Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store positive V : Alle frigjorte elektroner når anoden; strømmen ater ut. V < : Elektronene bremses, dras mot katoden. Stor nok motspenning V ): Ingen elektroner når anoden. Bindingsenergi w for elektronene. Svakest bundede w : Arbeidsfunksjonen. Ett elektron absorberer ett foton. Økt lysintensitet: Samme ν gir samme V, men ere frigjorte elektroner som igjen gir større strøm. Her er θ spredningsvinkelen til fotonet. Intensiten får to topper. Den første ved λ, det spredte fotonets bølgelengde, og λ, det opprinnelige fotones bølgelengde. Det siste forklares med at et elektron kan være sterkt bundet til atomet slik at fotonet ikke har nok energi til å rive det løs. Da kan vi betrakte kollisjonen som en kollisjon mellom et foton og et atom. Den økte massen til atomet i forhold til elektronet gjør at λ C blir mye mindre. Da blir λ slik at endringen i bølgelengde ikke er observerbar..4 Materiebølger Materie har bølgeegenskaper, med bølgelengden gitt ved: λ = h p Metall e Foton Anode Fasehastighet: Gruppehastighet: v f = ω k = πν π λ = νλ v g = dω dk Fasehastigheten er materiebølgens hastighet, gruppehastigheten er partikkelens og bølgepakkens hastighet..5 Bohrs atommodell A Figur : Figur som illustrerer oppsettet ved observasjon av fotoelektrisk eekt.. Røntgenstråling Elektroner mot metallplate. Elektronene bremses ned og avgir fotoner. Minimum bølgelengde, maks frekvens, blir avgitt dersom elektronet bremses helt opp: λ min = hc ev R.3 Comptonspredning Foton kolliderer med fritt elektron neglisjerbar arbeidsfunksjon grunnet store energier). Fotoners bevegelsesmengde fåes fra følgende formel ved å sette m = : Som gir: E = p c + m c 4 p = h λ Ved å bruke bevaring av bevegelsesmengde og energi får man: λ = h m e c cos θ) = λ C cos θ) Bohrradien er denert: a = 4πɛ me =.59 Å Bølgelengden ved energioverganger er gitt ved: ) λ = ke a hc n i Fra Griths Alle ubestemte integraler går implisitt fra mins uendelig til uendelig dersom ikke annet står.. Generell teori n f.. Kvantemekanikk i en dimensjon Schrödingerligningen: i Ψ t = Ψ m x + V Ψ Tidsuavhengig Schrödingerligning: Tilhørende tidsledd: ψ + V ψ = Ĥψ = Eψ m x φt) = e ient/
Normalisering: Ψx, t) dx = Forventningsverdien til possisjonen: x = x Ψx, t) dx Forventningsverdien til bevegelsesmengden: p = i Ψ Ψ x dx Gitt en operator ˆQx, p), er forventningsverdien til den tilhørende fysiske størrelsen: ˆQx, p) = Ψ ˆQ x, ) Ψ dx i x Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p Alle interessante) løsninger kan skrives på formen: Ψx, t) = c n ψ n x)φ n t) n= Konstantene c n kan bestemmes ved hjelp av Fouriers triks: c n = ψnx)fx) dx Forventningsverdien til energien er gitt ved: H = c n E n n= En kommutator mellom to operatorer er denert ved: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ Kommutatoren mellom possisjon og bevegelsesmengde er gitt ved: [ˆx, ˆp] = i Den kinetiske energien er gitt ved operatoren: T = ˆp m.. Kvantemekanikk i tre dimensjoner Den tidsavhengige Schrödingerligningen lyder: Her er: Ψ r, t) i = t m Ψ r, t) + V r)ψ r, t) = x + y + = r r r r z ) + r sin θ sin θ ) + θ θ Den tidsuavhengige Schrödingerligningen lyder: ] [ m + V r) ψ r) = Eψ r) r sin θ φ Vi har fortsatt kompletthet av stasjonære løsninger: Normeringintegralet blir: Ψ r, t) = c nlm ψ r)e ie nlmt/ π π ψx, y, z) dxdydz Bevegelsesmengdeoperatoren blir: ψr, φ, θ) r sin θ drdφdθ ˆ p = i Konsentrerer oss om sentralsymmetriske potensial: V r) = V r). Separerer så variabler: ψr, φ, θ) = Rr)Y φ, θ) = Rr)F φ)p θ). Det gir: F m φ) = e imφ, m Z ) m d Pl m = x ) m / P l x), x = cos θ dx = P l x) = ) l d l x ) l l! dx Dette gir begrensningene l N og m l. Oppsummert gir dette at: Y m l φ, θ) = N lm e imφ Pl m cos θ) l + )l m )! N lm = ε 4πl + m )! { ) ε = m, m >, m Funksjonene Yl m φ, θ) kalles sfærisk harmoniske og er ortogonale, det vil si: π π Y m l φ, θ) Y m l φ, θ) sin θ dθdφ = δ ll δ mm For radialdelen Rr) innfører man ofte en hjelpefunksjon ur) = rrr). Det gir: d ] u [V m dr + r) + ll + ) u = Eu mr Denne har altså samme form som Schrödingerligningen i én dimensjon; ur) er en slags pseudobølgefunksjon, eektiv radiell materiebløge. Leddet inne i klammeparantesen kalles det eektive potensialet der det siste leddet er en sentrifugalterm. Vinkeldelen er allerede normert, så normeringsintegralet reduseres nå til: r Rr) dr = ur) dr = Det gjør at vi denerer den radielle sannsynlighetstetteheten: P r) = r Rr) = ur)
