Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger

Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 2 3.2 Forventningsverdi Varians Standardavvik... 9 3.3 Normalfordelingen... 7 3.4 Sentralgrensesetningen... 24 3.5 Hypotesetesting... 32 3.6 Standard normalfordeling... 39 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra www.udir.no

3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger 3.. a) Forklar, med dine egne ord, til en av dine medelever hva som menes med en stokastisk variabel. I et stokastisk forsøk er selve resultatet av forsøket ukjent (tilfeldig). Derimot er antall mulige utfall kjent. Det er verdien av disse mulige utfallene vi kaller en stokastisk variabel. b) Gi tre eksempler på stokastiske forsøk og hva som kan være en stokastisk variabel i hvert av eksemplene. Eksempel Stokastisk forsøk: Kast av to mynt. Stokastisk variabel: Antall kron Eksempel 2 Stokastisk forsøk: Kast av terning. Stokastisk variabel: Antall toere Eksempel 3 Stokastisk forsøk: Tilfeldig trekking av elever i en klasse. Stokastisk variabel: Antall jenter 3..2 Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall mynt ved kast av to femkroner. a) Hvilke verdier kan X ha i dette tilfellet? X kan ha verdiene 0, eller 2. b) Finn sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X. x 0 2 P X x 0,25 0,5 0,25 c) Finn P X. Leser av tabellen i b) og finner at P X d) Finn P X 0. Leser av tabellen i b) og finner at 0,5 P X 0 P X 0 P X P X 2 0,25 0,5 0,25,0 e) Hvilken verdi skal summen av sannsynlighetene til en stokastisk variabel ha? Summen av sannsynlighetene til en stokastisk variabel skal alltid bli, dvs. 00 %. 2

3..3 Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall kron ved kast av tre femkroner. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for X. P X x 0 2 3 x 8 3 8 3 8 8 a) Finn P X. P X P X 0 8 b) Finn P X. 3 4 P X P X 2 P X 3 8 8 8 2 c) Hvor stor sannsynlighet har du for å få mer enn kron ved kast av tre femkroner? Det var denne sannsynligheten vi fant i b). Det er 50 % sannsynlighet for å få mer enn kron ved kast av tre femkroner. 3..4 På en spesiell terning er det tre toere, én firer og fire seksere. Terningen kastes en gang. Vi lar X være antall øyne terningen viser. a) Finn sannsynlighetsfordelingen til X. b) Finn P X 4. 3 4 P X 4 P X 2 P X 4 8 8 8 2 c) Finn 6 P X. P X 6 2 2 P X x x 2 4 6 3 8 8 2 3

3..5 Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved x 2 4 8 2 P X x 0,35 0,20 A 0,30 a) Finn verdien A. Summen av sannsynlighetene i tabellen skal være. Verdien av A blir dermed 0,35 0,20 0,30 0,5 b) Finn P X 2. PX P X 2 2 0,35 0,65 3..6 I en krukke er det 5 røde kuler, 4 blå kuler, 5 gule kuler og 6 hvite kuler. Vi trekker tilfeldig ut to kuler av krukken. Lar Y være antall gule kuler. Sett opp sannsynlighetsfordelingen for Y. Regner ut sannsynligheten PY y for alle de mulige verdiene av Y. Ingen gule kuler: PY Én gul kule: To gule kuler: 0 5 4 0,553 20 9 PY 5 5 5 5 0,395 20 9 20 9 PY 2 5 4 0,053 20 9 y 0 2 P Y y 0,553 0,395 0,053 4

3..7 En flervalgsprøve består av tre oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. La X være antall riktige svar. a) Forklar med dine egne ord hvilke krav det settes til en binomisk forsøksrekke? Alle delforsøkene har to mulige utfall, Aeller A (ikke A). I denne oppgaven betyr det rett eller galt svar på et spørsmål. Sannsynligheten for A er den samme hele tiden. I denne oppgaven betyr det at sjansen for å svare riktig er like stor (liten) på hvert spørsmål. De enkelte delforsøkene er uavhengige, dvs. at svaret på en oppgave ikke påvirker svaret på neste oppgave. b) Hva er sannsynligheten for å svare riktig på hvert enkelt spørsmål? Sannsynligheten for å svare riktig på hvert enkelt spørsmål er PA 0,20 5 c) Sett opp sannsynlighetsfordelingen for X. I oppgave b) fant vi at sannsynligheten for å svare rett på hvert enkelt spørsmål er lik 0,20. Sannsynligheten for å svare galt er dermed 0,80. Vi ønsker å finne ut hva sannsynligheten er for å få ingen rette svar, ett rett svar, to rette svar og tre rette svar. Bruker GeoGebra og finner k 0 2 3 P X k 0,52 0,384 0,096 0,008 5

d) Finn sannsynligheten for å svare riktig på mer enn ett spørsmål. P X P X 2 P X 3 0,096 0,008 0,04 Det er 0,4 % sannsynlighet for å svare riktig på mer enn ett spørsmål. Her kunne vi også ha brukt GeoGebra, se nedenfor. I første runde av Niels Henrik Abels matematikkonkurranse er det 20 spørsmål med 5 svaralternativer på hvert spørsmål. La Y være antall riktige svar. e) Hva blir sannsynligheten for å svare riktig på mer enn fem oppgaver dersom du krysser av helt tilfeldig? Bruker GeoGebra med n 20 og p. 5 Sannsynligheten for mer enn 5 riktige svar blir 6 0,958 PY Det er 9,6 % sannsynlighet for å få mer enn 5 rette dersom avkrysningen er helt tilfeldig. 6

