Verksted på Novemberkonferansen 2015 Trondheim 24.11.2015 Antje Meier Høyskolelektor i matematikkdidaktikk Høgskulen i Volda 1 Skistavmatematikk Hva har bratte fjellsider felles med matematikk? 1
Det har gått flere ras! Er det forsvarlig å gå her? 3 Hvor stor er helningen? 4 2
Litt om bakgrunn -tema Friluftsmiljøetpå Høgskuleni Volda lærer studentene om hvordan man kan måle helning til en bratt fjellside med bare skistaver til hjelp. Studentene lurer på hvorfor det er slik. Her er det matematikkmiljøet på høyskolen som måtte finne et svar. Jeg pakket alt inn i en fortelling om en familie som går på topptur med ski. 5 Litt om bakgrunn - begrunnelse Å ta utgangspunkt i den virkelige verden for å engasjere elevene i faglige prosesser er ikke noe nytt. Læreplanen (LK 06) nevner i «Formålet med faget» at elevene skal arbeide både praktisk og teoretisk. NOU 2015:8 Fremtidens skole fornyelse av fag og kompetanse: Kompetanse i å utforske og skape vektlegges i skolens faglige innhold i et perspektiv på 20 30 år. «Engasjement» er sentral i forslagene om fremtidens skole. 6 3
Plan for verkstedet Skistavmatematikk Fortelling og matematisk aktivitet Hva er praktisk matematikk og hva er målet? Diskusjon 7 Fortelling starter Det er påskeferie og familien Larsen er på vei til en topptur i Sunnmørsalpene. Lille Marius er 6 og flink på ski. Det er hans første topptur. Lena er 10 år, Ole er 17 år og går første året på videregående skole. Far Per har vært på et skredkurs og vet mye om risikovurdering. Og han kjenner noen triks. Mor Liv tok med en helningsmåler for sikkerhets skyld. 8 4
Familien er kommet et stykke på vei og fjellsida blir brattere. Faren forteller om skredfare og risikovurdering: Skred utløses nesten aldri i terreng slakkere enn 30 grader. Ved en helningsvinkel mellom 35 og 45 grader går flest flakskred (Lied og Kristensen, 2003, Henjum, 2012). En sveitsisk og kanadisk studie (Tremper, 2008) viser at det er en betydelig økning på skred rundt 30 grader og igjen ved 38 grader helning. De fleste skred, utløst av skiløpere, skjer på 38 grader helning. «Vi må altså måle helningen til terrenget for å vurdere om det er trygt å gå her». 9 Han forklarer: «Hvis man engang har glemt helningsmåleren, så kan vi finne helningen med noen enkle triks. Vi trenger bare skistavene.» Marius rekker faren sine skistaver slik at han kan vise. 10 5
1. Triks Situasjon 1 Hvor stor er helningen? 11 1. Triks Løsningsforslag Situasjon 1 Vi har en likebeint rettvinklet trekant og vinklene er 90, 45 og 45 grader. Vinkel 45 Helningsvinkelen er 45 grader. 12 6
1. Triks Situasjon 2 Hvor stor er helningen? Helningen er 26,5 grader. 2 1 Ungene er fascinert at det er så enkelt. Lena spør: «Hvorfor er vinkelen ikke 22,5 grader? 13 1. Triks Situasjon 2 Hvorfor er vinkelen ikke 22,5 grader? Vinkler er ikke proporsjonal med sidelengde. Eksempel: 45 grader. Fordoble lengden. Vinkelen blir ikke 90 grader. 1 2 14 7
Marius, Lena og Ole synes dette er spennende. De spør: «Hvorfor vet man at det er 26,5 grader?» Per: «Det er et gammeltkjent triks, men jegvet ikke hvorfor det er slik.» Kan vi hjelpe dem? 2 1 15 Løsningsforslagsituasjon 2 Skistav når halvt opp. 2 Vi har en rettvinklet trekant og bruker trigonometri til å finne vinkelen som er helningsvinkelen. 1 Vinkel α Tangens til en vinkel er forholdet mellom motstående og hosliggende katet. Motstående katet er halve skistavlengden (1), hosliggende katet er hele skistavlengden (2). Vi får tan. Dette gir en vinkel =26,56 grader. 16 8
Pendeltrikset Faren kjenner flere triks til å måle helning. Ungene er spent! Han demonstrerer hvordan det fungerer og forklarer: 17 2. Triks Situasjon 1 Legg den ene skistaven langs helningen og ta et avtrykk, håndtaket er nede. Ta opp håndtaketmens spisserer på sammeplass i snøen. Ta håndtakettil den andre skistaven og legg den mot håndtakettil den første staven. Den andre staven skal pendle fritt. Senk spissen ned og merk i snøen. 18 9
2. Triks Situasjon 1 Vinkel 30 grader Er avstanden frå spissen til avtrykket null så er helningen 30 grader. 19 Men hvis skistaven ikke treffer nøyaktig på denne plassen, da er vinkelen en annen. Da kan det bli merrisiko å fortsette å gå opp bakken. Derfor er det viktig å vite ganske nøyaktig hvor stor helningen er. 20 10
2. Triks Situasjon 2 b a Vinkel β c x Regelen sierat når avstanden er 10 cm mellom avtrykket og spissen så er helningen 33 grader. Er avstanden 20 cm er helningen36 grader, osv. 21 Familien leter etter en brattere parti for å prøve ut. De tar Marius staver (60 cm) og gjennomfører trikset. Det er 20 cm mellom avtrykket og der spissen treffer. Lena husker regelen: her må det være 36 helning. Mora kontrollerer med helningsmåler. Den viser 42. Stemmer ikke trikset likevel? 22 11
