Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 9 I kaittel 9 far du innarbeidet ere integrasjonsteknikker, slik som delvis integrasjon, substitusjon og delbrkosaltning. Du nner lsningsforslag til helt enkle drillogaver savel som mer sammensatte eksemler a bruk av disse teknikkene. Det er ogsa et ar eksemler a uegentlige integraler, og ogave 9.5.4 dveler ved et tilsynelatende aradoks som det kan vre nyttig a tenke igjennom. Ogave 9.. a) Delvis integrasjon gir sin = cos cos = cos + sin + C u = ; v = sin u = ; v = cos d) Delvis integrasjon to ganger gir e = e e u = ; v = e u = ; v = e = e (e u = ; v = e u = ; v = e e ) = e e + e + C g) Delvis integrasjon to ganger gir ( + ) sin = ( + ) cos ( + ) cos u = + ; v = sin u = + ; v = cos = ( + ) cos ( + )( sin ) u = + ; v = cos u = ; v = sin sin = ( + ) cos + ( + ) sin + cos + C = ( + ) cos + ( + ) sin + C 57
h) Delvis integrasjon gir ln = Ogave 9.. = ln u = ln ; v = = u = ; v = = = = ln = = = ln 4 9 = + C a) Delvis integrasjon to ganger gir e cos = e cos e sin u = cos ; v = e u = sin ; v = e = e cos ( e sin u = sin ; v = e u = cos ; v = e = e cos + e sin e cos ) e cos I alt har vi na fatt ligningen e cos = e cos + e sin e cos som videre gir oss e cos = e (sin cos ) + C b) Delvis integrasjon gir sin = sin cos + cos u = sin ; v = sin u = cos ; v = cos = sin cos + sin = sin cos + sin 58
I alt har vi da fatt ligningen sin = sin cos + sin som videre gir oss sin = sin cos + C Ogave 9..5 Delvis integrasjon gir ln( ) = ln( ) u = ln( ); v = = u = =; v = = = ln( ) + = ln( = ln ) + C + C = (ln + ) + C Ogave 9.. Delvis integrasjon gir arctan = arctan ( arctan ) + Mellomregning: + = = arctan arctan u = arctan ; v = + u = + ; v = arctan ; (se mellomregning nedenfor) + + arctan + arctan + = arctan arctan ln( + ) + arctan + C = arctan arctan ln( + ) + C ( + ) + = + = arctan + D 59
Ogave 9.. a) Vi lar I n = R arcsinn. Da har vi og I = I = = = arcsin = arcsin u = arcsin ; v = u = = ; v = = arcsin = arcsin + = b) Delvis integrasjon to ganger gir I n = = n arcsin n arcsin n = arcsin n u = arcsin n ; v = u = n arcsinn ; v = n n arcsin n + u = arcsin n ; v = u = (n ) arcsinn ; v = n n = n n + (n )I n = n n(n )I n (n ) arcsin n c) Setter vi inn n = i formelen fra unkt b), far vi I = ( )I = + 6 6
Ogave 9.. a) Ved substitusjon nner vi sin = sin u du = cos u + C = cos + C u = ; du = = = du b) Ved substitusjon nner vi + = = u u du = + u u = ; = u ; = u du u ( + u + u du = ) du + u + u du = (u arctan u) + C = arctan + C d) Substitusjon gir e = e u du u u = u = e ; du = e ; = du=u du u = arcsin u + C = arcsin e + C Ogave 9.. a) Substitusjon gir e = eu du = eu u = ; du = = =) u = = =) u = = (e e ) = (e ) 6
c) Substitusjon gir 9 4 + = u + u + u u du = u u du u = ; du = = = 4 =) u = = 9 =) u = = u + + du = u u + u + ln ju j se olynomdivisjon nedenfor = + 4 + ln j j + + ln j j 5 = + + ln = (9 + 4 ln ) Polynomdivisjon: u + u : u = u + + u u u u u Ogave 9..4 Substitusjon gir 4 = = 4 sin u cos u du = sin u; = cos u du = =) u = = = =) u = = = = = 4 cos u cos u du = (cos u + ) du = 6 = sin u 4 cos u du + u = = =
Ogave 9..5 a) Ved a dele o integranden far vi + + = + 4 = + + 4 ln j + j + C Odelingen kk vi ved olynomdivisjon: + : + = + 4 + + 4 4 + d) Ved delbrkosaltning av integranden (se nedenfor) far vi + + = ( + )( + ) = + + + Vi viser delbrkosaltningen: = ln j + j ln j + j + C ( + )( + ) = A + + Sammenligning av koesienter gir B + = A( + ) + B( + ) = (A + B) + (A + B) A + B = ; A + B = det vil si A = ; B = e) Ved a skrive om integranden slik at den deriverte av nevneren blir trukket inn i telleren, far vi 4 + ( + ) + + = + + + = + + + + 6
= ln j + + j Lsningsforslag ved Klara Hveberg ( + ) + = ln j + + j arctan( + ) + C Ogave 9..9 Ved delbrkosaltning (se nedenfor) av integranden far vi + ( )( + + ) = + + + = ( ln j j ln j + + j) + C = ln( ) ln( + + ) + C = ln ( ) + + + C Vi viser delbrkosaltningen: + ( )( + + ) = A + Sammenligning av koesienter gir det vil si B + C + + + = A( + + ) + (B + C)( ) = (A + B) + (A B + C) + A C A + B = ; A B + C = ; A C = A = ; B = ; C = Ogave 9..7 Vi skal beregne R. +8 Vi ser at ( + ) er en faktor i nevneren siden = er et nullunkt for + 8. For a faktorisere nevneren utfrer vi olynomdivisjon. 64
