Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene A L på tallinjen. Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres. ) ) 4 0,5 Tallet skal plasseres på punktet F 4 0 4 4 4 Tallet skal plasseres på punktet L 3) lg0,00 3 lg0 3 Tallet skal plasseres på punktet B 4) 5 5 4 5 9 3. Tallet skal plasseres nærmere enn 3 dvs. punktet I 5) tan45 motstående katet tanv. Det betyr det at vi har en rettvinklet hosliggende katet likebeint trekant, altså er hosliggende katet motstående katet. Tallet skal plasseres på punktet G 6) 3 7 3 Tallet skal plasseres på punktet K Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side av 7
Oppgave 3 ( poeng) Løs likningssystemet x y x 3 x y Vi bruker innsettingsmetoden. y x x x x x 3 x 3 y x x x y x x y x x y x x y x y 0 x Vi får løsningene x y x y 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten x 3x Vi finner først nullpunktene x 3x 0 3 9 6 x 4 35 x 4 x x x x 0 Faktoriseringsformelen gir x 3x x x x x Vi bruker fortegnsskjema og finner når xx 0 0 Vi finner at x 3x for x x Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side av 7
Oppgave 5 (3 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig a) 6 3 6 3 6 3 6 3 3 b) 45 0 0 8 95 4 5 80 3 5 5 6 5 5 5 4 5 5 Oppgave 6 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x 0x5 x 50 x 5 x x x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 5 5 5 Oppgave 7 ( poeng) Løs likningen lg x 8 lg x lg xlg x 8 3lg x 6 lg x 0 0 lg x x 0 x 0,0 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 3 av 7
Oppgave 8 ( poeng) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig x 4x 5 4x8 6x x 3 x 4x 5 4 x 3 x 6 x 3x x 8x 0 x 4x 8 x 4 x x 3 Oppgave 9 (4 poeng) Snorre har seks blå og fire rosa ballonger. Han tar tilfeldig tre ballonger. a) Bestem sannsynligheten for at han tar tre blå ballonger. Sannsynligheten for at Snorre tar tre blå ballonger blir: 6 5 4 3 5 3 0 9 8 5 9 8 6 b) Bestem sannsynligheten for at han tar minst én rosa ballong. 5 Sannsynligheten for at han tar minst én blå ballonger blir: 6 6 c) Bestem sannsynligheten for at han tar én rosa og to blå ballonger. Sannsynligheten for at Snorre tar én rosa og to blå ballonger blir: 4 6 5 5 453 3 3 0 9 8 5 3 8 538 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 4 av 7
Oppgave 0 (3 poeng) Funksjonene f, g og h er gitt ved f x x x ( ) 9 g x x x ( ) 0 9 h x x x ( ) 6 9 I koordinatsystemet ovenfor ser du grafene til f, g og h. Hvilken graf er grafen til f, hvilken graf er grafen til g, og hvilken graf er grafen til h? Begrunn svarene dine. Vi har at hx x 6x 9 x 3. Det betyr at grafen til h kun har ett nullpunkt. Det betyr at graf A er grafen til h. Vi setter fx 0 og finner graf B er grafen til f. Vi setter gx 0 og finner graf C er grafen til g. 4 36 3 x, altså ingen reelle nullpunkt. Det betyr at 0 00 36 0 8 x, som gir to reelle nullpunkt. Det betyr at Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 5 av 7
Oppgave ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x x 3 ( ) 5 3 4 a) Bestem den momentane vekstfarten til f når x. f x 3x 0x 3 f 3 0 3 0 3 5 b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet,3. 3 f 5 3 4 5 3 4 3 3 f 3 3 53 33 4 7 45 9 4 5 f3 f 5 3 8 Gjennomsnittlig vekstfart blir 4 3 3 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 6 av 7