..3 Spinn Alle partikler har et innebygget magnetisk dipolmoment spinn). Denne egenspinn er uløselig tilknyttet partikkelen, på samme måte som dens ladning eller masse. Selv om spinnet er en rent kvantemekanisk eekt, nnes det mer matematiske analogier til angulærmoment. Noen fakta: Dipolmoment: µ s = g e e m e S, ge g e er her den gyromagnetiske faktor. Kvantisering av totalspinn: S = S = ss + ) Fermioner har halvtallig spinn halvtallig s), bosoner har heltallig spinn heltallig s). Kvantisering av spinnkomponent: S z = m s, m s = s, s +,..., s, s Spinn inkluderes i notasjonen av bølgefunksjonen på følgende måte: = ψ nlm r, φ, θ)χ ms ψ nlmms Dette er ikke et vanlig produkt, men symboliserer hva bølgefunksjonen består av. χ oppfyller: ˆ S χ = ss + ) χ Ŝ z χ = m s χ Det faktum at elektronet har spinn medfører spinn-banekobling. Elektronets spinn-angulærmoment vekselvirker med strømsløyfen satt opp av protonet og medfører ytterligere oppsplitting av energinivåene, men denne korreksjonen er liten i atomer: Ĥ LS = µ s B int = konstant L S..4 Addisjon av angulærmoment Har sett at L og S er svakt koblet. Derfor er de strengt tatt ikke kvantisert/bevart uavhengig av hverandre. Det er derimot summen J = L + S totalt angulærmoment). Reglene for å addere er de samme enten vi adderer to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Vi har følgende regler: J = jj + ), J z = m j, j = l s, l s +,..., l + s m j = j, j +,..., j Vi har tre spinnkombinasjoner som er symmetriske, og utgjør tripleten for spinn /-partikler: {, }, {, }, {, } + {, } Den antisymmetriske kombinasjonen kalles singlet, og lyder: {, } {, } Dette er summen av spinn for to spinn /-partikler...5 Flerpartikkelsystemer Felles bølgefunksjon Ψx, x, t). Sannsynlighetstettheten er gitt ved Ψx, x ). Schrödingerligningen er en energiligning, så for to partikler inngår summen av de to partiklers kinetiske energi: m x ) m x ψx, x )+ Ux, x )ψx, x ) = Eψx, x ) Potensiell energi kan være både eksternt potensiale og vekselvirkning mellom partiklene. To muligheter: Bare eksternt potensiale: Ux, x ) = Ux ) + Ux ). Vekselvirkning mellom partiklene: Ux, x ) Ux ) + Ux ). For to ikkevekselvirkende ikke identiske) partikler har vi: ψx, x ) = ψ a x )ψ b x ) E = E a + E b I kvantemekanikken kan vi ikke skille mellom identiske partikler, for eksempel to elektroner. Det betyr at vi må ha: ψx, x ) = ψx, x ) ψx, x ) = αψx, x ), α = I 3D er kun α ± tillatt. α = + gir bosoner med heltallig spinn, α = gir fermioner med halvtallig spinn. Skal bølgefunksjonen beskrive fermioner må vi derfor konstruere en antisymmetrisk bølgefunksjon det er dette som kalles α = ). Da må enten romdelen være symmetrisk og spinndelen være antisymmetrisk, eller romdelen være antisymmetrisk og spinndelen symmetrisk. Symmetrisk romdel: Antisymmetrisk: ψ S = ψ a x )ψ b x ) + ψ a x )ψ b x ) ψ A = ψ a x )ψ b x ) ψ a x )ψ b x ) For spinndelen, se seksjonen om spinn. Paulis eksklusjonsprinsipp Dersom a = b blir ψ A =. Det gjør at eneste mulighet for fermioner er symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel. Altså kan to identiske fermioner aldri ha samme sett kvantetall, dvs kan aldri være i samme en-partikkeltilstand. Bosoner har ingen slik begrensning. Hunds regel Ved fylling av underskall dvs en gitt verdi på l, for eksempel en p-orbital), foretrekker spinnene å være i en symmetrisk tilstand; fyller opp ulike m l først. Dette minimerer Coulombenergien ved hjelp av exchange. Exchange-vekselvirkning En ren kvanteeekt som gjør at identiske partikler med symmetrisk romlig bølgefunksjon har en tendens til å være litt nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk romlig bølgefunksjon. Anta at vi har to partikler i tilstand ψ a og ψ b. Denerer så avstanden x) = x x ). Får da: x) S = x) ii x ab 3
