Geometri oppgaver Innhold 1.1 Formlikhet... 2 Formlike trekanter... 2 Kongruente trekanter... 9 1.2 Pytagoras setning... 10 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 11 1.4 Geometriske steder... 15 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 17 Midtnormalene og den omskrevne sirkelen... 17 Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen... 17 Høydene... 18 Medianene... 18 1.6 Vektorer... 19 Regning med vektorer... 19 Addisjon av vektorer... 22 Multiplikasjon av vektor med et tall... 25 Skalarproduktet... 28 1.7 Vektorer på koordinatform... 32 Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform... 33 Multiplikasjon av vektor med et tall... 34 1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger.... 36 1.9 En sirkel i planet... 38 Sirkelen beskrevet med funksjoner... 40 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 41 Eksempelsett fra Udir... 42 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1
1.1 Formlikhet Formlike trekanter 1.1.1 ABC og DEF ovenfor er formlike. Finn lengdene som ikke er oppgitt. 1.1.2 Se på figuren ovenfor og forklar hvorfor BTS og B T S er formlike. 2
1.1.3 På figuren ovenfor er PQ parallell med RT. Forklar hvorfor PQS og RST er formlike. Hvilken side samsvarer med ST? Hvor lang er denne siden? 1.1.4 Vis at de to trekantene ovenfor er formlike. 1.1.5 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken 10 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven. Linja treffer bakken 0,50 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. 3
1.1.6 Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen, se skissen ovenfor. Vi måler avstander og finner at AB 25m, CD 200 m og BC 2,5 m. B D 90. Hva blir avstanden ut til Hatholmen? 4
1.1.7 Rekrutter på førstegangstjeneste lærer forskjellige metoder for å bestemme avstander i terrenget. En metode går ut på å bestemme avstanden til et objekt med en kjent høyde. Man lærer å bestemme avstanden til for eksempel et hus som man vet er 10 m høyt, på følgende måte: Ta en pinne eller et grasstrå og hold det fast i loddrett stilling mellom tommelfinger og pekefinger. Strekk armen ut, og se mot huset slik at du ser husets topp på linje med toppen av grasstrået. Juster tommelens feste på grasstrået slik at du ser bunnen av huset på linje med oversiden av tommelen. Mål lengden a til den delen av grasstrået som er over tommelen. Lengden måles i centimeter. Avstanden til huset (i meter) finner du ved først å dele huset høyde på 2. Svaret multipliseres med 100. Dette tallet deles så på a, og du har avstanden til huset. Beregn avstanden til et hus som er 10 m høyt når du måler a til å være 2 cm. Forklar metoden. (Vi regner at en gjennomsnittlig armlengde til en rekrutt er 0,5 meter) 5
1.1.8 Gitt trekanten ABC. Høyden fra C på AB treffer AB i D. a) Vis at ABC CBD b) Tegn trekantene ved siden av hverandre slik at du lett ser samsvarende sider og hjørner. c) Sett opp tre forhold som gir det lineære forholdstallet. d) Finn det lineære forholdstallet når CD 4,0 og AC 5,0 e) Finn A (Tips: Bruk trigonometri). f) Beregn CB (Tips: Bruk trigonometri). g) Finn de ukjente sidene i de to trekantene. h) Finn andre par av formlike trekanter på figuren. 1.1.9 Gitt trekanten ABC. E er midtpunkt på AC og F er midtpunkt på AB. a) Forklar at trekantene formlike. ABC og AFE er b) Bestem forholdet mellom BC og EF. c) Forklar at trekantene SBC og SEF er formlike. d) Bestem forholdet mellom SC og SF og mellom SB og SE. 6
1.1.10 Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at 1.1.11 x 10. 5 7 Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at 3 11. 7 x 1.1.12 Bestem ved å bruke dynamisk programvare lengden av linjestykket x slik at 7 x x 3. 1.1.13 Gitt et linjestykke AB med lengde 10 cm. Du skal ved konstruksjon finne et punkt C på AB slik at AC 3 AB 7. 1.1.14 I den rettvinklede trekanten ABC halverer AD vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. Se figuren. a) Forklar at AEDF er et kvadrat. Sett AC 4 og AB 7. b) Vis at c) Finn BE. 16 CF. 11 Sett AC a og AB b. 2 a d) Vis at CF a b. e) Finn BE. 7
