Løsninger Innhold Innhold... 1.1 Lengde og vinkler... Måleenheter for lengde... Pytagoras setning... 5 Formlike trekanter... 9. Areal og volum... 1 Definisjon og måleenheter areal... 1 Arealformler... 14 Volum... 4 Prisme... 5 Sylinder... 0 Pyramide... 1 Kjegle... Kule.... Geometri i yrkesliv, kunst og arkitektur... 4 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1
.1 Lengde og vinkler Måleenheter for lengde.1.1 Gjør om til meter. a) 100 cm = 1 m b) 10 dm = 1 m c) 1 000 mm = 1 m d) 1 km = 1 000 m e) 1 mil = 10 km = 10 000 m.1. Gjør om til centimeter. a) 1, m = 10 cm b) 0 dm = 00 cm c) 10 mm = 1 cm d) 950 mm = 95 cm e),5 m = 5 cm.1. Gjør om til desimeter. a), m = dm b) 0 cm = dm c) 0 mm =, dm d) 750 mm = 7,50 dm e) 5,5 m = 5,5 dm.1.4 Fyll ut tabellen. m dm cm mm 1,5 1,5 15 1 50 4 40 400 4 000 0,59 5,9 59 590
.1.5 Fyll ut tabellen. Mil km m,0 0 0 000 4 40 40 000 0,90,90 90.1.6 Regn ut. Oppgi svarene i meter. a) 0,0 cm + 1,4 m + 8,0 dm = 0,0 m + 1,4 m +,80 m =5,4 m b) 740 mm + 0 cm + 6,0 dm = 0,740 m +,0 m + 0,60 m = 4,54 m c) 85 mm + 40,00 dm + 9,0 cm = 0, 085 m + 4,000 m + 0,090 m = 4,175 m.1.7 Regn ut. Oppgi svarene i kilometer. a),50 km + 900 m +,50 mil =,50 km + 0,900 km +,50 km = 5,90 km b) 1,00 mil + 50 m + 1 50 m = 10,0 km +,50 km + 1,50 km = 15,6 km.1.8 De første målesystemene som ble brukt, tok utgangspunkt i lengden av ulike kroppsdeler. Finn ut hvilken del av kroppen disse gamle enhetene stammer fra, og hva de tilsvarer i dagens metriske system. Du kan for eksempel finne svarene ved å gå inn på www.wikipedia.no Tidligere måleenhet Lengde Opprinnelse Fot 0,48 cm Lengden av en voksen manns fot Tomme,54 cm Sannsynligvis tverrmålet av en tommel ved negleroten Alen 6,75 cm Søk på internett og sjekk historien til alen Favn ca. 188 cm Søk på internett og sjekk historien til favn
.1.9 Gjør et overslag og skriv ned hvor lang og bred du tror pulten din er. Mål med linjal og finn ut hvor god du var til å beregne lengder. Gå sammen to og to og gjør overslag på andre lengder du finner i klasserommet. Hvem har best øyemål?.1.10 Antall siffer vi tar med når vi oppgir et tall, er et uttrykk for måltallets nøyaktighet. Antall gjeldende siffer er lik antall siffer i tallet, unntatt nuller først i tallet. Tabellen i eksempelet nedenfor klargjør begrepene tall, antall siffer, antall desimaler og antall gjeldende siffer. Fyll ut resten av tabellen. Tall Antall siffer Antall desimaler Antall gjeldende siffer 00,0010 7 4 7 0,0057 5 4 0,00570 6 5 1005 4 0 4,1415 5 4 5 0,0180 5 4 10,400 6 4 6 Regler Ved addisjon (+) og subtraksjon ( ) skal svaret oppgis med samme antall desimaler som det leddet som har færrest desimaler. Ved multiplikasjon (*) og divisjon (/) skal svaret angis med samme antall gjeldende siffer som det tallet som har færrest gjeldende siffer og som er med i utregningen. 4
