Institutt for fysikk, NTNU TFY46/FY2: Bølgefysikk Høsten 26, uke 34 Mandag 2.8.6 Hvorfor bølgefysikk? Man støter på bølgefenoener overalt. Eksepler: overflatebølger på vann akustiske bølger (f.eks. lyd) elektroagnetiske bølger (f.eks. lys) partikkelbølger (partikler so elektroner er også bølger!) seisiske bølger Dered: Viktig å forstå bølgefysikk for å kunne forstå virkeligheten okring seg bidra i ange teknologiske saenhenger Mange senere ener i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksepler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc. Del I: SVINGNINGER. [FGT 3; YF 3; TM 4; AF ; LL 9] Svingninger (oscillasjoner) er: periodisk (repeterende) oppførsel (bevegelse) okring en likevektsposisjon. (Bølger er forplantning av svingninger.) Eksepler på svingesysteer: person i huske (pendel) gitarstreng ato i olekyl ato i fast stoff (krystallgitter) elektroner i antenne Vi betrakter her kun svingninger i diensjon og bruker so odellsyste en asse festet til ei fjær: I tillegg til udepet haronisk svingning ser vi på depet svingning og tvungen svingning.
Enkel haronisk svingning [FGT 3.-3.3; YF 3.2; TM 4.,4.3; AF.2-.5; LL 9.-9.3] k x= (likevektsposisjon) x Idealisert odell: friksjonsfritt underlag, og Hookes lov antas å gjelde for fjæra: F = kx Her er k fjærkonstanten, ed diensjon [k] = N/. I praksis gjelder Hookes lov for så utsving fra likevekt. Kraft på derso fjæra strekkes en lengde x (saenpresset fjær, x <, er også inneholdt her): Bevegelsen til, dvs x(t), gitt ved Newtons 2.lov: F = kx so gir eller F = a = d2 x dt 2 = ẍ kx = ẍ ẍ + k x = Vi innfører ω = k/, so gir ẍ + ω 2 x = Dette er en 2. ordens hoogen differensialligning (DL) for x(t). Vi ser uten videre at både sin ωt og cos ωt er aktuelle løsninger, etterso og En generell løsning er dered d 2 dt 2 sin ωt = ω2 sin ωt d 2 dt 2 cos ωt = ω2 cos ωt x(t) = B cos ωt + C sin ωt Her å vi kjenne to såkalte initialbetingelser, f.eks. integrasjonskonstantene B og C. 2 x() og v() = ẋ(), for å få fastlagt de to
En alternativ for på den generelle løsningen er x(t) = A cos(ωt + φ) der vi også har to integrasjonskonstanter, A og φ, so å fastlegges ved hjelp av to initialbetingelser. Ved hjelp av standard trigonoetriske relasjoner (se Rottann!) vil en finne at de to alternative løsningsforene er identiske derso B = A cos φ og C = A sin φ. Med eksepelvis valget φ = vil assens utsving x(t) se slik ut:.5 x/a -.5-2 4 6 8 t*2pi/t Her har vi skalert begge aksene. Noen begreper: A = svingningens aplitude = aksialt utsving T = perioden f = /T = frekvensen = antall svingninger pr tidsenhet ω = 2π/T = 2πf = vinkelfrekvensen ωt + φ = fasen til svingningen φ = fasekonstanten Massen svinger ed (vinkel-)frekvens ω = k/ når systeet overlates til seg selv. Vi kaller derfor ω for systeets egenfrekvens eller naturlige frekvens. Vi kan nå lett regne ut assens hastighet v(t) og akselerasjon a(t): v(t) = ẋ(t) = ωa sin(ωt + φ) = ωa cos(ωt + φ + π/2) a(t) = ẍ(t) = ω 2 A cos(ωt + φ) = ω 2 A cos(ωt + φ + π) Altså er v faseforskjøvet π/2 i forhold til x, og a videre π/2 i forhold til v. 3
Onsdag 23.8.6 Haronisk oscillator i tyngdefeltet [FGT 3.3; YF 3.4] k g x Den konstante tyngdekraften g fører til at likevektsposisjonen flyttes fra x = (uten tyngdefelt) til x = g/k (for da er fjærkrafta k x og tyngdekrafta g tilsaen lik null). Total kraft på når den er i posisjon x: Bevegelsen x(t) fås ved hjelp av Newtons 2. lov: Løses f.eks. ved å substituere x = x x: F = kx + g kx + g = ẍ k(x + x) + g = d2 ( x dt 2 + x ) = d2 x dt 2 kx = d2 x dt 2 x (t) = A cos(ωt + φ) ed ω = k/, dvs so uten tyngdefelt. Dered: x(t) = A cos(ωt + φ) + x dvs enkel haronisk svingning okring den nye likevektsposisjonen x = g/k. Energibetraktninger for enkel haronisk oscillator [FGT 3.4; YF 3.3; TM 4.2; AF.4; LL 9.4] Kinetisk energi: E k = 2 ẋ2 = 2 ω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) = 2 ka2 sin 2 (ωt + φ) Potensiell energi: E p = x F dl = ( kx )dx = 2 kx2 = 2 ka2 cos 2 (ωt + φ) 4
Total energi: E = E k + E p = 2 ka2 Med andre ord: total energi E er bevart, dvs uavhengig av tida t. Og det er jo so ventet ed en slik konservativ kraft F = E p = ˆx de p dx = kxˆx Vi har x ax = A og v ax = ωa, så vi kan skrive E = 2 kx2 ax = 2 v2 ax Energien pendler ello kinetisk og potensiell energi:.2 E_p E_k.8.6.4.2 2 4 6 8 2 wt Her er E p og E k plottet i enheter av ka 2 /2 so funksjon av ωt. 5