1.1.15 I den rettvinklede trekanten ABC er BC dobbelt så lang som AC. AD halverer vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. a) Hvor store er de spisse vinklene i trekanten ABC? Sett AC 4 og BC 8 b) Vis at AB 4 3 og at 4 CF 31 c) Finn BE. 8
Kongruente trekanter 1.1.16 Vis at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram halverer diagonalene. 1.1.17 Gitt en rettvinklet trekant ABC. AD halverer vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. Hvor store må vinklene i trekanten ABC være for at trekantene EBD og FDC skal være kongruente? 1.1.18 Figuren viser en sirkel med to tangenter som skjærer hverandre i punktet B. Forklar at trekantene ASB og DSB er kongruente. 9
1.2 Pytagoras setning 1.2.1 Gitt en rettvinklet trekant ABC med sidelengder a, b og c. Normalen fra C treffer linjen gjennom AB i D. Sett AD x og BD y. Se figuren. a) Vis at trekant ABC er formlik med trekant ACD b) Vis at trekant ABC er formlik med trekant BCD c) Forklar at vi kan sette c a og a y c b b x d) Vis at vi kan sette 2 a c y og 2 b c x e) Vis at 2 2 2 a b c. 1.2.2 Lag et geometrisk bevis for Pytagoras læresetning. Bruk gjerne GeoGebra. 1.2.3 Finn et bevis for Pytagoras setning på internett og skriv det inn her. 10
1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning. 1.3.1 a) Finn de ukjente vinklene i trekantene ABC, ASC og BSC på figuren. S er sentrum i sirkelen. Se figuren. b) Firkanten ABCD er innskrevet i en sirkel der buen AB 77,0, buen AD 63,0 og buen CD 114,0. Se figuren. Finn vinklene i firkanten ABCD. 1.3.2 Gitt figuren til høyre. Punktet S er sentrum i sirkelen. a) Finn buen AC uttrykt i grader. b) Finn BSD. c) Finn vinkel C. d) Finn SDB 11
1.3.3 På figuren er A sentrum i en sirkel og AB BJ Bestem alle vinklene på figuren. 1.3.4 På figuren er AB diameter i en sirkel og punktet C ligger på sirkelen. Bestem de ukjente vinklene på figuren. 1.3.5 På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem alle vinklene på figuren. 12
1.3.6 På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem ukjente vinkler på figuren. 1.3.7 a) Forklar at trekantene IHJ og GFJ på figuren er formlike. b) Vis at JF IJ HJ JG 1.3.8 Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. To linjer går gjennom A og skjærer sirkelen i henholdsvis F og G og i H og I. Vi trekker linjestykkene GH og IF. De skjærer hverandre i J. Se figuren. a) Forklar at trekantene AHG og AFI er formlike b) Vis at AF AG AH AI 13
1.3.9 Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. Gjennom A går det ei linje som tangerer sirkelen i F og ei linje som skjærer sirkelen i H og I. Se figuren. a) Forklar at 1 HIF HSF 2 b) Forklar at vi kan skrive AFH 90 HFS c) Vis at 1 HFS 90 HSF 2 d) Vis at AFH AIF e) Forklar at trekantene AFH og AIF er formlike. f) Vis at 2 AF AH AI g) Bruk det du viste i f) til å bestemme lengden av BE på figuren til høyre. Linja gjennom Bog E er tangent til sirkelen, lengden til BC er 3 og lengden til diameteren CD er 10. h) Sjekk svaret i g) ved å bruke Pytagoras setning. 14
1.4 Geometriske steder 1.4.1 Merk av et linjestykke AB 5 cm. Konstruer det geometriske sted for alle de punktene som ligger like langt fra A som fra B. Hva kalles dette geometriske stedet? 1.4.2 Gitt to linjer mog nsom skjærer hverandre. Finn mengden av alle de punktene som ligger like langt fra mog n. Hva kalles dette geometriske stedet? 1.4.3 Konstruer samlingen av alle de punktene som ligger 3 cm fra et punkt P. Hva kalles dette geometriske stedet? 1.4.4 Finn det geometriske sted for de punktene som ligger 4 cm fra en gitt linje l. Hva kalles dette geometriske stedet? 1.4.5 En tangent til en sirkel er en linje som berører sirkelen i bare ett punkt. Tangenten står alltid normalt på radien i tangeringspunktet. Bruk setningen om periferivinkler og sentralvinkler til å konstruere tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. 15
