UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Avsluttende eksamen i AST2000, 17. desembe 2018, 09.00 13.00 Oppgavesettet inkludet fomelsamling e på 8 side Tillatte hjelpemidle: 1) Angel/Øgim og Lian: Fysiske støelse og enhete 2) Rottman: Matematisk fomelsamling 3) Elektonisk kalkulato av godkjent type Konstante og fomelsamling fo kuset finne du bakest Mek: Figuene til oppgavene e ofte på en annen side enn selve oppgaven Væ nøye med å foklae fomlene du buke: nå du buke fomle fa fomelsamlingen, fokla veldig kot hvofo du buke denne fomelen og nevn hva symbolene i fomelen stå fo. Selv om svaet e iktig, gies det ikke poeng på en oppgave hvis man ikke vise at man ha fostått fysikken bak dette gjelde spesielt oppgave hvo svaet e oppitt). Hvis du buke fomle som ikke e oppgitt og som ikke e gunnleggende fysiske fomle dette skulle ikke væe nødvendig) så må fomlene vises. Det e totalt 11 deloppgave som alle telle likt. Spømålene kan besvaes på enten bokmål, nynosk elle engelsk. You may answe these questions in eithe Nowegian o English. 1
OPPGAVE 1: I denne oppgaven skal vi anta at vi ikke kjenne til elativitetsteoi, men vi vet at lyshastigheten e den samme i alle efeansesystem. To omskip, som e i et felles efeansesystem, skyte begge en lasesta le mot det ande omskipet. Dette betegnes som hendelse event) A og B A e at venste omskip skyte). Vi se situasjonen i figu 1. I efeansesystemet til omskipene bli sta lene skutt ut samtidig. Midt i mellom de to omskipa e obsevatø Midten). Obsevatø M e i o i omskipenes efeansesystem. Figu 1: Fo oppgave 1 a) Hvofo vil obsevatø M obsevee hendelse A og B som samtidige? mek at vi vet at hendelsene e samtidige fo M siden hun e i samme efeansesystem som omskipene, spøsma let e hvofo hun ogsa vil obsevee disse hendelsene samtidig?). Svaet skal væe pa en setning. b) Na skal vi pøve a finne ut hva en obsevatø som sta pa en planet like unde omskipene obsevee. Romskipene og obsevatø M bevege alle seg mot høye med samme hastighet v som e næ lyshastigheten) i fohold til planetsystemet. Buk at vi vet at M se de to lasesta lene kysse akkuat ved hennes posisjon samtidig, vi vet at M e midt mellom omskipene, vi vet at lysesta lene ble sendt ut samtidig i omskipsystemet fo a konkludee at i planetsystemet sa kan lasesta lene ikke ha blitt sendt ut samtidig. Agumente samtidig fo hvilken sta le som bli sendt ut føst i planetsystemet. Det bli kun gitt poeng pa agumentasjonen som skal væe uten buk av matematikk. OPPGAVE 2: To omskip e pa kollisjonskus langs x-aksen. Vi se situasjonen i figu 2. Det stoe omskipet til venste kalle vi A og det ande stoe omskipet kalle vi B. Romskip A ha en positiv hastighet v langs x-aksen i fohold til planeten unde, mens omskip B ha en hastighet v i motsatt etning langs den samme aksen. Rett bak omskip A følge 2
