Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4. juni 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Oppgave 1 10 menn og 10 kvinner skal søke opptak ved et studium. Opptaket skjer i to runder. I første runde skal 4 menn og 6 kvinner søke, og i andre runde skal de som ikke søkte i første runde søke. I første runde tas det opp 3 studenter, mens ytterligere 7 blir tatt opp i andre runde. Vi antar at alle søkere har lik sjanse til å bli tatt opp i hver runde. a) Finn sannsynligheten for at 2 menn blir tatt opp i første runde. Finn sannsynligheten for at minst 5 menn blir tatt opp i andre runde. b) Finn sannsynligheten for at minst 5 menn blir tatt opp totalt. Er denne prosedyren kjønnsdiskriminerende? Grunngi svaret og prøv å peke på eventuelle årsaker til dette. 1
Oppgave 2 En aksje har idag en startkurs på 400 kr. Forventet avkastning er α = 15%, bankrenten r = 5% (kontinuerlig rente), og volatiliteten β = 12%. a) Finn prisen på en kjøpsopsjon på denne aksjen med en innløsningskurs på 390 kr om T = 1 år. En (europeisk) salgsopsjon er en rettighet (men ikke en plikt) til å kunne selge en aksje til en avtalt pris (innløsningskurs) etter en avtalt tid T. En slik opsjon gir en muligheter til å tjene penger hvis kursene faller. b) Vi vil sammenlikne to ulike kontrakter. Kontrakt 1 består av 1 salgsopsjon og 1 aksje. Kontrakt 2 består av 1 kjøpsopsjon og et bankinnskudd B. Begge de to opsjonene har en innløsningskurs på 390 kr, og størrelsen på bankinnskuddet er gitt ved B = innløsningskurs e rt Se bort fra transaksjonskostnader, og vis/forklar at de to kontraktene utbetaler nøyaktig samme beløp ved tid T uansett hvilken verdi vi har på den tilfeldige variabelen K T (aksjekursen ved tid T ). Hint: Del opp i to tilfeller, og ta hensyn til at du får renter på bankinnskuddet. c) Siden de to kontraktene i b) gir samme utbetaling, må de ha samme pris. Bruk dette til å finne prisen på en salgsopsjon på denne aksjen til en innløsningskurs på 390 kr om 1 år. d) Forventet avkastning blir nedjustert til α = 5%. Hva skjer med prisen på opsjonene i dette tilfellet? Finn sannsynligheten for at verdien til salgsopsjonen er minst 8 kr. Oppgave 3 Vi har testet effekten av et opplæringstiltak, og produksjonen til hver enkelt arbeider ble observert før og etter opplæring. Resultatene er vist under, der X angir produksjonen til arbeiderne før opplæring og Y angir produksjonen etter opplæring. Resultatene er listet slik at produksjonen til arbeider nr 1 finnes i posisjon 1, produksjonen til arbeider nr 2 finnes i posisjon 2, osv. X : 12 11 15 17 12 14 15 11 12 14 11 11 15 12 56 Y : 20 21 20 19 18 22 20 18 18 17 19 22 17 19 19 For å undersøke om opplæringen har hatt effekt, har vi først utført en ensidig t-test for parrede observasjoner, deretter har vi gjennomført en ensidig Wilcoxon rangtest for parrede observasjoner på de samme dataene. a) Hvorfor kan vi benytte ensidige tester i denne situasjonen? Hva er nullhypotesen og hva er den alternative hypotesen i de to testene over? b) P-verdien til t-testen var 0.1353 og P-verdien til Wilcoxon testen var 0.005679. Hvilke konklusjoner kan du trekke fra de to testene? Bruk 5% signifikansnivå. c) De to testene gir motstridende svar. Hvilken konklusjon vil du trekke samlet sett? Begrunn svaret. Hint: Studer de observerte tallparene. Ser du noe system? 2