.1.11 Regn ut og oppgi svaret i samsvar med reglene ovenfor. a) 4,7 kg + 50 kg = 54,7 kg 55 kg b) 8,5 m + 9,05 m 10 m = 17,55 m - 10 m = 7, 55 m 8 m c),14 ( cm) 11,40 cm = 175,64 cm 17 dm.1.1 Trekk sammen og begrunn ditt valg av enhet og desimaler for hvert svar. a) 400 m +,0 km + 400 mm = 0,4 km +,0 km + 0,0004 km,4 km b) 4,0 m + 61 dm + 900 mm = 4,0 m + 6,1 m +,9001 m 1,0 m c) 4,4 m + 61,5 dm + 900,1 mm = 4,4 m + 6,15 m +,9001 m = 1,45001 m 1,5 m Pytagoras setning.1.1 Finn lengden av siden b i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Bruker Pytagoras læresetning. hypotenus katet katet b 5,0,0 b 5 9 b 4 b 4 b 5,8 Lengden b er ca. 5,8 cm. 5
.1.14 Finn lengden BC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Bruker Pytagoras læresetning. hypotenus katet katet BC BC BC 5,0 5,0 5 5 50 BC 50 BC 7,1 Lengden BC er ca. 7,1 cm..1.15 Figuren viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen BC. Bruker Pytagoras læresetning. hypotenus katet katet BC BC BC BC 6,0 8,0 6 64 100 100 BC 10,0 Diagonalen BC er 10,0 m..1.16 Mål lengden og bredden av pulten du sitter ved. Bruk Pytagoras læresetning og regn ut lengden diagonalen på pulten din. Sjekk om du har regnet riktig ved å måle diagonalen. 6
.1.17 Sjekk om det er riktig at trekanten nedenfor er rettvinklet. Bruker Pytagoras læresetning og sjekker om lengden BC er 5,5 m. hypotenus katet katet BC BC BC 4,0 4,0 16 16 BC BC 5,7 Diagonalen BC er ca. 5,7 m. Trekanten er ikke rettvinklet.1.18 Regn ut lengden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Bruker Pytagoras læresetning. hypotenus katet katet katet hypotenus katet AB AB BC 10,0 6,0 100 6 64 BC 64 BC 8,0 Lengden AB er 8,0 dm. 7
.1.19 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten,50 cm lang. Regn ut lengden av den andre kateten. Bruker Pytagoras læresetning. katet hypotenus katet katet 5,15,50 katet 6,5 6,5 katet 0,7 katet 0.7 katet 4,50 Lengden av den andre kateten er ca. 4,50 cm..1.0 Trekanten ABC nedenfor er likebeint. AC er 6,75 m og AB er 10,80 m. Finn høyden h. Bruker Pytagoras læresetning. katet hypotenus katet h h h 10,80 6,75 45, 56 9,16 16,40 h 16,40 h 4,05 Høyden h er ca. 4,05 m. 8
Formlike trekanter.1.1 Forklar at trekanten ABC er formlik med trekanten DEF. Finn den siste vinkelen i trekantene. Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike. Den siste vinkelen er 180 45 71,57 6,4.1. Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike. a) Finn lengden AC Forholdstallet f mellom trekantene kan skrives som: f 6,0 0,75 8,0 4 Lengden AC 10,0 cm0,75 7,5 cm b) Finn lengden EF 6, cm Lengden EF 8, cm 0,75 9
.1. Se på figuren og forklar hvorfor trekanten BTS er formlik med trekanten B T S. T T B B S Trekantene BST og B ST har felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike..1.4 I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at trekanten DEF er formlik med trekanten GHF. Trekantene DFE og GFH har felles vinkel F. De parallelle linjene DE og GH skjæres av linjene gjennom DF og EF. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel DEF = vinkel GHF osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike. 10