3..8 Ole Einar er skiskytter. Han har en sannsynlighet på 80 % for å treffe blink på hvert enkelt skudd. La X være antall treff Ole Einar får på 0 skudd. Vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke. a) Skriv med dine ord hvilke betingelser som må være oppfylt i denne oppgaven for at dette skal være en binomisk situasjon. Hvert skudd må ha to mulige utfall, treff T eller ikke treff T. Sannsynligheten for T, dvs. treff er den samme hele tiden. I denne er PT 0,8 De enkelte skuddene er uavhengige av hverandre. Det betyr at utfallet av et skudd i påvirker utfallet av neste skudd. (Det spørs om dette kravet er oppfylt). b) Bestem P X x for x 0,,2,...,9,0. Bruker GeoGebra med n0 og p 0,80 k 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 P X k --- --- --- 0,00 0,006 0,026 0,088 0,20 0,302 0,268 0,07 7

c) Hva er sannsynligheten for at Ole Einar får 0 treff? Det er 0,7 % sannsynlighet for at Ole Einar treffer på alle ti skuddene. Tarjei er en annen skiskytter. Han har en treffprosent på 0,85. La Y være antall treff Tarjei får på 0 skudd. d) Hva er sannsynligheten for at Tarjei treffer på 0 av 0 skudd når vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke? PY0 0,85 0,97 0 Det er 9,7 % sannsynlighet for at Tarjei treffer på alle ti skuddene. 8

3.2 Forventningsverdi Varians Standardavvik 3.2. Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall kron ved kast av tre tikroner. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for X. P X x 0 2 3 x 8 3 8 3 8 8 a) Regn ut forventningsverdien til X. 3 3 2 E X 0 2 3,5 8 8 8 8 8 b) Hva forteller forventningsverdien oss? Forventningsverdien på,5 forteller oss forventete antall kron, eller gjennomsnittet av antall kron hvis vi hadde kastet mange nok ganger. Det er jo ikke mulig å få akkurat,5 kron, men denne verdien forteller oss gjennomsnittet av antall kron vi hadde fått dersom vi kastet tikronene mange ganger. 3.2.2 En flervalgsprøve består av fem oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. La X være antall riktige svar. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt ved k 0 2 3 4 5 P X k 0,328 0,40 0,205 0,05 0,006 0,0003 a) Regn ut forventningsverdien til X. EX 00,328 0,40 20,205 30,05 40,006 50,0003,000 b) Hvordan kunne du, ut fra oppgaveteksten, vite at forventningsverdien var,0? Ved 5 svaralternativer og 5 spørsmål vil du i det lange løp svare riktig på hvert 5. spørsmål, dvs. ett riktig svar på 5 spørsmål. 9

3.2.3 La X være antall hummer du får i en tilfeldig hummerteine. Sannsynlighetsfordeling for X er gitt i tabellen. x 0 2 3 4 P X x 0,55 0,30 0,0 0,04 0,0 Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til X. Jeg bruker regneark. x 0 2 3 4 Sum P X x 0,55 0,30 0,0 0,04 0,0 x x P X 0,00 0,30 0,20 0,2 0,04 0,66 2 x P X x 0,24 0,03 0,8 0,22 0, 0,78 Var X 0,89 E X 0,66 Var X 0,79 SD X Var X 0,79 0,89 Jeg brukte følgende formler i regnearket: 0

3.2.4 Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter. De ulike sidene er markert med henholdsvis, 2, 3 og 4 øyne. Vi kaster to slike «terninger». La X være produktet av antall øyne på de to sidene som vender ned. a) Skriv av og fyll ut tabellen for å vise de mulige utfall X kan ha. 2 3 4 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 2 4 4 8 2 6 b) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til X. Skriv sannsynlighetene som brøker med samme nevner. I tabellen ovenfor viser vannrettt blå linje mulige utfall på «terning», og loddrett blå kolonne viser mulige utfall på «terning 2». De hvite feltene viser de 6 mulige utfall til X. Ut fra denne tabellen kan vi sette opp sannsynlighetsfordelingen til X P X X x 6 2 2 6 3 4 6 8 9 2 2 6 3 6 2 6 2 6 6 2 6 6 6 00 E X 6 2 2 3 2 2 2 2 3 4 6 8 9 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 6 2 2 24 9 6 6 00 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 c) Vis at forventningsverdien E X E X d) Bestem P X 2 og P X 3 2 3 6 6 6 P X 2 3 2 3 P X 6 6 6