1.4.6 En trekant ABC er gitt ved at AB 7,0 cm, ACB 90 og AC 3,0 cm. Konstruer trekanten. 1.4.7 Per bor 4 km fra skolen og 2 km fra treningssenteret. a) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra. Marker skolen og treningssenteret som to punkt. Vis hvor Per kan bo i forhold til disse punktene. Sett avstanden fra der Per bor til skolen som 2x og avstanden til treningssenteret som x. b) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra og finn det geometriske stedet for hvor Per nå kan bo. 16
1.5 Skjæringssetninger i trekanter Midtnormalene og den omskrevne sirkelen 1.5.1 Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den omskrevne sirkelen til trekanten. 1.5.2 Fortsett med trekanten fra oppgave 1.5.1. Dra i hjørnene til trekanten slik at sentrum i den omskrevne sirkelen veksler mellom å ligge inne i trekanten, på en av sidene eller utenfor trekanten. Kan du finne noe mønster når det gjelder vinklene i trekanten? Ser du noen sammenhenger med setningen om periferivinkler og sentralvinkler? Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen 1.5.3 Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten. 1.5.4 a) Konstruer den innskrevne sirkelen i en likesidet trekant ABC. b) Finn et eksakt uttrykk for radien r i den innskrevne sirkelen når sidene i trekanten er lik 4 cm. c) Vi setter nå lengden til sidene i trekanten ABC s. Finn et uttrykk for radien r i den innskrevne sirkelen uttrykt ved s. 1.5.5 Gitt en trekant ABC med sider a) Vis at trekant ABC er rettvinklet. b) Konstruer den innskrevne sirkelen. AB 3 cm, BC 4 cm og AC 5 cm. La S være sentrum i den innskrevne sirkelen og SD være avstanden fra S til linja gjennom AB. Videre er E skjæringspunktet mellom vinkelhalvveringslinja gjennom C og linja gjennom AB. c) Forklar at EBC EDS. d) Vis at BCE 18,45. e) Vis at lengden EB 1,33 f) Forklar at ED EB r g) Regn ut radien i den innskrevne sirkelen. 17
Høydene 1.5.6 a) Tegn en tilfeldig trekant og finn skjæringspunktet S mellom høydene ved konstruksjon. b) Hva kan du si om trekantens vinkler hvis dette skjæringspunktet ligger 1. inne i trekanten? 2. i et av trekantens hjørner? 3. utenfor trekanten? Medianene 1.5.7 a) En median deler alltid en trekant i to like store deler (arealer). Kan du vise dette ved hjelp av arealsetningen eller på en annen måte? b) Klipp ut en trekant av et stivt papir eller papp. Fest trekanten i et hjørne og la den henge fritt. Finn loddlinjen gjennom opphengingspunktet. Hvor treffer loddlinjen den motsatte siden? c) Skjæringspunktet mellom medianene i en trekant kalles også for trekantens tyngdepunkt. Kan du forklare hvorfor? d) Hvordan kan du få en trekantet metallplate til å balansere vannrett når du plasserer den på en loddrett spiker? 18
1.6 Vektorer Regning med vektorer 1.6.1 Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser. 1.6.2 Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter. En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene? 1.6.3 a) Hvilke vektorer har samme retning? b) Hvilke vektorer har samme lengde? c) Hvilke vektorer er like? 19
1.6.4 Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene. a) Hvilke vektorer er like? b) Hvilke vektorer er motsatt rettet? c) Hvilke vektorer er like lange? 1.6.5 a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidene er like lange) i for eksempel GeoGebra. b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten. c) Hvor mange ulike vektorer finnes det? 20
1.6.6 Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene. Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem. a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du? b) La u og v være like. Hva observerer du? c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du? d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w? 21
Addisjon av vektorer 1.6.7 En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90 mot nord og kjører 4 km i denne retningen. Bilen dreier så 90 og kjører 8 km mot vest. a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. Finn summen av forflytningene (resultantforflytningen). b) Bestem lengden og retningen til resultantforflytningen. c) Resultantforflytningen er summen av forflytningene. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på? 1.6.8 Vektorene AB, BC, CD, DE og EA danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig. a) AB BC b) DC CB BA c) EA AB d) EA AB BC e) BE ED f) AB CB g) BA AE 22