x) A = x) ii + x ab x ab = ψaxψ b dx ii indikerer ikke-identiske partikler. Korreksjonen x ab forsvinner dersom overlappet mellom ψ a og ψ b er null, så det er ikke nødvendig å ta hensyn til anti)symmetrisering hvis partiklene er langt fra hverandre. 3 Molekyler Bindingstyper: Ionebinding sterkest): Coulombtiltrekning mellom motsatt ladde ioner. Eks.: NaCl. Kovalent binding: Atomer deler elektroner. Eks: H. To elektroner i singlettilstand i felles s-orbital. Hydrogenbinding: H + mellom to negative ioner; for eksempel HF. Van der Waals-binding: Dipol-dipol-vekselvirkning mellom molekyler. Molekylers vibrasjon og rotasjon: Bidrag til molekylers indre energi er elektronisk orbitalene i enkeltatomer, modi- sert - er komplisert), rotasjon og vibrasjon. Har da E = E el + E rot + E vib. 3. Rotasjon Ser på et diatomisk molekyl, rotasjon rundt massesenteret. Klassisk utledning av rotasjonsenergien gir: E rot = I kvantemekanikken får vi da: E rot = L I cm I cm ll + ) l =,,... kalles rotasjonskvantetallet. For to identiske atomer er l partall eller. Et diatomisk molekyl har to ikke tre) uavhengige rotasjonsakser. Rotasjon rundt molekylets akse bidrar ikke til spekteret fordi atomene har så liten utstreknig av treghetsmomentet er tilnærmet. 3. Vibrasjon Eektivt potensiale mellom atomene i molekylet tilnærmes med harmonisk oscillatorpotensialet. Et gir: E vib = n + ) ω, n N n kalles rotasjonskvantetallet, og E kalles nullpunktsenergien og denne vibrasjonen er alltid tilstede. Energinivåene øker lineært, der E vib E rot typisk. I tillegg er E vib kt som gjør at termisk eksitasjon av vibrasjon ikke skjer. Rotasjon eksiteres mye lettere. 3.3 Molekylspektra Ikke alle overganger i rot-vib-spekteret er tillat. har følgende føringer: l l = n n = Kan altså ikke ha rene vibrasjons- og rotasjonsoverganger. 3.3. Nyttige bemerkninger Et sett av egenverdier {λ n } til en operator kalles operatorens spektrum. Dersom to eller ere egenfunksjoner har samme egenverdi sier vi at tilstanden er degenerert. To operatorer som kommuterer med hverandre kan bestemmes skarpt samtidig, det vil si ha felles egenfunksjoner. Kalles kompatible variable. To operatorer som ikke kommuterer kan ikke bestemmes skarpt samtidig. Kalles ikke-kompatible. Det nnes en uskarphetsrelasjon for hvert par av ikke-kompatible variable. Har nemlig den nære sammenhengen: σ Aσ B [Â, ˆB] ) i Vi stiller følgende matematiske krav til ψ: Når man skal skjøte sammen bølgefunksjoner, det vil si løsninger av Schrödingerligningen for forskjellige potensial, må ψx) være kontinuerlig i skjøtepunktet. Tilsvarende som over må dψ/dx være kontinuerlig i dette punktet. Dette kravet gjelder ikke dersom det ene potensialet i skjøten går mot uendelig. Bølgefunksjonen må være normerbar, det vil si at den må gå mot i grensene når x ±. 3.4 Løste problemer 3.4. Uendelig brønn Har denert potensialet: {, dersom x a V x) =, ellers Dette gir løsningene: ψ n x) = a sin nπ a x ) E n = n π ma, n N De har følgende egenskaper: De er vekslende odde og like med hensyn på senteret av brønnen: ψ er lik, ψ er odde og så videre. Når man går opp i energi har hver tilstand en mer node: ψ har ingen, ψ har og så videre. 4