3.2.5 Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved x 2 3 4 P X x 0,40 a 0,20 0,0 a) Bestem a. Samlet sannsynlighet er lik. Det betyr at 0,40 a 0,20 0,0 a 0,70 a 0,30 Finn standardavviket til X. 0,40 20,30 30,20 40,0 2,0 2 2 2 2 2 0,40 2 2 0,30 32 0,20 4 2 0,0 0,40 0,20 0,40 2

3.2.6 Vi ønsker å lage et pengespill med utgangspunkt i kast med to mynter. La X være antall kron. Sett opp en sannsynlighetsfordeling for X. Finn E X og Var X. x 0 2 Sum P X x 0,25 0,5 0,25 x 0 0,5 0,5 E X,0 x P X 2 x P X x 0,25 0 0,25 Var X 0,5 3.2.7 La X være en stokastisk variabel med E x 3 og Var X 2. La Y være en annen stokastisk variabel med E x Var X a) Regn ut E X Y. EX Y E XE Y 3 5 8 b) Regn ut Var X Y. Var X Y Var XVar Y 23 5 3.2.8 To maskiner A og 5 og 3. B pakker lakrispastiller i esker. Antall pastiller i esken varierer noe. La X være antall pastiller i eskene til pakkemaskin A, og Y være antall pastiller i eskene til pakkemaskin B. Sannsynlighetsfordelingene til X og Y er gitt nedenfor. Maskin A : x 28 29 30 3 32 P X x 0,0 0,25 0,50 0,0 0,05 Maskin B : y 28 29 30 3 32 P Y y 0,08 0,5 0,6 0,5 0,02 a) Finn forventningsverdi og varians til X og Y. x 28 29 30 3 32 Sum P X x 0, 0,25 0,5 0, 0,05 x P X x x 2 P X x X 2,8 0,3 7,25 5 3,,6 X 29,75 0,4 0,03 0,6 0,25 Var X 0,89 3

y 28 29 30 3 32 P Y y 0,08 0,5 0,6 0,5 0,02 y P Y y y 2 PY y Y 2,24 0,28 4,35 8 4,65 0,64 Y 29,88 0,2 0,0 0,9 0,09 Var Y 0,69 b) Hvilken maskin produserer esker med minst spredning i antall pastiller? Variansen til Y er mindre enn variansen til X. Det betyr at maskin B produserer pastillesker med minst spredning i antall pastiller. c) Finn E X Y E X Y E XE Y 29,75 29,88 59,63 4

3.2.9 En flervalgsprøve består av tre oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. La X være antall riktige svar på 3 spørsmål. X har følgende sannsynlighetsfordeling. k 0 2 3 P X k 0,52 0,384 0,096 0,008 a) Hva er sannsynligheten til å svare riktig på hvert enkelt spørsmål? Sannsynligheten for å svare riktig på hvert enkelt spørsmål er PA 0,20 5 b) Finn forventningsverdien til X ved å bruke formelen E X x P X x x P X x x P X x x P X x 2 2 E X 00,52 0,384 20,096 30,008 0,6 n n i i i n c) Finn forventningsverdien til X ved å bruke formelen for forventningsverdi til en binomisk fordeling. np 30,20 0,6 d) Finn standardavviket til X ved å bruke formelen for standardavviket til en binomisk fordeling. p np 30,20 0,20 0,600,80 0,48 0,69 e) Finn P X og forklar med egne ord hva du har funnet. PX PX 0PX 0,52 0,384 0,896 Det er 89,6 % sannsynlighet at antall riktige svar på prøven ikke blir mer enn ett. 5

3.2.0 En skiskytter har en sannsynlighet på 80 % for å treffe blink på hvert enkelt skudd. La X være antall treff på 0 skudd. Vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke. a) Finn forventningsverdi og standardavvik til X. Sannsynligheten, p, for treff på ett skudd er p 0,80. Forventningsverdien til X blir: np 0 0,80 8 Standardavviket til X blir: n p p 8 0,8,26 La Y være antall treff på 20 skudd. Vi forutsetter at de 20 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke. b) Finn forventningsverdi og standardavvik til Y. Sannsynligheten, p, for treff på ett skudd er p 0,80. Forventningsverdien til Y blir: np 20 0,80 6 Standardavviket til X blir: n p p 6 0,8,79 6

3.3 Normalfordelingen 3.3. Funksjonsuttrykket til normalfordelingsfunksjonen er gitt ved f x e 2 a) Tegn grafen til f når forventningsverdien og standardavviket er ) 80 og 7 x 2 2 2 2) 50 og 7 3) 00 og 4 b) Sammenlikn grafene du tegnet i a) og skriv med dine egne ord hva du finner. Alle grafene har sin største verdi i forventningsverdien. Grafene i ) og 2) har samme standardavvik og har derfor samme form. Grafen i 3) har større standardavvik og har dermed større bredde. c) Hvor stort er arealet under normalfordelingskurven? Forklar hva dette arealet beskriver. Samlet arealet under kurven er,0. Arealet beskriver samlet sannsynlighet til en stokastisk variabel som er normalfordelt. 7

