Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe i oppgave har vi = 19 og α = 0.10. Et 90% kofidesiterval for aldere til bergarte er dermed gitt som x ± t 0.05,18 s 19 For de 19 aldersmåligee har vi at x = 276.9 og s = 27.1. Av tabell A.5 på side 789 i læreboka har vi at t 0.05,18 = 1.734. Kofidesitervallet blir dermed dvs. 276.9 ± 1.734 27.1 19 276.9 ± 10.8 Et 90% kofidesitervall er altså fra 266.1 millioer år til 287.7 millioer år. (b Et estimat for måleusikkerhete er s = 27.1 millioer år. Vi får et 100(1 α% kofidesitervall for σ ved å bruke framgagsmåte beskrevet på side 403 i læreboka. For situasjoe i oppgave blir et 90% kofidesitervall ( 18 18 s, s χ 2 0.05,18 χ 2 0.95,18 Av tabell A.7 på side 791 i læreboka har vi at χ 2 0.95,18 = 9.390 og χ 2 0.05,18 = 28.869. Kofidesitervallet blir dermed ( 18 18 27.1 28.869, 27.1 9.390 dvs. fra 21.4 millioer år til 37.5 millioer år. (c Kofidesitervallee i puktee (a og (b forutsetter at måligee er uavhegige og ormalfordelte. (Som vi vil se i oppgave 2 er dee forutsetige spesielt viktig for kofidesitervallet i pukt (b. For å sjekke atagelse om ormalfordelig, ka vi lage et ormalfordeligsplott (jf. avsitt 4.6 i læreboka. Side ormalfordeligsplottet er oelude som e rett lije, er atagelse om ormalfordelte måliger rimelig. 1
(e For å teste H 0 : µ = 265 mot H a : µ < 265 beyttes testobservator t = x 265 s/ som blir lite år de alterative hypotese er rimelig, dvs. år x er klart midre e 265. Når ullhypotese holder er testobservatore t-fordelt med 1 = 18 frihetsgrader. Her er x = 276.9 (merk at x > 265 og s = 27.1, oe som gir e testobservator lik -1.914 og vi får e P-verdi lik 0.964 = P(T > 1.914 år T er t-fordelt med 1 = 18 frihetsgrader (bruk fuksjoe pt for kumulativ t-fordelig i R. Side P-verdie er (mye større e ivået satt til α = 0.05 så forkastes ikke ullhypotese. For å teste mot alterativet H a : µ 265 beyttes testobservator x 265 s/ som dermed blir lik 1.914. P-verdie for dee teste blir 2P(T > 1.914 = 0.072 der T fortsatt er t-fordelt med 18 frihetsgrader. Dee P-verdie er også større e ivået på 0.05 og heller ikke dee ullhypotese forkastes. Merk at µ = 265 ligger utefor 90% kofidesitervallet fra pukt a. Dette svarer til at vi ville forkastet ullhypotese med tosidig alterativ hvis ivået var valgt til 10% som jo er større e P-verdie 0.072. Oppgave 2 (a Fra (1 i oppgavetekste har vi at ( P t α/2, 1 < X µ S/ < t α/2, 1 = 1 α der t α/2, 1 er gitt som på sidee 402 i læreboka. Vi omformer ulikhetee og fier S S P ( t α/2, 1 < X µ < t α/2, 1 = 1 α eller S S P (X t α/2, 1 < µ < X + t α/2, 1 = 1 α Dermed har vi at et 100(1 α% kofidesitervall for µ er: (X t α/2, 1 S, X + t α/2, 1 S (b Fra (2 i oppgavetekste har vi at P (χ 21 α/2, 1 ( 1S2 < < χ 2 σ 2 α/2, 1 = 1 α der χ 2 1 α/2, 1 og χ2 α/2, 1 er gitt som på sidee 409 i læreboka. Vi omformer ulikhetee og fier ( ( 1S 2 P < σ 2 ( 1S2 < = 1 α χ 2 α/2, 1 χ 2 1 α/2, 1 2