+ 8 : + = + 4 = ( ) + + + 8 4 4 + 8 4 + 8 Delbrkosaltning av integranden gir na + 8 = ( + )( + 4) = A + + = A( + 4) + (B + C)( + ) B + C + 4 = (A + B) + (B + C A) + (4A + C) Sammenholder vi koesientene a hver side av identiteten, nner vi som gir A + B = ; B + C A = ; 4A + C = Dermed blir + 8 = A = ; B = ; C = + + + + 4 delbrkosaltning = ( ) 6 ln j + j 4 + 4 = ln j + j 4 + 4 + 6 4 = ln j + j 4 ln( + 4) + 4 ln j + j 4 ln( + 4) + = u = ; du = = ( ) + [( ) + ] u + du ln j + j 4 ln( + 4) + arctan(u) + C 65
= ln j + j + 4 + arctan + C Ogave 9..7 Ved substitusjon far vi frst omformet integralet f() = e + 4e + = dz z(z + 4z + ) = z = e ; dz = e = z dz g(z) dz og bruker sa delbrkosaltning a den nye integranden. g(z) = z(z + 4z + ) = A z + Sammenligning av koesientene gir det vil si Bz + C z + 4z + = A(z + 4z + ) + (Bz + C)z = (A + B)z + (4A + C)z + A A = ; 4A + C = ; A + B = A = ; B = ; C = 4 Den nye integranden kan na omformes slik: g(z) = z + 4 = z z + 4z + (z + 4) + 4 z z + 4z + = z + 4 z z + 4z + + 4 (z + ) + 9 = z + 4 z z + 4z + 9 z+! + Leddvis integrasjon gir dermed g(z) dz = ln jzj ln(z + 4z + ) 9 z + arctan + D Substituerer vi na tilbake z = e, har vi ialt f() = ln(e + 4e + ) arctan e + + D 66
Ogave 9..9 Substitusjon og delbrkosaltning gir tan + cos = = sin cos ( + cos ) = u(u + ) du u = cos ; du = sin = =) u = = = =) u = = du = ln juj ln ju + j u u + = ln ln ln + ln = ln Ogave 9.5. a) Integrasjonsintervallet er ubegrenset, men integralet konvergerer: b b + = lim b! + = lim arctan b! = lim (arctan b arctan ) b! = b) Integranden er ubegrenset, men integralet konvergerer: a = lim = lim arcsin a! a! = lim(arcsin a arcsin ) a! = arcsin arcsin = = a e) Integrasjonsintervallet er ubegrenset, men integralet konvergerer: a + = a! lim ( )( + ) a = a! lim ( delbrkosaltning + ) 67
= lim a! Lsningsforslag ved Klara Hveberg ln j j ln j + j = a! lim (ln ja j ln ja j ln + ln 4) = a! lim a ln a + ln 4 = a! lim ln a + ln 4 a = (ln + ln 4) = ln 4 a i) Integralet konvergerer. Ved delvis integrasjon far vi at R ln = (ln ) + C (dette har du allerede gjort i ogave 9..b). Dermed far vi: ln = lim ln = lim ln a! + a! + a = lim a! + ln = 4 lim a! + a ln a a ln a = 4 a hvor vi i siste overgang har benyttet at lim a! + a ln a = iflge setning 6..6 i Kalkulus. Ogave 9.5.4 Gabriels tromet fremkommer ved at vi dreier grafen til f() =, hvor <, om -aksen (tegn gur!). a) Vi nner volumet av Gabriels tromet (bruker setning 8.6.): b V = f() = lim b! h = lim i b = lim = b! b! b Sa Gabriels tromet har endelig volum. 68
b) Vi beregner overaten av Gabriels tromet ved hjel av den ogitte formelen: A = f() + f () r = + r = + 4 > q hvor den siste ulikheten skyldes at + 4 >. Men integralet R vet vi divergerer mot uendelig, sa da ma det orinnelige integralet ogsa divergere (ved sammenligningskriteriet). Det betyr at Gabriels tromet har uendelig overate. c) Pastand: Vi kan male den (uendelige) innsiden av Gabriels tromet ved a kje nok maling til a fylle det endelige volumet, helle malingen i trometen og tmme ut det som blir til overs. Dermed har vi malt den uendelige overaten med endelig mye maling. Kommentar: I raksis far vi ikke fylt o hele volumet til trometen, og dermed far vi ikke malt hele overaten. Dette skyldes at malingen ma ha en viss tykkelse (la oss si diameteren til et atom), mens tuten i trometen blir vilkarlig smal bare vi beveger oss langt nok inn. Fr eller siden blir tuten smalere enn diameteren til et atom, og da far ikke malingen resset seg lenger inn. Men hvis vi antar at vi har en idealisert \matematisk maling som kan bli vilkarlig tynn slik at den fyller o hele volumet til trometen, ville vi faktisk kunne male den uendelige overaten av trometen med endelig mye maling. Dette er egentlig ikke noe mer aradoksalt enn at et integral over et ubegrenset intervall kan bli endelig. Tenk igjennom dette a egenhand! 69