1P eksamen våren 016 løysingsforslag Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 ( poeng) Ved kommunevalet i haust fekk eit politisk parti 4,5 % av røystene. Ved førre kommuneval fekk partiet 3,6 % av røystene. a) Kor mange prosentpoeng har auken vore på? Auken i prosentpoeng er 4,5% 3,6% 0,9% b) Kor mange prosent har auken vore på? 0,9 9 1 Auken i prosent er 0,5 5% 3,6 36 4 Oppgåve (1 poeng) Ein bensintank har form som eit rett, firkanta prisme. Tanken er 40 cm brei, 90 cm lang og 30 cm høg (innvendige mål). Kor mange liter rommar tanken? Vi gjer om måla til dm. 3 Volumet av tanken er V l bh 4 dm9 dm 3 dm 108 dm 108 L Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 1 av 1
Oppgåve 3 ( poeng) I 01 var indeksen for ei vare 80. Vara kosta då 000 kroner. I 016 var indeksen for vara 60. Kor mykje ville vara kosta i 016 om prisen hadde følgd indeksen? Tilhøvet mellom indeksane i 01 og 016 vil vere det same som tilhøvet mellom pris i 01 og 016, vi set opp og løyser likninga Indeks Indeks Pris Pris 01 01 016 016 80 000 60 x 00060 x 80 1000 x 8 x 1500 Prisen for vara i 016 ville vere 1500 kroner om ho følgjer indeksen. Oppgåve 4 (1 poeng) På eit kart er avstanden mellom to byar 1 cm. I røynda er avstanden 40 km. Bestem målestokken til kartet. Vi set opp tilhøvet mellom avstandane og gjer om til same måleeining 1 cm 1 cm 1 cm 40 km 4000000 000000 Målestokken til kartet er 1: 000 000. Oppgåve 5 (1 poeng) x,5 7,5 00 10 0 y 50 7,5 0 150 00 Gjeve tabellen ovanfor. x og y er proporsjonale storleikar. Skriv av tabellen ovanfor i svaret ditt. Gjer utrekningar, og fyll ut tabellen. Vi finn først proporsjonalitetskonstanten Reknar ut som vist i tabellen. 50 0,5 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side av 1
Oppgåve 6 (4 poeng) Ein funksjon f er gjeven ved f x x 4x 5 a) Skriv av og fyll ut verditabellen nedanfor. Vi set x- verdiar inn i funksjonen, og reknar ut verdien av f x. f f f f f f f f f x - -1 0 1 3 4 5 6 F(x) -7 0 5 8 9 8 5 0-7 4 5 4 8 5 7 1 1 4 1 5 1 4 5 0 0 0 4 0 5 5 5 1 1 4 1 5 1 4 5 8 4 5 4 8 5 9 3 3 4 3 5 9 1 5 8 4 4 4 4 5 16 16 5 5 5 5 4 5 5 5 0 5 0 6 6 4 6 5 36 4 5 7 b) Teikn grafen til f. Vi markerer punkta frå tabellen i a) i eit koordinatsystem og teiknar ei kurve gjennom punkta. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 3 av 1
Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 4 av 1
Oppgåve 7 (4 poeng) Snorre har seks blå og fire rosa ballongar. Han tek tilfeldig tre ballongar. a) Bestem sannsynet for at han tek tre blå ballongar. 6 5 4 3 Sannsynet er P3 blå ballonger 10 9 8 5 5 3 3 1 6 b) Bestem sannsynet for at han tek minst éin rosa ballong. 1 5 Sannsynet er P Minst én rosa ballong 1 6 6 c) Bestem sannsynet for at han tek éin rosa og to blå ballongar. Det er tre kombinasjonar som gjev resultatet éin rosa og to blå. Han kan trekkje den rosa først, i midten eller til slutt. Sannsynet er 4 6 5 6 4 5 4 5 6 3 654 53 1 P En rosa og to blå 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 53 3 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 5 av 1
