Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis pivotering. Hvis du ikke finner noen løsning (eller mer enn én løsning), forklar hvorfor. Kontroller løsningen ved innsetting. Du kan/bør selvsagt så sjekke svaret i MATLAB. x 1 x 2 + 2x = 2 2x 1 + x 2 x = 2 4x 1 x 2 + 2x = 1 (1) 2x 1 + 5x 2 + 7x = 25 5x 1 + 7x 2 + 2x 2 = 4 x 1 + 22x 2 + 2x = 71 Løsning, system (1): I dette tilfellet pivoterer vi siden koeffisienten foran x 1 i den tredje ligningen har den største absoluttverdien i forhold til de tilsvarende koeffisientene i de andre ligningene. Vi setter i stedet 4 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 eliminerer x 1 fra ligning 2 : 4 1 2 1 0 1/2 0 /2 0 /4 /2 7/4 Den tredje ligningen har nå høyere koeffisient foran x 2 -leddet, så vi bytter dem om: 4 1 2 1 0 /4 /2 7/4 0 1/2 0 /2 eliminerer x 2 fra ligning : 4 1 2 1 0 /4 /2 7/4 0 0 1 2/6 Vi tilbakesubstituerer får løsningen: x = 2/6, x 2 = 4/( 7/4 (/2)x ) = 7/ + 4/6 = 18/6 =, x 1 = 1/4( 1 + x 2 2x ) = 1/. (2) 5. november 2010 Side 1 av 7
Løsning, system (2): Vi skal løse ligningssystemet 2x 1 + 5x 2 + 7x = 25 5x 1 + 7x 2 + 2x = 4 x 1 + 22x 2 + 2x = 71 ved Gausseliminasjon. I dette tilfelle pivoterer vi siden koeffisienten foran x 1 i den andre ligningen har den største absoluttverdien i forhold til de tilsvarende koeffisientene i de andre ligningene. Vi setter i stedet 2 5 7 25 1 22 2 71 0 7.8 7.8 2.4 0 2.4 2.4 70.2 Den tredje ligningen har nå høyere koeffisient foran x 2 -leddet, så vi bytter dem om: 0 2.4 2.4 70.2 0 7.8 7.8 2.4 0 2.4 2.4 70.2 0 0 0 0 Siden vi bare har to lineært uavhengige ligninger tre variable, betyr det at vi vil få uendelig mange løsninger; en løsning som avhenger av en reell variabel a. Vi setter x = a, tilbakesubstituerer. Vi får: Tilsammen blir dette: når a er en reell variabel. x 2 = a x 1 = 5 a. x 1 = 5 a x 2 = a x = a, 2 Oppgave: Finn LU-faktoriseringen (Doolittle) av matrisa A = 2 1 5 2 1 1 5. november 2010 Side 2 av 7
Bruk dette til å løse ligningene med b gitt ved henholdsvis 2.7 7.9 1.1 Ax = b 2.1 7.2 6. Vi vil finne koeffisientene m i,j u i,j slik at 2 1 1 0 0 u 1,1 u 1,2 u 1, 5 2 = m 2,1 1 0 0 u 2,2 u 2, 1 1 m,1 m,2 1 0 0 u, Vi tar en rad (fra den øverste til den nederste) en kolonne (fra venstre til høyre) av gangen. Vi får 1.rad: u 1,1 =, u 1,2 = 2, u 1, = 1 2.rad: 1.kolonnet: 5 = m 2,1 u 1,1 m 2,1 = 5 2.kolonnet: = m 2,1 u 1,2 + u 2,2 u 2,2 = 1.kolonnet: 2 = m 2,1 u 1, + u 2, u 2, = 11.rad: 1.kolonnet: 1 = m,1 u 1,1 m,1 = 1 2.kolonnet: 1 = m,1 u 1,2 + m,2 u 2,2 m,2 = 5.kolonnet: = m,1 u 1, + m,2 u 2, + u, u, = 15 Vi får 1 0 0 2 1 L = 5 1 0 U = 0 1 11 1 5 1 0 0 15 Vi løser nå ligningen for den første b-vektoren. Første steg er da å løse Ly = b, dvs. 1 0 0 y 1 2.7 5 1 0 y 2 = 7.9 1 5 1 y 1.1 Vi får y 1 = 2.7, y 2 = 7.9 5 y 1 = 12.4 y = 1.1 + 1 y 1 + 5y 2 = 48. Løsningen x til Ax = b er gitt ved Ux = y eller 2 1 x 1 2.7 0 1 11 x 2 = 12.4 0 0 15 x 48 5. november 2010 Side av 7