3.3.2 Gjennomsnittshøyden for voksne kvinner i Norge er 67 cm. Standardavviket er på 6 cm. La X være høyden til en tilfeldig valgt kvinne. Vi antar at X er normalfordelt. a) Hvor stor andel av norske kvinner har en høyde på 67 cm standardavvik? Finn svaret ved å bruke teorien. 68,2 % av høydene ligger i området forventningsverdi standardavvik. b) Hva er sannsynligheten for at en norsk kvinne skal ha en høyde på mellom 6 cm og 73 cm? Området fra 6 cm til 73 cm er akkurat det området som er beskrevet i a). Sannsynligheten for at en norsk kvinne har en høyde som ligger i dette intervallet er derfor 68,2 %. c) Tegn grafen til normalfordelingsfunksjonen når forventningsverdien er 67 cm og standardavviket er 6 cm. d) Beregn sannsynligheten for at en norsk kvinne har en høyde som ligger i intervallet fra 6 cm til 73 cm ved å regne ut arealet under kurven i dette området. Bruker normalfordeling i GeoGebra og finner at sannsynligheten for at en tilfeldig kvinne har en høyde mellom 6 cm og 73 cm er lik 68,3 %. Vi finner, ikke overraskende, samme svar som tidligere i oppgavene. 8

e) Bruk samme framgangsmåte som i oppgave d) og beregn hvor stor andel av norske kvinner som har en høyde på 67 cm 2 standardavvik. Bruker normalfordeling i GeoGebra og finner at sannsynligheten for at en tilfeldig kvinne har en høyde mellom 55 cm og 79 cm. 95,5 % av norske kvinner har en høyde som ligger i intervallet 55 cm til 79 cm. f) Hvor stor andel av norske kvinner er høyere enn 79 cm? I oppgave e) fant vi at 95,4 % har en høyde på mellom 55 cm og 79 cm. Det betyr at det er 4,6 % igjen som fordeles likt på høyder lavere enn 55 cm og høyder større enn 79 cm. Det betyr at 2,3 % av norske kvinner er høyere enn 79 cm. Her kunne vi også ha brukt kalkulatoren i GeoGebra. 9

3.3.3 Gjennomsnittsvekten for nyfødte i Norge i 2009 var 3478 gram. Standardavviket var på 627 gram. Vi antar at gjennomsnittsvekten er normalfordelt. a) Hva vil det si at «vi antar at gjennomsnittsvekten er normalfordelt»? Det betyr at vekten til de nyfødte viser seg omtrent å falle sammen med grafen til normalfordelingsfunksjonen. Vi sier da at vekten til de nyfødte er normalfordelt. b) Hvor stor andel av de nyfødte veide 3478 gram pluss standardavvik? Bruker normalfordeling i GeoGebra og finner andelen av nyfødte som veide mellom 3478 gram og 405 gram. Vi ser at 34, % av de nyfødte veier mellom 3478 gram og 405 gram. c) Hvor stor andel av de nyfødte veide mellom 3000 gram og 3500 gram? Bruker normalfordeling i GeoGebra og finner andelen av nyfødte som veide mellom 3000 gram og 3500 gram. 20

Vi ser at 29, % av de nyfødte veier mellom 3000 gram og 3500 gram. d) Hvor stor andel av de nyfødte veide mer enn 5000? Bruker normalfordeling i GeoGebra og finner andelen av nyfødte som veide mer enn 5000 gram. Vi ser at det er 0,8 % av de nyfødte som veier mer enn 5000 gram. 3.3.4 Ved en skole løper elevene en 3 km lang løype. Resultatet fra dette løpet er med i grunnlaget for karakteren i kroppsøving. Vi lar den stokastiske variabelen X være tiden en gutt ved skolen bruker på løypen. Videre antar vi at elevene ved skolen skal løpe 3 km. Tiden X, som en elev bruker, viser seg å være normalfordelt med forventningsverdi på 800 sekunder og et standardavvik på 00 sekunder. a) Finn hvor stor andel av guttene som klarer å løpe 3 km raskere enn 5 minutter. 5 minutter er 900 sekund. Det betyr at 5 minutter ligger nøyaktig standardavvik høyere enn forventningsverdien. Fra teorien vet vi at det arealet som ligger under normalfordelingskurven opp til utgjør 84, % av samlet areal. Det betyr at 84, % av guttene klarer å løpe raskere enn 5 minutter på denne løypen. Her kunne vi også ha brukt kommandoen Normalfordeling i GeoGebra. 2