et lite ødt omskip som vi kalle C. Romskip C ha samme hastighet som omskip A. Romskip A og B kollidee og i eksplosjonen bli fotone med enegi E sendt ut. Obsevatøene i omskip C obsevee at fotonene som komme ett mot dem langs x-aksen ha enegi E 0 Figu 2: Fo oppgave 2 a) Fokla nøye hvofo enegi-bevegelsesmengde fievektoen fo et foton med enegi E som ga i positiv etning langs x-aksen kan skives som Pµ = E, E, 0, 0). Det bli he kun gitt poeng fo foklaingen. Fokla nøye fo hve av de 4 elementene i vektoen. b) Buk 4-vektoe og tansfomasjonsegenskapene til 4-vektoe til a vise at enegien E 0 som obsevatøene i omskip C ma le at fotonene som de motta ha kan skives som i elativistiske enhete) E 0 = Eγ1 ± v) og avgjø om det skal væe pluss- elle minustegn foan v. Fokla nøye hvodan du komme fem til dette uttykket. Define γ. c) Vis at den elativistiske Dopplefomelen kan skives som i elativistiske enhete)! λ 1+v = 1 λ 1 v Husk at enegien til et foton e gitt ved E = hc/λ i SI enhete).mek: Avhengig av hvodan du egne kan du ende opp med ande fotegn foan v. Dette e like iktig, men du ma foklae hva fotegnet avhenge av og hvodan du kan vite hvilket fotegn som skal bukes i hvilken situasjon. d) Finn hvilken fage obsevatøene i omskip C se at eksplosjonen ha hvis eksplosjonen e gul i planetsystemet. Anta at hastigheten v e 3
fage bølgelengdeomåde nm) fiolett 380-450 blå 450-495 gønn 495-570 gul 570-590 oansje 590-620 ød 620-750 Tabell 1: bølgelengdeomådet fo hovedfagene 20% av lyshastigheten. I tabell 1 finne du bølgelengdeomådet fo hovedfagene. OPPGAVE 3: Vi vil nå buke en foenklet modell av sola til å anslå tempeatuen i solas kjene. Vi skal gjøe dette steg fo steg. Anta at sola ha unifom tetthet ρ 0 gjennom hele. a) Finn et uttykk fo total masse M) av kula på innsiden av en gitt adius. Fokla hvodan du tenke. b) Vi vil nå anta at gassen i sola e ideel gass og at tykket utelukkende komme fa gasstykk, ikke stålingstykk. Buk hydostatisk likevekt til å vise følgende sammenheng fo tempeatuen som funksjon av avstand fa sentum: dt ) d = 4π 3 Gρ 0 µm H k de µ e midlee molekylvekt anta at denne e den samme i hele sola), m H e hydogenmassen som vi anta e lik potonmassen) og k e Boltzmannkonstanten. Gjø utledningen skitt fo skitt slik at vi tydelig se hvodan du tenke, det e selve utledningen og foklainge/tenkemåte du få poeng fo he, ikke svaet siden dette e gitt. c) Intege denne likningen fa kjenen ved = 0 til solas oveflate ved = R og vis at tempeatuen T C i solas kjene kan skives som T C = T R) + 2π 3 GR2 ρ 0 µm H k. Gjø utledningen skitt fo skitt slik at vi tydelig se hvodan du tenke, det e selve utledningen og foklainge/tenkemåte du få poeng fo he, ikke svaet siden dette e gitt. d) Anta at sola utelukkende bestå av potone. Buk vedie fa fomelsamlingen fo solas masse, solas adius og oveflatetempeatu fo å finne et uttykk fo ρ 0 og demed kjenetempeatuen T C. 4
