Eksamen S høsten 015 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene f x x x a) 3 f x 3x g x 3 e x 1 b) 1 1 3 x x 6 g x e e x c) hxx e x x x h x x e x e x e x Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 1
Oppgave (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x 3x 9 x, Df a) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f. I eventuelle topp- og bunnpunkt er den deriverte lik null. f x 0 3x 6x 9 0 x x 3 0 413 x 1 16 x 4 4 x 1 x 3 Det betyr at fx x 1x 3 Jeg tar stikkprøver for å finne fortegnet til den deriverte i aktuelle intervall. f 4 4 1 4 3 positivt f 0 0 1 0 3 negativt f 1 3 positivt Jeg lager fortegnslinje Grafen stiger når x 3, grafen synker for 3 x 1 og grafen stiger for x 1 3 Grafen har toppunkt i f Grafen har bunnpunkt i 3, 3 3, 3 33 93 3,7 1, f 1 1,1 3 31 91 1, 5 b) Bestem eventuelle vendepunktet på grafen til f. Vi løser likningen f x 0 x f x 3x 6x 9 f x 6x 6 f 0 6x 6 0 6x 6 x 1 Vi har at f 6 6 6 og f 6 6 18 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side
Dette viser at vi har et vendepunktet med koordinater 3 f 1, 1 1, 1 31 91 1,11 c) Lag en skisse av grafen til f. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 3
Oppgave 3 (3 poeng) a) Forklar at polynomet 8 alltid er delelig med x. 3 x ax ax Jeg setter inn verdien for x i polynomet 3 a a 8 84a 4a 8 0 Polynomet blir lik null for x. Det betyr at polynomet alltid er delelig med x. b) Forkort brøken 3 x x x 8 x 3 x x 3 x x x x x x 8 : 4 x x x8 x Det betyr at 4x 8 0 4x 8 x x x x 3 x x 8 4. = x x x x 4 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 4
Oppgave 4 (3 poeng) Løs likningssystemet x y z x y z 3 3x y z x y z z xy Det gir x y xy 3 3x y 5 3xy xy 5xy6 3x y 5 y 53x 5x 53x 6 x 4 y 5 34 51 7 z x y 4 7 1 Oppgave 5 (3 poeng) En rekke er gitt ved 1 1 1 1 4 n1 a) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen S n av rekken. 1 1 1 1 1 1 : og :1 4 4 1 Dette viser at rekken er geometrisk med a1 1, 1 k og antall ledd lik n. 1 1 1 1 n 1 Summen av rekken er 1 Sn 1 1 n n1 1 n 1 1 1 b) Bestem summen av den uendelige rekken 1. 4 8 1 Siden kvotienten k ligger mellom 1 og 1, konvergerer rekken. Summen av den uendelige rekken er S 1 1 1 1 1 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 5
Oppgave 6 (4 poeng) n En tallfølge a er gitt ved an 3 n 1 a) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen. 1 3 4 3 a 1 1 11 3 a 1 8 1 9 3 a 3 1 7 1 8 a 3 4 1 64 1 65 b) Vis at leddene a1, a, a3 og a 4 er delelige med henholdsvis, 3, 4 og 5. a1 1 a 9 3 3 3 a3 8 7 4 4 a4 65 13 5 5 c) Vis at a n er delelig med n 1 an 3 n 1 n1 n1 3 n n 3 n 1 : n 1 n n 1 n 1 n n n 1 0 n 1 Divisjonen går opp og n n 1 er et helt tall. Vi kan også se at divisjonen går opp siden 1 3 1 11 0. Hvorfor det? Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 6
Oppgave 7 (4 poeng) La x være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. De totale kostnadene Prisen 0000 10 0,05 K x x x px for én enhet er gitt ved px480 0,1x a) Bestem et uttrykk for inntekten Ix. I x xp x x 480 0,1x 0,1x 480x Kx er gitt ved b) Bestem et uttrykk for overskuddet Ox. Bestem den produksjonsmengden som gir det største overskuddet. O x I x K x 0,1x 480x 0000 10x 0,05x 0,15x 360x 0000 x O x 0,15x 360x 0000 O x 0,30x 360 O x 0 0,30x 360 0 0,30x 360 x 100 O 0,30 Den deriverte til overskuddsfunksjonen er lik null og den dobbeltderiverte er negativ. Det viser at overskuddsfunksjonen har et toppunkt for x 100. En produksjonsmengde på 1 00 enheter gir størst overskudd. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 7
Oppgave 8 (4 poeng) I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 00 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst. La a være prisen en spiller må betale for ett spill, og X utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang. a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor P X x a a 00 a 50 x 7 36 Det er til sammen 36 mulige utfall. Tre av utfallene gir summen 10, 4+6, 5+5 og 6+4. Seks av utfallene gir summen 7, 1+6, +5, 3+4, 4+3, 5+ og 6+1. b) Hva bør kasinoet sette prisen a til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill? E X 3 36 5 7 3 6 a a 00 a 50 5 36 36 36 7a 3a 600 6a 300 180 36a 1080 6 36 a 30 Kasinoet bør sette prisen per spill til 30 kroner. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 8
Oppgave 9 (6 poeng) I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Levetiden X til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid standardavvik 400 timer. 000 timer og med et a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer. 1600 000 PX 1600 PZ PZ 1 0,1587 15,87% 400 b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn x timer. Bestem x. P X x 0,90 P X x 0,10 P Z z 0,10 z 1,8 x 000 1,8 400 x 51 000 x 1488 c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X? Begrunn svaret. For B og D er 000 og kan derfor utelukkes. Siden ca. 68 % av arealet skal ligge i området 1600 til 400, kan vi utelukke A. Framstilling C illustrerer X. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 9
Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (8 poeng) Maria trener på et apparat i et treningssenter. La fx være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, x minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen f er gitt ved x f x 4 1e 1,05 x, x 0 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kj/min. Jeg plotter punktet 3, f 3 og finner at treningseffekten etter 3 min er 43 kj per min. Se punkt A. Jeg plotter linjen y 50 og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Punktet B viser at treningseffekten er 50 kj/min etter 7,6 minutter. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 10