eller ( 1 P S χ 2 α/2, 1 1 < σ < S = 1 α χ 2 1 α/2, 1 Dermed har vi at et 100(1 α% kofidesitervall for σ er: ( 1 1 S, S χ 2 α/2, 1 χ 2 1 α/2, 1 (c Vi geererer B = 1000 datasett av størrelse = 10 fra N(1, 1-fordelige, bereger kofidesitervallee i puktee a og b for hvert datasett og teller opp hvor mage av datasettee som ieholder de sae verdiee µ = 1 og σ = 1. R-kode: # D e f i e r e r v a r i a b l e =10 B=1000 m=1 s=1 low.m=up.m=rep (0,B low. s=up. s=rep (0,B # Geererer B=1000 o r m a l f o r d e l t e d a t a s e t t av s t o r r e l s e =10 # og bestemme edre og ovre grese av k o f i d e s i t e r v a l l e e ( 1 og ( 2 f o r ( i i 1 :B { x=rorm (,m, s low.m[ i ]=mea( x qt ( 0. 9 7 5, 1 sd ( x / s q r t ( up.m[ i ]=mea( x+qt ( 0. 9 7 5, 1 sd ( x / s q r t ( low. s [ i ]= sd ( x s q r t ( ( 1/ qchisq ( 0. 9 7 5, 1 up. s [ i ]= sd ( x s q r t ( ( 1/ qchisq ( 0. 0 2 5, 1 } # Fier adel k o f i d e s i t e r v a l l som i e h o l d e r de sae v e r d i e e mea ( ( low.m<1&(up.m>1 mea ( ( low. s <1&(up. s >1 (d Vi gjetar simulerigee for datasett av størrelse = 25, = 50 og = 100. Resultatet av simulerigee er gitt i tabell 1. (Merk at resultatet vil variere litt fra e simulerig til e ae, så du vil ikke få øyaktig samme resultat hvis du gjetar simulerigee. Tabell 1: Adel kofidesitervall som ieholder de sae verdiee av parametree år vi geererer datasettee fra ormalfordelige. 3
Parameter = 10 = 30 = 200 µ 0.946 0.947 0.956 σ 0.942 0.945 0.954 Vi ser at både kofidesitervallet for µ og kofidesitervallet for σ ieholder de sae verdie av parametere for omtret 95% av de 1000 geererte datasettee for alle verdier av. At atallee avviker oe fra 95% skyldes tilfeldigheter i simulerigee. (Atall kofidesitervall som ieholder de sae verdie av parametere er biomisk fordelt. (e Vi gjør tilsvarede simuleriger som i puktee (c og (d, me å geererer vi datasettee fra ekspoesialfordelige med forvetigsverdi 1 (og stadardavvik 1. # Geererer B=1000 e k s p o e s i a l f o r d e l t e d a t a s e t t av s t o r r e l s e =10 # og bestemme edre og ovre grese av k o f i d e s i t e r v a l l e e ( 1 og ( 2 f o r ( i i 1 :B { x=rexp (, r a t e =1 low.m[ i ]=mea( x qt ( 0. 9 7 5, 1 sd ( x / s q r t ( up.m[ i ]=mea( x+qt ( 0. 9 7 5, 1 sd ( x / s q r t ( low. s [ i ]= sd ( x s q r t ( ( 1/ qchisq ( 0. 9 7 5, 1 up. s [ i ]= sd ( x s q r t ( ( 1/ qchisq ( 0. 0 2 5, 1 } (f Resultatet av disse simulerigee er gitt i tabell 2. Tabell 2: Adel kofidesitervall som ieholder de sae verdiee av parametree år vi geererer datasettee fra gammafordelige. Parameter = 10 = 30 = 200 µ 0.906 0.921 0.944 σ 0.778 0.734 0.677 Når vi geererer datasettee fra ekspoesialfordelige, gjelder ikke (1 og (2 i oppgavetekste. Dette fører til at adele kofidesitervall som ieholder de sae verdie av parametere vil avvike e del fra 0.95. Det er imidlertid e viktig forskjell mellom kofidesitervallet for µ og kofidesitervallet for σ. Kofidesitervallet for µ ieholder de sae verdie µ = 1 for få gager år er lite. Me år øker blir situasjoe bedre, og for = 100 ieholder kofidesitervallet de sae verdie av µ for 94% av de geererte datasettee. Kofidesitervallet for σ ieholder de sae verdie σ = 1 for uder 80% av de geererte datasetee år = 10, og situasjoe blir bare værre år øker. Koklusjoe av dette er at vi ka bruke kofidesitervallet i pukt (a hvis er rimelig stor selv om dataee ikke er 4