.1.5 Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB. Forklar at trekanten DSC er formlik med trekanten ASB. Toppvinklene ASB og CDS er like store. De parallelle linjene DC og AB skjæres av linjene gjennom AB og CD. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike..1.6 Trekantene CSD og ASB nedenfor er formlike. a) Finn lengden DS. DS er samsvarende med AS. AB er samsvarende med CD. Finner et forholdstall f mellom sidene: f,0 0,75 4,0 Lengden DS 5, cm0,75 4,0 cm b) Finn lengden BS. 4,0 cm Lengden BS 5, cm 0,75 11
.1.7 Trekantene ABC og DEF nedenfor er formlike. A D Hvor store er de andre vinklene i trekantene? ACB DFE ACB 71,6 CBA FEB 180 45 71,6 6,4.1.8 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog-Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner 90 med bakken. Skisse Forholdstall f er: 10,5 f 1 0,5 Treet er,0 m1 4 meter høyt. 1
.1.9 Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din. Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er. Utstyr: Målbånd/tommestokk Metode: Gå ut i solen rett ved skolen. Få medeleven din til å måle skyggen som du lager. Mål lengden av skyggen som skolen lager. Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er. Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er!. Areal og volum Definisjon og måleenheter areal..1 Fyll ut tabellen m dm cm mm 1, 10 1 000 1 00 000 0,15 15 1 500 150 000 0,05,5 50 5 000 0,76 76 7 600 760 000.. Gjør om til kvadratdesimeter, dm. a) 670 cm = 6,70 dm b) 10 m = 1 000 dm c) 900 cm = 9,00 dm 1
.. Legg sammen og skriv svaret i kvadratmeter, m. a) b) 4 dm 800 cm 8,9 dm 40 000 mm 7 800 cm 45 dm 0,4 m 0,08 m 0,089 m 0,509 m 0,4 m 0,78 m 0,45 m 1,66 m..4 Legg sammen og skriv svaret i kvadratcentimeter, cm. a) b),1 m 80 dm 79 000 mm 8 00 mm 7 dm 0,05 m 1 000 cm 8 000 cm 790 cm 9 790 cm 8,0 cm 700 cm 500 cm 1 8 cm Arealformler..5 Gitt rektangelet ABCD nedenfor. a) Regn ut arealet av rektangelet. Arealet 6 m m=1 m b) Regn ut lengden av diagonalen AC. Bruker Pytagoras læresetning og finner diagonalen. AC AC AC AC 6 6 4 40 40 AC 6, 14
Diagonalen AC er ca. 6, meter c) Regn ut arealet av trekanten ABC. 6,0 m,0 m 1,0 m Arealet av trekanten ABC 6,0 m d) Hva er arealet av trekanten ACD? Trekantene ABC og ACD er formlike og like store. Arealet av ABC = arealet av ACD, altså 6,0 m..6 Et kvadrat har sidelengde på 10,0 cm. Regn ut arealet av kvadratet. Sidene i et kvadrat har lik lengde. Arealet av kvadratet 10,0 cm10,0 cm 100,0 cm..7 a) Mål opp pulten din og regn ut arealet. b) Sjekk om du får samme areal som eleven nærmest deg. c) Hva er årsaken dersom dere ikke fikk samme svar? Målefeil? Ulik størrelse? Avrunding?..8 Gitt trapeset ABCD. a) Finn arealet av trapeset. Sidelengden AB 6 m m 9 m 9 m 6 m 15 m Arealet av trapeset ABCD m m 15 m b) Finn arealet trekanten FBC og rektangelet AFCD. m m Arealet av trekanten FBC m Arealet av rektangelet AFCD 6 m m 1 m 15
