd må du ta med for at summen av rekka skal bli større enn ? (Eksempeloppgave 0) Aschehoug 06

35 446 E87 (Kapittel 7) I et kvadrat med side er det innskrevet et annet kvadrat med hjørner midt på sidene i det første kvadratet. I det andre kvadratet er det innskrevet et tredje kvadrat med hjørner midt på sidene i det andre kvadratet. Slik fortsetter det i en uendelig prosess. Se figur nedenfor. Vi lar A, A, A3, være en følge av arealer av rettvinklede trekanter. Disse danner en blå «spiral». Se figur nedenfor. A A A 3 Figur Figur a Vis at arealene A, A, A3, danner en uendelig, geometrisk og konvergent tallfølge. b Bestem summen av rekka A + A + A3 + på to måter: ved hjelp av relevante formler ved et geometrisk resonnement (Eksempeloppgave 04) E88 (Kapittel,, 3 og 7) En funksjon f er gitt ved f ( ) = 5e 3 sin( ), [ 0, a Bruk graftegner til å tegne grafen til f for [ 0,3π ]. b Bestem nullpunktene til f i intervallet [ 0,3π ]. c Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til f i intervallet 0,3π. d Bestem arealet begrenset av grafen til f og -aksen mellom = 0 og = π. e Vis at nullpunktene til f danner en aritmetisk tallfølge a, a, a3,. Bestem a 0. f Vis at maksimalverdiene til f danner en geometrisk tallfølge b, b, b, Bestem b 5. g Begrunn at den uendelige rekka b + b + b3 + konvergerer. Bestem summen av rekka. (Eksamen høsten 05) 3. Aschehoug 06

36 Med hjelpemidler 447 E89 (Kapittel 7) I en rektangulær sekskant (heksagon) med side a innskriver vi en annen regulær sekskant slik at hjørnene faller midt på sidene i den første. I den andre sekskanten innskriver vi en tredje sekskant, og så videre. AB er en side i første sekskant. A er midtpunktene på AB. A B er en side i den andre sekskanten. A 3 er midtpunktet på A B. Slik oppstår uendelige mange punkter A, A, A3, A4,. Se figuren nedenfor. Alle sekskantene har indre vinkel på 0. VI ønsker å finne lengden på den brukne linja A, A, A, A, 3 4. B 4 A 5 B 3 0 A 4 0 B 0 0 A 3 A A B a Vis at AA a A A a AA a A A a, 3 4, = 3 = 3 4 = og 4 5 =. 8 6 b Forklar at AA + AA 3 + AA AA er en uendelig geometrisk rekke. ( ) c Vis at rekka har sum lik a + 3. (Eksempeloppgave 0) E90 (Kapittel og 7) Vi har gitt den uendelige geometriske rekka sin sin ( cos) sin( cos ), [ 0,360 a For hvilke verdier av konvergerer rekka? b For hvilken verdi av er summen av rekka lik 00? Aschehoug 06