Oppgave 4 Du skal forvalte en fiskebestand og trenger å estimere bestandens evne til vekst. benytter følgende modell Du B t = α + β B t F t + ɛ t I denne modellen er B t størrelsen på bestanden ved tid t, B t = B t+1 B t, F t er oppfisket kvantum i år t, α og β er konstanter, og ɛ t antas å være uavhengige, normalfordelte med forventning null og konstant varians. a) Vi bruker MINITAB til å lage en lineær regresjon av bruttovekst = B t + F t mot bestand = B t. Resultatet av kjøringen er vist i vedlagte utskrifter. Vurder i hvilken grad disse dataene oppfyller betingelsene i regresjonsmodellen. b) Tallet 0.938 i utskriften er P-verdien til en test av hypotesene: H 0 : α = 0 mot H A : α 0. Hvilken konklusjon vil du trekke av testen? Er dette noe vi kunne regnet med? Hvilken praktisk tolkning vil du gi til tallet 0.26234? c) Vi har også laget en regresjon av fangstjustert bestand = B t+1 + F t mot bestand = B t. Resultatene er vist i vedlagte utskrifter. Er denne modellen bedre egnet til å belyse bestandens evne til vekst? 3
Regression Analysis: bruttovekst versus bestand The regression equation is bruttovekst = - 438 + 0,262 bestand Predictor Coef SE Coef T P Constant -438 5495-0,08 0,938 bestand 0,26234 0,06322 4,15 0,003 S = 2655,31 R-Sq = 68,3 4
Regression Analysis: fangstjustert bestand versus bestand The regression equation is fangstjustert bestand = - 437 + 1,26 bestand Predictor Coef SE Coef T P Constant -437 5496-0,08 0,939 bestand 1,26233 0,06322 19,97 0,000 S = 2655,47 R-Sq = 98,0 5
Fasit/Løsningsforslag MET040 Vår 2008 Oppgave 1 Vi lar X betegne antall menn som blir tatt opp i første runde og Y antall menn som blir tatt opp i andre runde. Vi har generelt a) ( 4 6 ) ( 6 4 ) P (X = x) = x)( 3 x y)( 7 y ) P (Y = y) = ) ( 10 3 P (X = 2) = ( 4 )( 6 2( 1) 10 ) = 0.3 3 P (Y 5) = P (Y = 5) + P (Y = 6) = 1/3 b) I andre opptak blir minst 3 menn tatt opp, så P (Y 3) = P (Y 2) = P (Y 1) = 1. P (X + Y 5) = P (X = 0)P (Y 5) + P (X = 1)P (Y 4) ( 10 7 + P (X = 2)P (Y 3) + P (X = 3)P (Y 2) + P (X = 4)P (Y 1) = 80.56% Mennene har en klart bedre sjanse til å bli tatt opp. Opplegget er kjønnsdiskriminerende fordi opptaksreglementet favoriserer menn. Årsaken er at flertallet av mennene får lov til å søke i andre runde der sjansen til å bli tatt opp er mye bedre enn i første runde. Oppgave 2 a) Vi bruker Black og Scholes prisingsformel og finner Det gir R = ln[390/400] + (1/2 0.12 2 0.05) 1 = 0.06812 S = 0.12 1 = 0.12 V = 400(1 G[ 0.69]) 390e 0.05 (1 G[ 0.57]) = 400 G[0.69] 390e 0.05 G[0.57] = 400 0.7549 390e 0.05 0.7157 = 36.45 b) Etter T år med kontinuerlig rente r, er verdien av et bankinnskudd på 390e rt kr lik 390 kr. Hvis K T 390, så er salgsopsjonen verdiløs og verdien av kontrakt 1 lik 0 + K T = K T 6
Verdien av kjøpsopsjonen er K T 390 i dette tilfellet, og den samlede verdien av kontrakt 2 blir (K T 390) + 390 = K T Hvis K T 390, så er verdien av salgsopsjonen 390 K T, og den samlede verdien av kontrakt 1 blir (390 K T ) + K T = 390 Kjøpsopsjonen er verdiløs i dette tilfellet, så verdien av kontrakt 2 blir 0 + 390 = 390 Vi ser at verdien av kontrakt 1 og kontrakt 2 blir den samme uansett hva som skjer. c) Vi kaller prisen på salgsopsjonen for W. Siden vi kan kjøpe aksjen for 400 kr, blir prisen på kontrakt 1 lik W+400. Kjøpsopsjonen koster 36.45 kr, og et bankinnskudd på 390e 0.05 = 370.98 kr koster naturligvis akkurat dette beløpet. Siden de to kontraktene har samme pris, får vi likningen ( ) W + 400 = 36.45 + 370.98 Løser vi denne likningen, finner vi W = 7.43 (kr). Merknad: Likningen (*) omtales i gjerne i litteraturen som Put/Call paritet. d) Prisen på opsjonene avhenger ikke av forventet avkastning, så de blir uendret. Skal vi tjene minst 8 kr på salgsopsjonene, må kursen på aksjen være høyst 