Elektrisitetslære. Hermann Lia

Elektrisitetslære Hermann Lia 23 februar 2009

ISBN 978-82-997795-0-1 2. utgave 2009

3 Forord Denne boken er skrevet for å dekke pensum i elektrisitetslære ved de norske ingeniørhøgskolene. Når en ny bok skrives er det alltid et spørsmål om hvilke emner som skal være med. Utvalget i denne boken er gjort ut fra erfaring med undervisning i faget i mange år. Det er ikke viktig å ha med mange emner. Men det er viktig å ha med de emnene som i særlig grad danner grunnlaget for hele faget. En trenger ikke kunne mange ting, hvis en bare kan de rette tingene veldig godt. Livserfaring viser at det er bedre å kunne én ting skikkelig enn to halvveis. Dette faget er tuftet på noen få, men viktige begreper. Vi snakker om grunnlaget for elektrisitetslære i kapittel 14. Dette oppfattes som abstrakt og vanskelig, og det er helt normalt. Abstrakte teorier må læres gjennom en modningsprosess. Modning tar tid, og det må en bare akseptere. En kan si at tiden i seg selv er en viktig resurs for læring. Først må en lære å ikke gi opp. Deretter må en få en riktig holdning til det å lære vanskelige ting. Alle opplever å lese noe en ikke skjønner. En må forstå at det i seg selv er en gave, for det gir jo en anledning til å lære noe en ikke kan. Men det beste er den gode følelsen som kommer når en skjønner det som har vært vanskelig i lang tid. Inspirasjon er viktig. Innledningen til denne boken gir en enkel historisk oversikt over elektromagnetismens utvikling frem til 1900 tallet. Håpet er at det vil gi inspirasjon til å lære noe av det fineste i fysikken. Jeg ønsker lykke til! 1 Sandefjord 23 februar 2009 Hermann Lia 1 Sportsveien 20 C 3224 Sandefjord Tlf: 97644932 email: hermann.lia@sfjbb.net

4

Innhold 1 En historisk oversikt 11 1.1 Elektriske ladninger..................................... 11 1.2 Coulomb s lov......................................... 11 1.3 Gravitasjon.......................................... 11 1.4 Magnetiske poler....................................... 12 1.5 Biot Savart s lov....................................... 12 1.6 Elektromagnetisme...................................... 12 1.7 Strømmer og magnetisme er relative............................ 13 1.8 Atomer er elementærmagneter............................... 13 1.9 Lorenzkraft.......................................... 13 1.10 Faraday s induksjonslov................................... 13 1.11 Lenz lov............................................ 14 1.12 Sammendrag......................................... 14 2 Innledning 15 2.1 Måleenheter.......................................... 15 2.1.1 Koherent målesystem................................ 16 2.1.2 Grunnenheter..................................... 16 2.1.3 Avledede enheter................................... 16 2.1.4 Arbeid og energi................................... 17 2.1.5 Prefikser og fysiske konstanter........................... 17 2.2 Definisjoner.......................................... 17 2.2.1 Symboler for spenning og strøm........................... 17 2.2.2 Elementære kretselementer............................. 18 2.2.3 Aktive og passive komponenter........................... 18 2.3 Elektrisk strøm........................................ 19 2.3.1 Grunnstoffet kobber................................. 19 2.3.2 Elektrisk leder.................................... 19 2.3.3 Definisjon av elektrisk strøm............................ 20 2.3.4 Strømkilder...................................... 20 2.4 Elektrisk spenning...................................... 20 2.4.1 Symboler for spenningskilder............................ 22 2.5 Resistans og Ohm s lov................................... 22 2.5.1 Motstand....................................... 23 2.5.2 Effektbegrensning i motstander........................... 23 5