c) Legg sammen arealene du fant i b). Hva observerer du? Summen blir m 1 m 15 m Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det samme som arealet av trapeset. (Heldigvis.)..9 Finn arealet av parallellogrammet EFGH. Arealet av parallellogrammet EFGH grunnlinje høyde 4 dm dm 8 dm..10 Finn arealet av trekanten ABC nedenfor. Finner først høyden h fra C ned på linja gjennom AB. Pytagoras læresetning gir: h h h 5 5 9 16 h 4 grunnlinje høyde cm4 cm Arealet av trekanten ABC 4 cm 16
..11 Regn ut arealet av sirkelen nedenfor. Arealet av sirkel r,0 cm 8, cm..1 Gitt en halvsirkel med radius 5 m. Regn ut arealet av halvsirkelen. Arealet av halvsirkelen 5,0 m r 9, m..1 Ei DVD-plate har en diameter på 1,0 cm. Innerst er det et hull med en diameter på 1,5 cm. Finn arealet av DVD-plata. Radien til DVD-plata er 6,0 cm og radien til hullet er 0,75 cm. Arealet av DVD-plata 6,0 cm 0,75 cm 11,10 cm 1,77 cm 111, cm 17
..14 Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm). Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m. Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ. Metode: Finner arealet av de to store firkantene. Legger til arealet av trekanten. Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre. Areal av den øverste store firkanten Areal av den nederste store firkanten 7,0 m8,0 m 56,0 m 8,0 m6,0 m 48,0 m 8,0 m,5 m 7,0 m,0 m 5,5 m4,0 m 11,0 m Areal av trekanten Areal av det området som blir med i begge de store firkantene,5 m,0 m 7,5 m Samlet areal blir: 56,0 m 48,0 m 11,0 m 7,5 m 107,5 m 18
..15 Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 0,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm. a) Regn ut høyden i trekanten. Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Bruker Pytagoras læresetning og finner høyden h. h h h h 0,0 15,0 900,0 5,0 675,0 675,0 h 6,0 Høyden i trekanten er ca. 6,0 cm. b) Regn ut arealet av den utskårne trekanten. Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen. 5 cm 0,0 cm6,0 cm 90,0 cm 9, cm 50,7 cm c) Regn ut omkretsen av den utskårne trekanten. Omkretsen av halvsirkelen r 5,0 cm 15,7 cm Omkretsen av trekanten blir dermed: 0 cm 0 cm10 cm10 cm15,7 95,7 cm 19
..16 Figuren nedenfor viser en arbeidstegning. Målene er satt på figuren. Regn ut overflaten (arealet) av gjenstanden. Overflaten av stort rektangel Overflaten av lite rektangel 6 cm1 cm 78 cm cm1 cm 4 cm 1 cm8 cm Overflaten av trekanten 48 cm Samlet overflate av gjenstanden: 78 cm 4 cm 48 cm 150 cm..17 Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm? Areal sirkel r 4,00 cm 50,7 cm Areal kvadrat 7,00 cm 49,00 cm Arealet av sirkel er størst. 0
..18 Regn ut arealet av det blå området på figuren. Areal av rektangel 6,0 m,0 m 18,0 m,0 m Areal av de to kvartsirklene 14,1 m 4 Arealet av det blå området blir: 18,0 m 14,1 m,9 m 1