De er ortogonale, det vil si: ψ mx)ψ n x) dx = δ mn δ mn = 3.4. Harmonisk oscillator Har denert potensialet: Grunntilstanden er gitt ved: ψ x) = {, dersom m n, dersom m = n V x) = mω x mω ) /4 e mω x π De resterende er gitt ved heve- og senkeoperatorer denert ved: a ± = ip + mωx) mω Slik at: ψ n = n! a + ) n ψ De tilhørende energinivåene er gitt ved: E n = n + ) ω, n N 3.4.3 Fri partikkel Ved innsetting V x) = i Schrödingerligningen fåes en planbølge med skarp k: ψx) = Ae ikx + Be ikx Denne er slik den står ikke normaliserbar. Triks: Putt partikkelen på en sirkel slik at ψ) = ψa). Den er da normaliserbar og vi kan la a. 3.4.4 Partikkel i endelig boks Har nå denert potensialet: { V, dersom a x a V x) =, dersom x > a V er her en denert positiv størrelse. Deler så inn området i 3 suksessivt, Det gir: ψ I x) = Ae κx, x a ψ II x) = C sinlx) + D coslx) ψ III x) = Be κx, x a Her er: m En κ = Må så ta hensyn til kontinuitetskravene både at ψx) og dψ/dx skal være kontinuerlig). For like symmetriske) løsninger: C =, D. Dette gir ligningen: κ = l tanla) Her er: mv E n ) l = De odde antisymmetriske) løsningen gir tilsvarende betingelsen: l cotla) = κ Dette er trancedentale ligninger og må løses numerisk eller grask. Ut fra disse ligningene kommer de tillatte energinivåene. 3.4.5 Potensialbarriere tunnelering) Denerer potensialet: { V, dersom x L område I og III) V x) =, ellers område II) Antar så < E < V. Schrödingerligningen gir da: ψ I x) = Ae ikx + Be ikx ψ II x) = Ce κx + De κx ψ III x) = F e ikx + Ge ikx me k = mv E) κ = Antar ingen innkommende bølge fra høyre G = ). Denerer så reeksjonskoesienten R og transmisjonskoesienten T: R = B A T = F A Ved kontinuitetskrav får man: T = [cosh κl) + k κ ) 4κ k ] sinh κl) Det betyr at T > for E < V, som betyr at tunnelering forekommer. 3.4.6 Hydrogenatomet Har nå Coulombpotensialet: V r) = e 4πɛ r Setter denne inn i radialligningen. Løsningene klassiseres av et tredje kvantetall, n, hovedkvantetallet, med føringene n N, l < n. Energispekteret får følgende form: E n = m ee 4 4πɛ ) n 5
Her er det mange tilstander med samme energi ulike l og m for gitt n). Finner sådegenerasjonsgraden: For hver l er det l + muligheter for hva kvantetallet m kan være. Det gir: n dn) = = l= n l + = nn ) l= + n = n n l + l = gir kulesymmetrisk elektronsky, l > gir ikke en kulesymmetrisk elektronsky. Vi har ogsåoperatorer for angulærmoment: ˆL = [ sin θ ˆL z = i φ = m ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Hva kan kvantetallene være? sin θ ) + θ θ sin θ l= n N, l {N l < n}, l m l ] φ = ll + ) n er kvantifisering av energi E n, l er kvantisering av størrelsen påangulærmomentet og m er kvantisering av z-komponenten til angulærmomentet. Videre kan de tre relasjonene for egenfunksjoner være nyttige. 4 Nyttige matematiske relasjoner Sfæriske koordinater: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ dxdydz = r sin θ drdφdθ Naturlige tall: N = {,, 3,...} N = {,,, 3,...} 5 Nyttige fysiske konstanter hc = 4 evnm c = 97.3 evnm m e =.5 MeV/c Ĥψ nml l = Êψ nm l l ˆL ψ nml l = ll )ψ nml l ˆL z ψ nml l = mψ nml l 3.4.7 Stern-Gerlach-eksperimentet Et hydrogenatom i et inhomogent B-felt forventer man avbøyning grunnet hydrogenatomets dipolmoment: µ = e m e ˆ L Dette fordi en dipol vil påvirkes av en kraft som er proposjonal med L z = m. Forventer da en linje påskjermen ved l = m =. Det ble derimot observert to linjer. Forklaring: Elektronets egenspinn. 3.4.8 Zeemaneffekt Dersom et hydrogenatom beveger seg i et homogent B-felt før Hamiltonoperatoren et tilleggsledd grunnet hydrogenets dipolmoment. Velger B-feltet til åvære i z-retningen. Da blir den nye Hamiltonoperatoren: Ĥ = Ĥ µ B = m + V r) + eb m e L z Det gir at energispekteret endres: E ny = E gammel + eb m e L z = E gammel + eb m e m Den normale Zeemaneffekten er nettopp at energien ikke lenger bare er avhengig av n, men ogsåav m slik at degenerasjonen splittes opp i B-feltet. Dette fører igjen til oppsplitting av spektrallinjene. Ved l = er m =, såher skal det ikke bli noen oppsplitting av spektrallinjene. I praksis er oppsplittingen enda litt mer komplisert pågrunn av spinn. 6