For å oppnå karakteren 6 på denne øvelsen må eleven klare løypen på mindre enn 0 minutter. b) Hvor stor andel av guttene klarer dette kravet? 0 minutter er 600 sekund. Det betyr at 0 minutter ligger nøyaktig 2 standardavvik lavere enn forventningsverdien. Fra teorien vet vi at det arealet som ligger under normalfordelingskurven opp til 2 utgjør 2,2 % av samlet areal. Det betyr at 2,2 % av guttene klarer å løpe raskere enn 0 minutter på denne løypen. Her kan vi også bruke Normalfordeling i GeoGebra. c) Finn hvor fort en gutt må løpe for å tilhøre gruppen av de 20 % raskeste guttene. Vi bruker Normalfordeling i GeoGebra med 800 og 00. Bruker venstresidig test med p 0,20. For å tilhøre de 20 % raskeste guttene må en gutt løpe på 75 sekunder eller raskere, dvs. minutter og 55 sekunder. 22

La forventningsverdien være midtpunkt i et intervall som skal fange inn tiden til en bestemt andel av guttene. d) Finn det tidsintervallet med som midtpunkt som er slik at det fanger inn 50 % av guttene. Vi bruker Normalfordeling i GeoGebra med 800 og 00. Bruker venstresidig test med p 0,25. Det betyr at vi finner den nedre grensen x. Differansen mellom x og legges til for å finne øvre grense x. Vi må huske på at verdiene av 2 x og x2skal variere rundt forventningsverdien. Finner at x x 732 og 800 800 732 868 gir 0,5 dvs. 50 %. 2 For å komme i et intervall som fanger inn 50 % av guttene med som midtpunkt, må tiden ligge mellom 732 sekunder og 868 sekunder, dvs. i intervallet 3 minutter 68 sekunder. 23

3.4 Sentralgrensesetningen 3.4. La X være antall øyne ved kast av én terning. Vi antar at X har forventningsverdien 3,5 og standardavviket,708. Videre lar vi S være summen av antall øyne når vi kaster terningen 00 ganger. S X X2 X00 a) Finn forventningsverdien S til S. Forklar hva du har funnet. Forventningsverdien til S er gitt ved n00 3,5 350 Forventet sum av antall øyne ved 00 terningkast er 350. S b) Finn standardavviket S til S. Standardavviket til S er gitt ved n 00,708 0,708 7,08 S c) Tegn normalfordelingskurven til S og marker området,. Bruker Normalfordeling i GeoGebra og tegner kurven. S S S S Vi finner at P S 332,92 367,08 0,683 24

d) Finn PS 380 og forklar hva du har funnet. Bruker GeoGebra og finner PS380 0,04 Sannsynligheten er 4 % for at summen av øynene ved 00 kast av en terning skal bli høyere enn 380. 25

3.4.2 Svein dyrker moreller. Vi lar X være vekten i gram til en tilfeldig valgt morell. Svein har funnet ut at X har forventningsverdien 0 med standardavviket,0. Vi lar S være samlet vekt av 50 tilfeldig valgte moreller. a) Finn forventningsverdien S til S. Forklar hva du har funnet. Forventningsverdien til S er gitt ved n 500 500 Forventet vekt til 50 tilfeldig valgte moreller er 500 gram. S b) Finn standardavviket S til S. Standardavviket til S er gitt ved n 50,0 50 5 2 S c) Finn PS 50 og forklar hva du har funnet. Ved å bruke GeoGebra Det er 7,86 % sannsynlighet for at vekten til 50 tilfeldig valgte moreller veier mer enn 50 gram. 26

d) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene ligger mellom 490 gram og 50 gram. Det er 84,28 % sannsynligheten for at samlet vekt til 50 tilfeldig valgte moreller ligger mellom 490 gram og 50 gram. e) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene er mindre enn 490 gram. I oppgave c) fant vi sannsynligheten for at de 50 morellene veide mer enn 50 gram. I oppgave d) fant vi sannsynligheten for at vekten lå mellom 490 gram og 50 gram. Sannsynligheten for at vekten er mindre enn 490 gram er dermed 0,0786 0,8428 0,0786 f) Forklar hvordan du ved hjelp av svaret i oppgave c), kunne løse oppgave d) uten bruk av hjelpemidler og normalfordelingstabellen. I oppgave c) fant vi sannsynligheten for at de 50 morellene veide mer enn 50 gram. Da normalfordelingskurven er symmetrisk rundt forventningsverdien 500, vil 490 PS 50 P S. Det betyr at P 490 S 50 2P S 50 20,0786 0,8428 27