Skal vi prøve med Pappa sine staver?», spør Ole. Han har en mistanke. Nå er det hele 50 cm mellom spissen og avtrykket. Etter regelen er da helningen 45. Mende har jomålt at den er 42. Denne regelen er altså avhengig av lengden på skistaver. 23 Familien er forvirret og satser på Liv sin helningsmåler resten av turen opp. På toppen er alle fornøyd, ikke minst Marius som har nådd sin første topp med ski. Etter at de kom hjem setter Ole seg ned med blyant, ruteark, matematikkboka og kalkulator. Han lager skisser og begynner å regne 24 12
Hvordan kan vi finne helningen? Velg ut enten situasjon 1 eller 2 og prøv å finne en matematisk forklaring. Situasjon 1 Situasjon 2 b a Vinkel β c Vinkel 30 grader x 25 Løsningsforslag situasjon 1 Det er en likesidet trekant. Alle sidene er så lang som skistaven og da må alle tre vinklene være like store. Vinkel 30 grader Vi vet at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Da er én vinkel 60 grader. Da må helningen være 30 grader, uansett lengde til skistaven. 26 13
Løsningsforslag Situasjon 2 b Bruk av cosinus i rettvinklede trekanter Vi har en vilkårlig trekant der vi kjenner alle tre sider a, b og c. Vi har at og der x er det stykket som spissen peker utover avtrykket. a Vinkel β c Vi deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. x cos = 27 Løsningsforslag Situasjon 2 b Bruk av sinussetning for vilkårlige trekanter sin sin 180 2 Vet at sin 180 2 =sin2 sin sin2 a Vinkel β c Vet at sin2 2sin cos sin 2sin cos x Korte og får: 28 14
Løsningsforslag Situasjon 2 b Bruk av cosinussetning for vilkårlige trekanter 2 og omformer: a Vinkel β c cos 2 x Vi har at og, der x er det stykket som spissen peker utover avtrykket. 29 b cos 2 a Vinkel β c Vi setter inn og får: cos 2 x forsvinner i telleren og vi kan korte (a+x). Formelen blir da slik: Vinkelen og dermed helningsvinkelener altså avhengig både av avstanden fraspissen til avtrykket og av lengdentil skistaven. 30 15
Eksempel på utregning av helning Skistavlengde a er 140 cm. Vi observerer 20 cm avstand (x) frå spissen til avtrykket. 0,57 Vinkel = cos -1 =55.15 Helningsvinkel er 90-55,15 = 34,85 31 Noen verdier for helningsvinkel sammenlignet med regelen Skistavlengde a 60 cm 100 140 160 cm Regelen Avstand x +10 35,7 33,4 32,4 32,1 33 +20 41,8 36,9 34,8 34,2 36 +30 48,6 40,5 37,4 36,4 39 +50 66,4 48,6 42,7 41 45 Hva er skistavlengden som gjør at regelen stemmer? 32 16
Hva er lengden som gir at regelen stemmer, at 10 cm gir 3 grader mer helning? Løsning kan vi komme fram til med prøving og feiling ved hånd eller Excel algebraisk GeoGebra. Å vise framgangsmåten ville sprenge tidsrammen som er gitt her. 33 Fortelling avslutter Ola regner til langt på natta. Han blir helt oppslukt. Neste morgen til frokost forteller han: «Denne regelen stemmer for en skistavlengde av 112 cm. Er skistaven kortere, så er helningen større enn hva regelen sier.» Alle roser Ole for sine gode matematikkunskaper. 34 17
Hvorfor praktiske oppgaver i matematikk? 35 Hvorfor praktiske oppgaver? Læreplan Undring over praktiske spørsmål har alltid vært utgangspunkt til forsking og utvikling i realfagene. Kjekt positiv holdning til matematikkfaget (f.eks. grublisoppgaver og matematikkdager (?)) Innfallsvinkel til å lære nytt stoff (se Olafsen og Maugesten, 2014, s. 46 ff.) Lære nytt stoff (se Kramer, 2013) Anvende det lærte gir mening (f.eks. skistavmatematikk) 36 18
En enkel påstand eller problem fra hverdagen kan gi opphav til rike matematiske utfordringsoppgaver. Har du prøvd ut en slik oppgave som gir mening og engasjerer? Del gjerne med oss! 37 Noen flere eksempler Bygge iglupå en skidag hvor mange snøblokkertrenger vi? Enkel: telle antall snøblokker, addisjonsoppgaver. Mer avansert: få inn omkrings, divisjon og sirkelfunksjon. Hvorfort beveger seg Paul som står stille på en plass ved ekvatoren? Enkel: divisjon (oppgi omkrings av jorda langs ekvatoren). Meravansert: få inn grader, Variasjoner: Hvorfort beveger seg Fritjof som står på nordpolen? Hvorfort beveger seg Mari som står i Trondheim? 38 19
Takk for oppmerksomheten! 39 Kilde Brattlien, Kjetil (2008). Den lille snøskredboka, Fri Flyt AS, Oslo. Engler, Martin (2001). Die weiße Gefahr, Verlag Martin Engler, Sulzberg. Henjum, J. (2012). Skred, i Tangenten, 23 (2) Kramer, Martin (2013). Matematikk als Abenteuer, Aulis Verlag Olafsen, A.R., Maugesten, M. (2014). Matematikkdidaktikk i klasserommet, Universitetsforlaget, Oslo Tremper, B. (2008). Staying alive in avalanche terrain, Maintaineers Books, Seattle Utdanningsdirektoratet (2006). LK 06, http://www.udir.no/kl06/mat1-04/hele/formaal/ Foto: Antje Meier, http://antjefoto.no 40 20