Oppgave (4 poeng) D C F A B Figuren ovenfor er satt sammen av en rettvinklet trekant ABC og tre likesidede trekanter. AB 8 og BC 0. Trekanten BDC,BEA og AFE er likesidede. Det betyr at høyden h Grå fra D vil halvere grunnlinjen BC, høyden h Blå fra E vil halvere grunnlinjen BA og høyden h Gønn fra F vil halvere grunnlinjen AC, a) Vis at arealet av den grå trekanten er 5 3 Vi bruker pytagoras læresetning og finner høyden hgrå 0 5 75 53 5 3 Arealet av grå trekant er dermed 0 5 3 5 3 b) Vis at arealet av den grønne og den blå trekanten til sammen er like stort som arealet av den grå trekanten. Høyden h Blå i blå trekant er h Grå hblå 8 4 48 63 4 3 Arealet av blå trekant er dermed 8 4 3 6 3 Bruker pytagoras læresetning og finner lengden AC. AC 0 8 00 64 36 6 E Høyden h Grønn i grønn trekant er Arealet av grønn trekant er dermed 6 3 3 9 3 hgrønn 6 3 7 93 3 3 Samlet areal blå og grønn trekant blir 6 3 9 3 5 3 som vi skulle vise. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 7 av 7
Oppgave 3 ( poeng) 53 I koordinatsystemet ovenfor er det lagt inn en vinkel på 53 med toppunkt i origo og en kvart sirkel med sentrum i origo og radius r. Bruk koordinatsystemet til å bestemme tilnærmede verdier for sin53, cos53 og tan53. Vi har at motstående katet sinv. Det betyr at hypotenus 0,8 sin53 0,8 Vi har at hosliggende katet cos v. Det betyr at hypotenus 0,6 cos 53 0,6 Vi har at motstående katet tanv. Det betyr at hosliggende katet 0,8 4 tan53 0,6 3 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 8 av 7
Oppgave 4 (4 poeng) f Gitt en funksjon f. Ovenfor ser du grafen til den deriverte av funksjonen. a) For hvilken verdi av x har grafen til f et toppunkt? For hvilken verdi av x har grafen til f et bunnpunkt? Fra grafen ser vi at stigningstallet er positivt for x0 og for x 4. For 0 x 4 er stigningstallet negativt. Det betyr grafen til f stiger fram til x 0 for så å synke mellom 0 og 4. Deretter stiger grafen igjen. Vi har dermed toppunkt for x 0 og bunnpunkt for x 4 Punktet, 3 ligger på grafen til f. b) Bestem likningen for tangenten til grafen i dette punktet. Vi ser av grafen til f at stigningstallet a er for x. Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for tangenten. der og,, 3 3 x y y a x x a x y y y x 4 3 y x Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 9 av 7
DEL Med hjelpemidler Oppgave (4 poeng) Anta at antall registrerte elbiler i Norge x år etter 00 tilnærmet er gitt ved funksjonen g der x 0,8 g x x x x 3 ( ) 560 767 50 577 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til g. b) Bestem g (4) og g (4). Hva forteller disse verdiene om antall elbiler? Vi bruker CAS i GeoGebra, se nedenfor. g 4 forteller oss at det var registrert 0 49 elbiler i Norge i 04. 4 g forteller oss at antall registrerte elbiler var i ferd med å øke med 5 45 elbiler per år i 04. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 0 av 7
Oppgave (3 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 6 74 år som røykte daglig i 00, 004, 006, 009 og 0. Årstall 00 004 006 009 0 Prosent røykere i aldersgruppen 6 74 år 9 6 4 0 6 La x være antall år etter 00. (La x 0 svare til år 00, x til år 003, osv.) a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 00 til 0. Vi velger å legge inn tallene i regnearket i GeoGebra og velger «Regresjonsanalyse». Deretter velger vi lineær regresjon. Den lineære funksjonen f x,8 x 8,9 viser utviklingen i prosentandelen dagligrøykere i perioden 00 til 0. b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 05. Vi leser av grafen og ser at andelen røykere etter denne modellen vil være mindre enn 0 % i år 05. Modellen kan dermed ikke være gyldig helt til år 05. Det kan nok tenkes at modellen kan være gyldig noe lenger enn år 0, men den vil være dårligere jo nærmere vi kommer år 05. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side av 7