382 kr etter 1 år. Vi må finne hvilke verdier av X T som gir 400e (α 1/2β2 )T +βx T 382 En standard mellomregning gir at dette inntreffer hvis og bare hvis X T 0.09 Siden X T er normalfordelt med forventing µ = 0 og varians σ 2 = T = 1, er Oppgave 3 P (K T 382) = P (X T 0.09) = G[0.09] = 53.59% a) Det er urimelig at et opplæringstiltak fører til lavere produksjon. En eventuell systematisk endring kan bare trekke i positiv retning, og da kan vi bruke ensidige tester. H 0 : Forventet produksjon er lik før og etter opplæring H A : Forventet produksjon er større etter opplæring 7
(de to testene har de samme hypotesene). b) t-testen: Her er P-verdien stor, og vi beholder derfor nullhypotesen om lik forventet produksjon. Vi kan ikke konkludere at opplæringstiltaket har hatt effekt. Wilcoxon testen: Siden P-verdien er svært liten, forkaster vi nullhypotesen om lik forventning og konkluderer at opplæringstiltaket høyst sannsynlig har hatt effekt. c) Fra de observerte tallparene ser vi at med unntak av det siste tallparet har alle arbeiderne forbedret produksjonen med flere enheter. Det siste tallparet er svært ulikt de andre og drar konklusjonen i motsatt retning. Enten er det siste tallparet tastet inn feil, eller så er data sannsynligvis ikke normalfordelte. I begge tilfeller blir konklusjonen at vi bør bruke resultatet fra Wilcoxon testen. En generell fordel med Wilcoxon testen er at den ikke er like følsom for såkalte uteliggere (veldig avvikende observasjoner) som t-testen. Her blir konklusjonen at opplæringen høyst sannsynlig har hatt effekt. Oppgave 4 a) Data har relativt stor spredning omkring regresjonslinjen, men det behøver i og for seg ikke være noe problem. Histogrammet er ikke vesensforskjelling fra normalfordelingen. Normalscoreplottet er rimelig rettlinjet, og residualene er rimelig homogene uten klare trender. Antall datapunkter er beskjedent, og vi kan ikke regne med noe bedre enn dette med så få observasjoner. Vi konkluderer at betingelsene for regresjonsmodellen er oppfylt i akseptabel grad. b) Siden P-verdien er svært høy, kan vi ikke forkaste en nullhypotese om at α = 0. Det er rimelig i denne situasjonen. Hvis bestanden er nær null og vi ikke fisker, må endringen i bestanden være helt marginell. Det tilsvarer at α = 0; vi kan ikke få vesentlig vekst/fall i denne situasjonen. Tallet 0.26234 er bestandens prosentvise evne til vekst. Hvis vi ikke fisker, vil vi forvente at bestanden øker med ca 26% årlig. c) Vi ser at data tilsynelatende har mindre spredning omkring regresjonslinja, og at forklaringskraften øker fra 68.3% til 98.0%. Denne effekten er imidlertid rent kosmetisk og gir ikke ny innsikt. Det er ikke overaskende at størrelsen på bestanden året før har stor betydning for størrelsen på bestanden året etter. Det er derfor apriori opplagt at forklaringskraften i den siste modellen må ligge nær 100%. Vi trenger knapt å gjøre observasjoner for å fastslå det, så tallet 98% er uten praktisk verdi. Tallet 68.3% er vesentlig mer informativt ettersom det sier at andre forhold forklarer ca 1/3 av variasjonen i data. Denne informasjonen hadde vi mistet om vi bare hadde kjørt den siste modellen. Ser vi på residualplottene, oppdager vi raskt at spredningen er akkurat like stor som før. I den første modellen studerer vi bestandens prosentvise evne til vekst direkte, mens denne størrelsen bare inngår indirekte i den siste modellen. I den siste modellen oppnår vi altså ikke noe annet enn å tilsløre spredningen i data, og den er på ingen måte bedre enn den første modellen, tvert imot. 8