ÅMA0 Sasylighetsregig statistikk våre 0 Kp. 4 Kotiulige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiulige tilfeldige variable itro. (ell: Kotiulige sasylighetsfordelig Vi har til å sett på diskrete fordelig - mulige vdi atskilte pukt på tallije f.eks. 0 3... I mage situasjo det aturlig at alle vdi på tallije (muliges e del av de mulige utfall. 3
Kotiulige tilfeldige variable itro. Eks.: =høyde til tilfeldig valgt kvielig UiSstudet. 0 0 008 I prisippet ehv vdi i f.eks. itvallet [.5m.0m] et mulig utfall. 006 004 00 0 [53 55 [55 57 [57 59 [59 6 [6 63 [63 65 [65 67 [67 69 [69 7 [7 73 [73 75 [75 77 [77 79 [79 8 [8 83 [83 85 [85 87.5m.0m Vi ka ikke liste opp alle mulige utfall i e slik situasjo kytte sasylighet til hvt av dem! 4 Kotiulige tilfeldige variable itro. Vi si at e kotiulig tilfeldig variabel ell at har kotiulig sasylighetsfordelig. 0 For å beskrive fordelig av sasylighet på de forskjellige utfallee f( 0 008 006 004 00 brukes e kurve f(: 0 85 80 75 70 65 60 55 5
Kotiulige tilfeldige variable itro. Kurve beskriv fordelige av sasylighet på de forskjellige utfallee ved at: sasylighete stor for vdi d f( stor. Vi ka ikke betrakte ekeltvdi me et itvall [a b] av vdi. 0 P( [ab] P(a b f( 0 008 006 004 b f(d a 00 0 55 60 65 a b 70 75 80 85 7 Kotiulige tilfeldige variable itro. Def.: Kurve f( kalles sasylighetstetthetsfuksjoe til. For tetthetsfuksjoe f( f( 0 for to tall a b d a må vi ha b at : P(a b b a f( d 3 - f( d 8
Kotiulige tilfeldige variable itro. Def.: For e tilfeldig variabel Y si vi at fuksjoe defit ved F(y P(Y y fordeligsfuksjoe til Y. F Dsom Y kotiulig F(y P(Y y y - f( d fordelt så 9 Kotiulige tilfeldige variable itro. Forvetig varias for kotiulige variable: Def.: Dsom tetthet f( så e kotiulig tilfeldig variabel E( - f(d Var( - ( - f(d E 0
Kotiulige tilfeldige variable itro. Forvetig varias for kotiulige variable: Obs.: har samme fortolkig som for diskrete variable - setrum beliggehet - spredig Def.: Dsom e kotiulig tilfeldig variabel tetthet f( så E( f(d - Var( ( - f(d - E Kotiulige tilfeldige variable Viktige klass av kotiulige fordelig som vi skal se på: Ekspoesialfordelige (kp. 4. Normalfordelige (kp. 4.3 Seie: Studet s t-fordelig (kp. 6.6
Ekspoesialfordelige (kp. 4. Def. : dsom Vi si har tetthet ekspoesi alfordelt f( gitt ved : paramet f( e 0 for 0 for 0 Skrivemåte: ~eksp.( 4 Ekspoesialfordelige (kp. 4. Def.: Vi si ekspoesialfordelt dsom har tetthet f( gitt ved : paramet e f( 0 for for 0 0 0 : f( 05 e f( 0 for for 0 0 00-0 3 4 5 6 7 5
Ekspoesialfordelige E viktig type (kotiulig fordelig. Def.: Vi si ekspoesialfordelt paramet dsom e f( 0 har tetthet 0 0 Obs.: kotiulig vetetidsfordelig; jf. geometrisk fordelig; svært mye brukt til modellig aalyse av pålitelighet til system for for f( gitt ved : f( 0 05 00-0 3 4 5 6 7 6 Ekspoesialfordelige E viktig type (kotiulig fordelig. Def.: Vi si ekspoesialfordelt paramet dsom har tetthet f( gitt ved : e f( for 0 0 for 0 f( 0 05 00-0 3 4 5 6 7 Eksempel: Modell for edbørsmegde et døg. ( Vetetid til reget slutt. Histram ov døgedbør i februarmåed åree 997-006. (Døg <0.7mm utelatt. Rød kurve tilpasset ekspoesialtetthet. Gjeomsitt:.87mm 7
Ekspoesialfordelige Def.: Vi si ekspoesialfordelt dsom har tetthet f( gitt ved : paramet 0 e f( 0 for for 0 0 f( 05 00-0 3 4 5 6 7 Setig paramet E( : Dsom så ekspoesi alfordelt Var( 8 Ekspoesialfordelige Setig : paramet E( Dsom så ekspoesi alfordelt Var( For edbørsdataee: E( estimes gj.s. Dvs.: / estimes til.87 d: estimes til /.87 = 0.0777 9
Ekspoesialfordelige Eksp.-tetthet ulike paramete: Forv. = Paramet ; E( e f( 0 for 0 for 0 0 05 00-3 8 3 Forv. = 0 Paramet 0.; E( 0. 0 0.e f( 0. 0 for 0 for 0 0 05 00-3 8 3 0 Ekspoesialfordelige Setig : Dsom paramet så E( ekspoesialfordelt Var( Def.: Vi si ekspoesialfordelt paramet dsom har tetthet f( gitt ved : e f( for 0 0 for 0 f( 0 05 00-0 3 4 5 6 7 Obs.: E( - f(d 0 e - d Forvetige ( varias fies vha. itegrasjo. (Det ikke pesum i dette kurset.