Oppgåve 8 (3 poeng) Eirik har vore hjå fotografen. Etter fotograferinga får han tilbod om å kjøpe ei fotobok. Han kan sjølv bestemme kor mange bilete han vil ha med i boka. Tabellen nedanfor viser prisen for fotobøker med 8, 14 og 4 bilete. Talet på bilete i fotoboka (x) Pris for fotoboka med bilete (y) 8 14 4 1 000 kroner 1 300 kroner 1 800 kroner Samanhengen mellom talet på bilete og pris kan vi beskrive ved hjelp av likninga y ax b der x er talet på bilete i boka og y er prisen. a) Bestem tala a og b. Vi finn stigingstalet a ved å finne ut kor mykje y (prisen) veks for kvar x (talet på bilete). 1300 1000 300 a 50 14 8 6 Løyser deretter likninga y ax b 1000 508 b b 1000 400 b 600 Samanhengen kan med det beskrivast som y 50x 600 b) Gje ei praktisk tolking av tala a og b i denne oppgåva. Vi har fått oppgjeve at x er talet på bilete i boka og y er prisen på fotoboka. Konstantleddet b betyr at fotoboka har ein grunnpris på 600 kr. Stigingstalet a betyr at for kvart bilete du vil ha med i boka, aukar totalprisen med 50 kr. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 6 av 1
Oppgåve 9 (3 poeng) Julie har teke opp eit lån med ei fast årleg rente. Lånet skal betalast tilbake i løpet av 10 år, med éin termin i året. Figuren ovanfor viser nedbetalingsplanen. a) Er dette eit serielån eller eit annuitetslån? Grunngje svaret. Dette er eit lån der avdraga er like store gjennom heile låneperioden. Rentene blir såleis lågare og lågare. Dette er eit serielån. b) Kor mange prosent årleg rente betalar Julie på lånet? Vi reknar først ut det totale lånebeløpet 10 terminer 10000 kr/termin 100000 kr Renta første året er 14000 kr 10000 kr 4000 kr Vi finn årleg rente 4000 kr 0,04 4% 100000 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 7 av 1
Oppgåve 10 (3 poeng) Gjeve ABC slik at AB 8 og BC 10. Sjå figuren ovanfor. Vis at arealet av den grøne og den blå halvsirkelen til saman er like stort som arealet av den grå halvsirkelen. Vi brukar Pytagoras læresetning for å finne lengda AC AC AB CB AC 10 8 AC 100 64 36 AC 6 Arealet av ein halvsirkel er A A A grønn blå grå AC 6 3 9 AB 8 4 16 8 BC 10 5 5 9 9 16 5 Ablå Agrønn 8 A A A blå grønn grå r A. Vi reknar ut areala av dei tre halvsirklane. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 8 av 1
Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillate, med unntak av internett og andre verktøy som tillét kommunikasjon. Oppgåve 1 (5 poeng) Gå ut frå at talet på registrerte elbilar i Noreg x år etter 010 tilnærma er gjeve ved funksjonen g der 3 g x 560x 1767x 501x 577 0 x 8 a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til g. Vi brukar kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» og teiknar grafen i GeoGebra. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 9 av 1
b) Kva tid vil talet på registrerte elbilar passere 75 000 ifølgje denne funksjonen? Vi teiknar inn linja y 75000 i koordinatsystemet, og finn skjeringspunktet A mellom linja og grafen av g med verktøysknappen «Skjering mellom to objekt». Sjå figur i a. Talte på registrerte elbilar passerer 75 000 6 år etter 016, altså i 016 etter denne modellen. c) Bestem g(4). Kva fortel denne verdien om talet på elbilar? Vi set inn punktet B = g på grafen (sjå a), og finn at g 4, 4 4 0149 Dette talet betyr at i år 014 vil det etter modellen vere omtrent 0 150 elbilar i Noreg. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 10 av 1