..19 (Eksamen P, Våren 008 - Del ) Stians snekkerverksted har fått i oppdrag å produsere trefigurer med form som vist på figuren ovenfor. Figuren er sammensatt av et rektangel og en rettvinklet trekant. På venstre side av figuren er det skåret bort en halvsirkel. AC = 1,0 m, AB = 60 cm og BD = 40 cm. a) Regn ut lengdene av sidene BC og CD. Hvor store er vinklene u og v? Lengden av BC AC AB 100 cm 60 cm 40 cm Bruker Pytagoras læresetning for å finne CD. DC BC BD DC 40 cm 40 cm DC DC 1600 cm 1600 cm DC 00 cm 00 cm DC 56,6 cm Trekanten BCD er likebeint, BC BD 40 cm. Vinklene u og v er dermed like store. Vinkel CBD er 90. Vinklene u og v er dermed 45 Stian lager 100 slike figurer. Hver figur skal males på den ene siden. b) Hvor mye maling trenger han hvis 1 liter maling er nok til å dekke m? Overflaten av figuren: 40 cm40 cm Overflate trekant 800 cm Overflate rektangel 60 cm40 cm 400 cm Overflate halvsirkel 0 cm 68 cm
Samlet overflate: Overflate av 100 figurer: Antall liter maling Stian trenger: 400 cm 800 cm 68 cm 57 cm 57 cm 100 5700 cm 5, 7 m 5,7 m 8,57 liter 8,6 liter m /l Stian blander rød og gul maling i forholdet 1 : 5. Han får da til sammen 9 liter oransje maling. c) Hvor mye rød og hvor mye gul maling blandet han? Stian har i alt 6 deler. En del inneholder dermed 9 liter 1,5 liter. 6 Han blander 11,5 liter 1,5 liter rød maling med 51,5 liter 7,5 liter gul maling. Da Stian var ferdig med å blande, så han at det ble altfor mye gult i den oransje fargen. Han ringte en fargehandler for å få råd. Han fikk beskjed om at forholdet mellom rødt og gult burde ha vært 1 :. d) Hvor mye rød maling må han tilsette til den oransje blandingen for at blandingsforholdet skal bli riktig? Stian har 7,5 liter gul maling i blandingen på 9 liter. Finner hvor mye rød maling som må tilsettes for at forholdet skal bli 1 : mellom rødt og gult. Tar utgangspunkt i at det allerede er 7,5 liter gul maling i blandingen. deler gul maling gir 7,5 liter,5 liter per del. Når vi skal blande rødt i forholdet 1 : trenger vi en del med rødt, dvs.,5 liter rødt. I blandingen er det allerede 1,5 liter rød maling. Han må altså tilsette 1 liter rød maling for å få det rette blandingsforholdet.
Volum..0 Fyll ut tabellen m dm cm mm 0,00 000 000 000 0,015 15 15 000 15 000 000 0,000 50 0,50 50 50 000 0,000 760 0,760 760 760 000..1 Gjør om til kubikkdesimeter, dm. a) 6 700 cm 6,7 dm b) 1 m 1 000 dm c) 900 000 mm 0,9 dm.. Legg sammen og skriv svaret i liter. a),4 dm 800 cm 0,001 m,4 dm 0,8 dm 1,0 dm 5, dm 5, liter b) 40 000 mm 7 800 cm 0,045 m 0,4 dm 7,80 dm 45,00 dm 5, dm 5, liter 4
.. Fyll ut tabellen l dl cl ml,1 1 10 100 15 150 1 500 15 000 0,5,5 5 50 0,076 0,76 7,6 76 Prisme..4 En eske har form som vist på figuren. Esken har ikke lokk. a) Regn ut arealet av grunnflaten Areal grunnflaten 60,0 cm,0 cm 1 0 cm b) Regn ut volumet av esken. Gi svaret i liter. V grunnflatehøyde 1 0 cm 0,0 cm 6 400 cm 6,4 dm 6,4 liter c) Regn ut overflaten av esken. Overflate bunn fant vi i a): 1 0 cm Overflate to langsider: Overflate to endesider: 60,0 cm0,0 cm 400 cm,0 cm0,0 cm 880 cm Overflaten av esken: 1 0 cm + 400 cm + 880 cm = 4 600 cm 5