1.6.9 Gitt vektorene a og b. Finn vektorene a b og b a. Hva oppdager du? 1.6.10 Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren. Tegn vektorene a) a b b) c a c) b c 23
1.6.11 Gitt et rektangel ABCD. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig. a) AB BC b) AD DC c) BC AC d) DC AC e) AB DC 24
Multiplikasjon av vektor med et tall 1.6.12 Vi har gitt tre vektorer i et koordinatsystem. Se figuren. Tegn vektorene a) b) c) 1 2 2 a b 1 2 b c 2 3 3 2 a b c 1.6.13 Vektorene a, b, c og d er gitt i figuren. Bruk for eksempel GeoGebra og finn a) a b c d b) c) d) 1 2 a b c 1 a 2b c 2 1 2 2 a b c d 25
1.6.14 Gitt vektorene nedenfor. a) Uttrykk vektorene c, d, e og f ved hjelp av vektorene a og b. b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene c og d. 26
1.6.15 Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra. a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD. b) Finn av midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H. c) Tegn firkanten EFGH. d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH. e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du? Vi setter nå AB a, BC b og CD c. 1. 2 f) Vis at EF kan skrives som: EF a b 1. 2 g) Vis at HD kan skrives som: HD a b c h) Uttrykk HG ved hjelp av a, b og c. i) Hva kan du si om vektorene EF og HG? j) Vis at EH FG. 27
Skalarproduktet 1.6.16 Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1. a) Finn de andre sidene i trekanten. b) Bestem verdien til cos30 og cos60 1.6.17 Vi har gitt vektorene a og b. a 5, 4 Finn skalarproduktet mellom a og b. b og ab, 60. 1.6.18 Vi har gitt vektorene p og q. Lengden av p er 7, lengden av q er 3 og vinkelen mellom vektorene er 30. a) Regn ut pq. b) Regn ut q p. c) Hva er skalarproduktet mellom p og q? d) Hva er prikkproduktet mellom p og q? e) Finn 2 p. f) Finn 2 q. 28
1.6.19 Gitt vektorene a og b der 12 Finn lengden til b. a og ab, 60. Skalarproduktet mellom a og b er 24. 1.6.20 2 Vi har gitt at u 16. Finn u. 1.6.21 Gitt vektorene a og b der a 12 og b 5. Skalarproduktet mellom a og b er 30. Finn vinkelen mellom vektorene a og b. 1.6.22 a) Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1. b) Finn lengden til hypotenusen. c) Bestem cos45 29
1.6.23 Gitt vektorene a og b der a 3 og b 8. Finn skalarproduktet mellom a og b når a) ab b) ab, 0, 45 c) ab, 90 d) ab, 135 e) ab, 180 Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven? 1.6.24 Vi har gitt vektorene F og s. F 150, s 120. a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30. La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i N(Newton), sier vi at F 150 N. Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m eller at lengden til forflytningsvektoren, s, er 120 m, retning 30 i forhold til forflytningen. s 120 m. Magnus drar med en kraft som har Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s. b) Hvor stort arbeid utfører Magnus? c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen. d) Hva blir måleenheten for arbeidet? 30
1.6.25 Gitt vektorene a og b der a 5, 4 Regn ut a a 2b 2a 3b. b og ab, 60. 1.6.26 Gitt vektorene a og b der a 3 og b 4. Vinkelen mellom vektorene er 60. Vektorene u og v er gitt ved u a 2 b og v 3a 4b. a) Finn 2 2 ab, a og b. b) Finn uv. c) Finn vinkelen mellom u og v. 1.6.27 La a 5, b 3 og ( ab, ) 60. Gitt u a b ogv a b. a) Finn lengden til u og lengden til v. b) Finn vinkelen mellom u ogv. 31
1.7 Vektorer på koordinatform 1.7.1 a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform. a) Hvilke vektorer er parallelle? b) Hvilke vektorer er like? 1.7.2 Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem a 2,5 b 3,2 c 5, 3 d 4, 2 e 3,0 f 0, 6 32