6 INNHOLD 2.5.3 Kull-masse motstander................................ 23 2.5.4 Kull-skikt motstander................................ 23 2.5.5 Metall-film motstand................................. 24 2.5.6 Temperaturavhengighet............................... 24 2.5.7 Konduktans...................................... 24 2.5.8 Ohm s lov....................................... 24 2.5.9 Motstand ved høye frekvenser.......................... 25 2.5.10 Støyspenning fra en resistans........................... 25 2.5.11 Fargekoding av motstander............................. 26 2.5.12 Standardverdier av motstander........................... 27 2.6 Effekt og energi........................................ 27 2.6.1 elektronvolt...................................... 28 2.6.2 Valg av polaritet................................... 28 2.7 Decibel (db)........................................ 29 2.8 GSM telefon........................................ 30 2.9 Fysiske modeller....................................... 31 2.9.1 Definisjonen av elektrisk strøm........................... 31 2.9.2 Lineære komponenter................................ 31 2.9.3 Ulineære komponenter................................ 32 2.9.4 Konsentrerte parametre............................... 32 2.9.5 Distribuerte parametre................................ 32 2.10 Oppgaver........................................... 33 2.11 Fasit.............................................. 34 3 Likestrømkretser 37 3.1 Definisjoner.......................................... 37 3.2 Seriekretser.......................................... 38 3.2.1 Ohm s lov i en seriekrets.............................. 38 3.2.2 Spenningskilder i serie................................ 38 3.2.3 Kirchhoff s spenningslov............................... 39 3.2.4 Seriekrets....................................... 39 3.2.5 Enkel spenningsdeler................................. 40 3.2.6 Spenningsdeling over resistanser.......................... 40 3.2.7 Effekt i en seriekrets................................. 40 3.3 Parallellkretser........................................ 41 3.3.1 Kirchhoff s strømlov................................. 41 3.3.2 Parallellkobling av resistanser............................ 41 3.3.3 Parallellkobling av to motstander.......................... 42 3.3.4 Strømdeling mellom to resistanser......................... 42 3.3.5 Summering av strømkilder.............................. 42 3.3.6 Effektomsetning i en parallellkrets......................... 42 3.4 Serie-parallellkretser..................................... 43 3.4.1 Spenningsdeler med resistiv last.......................... 43 3.4.2 Balansert Wheatstone s bro............................. 43 3.4.3 Måling av resistans med Wheatstone s bro..................... 44 3.5 Oppgaver........................................... 44

INNHOLD 7 3.6 Fasit.............................................. 48 4 Kretsteoremer 53 4.1 Kilder............................................. 53 4.1.1 Modell av kilder................................... 53 4.1.2 Transformasjon av kilder.............................. 53 4.2 Superposisjonsprinsippet................................... 54 4.3 Kretsteoremer......................................... 55 4.3.1 Thévenin s teorem.................................. 56 4.3.2 Norton s teorem................................... 57 4.3.3 Millman s teorem................................... 59 4.3.4 Maksimal effekt teoremet.............................. 59 4.4 Oppgaver........................................... 60 4.5 Fasit.............................................. 63 5 Analyse av elektriske kretser 67 5.1 Maskestrømmetoden..................................... 68 5.2 Grenstrømmetoden...................................... 69 5.2.1 Cramer s regel................................... 70 5.3 Nodespenningsmetoden................................... 70 5.4 Oppgaver........................................... 72 5.5 Fasit.............................................. 75 6 Vekselspenning og vekselstrøm 79 6.1 Definisjoner.......................................... 79 6.2 Sirkulære spenninger..................................... 80 6.2.1 Reelle spenninger................................... 80 6.2.2 Basis for sirkulære spenninger............................ 81 6.2.3 Basis for komplekse spenninger........................... 81 6.2.4 Kompleks amplitude og viser............................ 82 6.2.5 Alternativ definisjon................................. 83 6.2.6 En utfyllende forklaring............................... 83 6.2.7 Addisjon av to spenninger med samme frekvens.................. 84 6.3 Kirchhoff s lover....................................... 85 6.4 Tidsdomenet......................................... 85 6.5 Frekvensdomenet....................................... 86 6.6 Generering av vekselspenning................................ 86 6.7 Aritmetisk middelverdi.................................... 87 6.8 Kvadratisk middelverdi................................... 87 6.9 Vekselspenning over en resistans.............................. 88 6.9.1 Beskrivelse av cosinusspenning........................... 89 6.9.2 Beskrivelse av sinusspenning............................ 89 6.10 Fase.............................................. 90 6.10.1 Spenningene v 1 og v 2 med v 1 som referanse.................... 90 6.10.2 Spenningene v 1 og v 2 med v 2 som referanse.................... 91 6.11 Oppgaver........................................... 92