..5 En kartong med appelsinjuice har målene: Høyde 4,0 cm, bredde 6,6 cm og dybde 6,4 cm. Hvor mye rommer juicekartongen. Gi svaret i liter. V 6,6 cm6,4 cm4,0 cm 101,8 cm 1,0 dm 1,0 liter..6 En tilhenger har følgende mål. Lengde: 07 mm Bredde: 1160 mm Høyde: 50 mm a) Hvor mange liter rommer tilhengeren? Tilhengeren rommer: 07 mm1160 mm50 mm 0,7 dm11,60 dm,50 dm 87,0 dm 87 liter Største nyttelast tilhengeren kan ha er 610 kg b) Hvor høyt opp i kassen kan du fylle grus når 1liter grus veier,5 kg? Grunnflaten i tilhengeren er 0,7 dm11,60 dm 6, dm Vi har da at 6,,5 høyde 610 590,75 høyde 610 610 høyde 590,75 høyde 1,0 Det kan fylles grus 1 dm = 10 cm opp i kassen. Alternativ løsning Vi finner ut hvor mange liter vi kan ha i tilhengeren. 610 kg 44 l = 44 dm,5 kg/l 44 dm 1,0 dm= 10 cm 6, dm 6
Det kan fylles grus 1 dm = 10 cm opp i kassen. 7
..7 Et svømmebasseng har en rektangelformet bunn med lengde 9,80 m og bredde 5,0 m. Høyden er over alt 1,90 m. Veggene og bunnen i bassenget er 0 cm tykke. Veggene i svømmebassenget er støpt på kantene av bunnen. a) Hvor mange kubikkmeter betong har gått med til å lage vegger og bunn? Antall kubikkmeter betong: Bunn: 9,80 m5,0 m0,0 m 10,0 m langvegger: kortvegger: Det gikk med 9,80 m1,90 m0,0 m 7,45 m 5,0 m1,90 m0,0 m,95 m 10,0 m 7,45 m,95 m 1,60 m betong b) Hvor mange kvadratmeter fliser har gått med til å bekle vegger og bunn i bassenget? Se bort i fra fuger mellom flisene. Veggene står opp 1,90 m på sidekantene av bunnen. Det må da trekkes fra 0, m på hver sidevegg i hjørnene. Kvadratmeter bunn: langvegger: kortvegger: Det gikk med (9,80-0,40) m (5,0-0,40) m 45,1 m (9,80 0,40) m1,90 m 5,7 m (5,0-0,40) m1,90 m 18,4 m 45,1 m 5,7 m 18,4 m 99,08 m 99 m fliser 8
..8 Figuren nedenfor viser en traktorskuffe. Skuffen er laget av jernplater med en tykkelse på 6 mm. Jernet har en vekt på 7,87 g per cm Hvor mange kilo veier skuffen? Finner overflaten av skuffen: Bunn: 0 cm86 cm 19 780 cm Bakstykke: sidekanter: 0 cm76 cm 17 480 cm 86 cm76 cm 6 56 cm Samlet overflate: 19 780 cm 17 480 cm 6 56 cm 4 796 cm Mengde jern som går med til å lage skuffen: 4 796 cm 0,6 cm 6 78 cm Vekten av skuffen blir: 6 78 cm 7,87 g/cm 06 800 g 06,8 kg..9 Det er planlagt å grave ut en km lang kanal. Kanalen skal være,5 m dyp, 5 m bred øverst og,5 m bred i bunnen. Sidene skråner jamt. Hvor mange kubikkmeter masse må graves ut? Skissen til høyre viser et tverrsnitt av kanalen. Antall kubikkmeter som må graves ut: 5,0 m,5 m,5 m 000 m 18 750 m 9
Sylinder..0 En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 1,0 cm og en høyde på 16,0 cm. Hvor mange liter rommer kakeboksen? Volumet av en sylinder er gitt ved formelen V r h 1,0 cm V r h 16,0 cm 5 541,8 cm 5,5 dm Kakeboksen rommer 5,5 liter...1 En oljetank har form som en sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høy. Diameteren er,0 meter. a) Hvor mange liter olje rommer oljetanken? Volum av oljetanken er:,0 m 5,0 m 5,4 m 5 4 dm 5 4 liter b) Regn ut overflaten av oljetanken. Overflaten O av en sylinder med topp og bunn er gitt ved formelen O r h r Overflaten av oljetanken: O 1,5 m5,0 m 1,5 m 47,1 m 14,14 m 61, m.. En gryte har form som en sylinder. Gryta har en diameter på 60 mm og rommer 8 liter. Regn ut høyden til gryta. Bruker formelen for volum av en sylinder. V r h 8,0 liter 10 mm høyde 8,0 liter 1,0 dm høyde 8,0 dm 5,1 dm høyde 8,0 dm høyde 5,1 dm høyde 1,5 dm 0