1.7.3 Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. a) 2,5 b) 3,2 c) 4,0 Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform 1.7.4 Gitt vektorene a 2,3, b 3, 5 og 1, 6 Finn a) a b c. b) a b c) a b c d) c b a 1.7.5 a) Uttrykk a, b og c fra oppgave 1.7.4 ved hjelp av enhetsvektorene. b) Gjør oppgave 1.7.4 a og c når vektorene skrives på denne formen. Får du samme resultat som i oppgave 1.7.4? 1.7.6 Gjør oppgavene i 1.7.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar. 33
Multiplikasjon av vektor med et tall 1.7.7 Gitt vektorene a 2,3, b 3,5 og 1, 6 Regn ut a) 3a 2b 4c b) 5a 3c 4b c. 1.7.8 Gitt punktene A4,0, B3,5, C 0,7, D 3,5, E 4,0, F 3, 5 og G3, 5 a) Bestem vektorene AB, CD, EF, GC, FA og EC.. b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. (For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.) c) Finn lengdene til vektorene i a). 1.7.9 Gitt vektorene 3,2 og 1,4. a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. b) Vis at 3ex 2ey ex 4ey 2 2 kan skrives som 3e 14e e 8e. x x y y c) Vis at skalarproduktet e e e 1 og e e e 1. 2 2 x x x y y y d) Vis at skalarproduktet e e 0. x y e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b). f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3,2 og 1,4 kan skrives som 3,21,4 3124 38 11 34
1.7.10 Vi har gitt vektorene a 2,3, 3, 5 b. a) Finn skalarproduktet mellom vektorene. b) Finn lengden til vektorene. c) Finn vinkelen mellom vektorene. 1.7.11 Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren nedenfor. Du ser for eksempel at vektoren c har koordinatene 4,3. a) Skriv alle vektorene på koordinatform. b) Finn a b og c d. c) Finn lengdene av e og g. d) Sjekk ved regning om c d. e) Sjekk ved regning om c e. 35
1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger. 1.8.1 I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Gitt firkanten ABCD hvor A 1,3, B 7,4, C 8,6 og 2,5 D. Undersøk om firkanten ABCD er et parallellogram. 1.8.2 a) Finn koordinatene til punktet B når AB 2,3 og A har koordinatene A 4,5 b) La C være midtpunktet på AB. Finn punktkoordinatene tilc. 1.8.3 Gitt trekanten ABC, der A 2,2, B 4,6 og C 4, 4. a) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av skalarproduktet. b) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av cosinussetningen. 36
1.8.4 Gitt punktene A 1,4, B 4,1 og 7,6 C. a) Finn vinklene i trekanten ABC ved vektorregning. La D være et punkt på linjen gjennom A og B slik at CD står vinkelrett på AB. b) Bruk vektorregning og finn koordinatene til punktet D. c) Bestem høyden DC i trekanten. 1.8.5 Vis ved vektorregning at diagonalene i en rombe alltid står vinkelrett på hverandre. 1.8.6 utfordring!! Du starter en fotballkamp i midtsirkelen (origo). I løpet av de første tre pasninger beveger fotballen seg på følgende måte. Den går først 15 meter i retningen gitt ved vektoren 1,2. Deretter beveger den seg 30 meter i retningen 8,13 1, 4., for til slutt å bevege seg 12 meter i retningen a) Hvor befinner ballen seg etter tre pasninger? (Hvilken posisjon har den?). Her vil det være naturlig å bruke et digitalt hjelpemiddel. Tips. Lag en skisse av situasjonen b) Hvor langt har ballen forflyttet seg? 37
1.9 En sirkel i planet 1.9.1 Gitt en sirkel med sentrum i 1,2 og radius 3. Finn likningen for sirkelen. 1.9.2 Gitt en sirkel med sentrum i 1, 2 og diameter 6. Finn likningen for sirkelen. 1.9.3 Bestem sentrum og radius til sirklene: 2 2 2 a) Sirkel er gitt ved likningen x y 1 3 2 2 2 b) Sirkel er gitt ved likningen x y 2 6 9 c) Sirkel er gitt ved likningen 2 2 x y 100 38
1.9.4 Finn sentrum og radius i sirklene gitt ved likningene: a) 2 2 x x y y 4 2 4 b) 2 2 x 4x y 12 c) 1 2 1 2 x x y 3y 13 2 2 1.9.5 Undersøk om likningene representerer sirkler, og finn i så tilfelle sentrum og radius til sirkelen. a) 2 2 x 4 y 9 14 b) 2 2 4x 4y 4x 12y 6 0 c) 2 2 x x y y 8 2 18 0 d) 2 2 2x 2x 3y 2y 4 1.9.6 Vi har gitt punktene A4, 5 og B 6, 11. En sirkel har AB som diameter. Bestem likningen for sirkelen. 39
Sirkelen beskrevet med funksjoner 1.9.7 a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x. x y 2 2 2 2 1 3 b) Tegn sirkelen. 1.9.8 a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x. 2 2 1 3 x y 1 2 2 b) Tegn sirkelen. 1.9.9 Gitt en rettvinklet trekant ABC der A0,0, B3, 0 og C 3,4, se figur a) Finn lengden AC. Sett AB x og BC y b) Finn y uttrykt ved x. c) Tegn funksjonen du fant i b). Hva beskriver funksjonene? 40