Oppgåve ( poeng) I 010 hadde Eirik ei nominell løn på 450 000 kroner. Konsumprisindeksen var då 18,8. I 015 var konsumprisindeksen 139,8. Kor stor måtte den nominelle løna til Eirik ha vore i 015 om han skulle hatt like stor kjøpekraft som i 010? Tilhøvet mellom nominell løn og konsumprisindeks eit år er lik tilhøvet mellom realløn og konsumprisindeks i basisåret. reallønn nominell lønn 100 konsumprisindeks Vi reknar i CAS GeoGebra at Eirik si realløn i 010 er 349 379 kr (linje 1). For å finne tilsvarande løn for 015 løyser vi likninga i linje i CAS. Eirik si nominelle løn i 015 bør vere omtrent 488 430 kroner for at han skal ha den same kjøpekrafta som i 010. Oppgåve 3 (4 poeng) Marita driv eige firma. I 015 hadde ho ei omsetning på 1 00 000 kroner. Ho har som mål å auke omsetninga med 3,5 % per år. a) Kva vil omsetninga hennar bli i 05 om ho greier dette? Ein vekst på 3,5 % svarar til ein vekstfaktor på 1,035. Vi reknar ut omsetninga etter 10 år i CAS i GeoGebra Omsetninga i 05 må vere omtrent 1 690 000 kroner om ho skal nå målsetninga. Marita endrar prisen på eit produkt tre gongar. Først set ho prisen opp med 40 %. Seinare set ho han ned igjen, først med 0 % og så med 0 % ein gang til. Etter desse tre endringane kostar produktet 560 kroner. b) Kor mykje kosta produktet før prisendringane? Vi set opphavleg pris lik x og bruk vekstfaktorar og løyser likninga i CAS GeoGebra Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 11 av 1
Produktet kosta 65 kroner før Marita endra prisen. Oppgåve 4 (4 poeng) I ei 1P-gruppe er det 6 elevar. Elevane har valt fag for neste skoleår. 0 elevar har valt Sosialkunnskap. 16 elevar har valt Internasjonal engelsk. 6 elevar har korkje valt Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk. a) Systematiser opplysningane i teksten ovanfor i ein krysstabell eller i eit venndiagram. 1P = 6 International engelsk 0 16 Sosialkunnskap 4 6 Vi set opp eit Venndiagram. Det er til saman 0 elevar som har valt faga internasjonal engelsk og sosialkunnskap, og vi har til saman 0 + 16 val. Det vil seie at 36 0 16 elevar har begge faga, og vi sit igjen med 16 16 0 elevar som berre har valt internasjonal engelsk og 0 16 4 elevar som berre har sosialkunnskap. b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig valt elev frå gruppa har valt Sosialkunnskap, men ikkje Internasjonal engelsk. Sannsynet er 4 P(ein elev som berre har sosialkunnskap) = 0,15 6 Det viser seg at eleven som er trekt ut, har valt Internasjonal engelsk. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 1 av 1
c) Bestem sannsynet for at denne eleven også har valt Sosialkunnskap. Sannsynet er 16 P(sosialkunnskap og internasjonal engelsk) = 1 16 Oppgåve 5 (7 poeng) Frå og med månaden etter at eit barn blir fødd, og til og med månaden før barnet fyller 18, får foreldra utbetalt barnetrygd. Satsen for barnetrygd har vore 970 kroner per barn per månad sidan 1996. Stian vart fødd i september 1996. a) Kor mykje fekk foreldra hans totalt utbetalt i barnetrygd? Foreldra til Stian fekk utbetalt barnetrygd i 1 månader i 18 år 1 månad = ( 118 1) måneder 15 måneder Totalt utbetalt = 14 970 kr 08 550 kr Tabellen til høgre viser konsumprisindeksen kvart år frå 1996 til 015. Stian meiner at satsen for barnetrygd burde vore regulert i samsvar med konsumprisindeksen. b) Vis at satsen for barnetrygd då skulle vore 1 43 kroner per barn per månad i 015. Tilhøvet mellom indeksane og satsen på barnetrygd skal vere den same. Vi løyser likninga i CAS med funksjonen «Løys» Ei indeksregulert barnetrygd skulle vore 143 kroner i 015. c) Lag eit rekneark som viser kor mykje foreldra til Stian totalt ville fått utbetalt om satsen for barnetrygd kvart år hadde blitt regulert i samsvar med konsumprisindeksen. Vi set inn årstal og indeks i eit rekneark, og reknar etter følgjande formlar Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 13 av 1