Ekspoesialfordelige Eks.: Vi atar at levetide til e tilfeldig valgt lyspære eksposialfordelt forvetig 500 tim. Hva sasylighete for at de svikt før 000 tim? Hva sasylighete for at de virk mist 3000 tim? Ekspoesialfordelige Eks.: Vi atar at levetide til e tilfeldig valgt lyspære eksposialfordelt forvetig 500 tim. La T levetide til ekspoesialfordelt tetthet : lyspære. Vi har : T paramet 500 ; f(t 500 e 500 0 for for t 0 t 0 3
4 Ekspoesialfordelige - t e d e t P(T : Geelt 0 6 Ekspoesialfordelige 0.33 000 5. 000 500 - - e e P(T 0.30 3000 3000 3000 500 - e P(T P(T - t e d e t P(T : Geelt 0
Kotiulige tilfeldige variable geelt Obs.: Dsom kotiulig fordelt så P( a 0 a a f(d Dfor : P( a P( a 7 Kotiulige tilfeldige variable Obs.: Dsom kotiulig fordelt så 0 0 P(a b : f( 008 006 004 00 0 55 60 a 65 b 70 75 80 85 0 0 008 P( a P(a a 0 f( 006 004 00 0 55 60 65 a 70 75 80 85 8
Kotiulige tilfeldige variable Viktige klass av kotiulige fordelig som vi skal se på: Ekspoesialfordelige (kp. 4. Normalfordelige (kp. 4.3 Seie: Studet s t-fordelig (kp. 6.6 9 Normalfordelige (kp. 4.3 Dette de viktigste fordelige i de forstad at ige adre fordelig m brukt i statistiske aalys e ormalfordelige! 30
Normalfordelige Defiisjo: Dsom e tilfeldig variabel tetthet: f ( e ( si vi at ormalford elt forvetig varias. Skriv : ~ N( 3 Normalfordelige N(0 05 04 03 0 N(0 0 00-40 -0 00 0 40 60 80 00 0 3
Normalfordelige 05 04 03 0 N(0 N(5 0 00-40 -0 00 0 40 60 80 00 0 5 33 Normalfordelige 05 04 03 0 N(0 N(5 N(0 5 0 00-50 00 50 00 0.5 34
Normalfordelige Normalfordelige spesielt viktig fordi mage datasett s ut til å være ormalfordelte mage aalysemetod bygg på ormalfordelige 35 Normalfordelige Stadardormal Defiisjo: Normalfordelig forvetig 0 varias kalles stadardormalfordelige. Tabell ov sasylighet i N(0-fordelige: 36
Normalfordelige sasylighet La Z~N( 0. 05 P(Z - f(d 04 03 0 0 00-40 -0 00 0 40-0 = 0.843 38 Normalfordelige sasylighet 05 P( Z>0.5 = 04 03 0 = -P( Z<0.5 0 00-40 -0 00 0 40-0 =... -0.695 = 0.3085 Vi har tabell ku for N(0-fordelige. 39
Normalfordelige Eks.: La de tilfeldige variabele være megde melk i e tilfeldig valgt -litskart. Vi atar at ~N( 0.0 ( ormalfordelt forvetig varias 0.0. Hva sasylighete for at det midre e 0.95 lit i e tilfeldig valgt kart? Dvs.: vi vil fie P( <0.95.... tabell...? 4 Normalfordelige Obs. : Y = a + b så ormalfordelt Obs. : Z a b a b... dfor Z defit som ov så ormalfordelt... Z har forvetig 0 varias (SJEKK DETTE!. Dvs.: Z~N( 0. 43
Normalfordelige Eks.: ~N( 0.0. Vi vil fie P( <0.95. 0.95 Dfor : Z 0.0 0.95 0.0 Z P( 0.95 P Z 0.95 0.0 P( Z 0.95 0.0.5 0.006 44 Normalfordelige resultat Setig: Dsom... uavhegige ormalfordelte tilfeldige variable ( a 0 a... a kostat så Y = a 0 + a +...+ a e ormalfordelt tilfeldig variabel. 45
Normalfordelige Obs.: Resultatet i setige gjeld ikke geelt (for adre typ fordelig Dsom ~ekspo.( ~ekspo.( så har vi ikke at + ~ekspo.( Dsom ~B(0 0.5 ~B(0 0. så har vi ikke at + ~B(; Hell ikke f.eks. biomisk fordelt! 46 Normalfordelige Setig: Dsom... uavhegige ormalfordelte tilfeldige variable ( a 0 a... a kostat så Y = a 0 + a +...+ a e ormalfordelt tilfeldig variabel. Forvetig: E(Y = E(a 0 +a +...+ a = a 0 + a E( +...+ a E( Varias: Var(Y = Var(a 0 +a +...+ a =a Var( +...+ a Var( 47
