Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011
Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av)
3 Konvergens av potensrekker Eksempel For hvilke x konvergerer rekkene ( 1) n 1 x n n n=1 ( 1) n=1 n 1 x 2n 1 = x x 2 2 + x 3 3 (1) = x x 3 2n 1 3 + x 5 5 (2) x n n! n=0 = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + (3) n!x n = 1 + x + 2!x 2 + 3!x 3 + 4!x 4 + (4) n=0
4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0
4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c
4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c 2 Divergerer for x = d, så divergerer den for x > d
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
Setning Konvergensen til 1 Rekken c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R.
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = )
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = ) 3 Rekken konvergerer i x = a og divergerer ellers (R = 0)
6 Konvergensradius til en potensrekke Definisjon Størrelsen R kalles for konvergensradiusen til potensrekkenrekken. Definisjon Intervallet der potensrekken konvergerer kalles konvergensintervallet til potensrekken
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest.
7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest. 3 For x a > R, DIVERGERER potensrekken
8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0
8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil.
8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2
8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2 De deriverte konvegerer også for x a < R.
9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0
9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0
9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer 2 f(x) dx = c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0 c n (x a) n+1 + C for x a < R. n + 1 n=0
10 Multiplikasjon av potensrekker ( ) ( ) ( ) a n x n b n x n = c n x n n=0 n=0 n=0 Hva er c n? Setning n c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + + a n b 0 = a k b n k k=0
Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker
12 Derivering av potensrekke Gitt en potensrekke f(x) = c k (x a) k k=0 Hva er alle dens deriverte i x = a?
12 Derivering av potensrekke Gitt en potensrekke f(x) = c k (x a) k k=0 Hva er alle dens deriverte i x = a? Hva er d n f dx n(a)?
13 Maclaurin-rekker Definisjon (Maclaurinrekken generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av alle orden i et intervall som inneholder x = 0. Maclauinrekken til f(x) er k=0 f (k) (0) k! x k = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + + f (n) (0) x n + n!
14 Taylor-rekker Definisjon (Taylorrekken generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av alle orden i et intervall som inneholder x = a. Taylorrekken til f(x) er k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! f (k) (a) (x a) k k! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n + n!
15 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som inneholder x = a. Taylorpolynomet til f(x) av orden n er n k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! f (k) (a) (x a) k k! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n n!
16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = 0
16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = 0 2 1 x, om x = 3
16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = 0 2 1 x, om x = 3 3 sin x, om x = 0
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 sin x = P(x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 1 1 2 3 4 5 6 7 sin x x = P 1 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 sin x x 1 3! x 3 = P 3 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 = P 5 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 = P 7 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 = P 9 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 1 11! x 11 = P 11 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P 13 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 1 11! x 11 + 1 13! x 13 = P 13 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P 13 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 1 11! x 11 + 1 13! x 13 1 15! x 15 = P 15 (x)
17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P 13 P 17 1 1 2 3 4 5 6 7 P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 1 11! x 11 + 1 13! x 13 1 15! x 15 + 1 17! x 17 = P 17 (x)
18 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1
18 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1 = 0
Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker
20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (a)(b a) + f (a) (b a) 2 + 2! + f (n) (a) n! (b a) n + f (n+1) (c) (b a)n+1 (n + 1)!
21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (c)(b a)
22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a
22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x).
22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)!
22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. f(x) = f(a) + f (a)(a b) + f (a) 2! R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! (a b) 2 + + f (n) (a) (a b) n + R n (x) n!
23 Et eksempel e = e 1 = 1 + 1 + 1 2! + + 1 n! + R n(1)
23 Et eksempel e = e 1 = 1 + 1 + 1 2! + + 1 n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n!
23 Et eksempel e = e 1 = 1 + 1 + 1 2! + + 1 n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n! Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?
24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)!
24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x.
24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x.
24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x. Taylor rekken for sin x konvergerer mot sin x for alle reelle tall x.
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 sin x 0 x dx med feil mindre enn 0,000001.
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 x 3 sin x x dx med feil mindre enn 0,000001.
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 1 sin x x sin x x dx med feil mindre enn 0,000001. x 3 dx = C + x 1 3 3! x 3 + 1 5 5! x 5
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0,000001. x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x 3 + 1 5 5! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx 1 1 3 3! + 1 5 5! 1 7 7! = 0,9460827664.
25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0,000001. x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x 3 + 1 5 5! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx 1 1 3 3! + 1 5 5! 1 7 7! = 0,9460827664. sin x 3 lim 1 x ln(1+x2 ) x 0 = 1 x 3 3
26 i
26 i Løs likningen x 2 + 1 = 0
26 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 Løsningene er x = ±i
26 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 Løsningene er x = ±i i = 1
27 Eulers identitet e 1 x = cos x + 1 sin x e i x = cos x + i sin x e i π = 1
28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka.
28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka).
28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka). Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å forstå teoremet.