Høyden til gryta er ca. 150 mm... En tresøyle har form som en sylinder med diameter 0 cm og høyde 4,0 m. Søylen skal gis ett strøk maling. En liter maling dekker 6 m. Hvor mye maling vil gå med? Finner overflaten av tresøylen, regner ikke med topp og bunn i dette tilfellet. Overflate r h0,154,0 m,96 m strøk gir en samlet overflate på Det vil gå med 8,0 m 6,0 m /liter,96 m 7,9 m 8,0 m 1, liter maling Pyramide..4 Verdens mest kjente pyramide, Kheopspyramiden like utenfor Kairo i Egypt, har kvadratisk grunnflate med sidelengde 0 m. Høyden på pyramiden var opprinnelig 146 meter, men 10 meter har forsvunnet. a) Finn volumet av den opprinnelige Kheopspyramiden. Gh Volum av pyramide er gitt ved formelen V Volumet V av Kheopspyramiden blir: 0 m0 m146 m 7 7 400 m V 574 467 m Et svømmebasseng har en lengde på 5,0 meter, en bredde på 1,5 meter og en gjennomsnittsdybde på,4 meter. b) Hvor mange liter rommer dette svømmebassenget? Svømmebassenget rommer 5,0 m1,5 m,4 m 750 m 750 000 dm 750 000 liter c) Hvor mange slike basseng rommer den opprinnelige Kheopspyramiden? Kheopspyramiden rommer 574 467 m 4 svømmebasseng av denne typen. 750 m 1
Kjegle..5 Gitt en kjegle med radius 1,0 cm og høyde 4,0 cm. a) Finn volumet av kjeglen r h Volumet av en kjegle er gitt ved formelen V 1,0 cm 4,0 cm Volum av kjeglen 619 cm b) Finn overflaten av kjeglen. Overflaten av en kjegle med bunn er gitt ved formelen O r r s Finner først sidekanten s ved hjelp av Pytagoras læresetning. s s s 1,0 cm 4,0 cm 144,0 cm 576,0 cm 70,0 cm s 70,0 cm s 6,8 cm Overflaten av kjeglen 1 cm 1 cm6,8 cm 1 46,7 cm..6 En kjegle har radien,4 dm og en sidekant på 6,4 dm. a) Finn høyden i kjeglen Bruker Pytagoras læresetning og finner høyden. sidekant radien høyden s r h h s r h h 6,4 dm,4 dm 40,96 dm 5,76 dm h 5,0 dm h 5,9 dm b) Finn volumet av kjeglen r h,4 dm 5,9 dm Volumet 5,6 dm
Kule..7 En kuleformet appelsin har en diameter på 8,0 cm. a) Finn overflaten av appelsinen. Overflaten 4r 4 4,0 cm 01 cm b) Forklar hva overflaten er i praksis. Overflaten av appelsinen er arealet av skallet. c) Finn volumet av appelsinen. 4 r 4 4,0 cm Volumet 68 cm Skallet på appelsinen er mm tykt. d) Finn volumet av den spislige delen av appelsinen (dersom du ikke er en som spiser skallet da). Radien av selve appelsinkjøttet: 4,0 cm0, cm,7 cm Volumet av appelsinen uten skall: 4 r 4,7 cm 1 cm e) Finn volumet av skallet. Volumet av skallet er ytre volum minus indre, altså 68 cm³ 1 cm³ = 56 cm³..8 En kroneis består av en kjegleformet kjeks med is. I tillegg er det ei halvkule med is øverst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høyden på kjeksen er 1,0 cm. a) Finn radien i kula Radien i kula er den samme som radien på kjeksen dvs.,0 cm. b) Finn volumet av isen. 4,0 cm 1 Volum halvkule med is 56,55 cm,0 cm 1,0 cm Volum av kjegle med is 11,10 cm