3.4.3 Ved en landsomfattende matematikkeksamen var det 20 % stryk. Vi ser på 200 tilfeldig utvalgte besvarelser. La X være antall elever av de 200 som bestod eksamen. a) Forklar at denne undersøkelsen oppfyller kravene til en binomisk forsøksrekke. Det er to mulige utfall, stryk eller ikke stryk Sannsynligheten for stryk er den samme for alle besvarelsene, dvs. at p 0,20 for hver besvarelse. De enkelte prøvene er uavhengige av hverandre. De 200 besvarelsene er en liten del av det totale antallet. Når vi ser på en besvarelse og finner ut om eleven har strøket eller stått til eksamen, så påvirker ikke dette sannsynligheten for den neste vi ser på. Vi kan bruke binomisk fordeling og finne sannsynligheten for at flere enn 70 av de 200 besvarelsene får ståkarakter. Sannsynlighetskalkulatoren ved binomisk fordeling viser at sannsynligheten er 2,8 % for at 7 eller flere av de 200 besvarelsene får karakteren bestått. Du skal nå bruke normaltilnærming for å finne denne sannsynligheten. b) Bruk normaltilnærming og finn P X 70. Sjekker først om vi kan bruke normaltilnærming. np 2000,80 60 p n 200 0,8 200 0,2 40 Begge verdiene er større enn 0 og vi kan bruke normaltilnærming. Forventningsverdien er gitt ved: np 200 0,80 60 Standardavviket er gitt ved: p np 200 0,8 0,8 60 0,20 32 4 2 28

Vi bruker GeoGebra og finner PX P X 70 70,5 0,032 (Hvorfor er det naturlig å sette 70,5 som grense?) Vi finner at det er 3,2 % sannsynlighet for at mer enn 70 av de 200 besvarelsene har fått en ståkarakter. Dette svaret stemmer godt overens med den verdien vi fant ovenfor. c) Bruk normaltilnærming og finn P55 X 7 verdien binomisk fordeling gir.. Sjekk hvordan resultatet stemmer med den Vi bruker GeoGebra og finner P X P X 55 7 55,5 70,5 0,755 Dette stemmer godt med den verdien binomisk fordeling gir 29

d) Bruk normaltilnærming og finn P X 60. Sjekk hvordan resultatet stemmer med den verdien binomisk fordeling gir. Vi bruker GeoGebra og finner PX P X 60 59,5 60,5 0,07 Det 7 % sannsynlighet for at akkurat 60 av disse 200 besvarelsene har ståkarakter. 30

Dette stemmer også godt med den verdien binomisk fordeling gir 3

3.5 Hypotesetesting 3.5. Maren har 5 vanlige terninger som hun bruker til ulike spill. Over en lengre tid har hun hatt en mistanke om at én eller flere av terningene gir sekser for ofte. Hun vil undersøke dette nærmere ved å bruke hypotesetesting med et signifikansnivå på 5 %. a) Sett opp en nullhypotese H 0 og en alternativ hypotese H for situasjonen ovenfor. H : Sannsynligheten for å få en sekser ved å kaste terningen er 0 6, dvs. p 6 H : Sannsynligheten for å få én sekser ved å kaste terningen er større enn 6, dvs. p 6 Hver av terningene blir kastet 200 ganger. La X være antall seksere i de 200 kastene. Maren får følgende resultater Terning 2 3 4 5 Antall seksere 208 95 225 85 220 b) Vurder om hun kan karakterisere én eller flere av terningene som «jukseterning». Bruk binomisk sannsynlighetsfordeling. Dette er en binomisk situasjon med p og n 200. 6 Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra Terning : P X208 0,280 Dette resultatet betyr at ved å kaste en rettferdig terning 200 ganger, vil det i 28,0 % av tilfellene bli 208 eller flere seksere. Ved et signifikansnivå på 5 % gir dette ikke noe grunnlag for å forkaste H 0. 32

Terning 2: P X95 0,663 Dette resultatet betyr at ved å kaste en rettferdig terning 200 ganger, vil det i 66,3 % av tilfellene bli 95 eller flere seksere. Ved et signifikansnivå på 5 % gir dette ikke noe grunnlag for å forkaste H 0. Terning 3: P X225 0,030 Dette resultatet betyr at ved å kaste en rettferdig terning 200 ganger, vil det i 3,0 % av tilfellene bli 225 eller flere seksere. Ved et signifikansnivå på 5 % gir dette grunnlag for å forkaste H 0, altså at Maren har en jukseterning. 33

Terning 4: P X85 0,886 Dette resultatet betyr at ved å kaste en rettferdig terning 000 ganger, vil det i 88,6 % av tilfellene bli 85 eller flere seksere. Ved et signifikansnivå på 5 % gir dette ikke noe grunnlag for å forkaste H 0. Terning 5: P X220 0,067 Dette resultatet betyr at ved å kaste en rettferdig terning 200 ganger, vil det i 6,7 % av tilfellene bli 220 eller flere seksere. Ved et signifikansnivå på 5 % gir dette ikke noe grunnlag for å forkaste H 0. 34

c) Gjør utregningen i b) ved hjelp av normaltilnærming. Sjekker om normaltilnærming kan brukes, dvs. 0 I denne oppgaven er Det betyr at kravene er innfridd. 200 200 6 np og n p Forventningsverdien er: np 200 200 6 Standardavviket er: np p np og n p 0 200 000. 6 200 2,9 6 Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. I stedet for å undersøke hver terning, finner jeg heller grensen for hvor mange seksere en «rettferdig» terning kan få og at samtidig er sannsynligheten for å få så mange seksere helt tilfeldig fortsatt over 5 %. Jeg finner altså grensen for hvor mange seksere som skal til for å gi en P-verdi lavere enn signifikansnivået. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren «motsatt vei», velger «Høyresidig» sannsynlighet og setter «svaret» til 0,05. En terning må altså gi minst 222 seksere før vi forlater nullhypotesen og konkluderer med at terningen er en jukseterning. Det er altså bare terning 3 som vi stempler som jukseterning. 35