Statistiske egeskap til gjeomsittet Statistiske egeskap til gjeomsittet Hvorfor?? Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5. 3.6 5. 4.5 3.7 4. 4.3 (0 målig av e psos blodsukkivå; tatt på samme tidspukt. Vi vil typisk bruke gjeomsitt som h 4.35 i divse vide aalys. 48 Statistiske egeskap til gjeomsittet Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5. 3.6 5. 4.5 3.7 4. 4.3 Gjeomsitt 4.35; Prikkdiagram: 30 35 40 45 50 55 Hva virkelig ivå? (4.35 ell 3.6 ell 5.... Vi treg å vite oe om de statistiske usikkhete i aslaget 4.35!! 49
Statistiske egeskap til gjeomsittet Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5. 3.6 5. 4.5 3.7 4. 4.3 Gjeomsitt 4.35; Statistisk takegag: Vi oppfatt de 0 måligee som utfall av e (kotiulig fordelig: 30 35 40 45 50 55 08 30 35 40 45 50 55 Jf. så: resultat av tigkast 3 6...: utfall av fordelige y 3 4 5 6 P(Y=y /6 /6 /6 /6 /6 /6 5 Statistiske egeskap til gjeomsittet Dvs. : 0 vi tilfeldige aktuelle oppfatt variable fordelige. måligee 0 som 0 som alle har utfall de av Gjeomsi ttet av måligee 0 0 oppfattes som utfall av gjemosi ttet av de 0 tilfeldige variable : 0 0 5
Statistiske egeskap til gjeomsittet Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5. 3.6 5. 4.5 3.7 4. 4.3 Gjeomsitt 4.35; Prikkdiagram: 30 35 40 45 50 55 Hva virkelig ivå? (4.35 ell 3.6 ell 5.... 30 35 40 45 50 55 Vi treg å vite oe om de statistiske usikkhete i aslaget 4.35!! vil statistiske egeskapee til 0 kue fortelle oss mye om de statistiske usikkhete!! De 0 Dette e typisk situasjo! 53 Statistiske egeskap til gjeomsittet Geelt : målig ; oppfattes som utfall av tilfeldige variable. Mage gag det rimelig å ata at uavhegige idetisk fordelte tilfeldige variable ormalfordelte. Hva da egeskape e til? 54
Statistiske egeskap til gjeomsittet Setig : tilfeldige forvetig Dsom variable som varias alle ormalfordelte så uavhegige ormalfordelt forvetig varias. 55 Statistiske egeskap til gjeomsittet Setig : Dsom tilfeldige variable som alle ormalfordelte forvetig varias så uavhegige ormalfordelt forvetig varias. Bevis :... vha.:. Setig: Dsom... uavhegige ormalfordelte tilfeldige variable ( a... a kostat så Y = a +...+ a e ormalfordelt tilfeldig variabel.. Regegl for forvetig varias. 56
57 Statistiske egeskap til gjeomsittet. varias forvetig ormalfordelt så varias forvetig ormalfordelte alle som variable tilfeldige uavhegige Dsom : Setig ( ( ( ( ( E( var. tilf. orm.ford. av uavh. li.komb. E E E E 58 Statistiske egeskap til gjeomsittet. varias forvetig ormalfordelt så varias forvetig ormalfordelte alle som variable tilfeldige uavhegige Dsom : Setig ( ( ( ( ( E( var. tilf. orm.ford. av uavh. li.komb. E E E E Var Var Var Var Var( ( ( ( ( (