Dermed, x = 16 5 x 2 = (12.4 11 x ) = 2 x 1 = 1 ( 2.7 2x 2 + x ) = 1.5. Løsningen for den første b-vektoren er x = [1.5, 2, 16/5] t Vi løser nå ligningen for den andre b-vektoren. Første steg er da å løse Ly = b, dvs. 1 0 0 y 1 2.1 5 1 0 y 2 = 7.2 1 5 1 y 6. Vi får y 1 = 2.1, y 2 = 7.2 5 y 1 = 10.7 y = 6. + 1 y 1 + 5y 2 = 46.5. Løsningen x til Ax = b er gitt ved Ux = y eller Dermed, 2 1 x 1 2.1 0 1 11 x 2 = 10.7 0 0 15 x 46.5 x = 46.5 15 =.1 x 2 = (10.7 11 x ) = 2 x 1 = 1 ( 2.1 2x 2 + x ) = 1. Løsningen for den andre b-vektoren er x = [ 1, 2,.1] t. Gjør iterasjonene som antydes i slutten av eksempel 2, kap 19.2. Lag en skisse tilsvarende figur 424. 5. november 2010 Side 4 av 7
x 0 = 1 x 0 = 0.5 x 0 = 2 0 0.875-7 1 0.0078 44 0 0.96407-4070758 1 0.104054 6.75 10 22 0 0.99887 stort tall 1 0.00761 stort tall 0 0.999999 stort tall Figur 1: Figur til oppgave 19.2.2 5. november 2010 Side 5 av 7
4 Oppgave: Kap. 19.2. Hvorfor oppnår vi en monoton følge i eksempel 1, men ikke i eksempel 2. (Har du glemt hva en monoton følge er, slå opp i stikkordsregisteret bakerst i boka). x er en økende funksjon. I eksempel 1 er g(x) en økende funksjon i eksempel 2 er g(x) avtagende. Se på figurene i boken. 5 Oppgave: Finn en tilærmelse til løsningen av den ikke-lineære ligningen ved hjelp av iterasjoner med Newton s metode. Sekantmetoden. x 2 + e x 1 = 0 Bruk x 0 = 1 som startverdi, for sekantmetoden velger du x 1 selv. Regn ut residualet for x i begge tilfellene. For den ikkelineære ligningen x 2 + e x 1 = 0 har vi f(x) = x 2 + e x 1, f (x) = 2x + e x Newtons iterasjon er x n+1 = x n f(x n )/f (x n ). Siden x 0 = 1 får vi x 1 = 1 1 + e 1 1 2 + e 1 = 0.7746, x 2 = 0.7186 x = 0.7146. Residualet er f(x ) = 2.0604 10 5. Sekantmetoden er x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ). Vi har x 0 = 1, vi velger x 1 nært x 0 for å få en god tilnærming for den deriverte, si x 1 = 0.9. Da får vi x 2 = 0.9 ( ( 0.9) 2 + e 0.9 1 ) 0.9 + 1 ( 0.9) 2 + e 0.9 1 (1 + e 1 1) 0.7569, x = 0.7569 ( ( 0.7569) 2 + e 0.7569 1 ) 0.7569 + 0.9 ( 0.7569) 2 + e 0.7569 1 ((0.9) 2 + e 0.9 1) 0.7225, Residualet er f(x ) = f( 0.7225) 7.54 10 5. november 2010 Side 6 av 7
6 Oppgave: Eksempel på mulig eksamensoppgave i MATLAB for TMA4122. Forklar hva følgende MATLAB-skript gjør, det vil si hvilken numerisk algoritme som er implementert her, hvilket problem som løses. Skriv så ned de første linjene av utskriften fra skriptet. g = @(x) exp(-x); x = 0.5 Nit = 10; for n=1:nit x = g(x) end Algoritmen som er implementert, x n+1 = g(x n ), er fikspunkt-iterasjon (fixed-point iteration) for løsing av ligninger. Problemet som løses er e x x = 0, startverdien er x 0 = 0.5, det gjøres 10 iterasjoner. De tre første linjene av utskriften er: x=0.5000 x=0.6065 x=0.5452 5. november 2010 Side 7 av 7