Det samlede energiforbruket E, målt i kilojoule (kj), i de første t minuttene av treningen er gitt ved t E t f x dx 0 c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene. Jeg bruker kommandoen «Integral[f, 0, 10]» og finner samlet energiforbruk som arealet mellom x -aksen og grafen til minuttene er 430,5 kj. fx. Det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kj. Jeg prøver meg fram med ved å regne ut forskjellige integraler som vist på figuren. Resultatet viser at Maria må trene ca 4,5 minutter for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kj Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 11
Oppgave (8 poeng) I 199 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen. I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Menn: Årstall 1909 1913 190 1935 1960 1970 1988 Fart (m/s) 4,38 4,51 4,61 4,81 5,0 5,43 5,55 Kvinner: Årstall 1963 1967 1970 1973 1975 1979 1985 Fart (m/s) 3,4 3,75 3,85 4, 4,44 4,77 4,98 a) Lag lineære modeller f og g for farten til menn og kvinner. La x være antall år etter 1900. Jeg la verdiene fra tabellen for menn inn i regnearket i GeoGebra og valgte regresjonsanalyse med «Lineær» som regresjonsmodell. Jeg fikk modellen f x0,015x 4,93 Jeg gjorde tilsvarende med tabellen for kvinner og fikk modellen gx 0,081x 1,745. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 1
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellen Jeg tegner grafene til begge modellene og finner skjæringspunktet mellom grafene ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt O. Ifølge modellen vil kvinner løpe like raskt som menn i år 1991. Se punkt O. Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 014 med en gjennomsnittsfart på 5,7 m/s, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på 5,01 m/s. c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene? År 014 er 114 år etter år 1900. Punktet Q viser tydelig at modellen g for kvinner ikke er gyldig i år 014. Punktet P avviker også så mye fra grafen til f at heller ikke modellen for menn kan sies å være gyldig i år 014. En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp x år etter 1900 er gitt ved: Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 13
6,65 1 0,751 0,01 hx e x d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 4 195 m. Jeg regner først hva som blir gjennomsnittsfarten i m/s hvis distansen løpes på to timer. Jeg finner så skjæringspunktet mellom grafen til «Skjæring mellom to objekt». hx og linjen y 5,86 ved kommandoen Punktet R viser at maraton ifølge denne modellen vil bli løpt på under to timer i år 043. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 14
Oppgave 3 (4 poeng) Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.1. hvert år. Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %. a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt? Hvis fondet aldri skal gå tomt, kan det maksimalt deles ut hele den årlige avkastningen. Da vil fondet alltid være på 50 millioner kroner. Det kan maksimalt deles ut 10 % av 50 millioner kroner, som er 5 millioner kroner. Vi kan alternativt bruke geometriske rekker til å løse oppgaven. (Da får vi samtidig klar løsningen til oppgave b). Vi starter med å tegne en tidslinje hvor vi legger inn opplysningene i oppgaven. x Fondet må avsette 1,10 kroner 01.01.015 for å kunne utbetale x kroner i slutten av året. x Fondet må avsette 1,10 kroner 01.01.015 for å kunne utbetale x kroner to år senere, osv. Nåverdiene 1. januar 015 til alle de årlige utbetalinger, x, utgjør en uendelig geometrisk rekke x 1 hvor a1 og k. Summen av dennne rekken skal være lik 50 millioner kroner. 1,10 1,10 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 15
Det kan maksimalt deles ut 5 millioner kroner hvert år. b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år? Nåverdiene 1. januar 015 til alle de årlige utbetalinger på 8 millioner kroner utgjør en endelig 8000000 1 geometrisk rekke hvor a1 og k. Vi lar antall ledd i rekken, n, være ukjent i 1,10 1,10 likningen vi får ved å sette summen av rekken lik 50 millioner kroner. Fondet kan dele ut 8 millioner kroner i 10 år. De vil da ha igjen et restbeløp, men ikke nok til å betale ut 8 millioner det ellevte året. Hvis de betaler ut restbeløpet på slutten av det 11. året, er fondet tomt for penger den 31.1 05. Oppgave 4 (4 poeng) Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner. Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene. Smøreost Helmelk Hvitost Fett 5 g 3,5 g 7 g Karbohydrater g 4,5 g 0 g Proteiner 6 g 3,3 g 7 g Energiinnhold 1010 kj 70 kj 1500 kj Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kj) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner. Jeg lar x være energiinnholdet i 1 g fett, y energiinnholdet i 1 g karbohydrater og z energiinnholdet i 1 g proteiner. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 16
Ut fra tabellen kan jeg sette opp og løse følgende likningssett. I 1 g fett er det 33,3 kj I 1 g karbohydrater er det 17,8 kj I 1 g proteiner er det 1,8 kj Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 17
Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 18
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA308 Matematikk S høsten 015 Side 19