ormalfordelte, mes kofidesitervallet i pukt (b bare ka brukes år dataee er (tilærmet ormalfordelte. Oppgave 3 (a For x > κ blir de kumulative sasylighetsfordelige til X: F (x = x f(udu = x κ θκ θ u θ 1 du = θκ θ ( θ 1 [u θ ] x κ = 1 κ θ x θ. For x κ blir F (x = x 0 dx = 0. Dermed har vi at: F (x = 1 ( κ x θ for x > κ, 0 ellers. Media årsitekt µ er gitt ved F ( µ = 1/2. Av det fier vi at: ( θ κ 1 = 1 µ 2 ( θ κ = 1 µ 2 µ θ = 2 κ θ µ = 2 1/θ κ (b Forvetet itekt er: E(X = x f(xdx = κ x θκ θ x θ 1 dx = θκ θ x θ dx = θκ θ ( θ + 1 1 [x θ+1 ] κ κ = θκ θ 1 5
(c For y > 0 blir de kumulative sasylighetsfordelige til Y : G(y = P (Y y = P (2θ[l(X l(κ] y = P (l(x l(κ y/2θ = P (l (X/κ y/2θ = P (X κ exp (y/2θ = F (κ exp (y/2θ ( θ κ = 1 = 1 (exp ( y/2θ θ κ exp (y/2θ = 1 exp ( y/2 For y 0 blir kumulative sasylighetsfordelige G(y = 0. Dermed har vi at: { 1 exp ( y/2 for y > 0, G(y = 0 ellers. Sasylighetstetthete til Y er g(y = G (y. Det gir: g(y = { 1 2 exp ( y/2 for y > 0, 0 ellers. Ved å sammelige med kjikvadrat tetthete på side 315 i læreboka, ser vi at Y er kjikvadrat fordelt med 2 frihetsgrader. (d Ved å bruke resultatet i pukt b, har vi at momet estimatore for θ er løsige av ligige X = θκ θ 1 Momet estimatore m er dermed gitt ved: X m X = m κ m (X κ = X m = X X κ (e Ved å bruke (3 i oppgavetekste, får vi likelihoode (år alle x i > κ: f(x 1,..., x ; θ = ( θ+1 1 θκ θ = θ κ θ x i x (θ+1 i. 6
Det gir log-likelihoode: l[f(x 1,..., x ; θ] = l(θ + θ l(κ (θ + 1 l(x i Vi deriverer m.h.p. θ og løser ligige vi får år de deriverte settes lik ull: θ + l(κ l(x i = 0 θ = θ = l(x i l(κ l(x i l(κ Vi setter i X i for x i og fier at maksimum likelihood estimatore er: = l(x i l(κ (f Vi har at: ( 2θ = 2θ l(x i l(κ = 2θ [l(x i l(κ] Vi ka altså skrive 2θ/ som e sum av uavhegige stokastiske variable som hver er kjikvadrat fordelt med 2 frihetsgrader (jf. pukt c. Resultatet på side 316 i læreboka gir dermed at 2θ/ er kjikvadrat fordelt med 2 frihetsgrader. (g Ved å bruke (5 i oppgavetekste, resultatet i pukt f og egeskaper for gammafuksjoe (jf. side 190 i læreboka, får vi at: [ (2θ ] 1 E = 2 1 Γ ( 2 1 2 Γ ( Γ ( 1 Γ ( 1 = = 2 2 Γ ( 2( 1 Γ ( 1 = 1 2( 1 2 og [ (2θ ] 2 E = 2 2 Γ ( 2 2 2 Γ ( = 2 2 = 1 4( 1( 2. 7 Γ ( 2 4 Γ ( = Γ ( 2 4( 1( 2 Γ ( 2
Forvetige til maksimum likelihood estimatore blir dermed: [ ( ] [ 1 (2θ ] 1 2θ 1 E( = E 2θ = 2θ E = 2θ 2( 1 = θ 1 Videre fier vi at [ E( 2 = E 4 2 θ 2 ( 2θ ] [ 2 (2θ ] 2 = 4 2 θ 2 E = 4 2 θ 2 1 4( 1( 2 = 2 θ 2 ( 1( 2 Variase blir dermed: V ( = E( 2 (E( 2 = ( 2 θ 2 2 θ ( 1( 2 = 1 2 θ 2 ( 1 2 ( 2 (h Vi har at E( = θ/( 1 θ. Dermed er ikke maksimum likelihood estimatore forvetigsrett. E forvetigsrett estimator er u = 1 = 1 l(x i l(κ. Variase til dee estimatore blir: V ( u = V ( 1 = ( 2 ( 2 1 1 2 θ 2 V ( = ( 1 2 ( 2 = θ 2 2 8