Kombinatorikk og sannsynlighet R, Prøve løsning Del Tid: 70 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Elevrådet på Lillevik videregående skole består av 0 representanter. Av disse representantene skal det velges tre representanter til et arbeidsutvalg. a) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få? 0 0 9 8 De kan få 2 4 20 ulike arbeidsutvalg. Når arbeidsutvalget er valgt, skal det bestemme hvem som skal være leder, nestleder og sekretær. b) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få med de samme tre representantene? Vi kan få! 6 ulike arbeidsutvalg. c) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få i elevrådet når vi tar hensyn til hvem som har de ulike vervene? Da kan vi få 206 720 ulike arbeidsutvalg. Oppgave 2 På Storhaug skole består også elevrådet av 0 representanter. Her foregår valg til arbeidsutvalget ved at det først velges leder, så nestleder og til slutt sekretær. a) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få? De kan få 098 720 ulike arbeidsutvalg. b) Sammenlikne svaret i a med svaret i 2c og kommenter resultatet. Svaret blir det samme. Det spiller ingen rolle om en først velger representantene og så fordeler vervene, eller om en velger representantene til vervene med en gang. (Forutsatt at valgene er tilfeldige. Her har vi en demokratisk problemstilling!) Anta nå at valget av arbeidsutvalg ved Storhaug skole foregår ved loddtrekning. Ali sitter i elevrådet. c) Hva er sannsynligheten for at Ali blir sekretær i arbeidsutvalget? Her kan vi enten tenke at alle i elevrådet har samme mulighet til å bli sekretær. Sannsynligheten er altså 0.
Eller vi kan tenke at da må han ikke velges til leder eller nestleder, men til sekretær. Da får vi at sannsynligheten er 9 8 0 9 8. 0 Oppgave I en skål med twist er det igjen til sammen 0 twist, av disse er 4 lakris. Du trekker tilfeldig tre twist. Bestem sannsynligheten for at du får a) to lakris. Dette er en hypergeometrisk fordeling. 4 6 4 6 2 Pto lakris 2 0 2 0 0 9 8 2 Alternativ: 4 Pto lakris 0 6 8 0 9 b) ingen lakris. 4 6 6 5 4 0 Pingen lakris 2 0 2 2 6 0 9 8 2 Alternativ: P ingen lakris 6 5 4 2 8 6 0 9 c) minst én lakris. 5 Pminst én lakris Pingen lakris 6 6 2
Oppgave 4 RA 2456 Nummerskilt på bil har endret seg etter hvert som antall biler har økt. I Norge kan vi litt forenklet si at: før andre verdenskrig besto et bilskilt av én bokstav og fire siffer. etter andre verdenskrig ble antall siffer økt til fem. etter 97 består et bilskilt av to bokstaver og fem siffer. Det er 20 ulike bokstaver som brukes i bilskilt. Det første sifferet kan ikke være 0. a) Forklar at nummereringen som ble brukt før andre verdenskrig hadde plass til ikke tar hensyn til at systemet også anga fylket bilen hørte hjemme i. Antall kombinasjoner: 4 5 2090 00 80,8 0. 5,80 biler når vi b) Hvor mange biler hadde systemet som ble brukt fra andre verdenskrig og fram til 97 plass til? Antall kombinasjoner: 5 6 20900 00 80,8 0. c) Hvor mange biler har systemet som brukes etter 97plass til? Antall kombinasjoner: 6 7 202090 000 60,6 0. Petter har nummeret øverst i oppgaven på bilen sin. Han skal bestille ferjebillett og må angi nummeret, men han husker det ikke helt. Han er sikker på at bokstavene er A og R, men er usikker på rekkefølgen. Han er også sikker på at sifrene følger etter hverandre i tallrekken, som for eksempel,2,,4,5. Han velger et nummer som stemmer med det han husker. d) Hva er sannsynligheten for at Petter skriver riktig nummer? Når det gjelder bokstavene har han to muligheter, AR og RA. Når det gjelder sifrene, må det første være eller større og det siste 9 eller mindre. Det gir 5 ulike muligheter når sifrene skal følge etter hverandre. Han har altså 25 0 mulige valg og sannsynligheten for å velge riktig er 0.
Del 2 Tid: 50 min Hjelpemidler: Alle hjelpemidler. Ikke Internett eller andre former for kommunikasjon. Oppgave 5 Russen planlegger et lotteri til inntekt for lokalsykehuset. De planlegger å selge 000 lodd. Ett lodd skal gi førstegevinst og femten lodd skal gi andregevinst. En lærer kjøper ti lodd. a) Bestem sannsynligheten for at læreren vinner førstegevinsten. Vi bruker GeoGebra og finner sannsynligheten. Alternativ: 0 000 00 Sannsynligheten for at læreren vinner førstegevinsten er 0,0. b) Bestem sannsynligheten for at læreren vinner akkurat én gevinst. Sannsynligheten for at læreren vinner akkurat én gevinst er 0,40. 4
c) Bestem sannsynligheten for at læreren vinner minst én gevinst. Sannsynligheten for at læreren vinner minst én gevinst er 0,50. Oppgave 6 Ved en teknisk kontroll av trailere på en norsk vintervei viste det seg at 8 % av trailerne var utenlandske. Av disse var det 42 % som hadde for dårlige dekk. Av de norske trailerne som ble kontrollert hadde 8 % for dårlige dekk. Sett: U Bilen er utenlandsk, U = Bilen er norsk, D = Bilen har for dårlige dekk, D Bilen har gode dekk Her kan det være lurt å sette opplysningen inn i et valgtre: U D D 5
a) Bestem PU, PU D og PD PU PU D PD 0,8, =0,8 0,42 0,6 og 0,80,42 0,620,08 0,2 b) Bestem PU D PU D PD P U P D U P D U 0,6 0,76 P D 0,2 Ved en tilsvarende kontroll av personbiler viste det seg at 8 % av bilene hadde for dårlige dekk. 7 % av de kontrollerte bilene var utenlandske, og av disse hadde 5 % for dårlige dekk. c) Bruk samme symboler som ovenfor og bestem PD U for personbiler. Vi har at PD PD UPU+ PD U PU. Vi setter inn de kjente størrelsen og løser likningen vi da får: + PD U 0,8 0,50,07 0,7 P D P D U P U P D U P U 0,8 0,5 0,07 0,07 P D U 0,9 6