Velkomme til oversiktsforelesiger i Matematikk 1 med Jørge Edal
Følger, rekker, og potesrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesig 2 (kap. 9.3 9.4)
Dages økkelbegrep: Sammeligigsteste Gresesammeligigsteste Forholdsteste Absolutt og betiget koverges Altererede rekke-teste
Kjete rekker Vi vet å at =1 ar 1 = a 1 r for r < 1 =1 p kovergerer for p > 1
C. Kovergestester for positive rekker (kap. 9.3) Sammeligigsteste Teorem C.4 (Sammeligigsteste) La {a }, {b } være følger slik at 0 a Kb for K > 0 og stor ok. (a) b kovergerer = a kovergerer (b) a divergerer = b divergerer
Sammeligigsteste, eksempel Eksempel C.5 Kovergerer eller divergerer =1 3 + 1 3 + 1?
Gresesammeligigsteste Teorem C.6 (Gresesammeligigsteste) La {a }, {b } være følger slik at a lim = L, b L [0, ]. (a) L [0, ) og b kovergerer = a kovergerer (b) L (0, ] og b divergerer = a divergerer
Gresesammeligigsteste, eksempel Eksempel C.7 Kovergerer eller divergerer =0 1 3?
Forholdsteste Teorem C.8 (Forholdsteste) Ata at a > 0 for stor ok og at ρ = lim a +1, eksisterer eller er lik +. a (a) 0 ρ < 1 = a kovergerer (b) 1 < ρ = a divergerer (c) ρ = 1 = a divergerer eller kovegerer
Forholdsteste, eksempler Se f.eks. oppgave 1 i pleumsregig uke 44 (dee uka) for eksempler på bruk av forholdsteste. Se oppgaveløsigsvideo 59 og 60 for flere eksempler, og video 58 for rotteste (som vi ikke har gjeomgått her).
D. Absolutt og betiget koverges (kap. 9.4) Se også temavideo 24.
Eksempler på koverges 3 2.8 2.6 2.4 2.2 s 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 =1 1
Eksempler på koverges 5.5 5 4.5 4 3.5 s 3 2.5 2 1.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 =1 1
Eksempler på koverges 8 7 6 5 s 4 3 2 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1000 =1 1
Eksempler på koverges 1.7 1.6 1.5 1.4 s 1.3 1.2 1.1 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1000 =1 1 2 π2 6
Eksempler på koverges 1 0.95 0.9 0.85 0.8 s 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 =1 ( 1) 1
Eksempler på koverges 1 0.95 0.9 0.85 0.8 s 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 =1 ( 1) 1
Eksempler på koverges 1 0.95 0.9 0.85 0.8 s 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1000 =1 ( 1) 1 l(2)
Forteg har oe å si Vi har sett at med e gag vi tillater rekkee å ha egative ledd, vil kovergesegeskapee edre seg. Fra å av skal vi derfor se på rekker a hvor a R for alle (både positive og egative ledd).
Absolutt koverges Defiisjo D.1 (Absolutt koverges) Vi sier at rekka a kovergerer absolutt dersom a kovergerer. Eksempel D.2 Gitt at a 0 for alle og at a kovergerer, vil a kovergere absolutt. Teorem D.3 a kovergerer = a kovergerer Bevis: (a + a ) kovergerer.
Altererede harmoisk rekke Eksempel D.4 (Altererede harmoisk rekke) Vi har allerede sett at (se eks. C.1) =1 1 divergerer, me vi la også merke til at ( 1) 1 =1 kovergerte!
Betiget koverges Defiisjo D.5 (Betiget koverges) Dersom a er koverget, me ikke absolutt koverget ( a divergerer), sier vi at rekka kovergerer betiget. NB1: For å teste absolutt koverges, ka vi bruke itegralteste (teo. C.2); sammeligigsteste (teo. C.4); gresesammeligigsteste (teo. C.6); forholdsteste (teo. C.8). NB2: Betiget koverges skjer år ulike forteg gir kasellerigseffekt. Summasjosrekkefølge har oe å si (se forrige ukes forelesig, og teorem 16 i kap. 9.4).
Altererede rekke-teste Teorem D.6 (Altererede rekke-teste) Ata at {a } er ei følge som tilfredsstiller (i) a a +1 < 0 for stor ok (altererede) (ii) a +1 a for stor ok (avtagede) (iii) lim a = 0 (grese lik 0) Da kovergerer a. Eksempel D.7 For hvilke verdier av x vil rekka (x 5) =1 2 kovergere absolutt eller betiget, eller divergere?
Kovergesmetoder Se temavideo 23 for e oppsummerig og oversikt over kovergesmetoder.
Avbruddsfeil for altererede rekker Teorem D.8 (Avbruddsfeil for altererede rekker) Dersom vi har ei rekke =1 a som oppfyller kravee i teorem D.6, dvs. =1 a kovergerer (betiget) til et tall s, vil approksimasjoe N =1 a tilfredsstille: (a) s N =1 a har samme forteg som a N+1. (b) s N =1 a a N+1. Eksempel D.9 (Approksimasjo av π) Det er mulig å fie ut at π = 12 =0 ( 1) 3 (2 + 1) (Madhava-Leibiz-rekka). Hvor mage ledd kreves for å rege ut π med e feil på 10 11 (ellve desimalers øyaktighet)?
Flere eksempler Se temavideo 14 for flere eksempler, og om altererede rekker geerelt.