Samlet mengde is blir 56,55 cm 11,10 cm 170 cm 0,17 liter 1,7 dl. Geometri i yrkesliv, kunst og arkitektur..1 Kartet nedenfor viser en del av skjærgården utenfor Mandal. Målestokken er 1 : 40 000 a) Rett utenfor Mandal sentrum finner du Sjøsanden. På kartet måler vi at det er 8,5 cm fra Sjøsanden og ut til Ferøy. Finn avstanden ut til øya i virkeligheten. Når målestokken er 1 : 40 000 vil 1 cm på kartet være 40 000 cm 400 m 0,4 km i virkeligheten. 8,5 cm på kartet blir dermed 8,50,4 km,4 km i virkeligheten. Avstanden ut til øya er,4 km. b) Fra Tungeskjeran (nederst til venstre i kartet) inn til Gismerøya er det omtrent 5 00 meter. Finn hvor mange centimeter dette utgjør på kartet. 1 cm på kartet utgjør 400 meter i virkeligheten. 4
5 500 meter i virkeligheten blir dermed 5 00 1,0 400 Dette utgjør 1 cm på kartet. 5
Avstand på sjøen måles vanligvis i nautiske mil. En nautisk mil er 1 85 meter. c) På kartet måler vi at det er 10,5 cm fra Sånum til Stussøy. Finn avstanden i nautiske mil mellom disse to stedene. 10,5 cm på kartet blir 10,5400 m4 00 m i virkeligheten. 4 00, 1 85 Det er ca., nautiske mil fra Sånum til Stussøy. Fart på sjøen måles vanligvis i knop. Knop er antall nautiske mil per time. Er farten din 10 knop kommer du 10 nautiske mil på 1 time. Er farten 7 knop kommer du 7 nautiske mil på en time osv. d) Tenk deg at du er på båttur fra Sånum til Stussøy med en fart på 6 knop. Hvor lang tid tar båtturen?, nautiske mil Båtturen tar 0,8 time 6 nautiske mil/time 0,8 t60 min t minutter Det tar ca. minutter fra Sånum til Stussøy med en fart på 6 knop. 6
.. Tegningen nedenfor viser grunnflaten til et hus i målestokk 1 : 100. a) Hva betyr det at målestokken er 1 : 100? 1 cm på arbeidstegningen er 100 cm i virkeligheten. b) Hvor mange kvadratmeter blir utvidelsen av stuen? Utvidelsen av stuen blir 450 cm50 cm 4,50 m,50 m 15,75 m.. Tegn en skisse av pulten du sitter ved. Bruk målestokk 1:10 7
..4 En arbeidstegning av en maskindel er i målestokk 5 : 1 a) Hva betyr det at målestokken er 5:1? 5 cm på tegningen er 1 cm i virkeligheten. b) Et mål på tegningen er 100 mm. Hvor mange millimeter blir dette i virkeligheten? 100 mm blir 100 mm 0 mm i virkeligheten. 5 c) Maskindelen har en lengde på 1 mm. Hva blir dette målet på tegningen? Målet blir 1 mm5 105 mm på tegningen...5 Bruk oppskriften fra teorien og lag din egen perspektivtegning av et rom med noen møbler. Dersom du bruker for eksempel GeoGebra vil du kunne dreie tegningen din i ulike retninger. Ta deg tid til å gjøre dette skikkelig..6 (Lokalgitt eksamen Vest-Agder, Våren 009) Tenk deg at du står og ser nedover ei gate. Du står midt i gata. På hver side av gata er det et fortau. De to fortauene er like brede. Litt lenger nede i gata er det et fotgjengerfelt. Tegn gata. Bruk ettpunktsperspektiv. Tegning fra GeoGebra: 8
..7 Tegn en melkekartong fra ulike vinkler. Se teorien for tips. Eksempler:..8 Søk på perspektiv i kunsthistorie på internett. Her vil du finne bruk av ulike perspektiv. 9