OPPGAVE 4: Anta at det kun e pp-kjeden som podusee enegien i sola. Anta også at all enegi podusees innenfo en adius R < R C i solas kjene. Anta også at tetthet, tempeatu og massefohold mass factions) av gunnstoffe e unifomt fodelt i hele kula med adius R C. Buk tall i fomelsamlingen fo solas luminositet, samt en kjenetetthet på ρ = 1.5 10 6 kgm 3, en kjenetempeatu på T = 1.57 10 7 K og anta at hydogen utgjø 33% av massen til kjenen. Finn adien R C uttykt i soladie. 5
Konstante og uttykk som kan væe nyttige: Lyshastigheten: c = 3.00 10 8 m/s Plancks konstant: h = 6.626 10 34 J s Gavitasjonskonstanten: G = 6.673 10 11 N m 2 /kg 2 Boltzmanns konstant: k = 1.38 10 23 J/K Stefan Boltzmann konstant: σ = 5.670 10 8 W/m 2 K 4. Elektonets hvilemasse: m e = 9.1 10 31 kg Potonets hvilemasse: m p = 1.6726 10 27 kg Nøytonets hvilemasse: m n = 1.6749 10 27 kg Wiens foskyvnigslov: λ max T = 0.0029 m K 1 ev elektonvolt) = 1.60 10 19 J Massen til joda: M j = 5.97 10 24 kg Radien til joda: R j = 6378 10 3 m Solmassen: M = 2 10 30 kg Soladien: R = 6.98 10 8 m. Solas tilsynelatende magnitude: m = 26.7 Solas absolutte magnitude: M = 4.83 Solas luminositet: L = 3.827 10 26 W Solas foventede levetid: t life = 10 10 å Massen til Jupite: 1.9 10 27 kg Tempeatuen på solens oveflate: 5780 K Astonomisk enhet: 1AU = 1.5 10 11 m Hubblekonstanten: H 0 = 71 km/s/mpc lyså: 1 ly = 9.47 10 15 m pasec: 1 pc = 206 265 AU = 3.27 ly 6
Fomle vi ha bukt/utledet i kuset: ståling/magnitude/avstande: Bν) = 2hν3 1 de c Iν) = 2 e hν/kt ) 1 cosθdωdadtdν L = de dt F = de dadt F = σt 4 v = H 0 d p F m 1 m 2 = 2.5 log 1 10 m M = 5 log 10 F 2 ) M V = 2.81 log 10 P d 1.43 spesiell elativitetsteoi: s 2 = t 2 x 2 c µν = λ ) λ = 1+v 1 v 1 d 10pc λ max T = 0.0029 m K γ el v el γ el 0 0 v el γ el γ el 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 stjeneutvikling, begynnelsen/hovedseien: V µ = γ1, v) m 2 = E 2 p 2 ) 3/2 < E K >= 3 2 kt N = M 5kT µm H M J = Gµm H ρ) d2 dp ) dt = ρ)g) 2 d P = ρkt µm H P = 1 3 at 4 ρ = at 4 < K >= 1 2 < U > geneell elativitetsteoi: ) ) 1/2 3 4πρ s 2 = ) 1 2M t 2 2 2 φ 2 Mm 1 2M M kg = G c 2 t shell = 1 2M t shell = E m = 1 2M t = E/m 1 2M ) = ± E m ) dt dτ L m = 2 dφ dτ τ φ = L/m 2 ) 2 [ 1 + L/m 1 2M τ ) ] 2 1 ) 2M τ V eff ) m = 1 L/m) 2 2 M 2 V eff ) 1 m = ) [ 2M 1 + L/m)2 = ± 1 2M φ = ± L/E ) 1 2M t b = L p V eff = 1 1 2M b cit = 3 3M 2 ] φ = 4M R θ E = 4Mdsouce d lens ) d lens d souce ) 1 1 2M ) L/E) 2 2 t 7
kjeneeaksjone: U = 1 Z A Z B e 2 4πɛ 0 ε AB = ε 0 X A X B ρ α T β ε pp ε 0,pp XH 2 ρt 6 4 ε 0,pp = 1.08 10 12 Wm 3 /kg 2 ε CNO = ε 0,CNO X H X CNO ρt6 20 ε 0,CNO = 8.24 10 31 Wm 3 /kg 2 ε 3α = ε 0,3α ρ 2 XHe 3 T 8 41 ε 0,3α = 3.86 10 18 Wm 6 /kg 3 stjenes egenskape/siste stadie i stjeneutvikling: L M 4 t 1/M 3 M Teff 2 E F = h2 3ne 8m e π T < h2 3 ) 2/3 n 2/3 12m e ek π P = ) 3 2/3 h 2 π 20m e n 5/3 e P = hc 3 ) 1/3 4/3 8 π n e < E K >= 3 5 E F R WD ) ) 3 4/3 5/3 h 2 Z 2π 20m eg Am H M 1/3 3/2 M Ch hc ) 3/2 ) 2 Z 2π G Am H 1.4M ) 2/3 8