8 INNHOLD 6.12 Fasit.............................................. 94 7 Magnetisme 97 7.1 Kraftvirkningen fra en permanentmagnet......................... 97 7.2 Elektromagnetisme...................................... 97 7.3 Lorenz kraftlov........................................ 98 7.3.1 Biot-Savart s lov................................... 99 7.4 Definisjoner.......................................... 99 7.4.1 Magnetisk flukstetthet B.............................. 99 7.4.2 Magnetisk fluks Φ.................................. 99 7.4.3 Magnetisk feltstyrke H............................... 100 7.4.4 Magnetomotorisk spenning F m........................... 100 7.5 Ohm s lov for magnetiske kretser.............................. 100 7.6 Magnetiske materialer.................................... 101 7.6.1 Paramagnetisme................................... 101 7.6.2 Diamagnetisme.................................... 102 7.6.3 Ferromagnetiske materialer............................. 102 7.7 Magnetisk hysterese..................................... 102 7.8 Oppgaver........................................... 103 7.9 Fasit.............................................. 104 8 Induktive komponenter 107 8.1 Definisjon av induktivitet.................................. 107 8.1.1 Induktiv reaktans.................................. 107 8.2 Induktanser i serie...................................... 109 8.3 Parallelkobling av induktanser................................ 109 8.4 Energien i en induktans................................... 110 8.5 Gjensidig induksjon..................................... 110 8.5.1 Koblingsfaktoren k.................................. 111 8.5.2 Prikknotasjon og polaritet.............................. 111 8.6 Transformator......................................... 111 8.6.1 Transformatorens virkemåte............................. 112 8.6.2 Ideell transformator................................. 112 8.6.3 Beregning av maksimal induksjon.......................... 113 8.7 Tap i transformatorer.................................... 113 8.7.1 Kobbertapene..................................... 113 8.7.2 Spredningstap.................................... 114 8.7.3 Jerntap........................................ 115 8.7.4 Virvelstrømtap.................................... 115 8.7.5 Virvelstrømmer i en transformatorkjerne...................... 116 8.7.6 Hysteresetap..................................... 116 8.7.7 Totale jerntap..................................... 117 8.8 Ekvivalent skjema...................................... 117 8.9 Induktansen til en rett leder................................. 119 8.10 Oppgaver........................................... 122 8.11 Fasit.............................................. 123

INNHOLD 9 9 Kondensatorer 127 9.1 Kondensator og kapasitans................................. 127 9.2 Kondensator med luft.................................... 127 9.3 Kondensator med dielektrikum............................... 128 9.4 Seriekobling av kondensatorer................................ 129 9.5 Parallellkobling av kondensatorer.............................. 129 9.6 Kondensator i vekselstrømkretser.............................. 129 9.7 Energi i en kondensator................................... 130 9.8 Oppgaver........................................... 130 9.9 Fasit.............................................. 131 10 RC kretser 133 10.1 Serie RC krets........................................ 133 10.1.1 Den komplekse impedansen............................. 133 10.1.2 Den komplekse admitansen............................. 133 10.2 Parallell RC krets....................................... 134 10.3 Lavpassfilter med R og C.................................. 137 10.3.1 Frekvensresponsen.................................. 137 10.3.2 Nyquist plot..................................... 137 10.3.3 Bode plot....................................... 138 10.4 Oppladning av kondensator................................. 138 10.5 Utladning av kondensator.................................. 139 10.6 Tidskonstanten........................................ 139 10.7 Effekt i vekselstrømkretser.................................. 139 10.8 Oppgaver........................................... 142 10.9 Fasit.............................................. 144 11 RL kretser 149 11.1 RL seriekrets......................................... 149 11.2 RL parallelkrets........................................ 150 11.3 Første ordens høypassfilter med RL............................. 151 11.4 Tidskonstant i RL kretser.................................. 152 11.5 Oppgaver........................................... 153 11.6 Fasit.............................................. 154 12 RLC kretser 159 12.1 Serie resonans......................................... 159 12.1.1 Definisjon av båndbredde.............................. 161 12.2 Parallell resonans....................................... 162 12.3 Modell av en motstand.................................... 163 12.3.1 Resonansfrekvensen................................. 164 12.4 Andre ordens lavpassfilter.................................. 164 12.5 Impedansbro......................................... 165 12.6 Maxwell s bro......................................... 166 12.7 Oppgaver........................................... 166 12.8 Fasit.............................................. 168