3.5.2 Eksamen S2 våren 200 En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at 0 % av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt. En dag mottar grossisten 50 kasser. Vi antar at 0 % av kassene inneholder bær som er ødelagt. a) Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av kassene har ødelagte bær? La X være antall kasser med ødelagt bær. Antar at X er binomisk fordelt med p 0,0. Sannsynligheten for at akkurat 5 av 50 kasser har ødelagt bær blir 50 5 5 0,0 0,0 50 P X 5 0,85 5 Det er 8,5 % sannsynlighet for at akkurat 5 av de 50 kassene med jordbær inneholder ødelagte bær. b) Finn sannsynligheten for at minst 5 kasser inneholder ødelagte bær. Bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og finner P X 5 0,569 Det er 56,9 % sannsynlighet for at minst 5 av de 50 kassene med jordbær inneholder ødelagte bær. (Vi ser at kalkulatoren også bekrefter løsningen i a) 36

Grossisten får mistanke om at mer enn 0 % av kassene inneholder ødelagte bær. For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han 90 kasser. Ved denne kontrollen viser det seg at 5 av de 90 kassene inneholder bær som er ødelagt. Vi lar p være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær. c) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen. Forklar hvordan du har tenkt. Kontrollen grossisten foretar viser at 5, dvs. 6,7 % av kassene inneholder ødelagte bær. Vi skal 90 undersøke om denne kontrollen gir grunnlag for å si at det generelt er mer enn 0 % av jordbærkassene som inneholder ødelagte bær. Det kan jo være tilfeldig at det akkurat var så mange som 5 av de 90 kontrollerte kassene som inneholdt ødelagte bær. Setter opp en nullhypotese H 0 der vi antar at prosentandel på 0 % gjelder, og en alternativ hypotese H der vi antar at prosentandelen har økt. H Andel jordbærkasser med ødelagte bær er 0 %, dvs. p 0,0 : 0 : H Andel jordbærkasser med ødelagte bær er mer enn 0 %, dvs. p 0,0 d) Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. Velg et signifikansnivå på 5 %. Et signifikansnivå på 5 % sier at dersom vi forkaster nullhypotesen er det 5 % sjanse for at vi gjør det på feil grunnlag. Bruker binomisk fordeling i GeoGebra og finner sannsynligheten for at minst 5 av de 90 kassene inneholder ødelagte bær når p 0,0 Vi finner at det er 3,3 % sannsynlighet for at 5 kasser eller flere i en stikkprøve på 90 kasser helt tilfeldig vil inneholde ødelagte bær ved p 0,0. Vi satte et signifikansnivå på 5 %. Det betyr at vi forkaster nullhypotesen H 0 og godtar den alternative hypotesen H. Kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. 37

3.5.3 Eksamen S2 våren 2009 Ledelsen i et fylke ønsker å øke andelen seksere til eksamen. Tidligere har i gjennomsnitt 4,3 % av eksamenskarakterene vært seksere. Etter en omlegging av undervisningsmetodene viste en stikkprøve at 29 av 500 eksamensresultater var seksere. Fylkesledelsen og elevorganisasjonen var uenige i om det gode resultatet skyldtes omleggingen av undervisningsmetodene, eller om det var en tilfeldighet. Bruk dine kunnskaper i statistikk og sannsynlighetsregning, og undersøk spørsmålet nærmere. Gjør rede for hvilke metoder du bruker, og hvilke forutsetninger du legger til grunn. Vi vil sjekke om det gode eksamensresultatet skyldes ren tilfeldighet, eller om det kan skyldes en omlegging av undervisningsmetodene. Setter opp en nullhypotese H 0, som sier at vi ikke kan anta at de nye undervisningsmetodene har hatt innvirkning på antall seksere, og en alternativ hypotese H, som sier at de nye undervisningsmetodene har hatt innvirkning på antall seksere. H Prosentandel seksere til eksamen er p 0,043 0 : H Prosentandel seksere til eksamen er p 0,043 : Lar X være antall eksamensresultater av de 500 resultatene i stikkprøven som er seksere. Antar at X er binomisk fordelt med p 0,043 og n 500. I stikkprøven ovenfor var det 29 av 500 eksamensresultater seksere, dvs. 5,8 %. Vi skal finne ut om dette resultatet gir grunnlag til å forkaste nullhypotesen. Vi ser jo at 5,8 % er høyere enn 4,3 % som tidligere har vært prosentandelen med seksere. Er dette tilfeldig, eller kan vi med rimelig sikkerhet si at de nye undervisningsmetodene har gitt uttelling? Velger et signifikansnivå på 5 %. Bruker binomisk fordeling i GeoGebra og finner P X29 0,066 Vi finner at det er 6,6 % sannsynlighet for at 29 eksamensresultater eller flere i en stikkprøve på 500 eksamensresultater vil være seksere, selv om den virkelige prosentandelen seksere ikke hadde økt. Vi satte et signifikansnivå på 5 %. Det betyr at vi IKKE forkaster nullhypotesen H 0. 38