Foreldra til Stian ville fått utbetalt 55 346 kroner om barnetrygda indeksregulerast. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 14 av 1
Oppgåve 6 (5 poeng) I reknearket nedanfor har vi lagt inn timeløn, skatteprosent og talet på timar Sara, Vilde og Peder arbeidde i juli. a) Lag eit rekneark som vist ovanfor. Du skal setje inn formlar i dei blå cellene og rekne ut bruttoløn, skattetrekk og nettoløn. Legg inn verdiar og formlar i rekneark, sjå oppgåve b. Sara har rekna ut at ho i gjennomsnitt betalte 0,3 % i skatt av bruttoløna ho hadde i juli. Ho har difor sett opp at ho har ein gjennomsnittleg skatteprosent på 0,3. b) Vis kva slags utrekningar Sara har gjort. Legg inn formlar i dei raude cellene i siste rad i reknearket frå oppgåve a), slik at du også får med gjennomsnittleg skatteprosent for Vilde og Peder. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 15 av 1
Med formlar Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 16 av 1
Oppgåve 7 (5 poeng) Gjeve ABC og CED. Sjå figuren ovanfor. BC 36, AC 39 og CD 6. a) Forklar kvifor ABC og CED er formlike. Dei to trekantane har begge ein rett vinkel, og dei har ein felles vinkel C. Når to vinklar i trekantane er parvis like store, vil også den tredje vinkelen vere lik i dei to trekantane. To trekantar med parvis like vinklar er formlike. b) Bestem lengda av CE. Tilhøvet mellom sidene i dei to trekantane er like. AC BC CD CE 39 36 6 CE CE 4 Lengda av CE er 4. c) Vis at tilhøvet mellom arealet av ABC og arealet av CED er 9 4. Vi brukar først Pytagoras for å finne lengda av AB Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 17 av 1
AB BC AC AB 39 36 AB 5 AB 15 39 3 Tilhøvet mellom trekantane er 1,5 6 15 Vi finn lengda av ED 10 1,5 Reknar ut arealet av kvar av trekantane AB BC 1536 A ABC 70 EDDE 4 10 A CDE 10 Vi finn at tilhøvet mellom areala er A A ABC CDE 70 9 10 4 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 18 av 1
Oppgåve 8 (4 poeng) Biletet ovanfor viser ein torus. Torusen er laga av eit aluminiumsrøyr. Figurane viser tverrsnitt av torusen. Volumet V av ein torus er gjeven ved V r R der BC r er radius i aluminiumsrøyret og AC R er avstanden frå sentrum i det sirkelforma hòlet i midten av torusen til sentrum i aluminiumsrøyret. I ein torus er r 5,1 cm og R 0,4 cm. a) Bestem volumet av denne torusen. Gje svaret i liter. Vi set inn i formelen og brukar i CAS i GeoGebra til å rekne ut volumet. Gjer om til dm for å få svaret i dm 3 = L. Volumet av torusen er 10,47 L. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 19 av 1
I ein annan torus er R 10, cm. Torusen har volum V 8,6 L. b) Bestem omkrinsen av sirkelen med radius AB. Vi løyser likninga i CAS i GeoGebra for å finne r. Vi ser bort frå den negative løysinga fordi radiusen ikkje kan vere mindre enn null. Deretter reknar vi omkrinsen av sirkelen med radius Rr 10, cm 6,5 cm 3,7 cm Omkrinsen av sirkelen er 3,5 cm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 0 av 1
Biletliste Bensintank: http://www.bestmarin.no/ (0.06.015) Torus: http://deepfriedneon.com/tesla_f_topload.html (0.06.015) http://www.transtutors.com/questions/a-toroid-has-a-major-radius-r-45685.htm (0.06.015) Andre bilete, teikningar og grafiske framstillingar i oppgåvene: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1011 Matematikk 1P våren 016 Side 1 av 1