Statistiske egeskap til gjeomsittet E del gag det ikke rimelig å bruke ormalatakelse (ata at måligee utfall fra e ormalfordelig. (F.eks. dsom dataee har e tydelig fltoppet ell usymmetrisk fordelig. Hva ka vi da si om: Statistiske egeskap til gjeomsittet? 59 Setralgresesetige Setralgre sesetig e : uavhegige forvetig idetisk varias Dsom fordelte tilfeldige så variable tilærmet ormalfordelt forvetig varias år stor. Bevis:...... 60
Setralgresesetige Obs : Setralgresesetige : Dsom uavhegige idetisk fordelte tilfeldige variable forvetig Y tilærmet ormalfordelt forvetig varias varias så år stor. Vide : tilærmet Y - E(Y SD(Y ormalfordelt forvetig 0 varias. 6 Setralgresesetige... år stor...?? Tommelfigregel: mist 30 for god tilærmig. Eks.: Y = sum av 30 kast e tig. Fordelig til Y? P(Y<00 =? 6
Setralgresesetige Eks.: Y = sum av 30 kast e tig. La i = resultat i kast r i i=... 30. Vi ka fie at E( i =3.5 Var( i =.9 vi har h at Y = +... + 30 (Alle i ee uavhegige idetisk fordelte! Y si fordelig tilærmet ormal forvetig 30 3.5 = 05 varias 30.9 = 87.6 63 Setralgresesetige Y si fordelig tilærmet ormal forvetig 30 3.5 = 05 varias 30.9 = 87.6 005 004 003 00 00 0 75 85 95 05 5 5 35 64
Setralgresesetige Y si fordelig tilærmet ormal forvetig 30 3.5 = 05 varias 30.9 = 87.6 005 Y 05 P(Y 00 P 87.6 00 05 87.6 0.53 004 003 00 00 0 75 85 95 05 5 5 35 P(Z -0.53 0.98 fra tabell. 005 004 003 h Z ~ N(0 00 00 0 75 85 95 05 5 5 35 65 Normaltilærmig biomisk De biomiske fordelige ka tilærmes ormalfordelig i e del tilfell: Dsom Y~B( p p(-p mist 0 så ka fordelige til Y tilærmes fordelige til d ormalfordelt forvetig p varias p(-p; ~N( p p(-p Gir betydelig foreklig ved utregig av sasylighet. 66
Normaltilærmig biomisk Altså: Y ~ B( p. p( p 0 så har vi god tilærmi g : P(Y y P( y d ~ N( p p( - p 67 Normaltilærmig biomisk Eks.: Y=at. kro i 00 kast et pegestykke ~ B( 00 0.5 P(Y 40 P( 40 d ~ N( 50 5 E(Y 50 Var(Y 000.5(- 0.5 5 P -50 40-50 40 P PZ - 0.08 5 5 68
Normaltilærmig biomisk P(Y 40 P P 40-50 P 5 Z - 0.08 40-50 5 00 006 008 006 004 B(00 0.5 P(Y<= 40 N(50 5 004 00 B(00 0.5 P(Y<= 40 N(50 5 00 000 35 38 4 44 47 50 53 56 59 6 65 000 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 69 Normaltilærmig biomisk Det må åpebart være bedre : P(Y 40 P 40 0.5 00 008 006 004 B(00 0.5 P(Y<= 40 N(50 5 00 000 35 38 4 44 47 50 53 56 59 6 65 70
Normaltilærmig biomisk Da får vi: P(Y 40 P P 40 0.5-50 P 5 40 0.5-50 5 Z -.9 0.087 (eksakt : 0.084 006 006 004 B(00 0.5 004 B(00 0.5 P(Y<= 40 P(Y<= 40 00 N(50 5 00 N(50 5 000 000 7 45 44 43 4 4 40 39 38 37 36 35 45 44 43 4 4 40 39 38 37 36 35 Normaltilærmig heltallskorreksjo Heltallskorreksjo ved ormaltilærmig av fordelig som tar vdi på heltallee: : tilfeldig variabel fordelig som ka tilærmes ormalfordelige; Y: Normalfordelt tilf.var. forv. E( varias Var(. Da: P PY 0.5 7
Normaltilærmig heltallskorreksjo P PY 0.5 Gjeld altså bl.a. ved ormaltilærmig av biomisk fordelig Hypgeometrisk fordelig Poissofordelig 73 Normaltilærmig Hypgeometrisk modell dsom < 0. N så tilærmig til biomisk modell dsom biomisk modell ka tilærmes ormalfordelig... Poissomodell Dsom Y ~ Poisso ( t t 0 så P(Y y P( y d ~ N( t t E(Y Var(Y 74
Normalfordelig. Oppgav. 75