3.6 Standard normalfordeling 3.6. Gjennomsnittshøyden for voksne kvinner i Norge er 67 cm. Standardavviket er på 6 cm. La X være høyden til en tilfeldig valgt kvinne. Vi antar at X er normalfordelt. Bruk tabellen i teorien som viser arealet til en standardisert normalfordeling og finn følgende. a) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er lavere enn 73 cm, altså P X 73. Vi regner først x verdiene om til z verdier x 73 67 x73 z,00 6 Bruker tabellen og finner: PX PZ 73,00 0,843 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er lavere enn 73 cm er 84,3 %. b) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne har en høyde på mellom 6 cm og 73 cm, altså P 6 X 73. Vi regner først x verdiene om til z verdier x6 x 6 67 z,00 6 Bruker tabellen og finner: P 6 X 73 P,00 Z,00 P Z,00 P Z,00 0,843 0,587 0,6826 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne har en høyde på mellom 6 cm og 73 cm er 68,26 %. c) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er høyere enn 70 cm, altså P X 70. Vi regner først x verdiene om til z verdier Bruker tabellen og finner: x 70 67 x70 z 0,50 6 P X 70 P X 70 P Z 0,50 0,695 0,3085 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er høyere enn 70 cm er 30,85 %. 39

3.6.2 La X være antall øyne ved kast av én terning. Vi antar at X har forventningsverdien 3,5 og standardavviket,708. Videre lar vi S være summen av antall øyne når vi kaster terningen 00 ganger. S X X2 X00 a) Finn forventningsverdien S til S. Forklar hva du har funnet. Forventningsverdien til S er gitt ved n00 3,5 350 Forventet sum av antall øyne ved 00 terningkast er 350. S b) Finn standardavviket S til S. Standardavviket til S er gitt ved n 00,708 0,708 7,08 S c) Finn PS 380 og forklar hva du har funnet. Vi regner først x verdien om til z verdi x 380 350 x 380 z,756 7,08 Bruker tabellen og finner: PS PZ 380,756 0,96 0,04 Sannsynligheten er 4 % for at summen av antall øyne ved 00 kast av en terning skal bli høyere enn 380 40

3.6.3 Svein dyrker moreller. Vi lar X være vekten i gram til en tilfeldig valgt morell. Svein har funnet ut at X har forventningsverdien 0 med standardavviket,0. Vi lar S være samlet vekt av 50 tilfeldig valgte moreller. a) Finn forventningsverdien S til S. Forklar hva du har funnet. Forventningsverdien til S er gitt ved n 500 500 Forventet vekt til 50 tilfeldig valgte moreller er 500 gram. S b) Finn standardavviket S til S. Standardavviket til S er gitt ved n 50,0 50 5 2 S c) Finn PS 50 og forklar hva du har funnet. Regner først x verdien om til z verdi x 50 x 50 500 z,44 5 2 Bruker tabellen og finner: PZ P S 50,44 0,924 0,0786 Det er 7,86 % sannsynlighet for at vekten til 50 tilfeldig valgte moreller veier mer enn 50 gram. d) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene ligger mellom 490 gram og 50 gram. Regner først x verdien om til z verdi x 490 x 490 500 z,44 5 2 x 50 x 50 500 z,44 5 2 Bruker tabellen og finner: P 490 S 50 P Z,44 P Z,44 0,924 0,0786 0,8428 Det er 84,28 % sannsynligheten for at samlet vekt til 50 tilfeldig valgte moreller ligger mellom 490 gram og 50 gram. e) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene er mindre enn 490 gram. I oppgave c) fant vi sannsynligheten for at de 50 morellene veide mer enn 50 gram. I oppgave d) fant vi sannsynligheten for at vekten lå mellom 490 gram og 50 gram. Sannsynligheten for at vekten er mindre enn 490 gram er dermed 4

0,0786 0,8428 0,0786 f) Forklar hvordan du ved hjelp av svaret i oppgave c), kunne løse oppgave d) uten bruk av hjelpemidler og normalfordelingstabellen. I oppgave c) fant vi sannsynligheten for at de 50 morellene veide mer enn 50 gram. Da normalfordelingskurven er symmetrisk rundt forventningsverdien 500, vil 490 PS 50 P S. Det betyr at P 490 S 50 2P S 50 20,0786 0,8428 42