Oppgave 3 (4 poeng) I en T-gruppe er det 6 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår. 0 elever har valgt faget R. 6 elever har valgt faget Fysikk. 6 elever har verken valgt R eller Fysikk. a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Vi velger å systematisere opplysningen i en krysstabell. R Ikke R Sum Fysikk 6 0 6 Ikke Fysikk 4 6 0 Sum 0 6 6 De røde tallene i tabellen er opplysninger gitt i oppgaven. Resten av tallene i tabellen fylles ut når disse tallene er på plass. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra gruppen har valgt R, men ikke Fysikk. Det er 4 elever av de 6 elevene i T-gruppen som har valgt R men ikke Fysikk. 4 Sannsynligheten blir dermed 6 3 Det viser seg at eleven som er trukket ut, har valgt Fysikk. c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven også har valgt R. Vi ser fra tabellen at alle som har valgt Fysikk også har valgt R. Det betyr at sannsynligheten blir for dette tilfellet. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side av 7
Oppgave 4 (3 poeng) I en rettvinklet trekant ABC er A 53 og AB 0. a) Forklar at det fins to trekanter ABC som oppfyller disse betingelsene. De eneste opplysningen vi har om trekanten er at A 53, AB 0 og at trekanten er rettvinklet. Det betyr at både vinkel B og vinkel C kan være rettvinklet med henholdsvis AB og AC som hypotenus, se trekantene nedenfor. b) Bestem BC for hver av de to trekantene. Vi bruk definisjonen for sinus og tangens og bestemmer lengden BC ved å bruke CAS. I trekanten til venstre ovenfor er AB hypotenus. Vi bruker sinus og finner at kateten BC 7,99. I trekanten til høyre ovenfor er AB en av katetene. Vi bruker tangens og finner at kateten BC 3,7. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 3 av 7
Oppgave 5 (3 poeng) En funksjon f er gitt ved 3 f x x bx cx d Funksjonen har bunnpunkt 3, 5 og et nullpunkt for x 4 Bruk CAS til å bestemme b, c og d. Vi bruker opplysningene i oppgaven og setter opp tre likninger. Funksjonen har et nullpunkt for x 4 f 4 0. Videre har funksjonen et bunnpunkt i 3, 5 I tillegg må den deriverte må være 0 når 3. Det gir likningen. Det gir likningen f 3 5. x og vi kan sette opp likningen f 3 0 Vi finner løsningene b 5, c 3 og d 4 f x x 5x 3x 4 og dermed er 3 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 4 av 7
Oppgave 6 (3 poeng) Figuren ovenfor er satt sammen av to kvadrater. I det ene kvadratet har hver side lengde x, og i det andre kvadratet har hver side lengde y. Omkretsen av hele figuren er 6. Bestem x og y slik at det samlede arealet av figuren blir minst mulig. Samlet areal A av figuren er gitt ved A x y. Vi finner først et uttrykk for omkretsen O av figuren og løser dette med hensyn på y. Omkretsen er gitt ved O 4x 4y. Vi vet at omkretsen er 6 og finner et uttrykk for y. Videre setter vi dette uttrykk inn i arealfunksjonen og tegner grafen, se nedenfor. Vi bruker kommandoen «Ekstremalpunkt» og finner at arealet er minst mulig når x. Arealet er da 8. Vi kan også legge merke til at arealet er minst når sidekantene i de to kvadratene er like store. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 5 av 7
Oppgave 7 (4 poeng) Gitt firkanten ABCD ovenfor. AB 5, BD 5 og CD 3. Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt. Vi vil finne arealet av firkanten ved å bruke arealsetningen på BCD og ABD. For å finne arealet av ABD finner vi først lengden AD. Vi finner denne lengden ved å bruke cosinussetningen, se linje nedenfor. Det kun den positive verdien som er gyldig i denne oppgaven. I linje 3 ovenfor bruker vi arealsetningen og finner at arealet av firkanten er 45. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 06 Side 6 av 7