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Eksamen våren 2014 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5 Eksamen våren 2014 Del 2: Oppgave 1 Eksamen høsten 2013 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5, Oppgave 7 Eksamen høsten 2013 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 8 Eksamen våren 2013 Del 1: Oppgave 7, Oppgave 8 Eksamen våren 2013 Del 2: Oppgave 2 Eksamen høsten 2012 Del 1: Oppgave 5, Oppgave 7 Eksamen høsten 2012 Del 2: Oppgave 1, Oppgave 4. Oppgave 5 Eksamen våren 2012 Del 1: Eksamen våren 2012 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 8, Oppgave 10 Eksamen høsten 2011 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1g Eksamen høsten 2011 Del 2: Oppgave 3, Oppgave 4 Eksamen våren 2011 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2 Eksamen våren 2011 Del 2: Oppgave 5, Oppgave 8 Eksamen høsten 2010 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2 Eksamen høsten 2010 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 6 Alt 1, Oppgave 6 Alt 2 Eksamen våren 2010 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1f Eksamen våren 2010 Del 2: Oppgave 5 Alt 2, Oppgave 6 Eksamen høsten 2009 Del 1: Oppgave 1g, Oppgave 2 Eksamen høsten 2009 Del 2: Oppgave 4 Alt 2 Eksamen våren 2009 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 2 Eksamen våren 2009 Del 2: Oppgave 3a, Oppgave 5 41
Eksempelsett fra Udir 1.10.1 Eksempelsett R1, april 2007 APB, som spenner over buen AB, kaller vi en periferivinkel. AOB, som spenner over buen AB, kaller vi en sentralvinkel. a) Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen AB. En setning i geometrien sier: En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelen som spenner over samme bue. For å bevise denne setningen tegner vi diameteren PQ. b) Forklar at POA og POB er likebeinte. c) Bruk b) til å forklare at BOQ 2BPO AOQ 2 APO d) Bruk c) til å bevise setningen ovenfor. 42
1.10.2 Eksempelsett R1, desember 2007 Vi har gitt en trekant ABC. Punktet D ligger på AB, punktet E ligger på BC, og punktet F ligger på AC. Se figuren. Cevas setning sier: Linjestykkene AE, BF og CD skjærer hverandre i ett punkt hvis og bare hvis AD BE CF 1 DB EC FA Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. 43
1.10.3 Eksempelsett R1, desember 2007 Bildet til venstre viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene R og r. Berøringspunktet mellom ballene og bordet kalles henholdsvis A og B. Berøringspunktet mellom ballene kalles C. I denne oppgaven skal vi undersøke egenskaper ved ABC. Figur 1 viser et snitt gjennom sentrene i ballene, M og N. a) Forklar at BAM NBA 90, og at MNB 180 AMC. b) Vis at AB 2 Rr. (Tips: Bruk Pytagoras setning). Vi setter AMC v, BCN u og ACM w. c) Vis at uw 90, og at ACB 90. I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med R4 cm og r 1 cm. d) Bruk b) til å finne lengden av AB. e) Konstruer med passer og linjal figur 1 med R 4 cm og r 1 cm. Skriv en forklaring til konstruksjonen. f) Slå en halvsirkel med AB som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom C. 44
1.10.4 Eksempelsett R1, april 2007 En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. a) Skriv opp vektorene AB, AC og BC. M 1 er midtpunktet på siden AB, og M 2 er midtpunktet på siden AC. 1 b) Vis ved regning at koordinatene til punktet M 1 er 2,0 og til punktet M 2 er,2 2. Vi kaller skjæringspunktet mellom CM 1 og BM 2 for S. En metode for å finne koordinatene til S består i å skrive CS på to måter. To ulike veier fra C til S gir Dette gir oss vektorlikningen CS kcm og CS CB t BM kcm1 CB t BM2 1 2 45
c) Sett inn koordinatene til CM1, CB og BM 2, og vis at vektorlikningen kan skrives som 7t k, 4k 3, 4 2t 2 d) Løs vektorlikningen, og vis at 2 2 k og t. 3 3 e) Bestem CS og koordinatene til punktet S. M3 er midtpunktet på BC. f) Vis at den tredje medianen går gjennom punktet S. 46