10 INNHOLD 13 Trefase 173 13.1 Generering av tre faser.................................... 173 13.2 Fasespenninger som visere.................................. 174 13.3 Linjespenninger........................................ 175 13.4 Y-kobling........................................... 175 13.4.1 Returstrøm i en Y-kobling............................. 176 13.4.2 Effekt i Y-kobling.................................. 176 13.4.3 Formler for Y-kobling................................ 177 13.5 -kobling........................................... 178 13.5.1 Effekt i -kobling.................................. 178 13.5.2 Formler for -kobling................................ 179 13.6 (Y ) omregning..................................... 179 13.7 per-fase skjema........................................ 180 13.7.1 Beregning av per-fase skjema............................ 181 13.7.2 -kobling med symetrisk last........................... 182 13.8 Symetrisk last......................................... 182 13.9 Overføringstap........................................ 183 13.10Fordelingsnett......................................... 183 13.11IT nett............................................ 184 13.12TT nett............................................ 184 13.13TN nett............................................ 185 13.14oppgaver............................................ 185 13.15Fasit.............................................. 188 14 Elektrisk felt, potensial og strøm 195 14.1 Elektrisk ladning....................................... 195 14.1.1 Materiens oppbygning................................ 195 14.2 Coulombs lov......................................... 196 14.3 Elektrisk feltstyrke...................................... 196 14.3.1 Feltstyrken fra en punktladning........................... 197 14.4 Elektrisk potensial og elektrisk spenning.......................... 198 14.4.1 Potensialfeltet fra en punktladning......................... 198 14.4.2 Potensialfeltet mellom to parallelle plater..................... 198 14.5 Elektrisk strøm........................................ 199 14.5.1 Konvensjonelle strømretning............................ 200 14.5.2 Strømtetthet J.................................... 200 14.6 Oppgaver........................................... 201 14.7 Fasit.............................................. 201

Kapittel 1 En historisk oversikt Magnetisme har vært kjent som fysisk fenomen helt siden oldtiden. I oldtidsbyen Magnesia i Lilleasia fant de jernmalm med den egenskapen at den tiltrekker seg noen bestemte stoffer. Det var kraftvirkningen mellom jernmalmen og disse andre stoffene som var oppsiktsvekkende. Til tross for en avstand og med bare luft mellom, virket jernmalmen med en kraft. Grekerne fant også at stoffer som rav, kler, strå, menneskehår og lignende kunne utøve kraftvirkninger på små gjenstander. I dag kaller vi det elektriske krefter. De fant at kreftene fra jernmalm var anderledes enn kraften fra rav. Rav kan tiltrekke seg et menneskehår, men det kan ikke jernmalm. Grekerne tenkte mye på om det var en sammenheng mellom disse kreftene, men det var først på slutten av 1500 tallet at det ble en systematisk studie av elektriske og magnetiske fenomener. 1.2 Coulomb s lov Den franske videnskapsmannen Charles Augustin Coulomb eksperimenterte med elektriske ladninger. Han studerte kraftvirkningen mellom de og formulerte Coulomb s lov. Den sier at kraften mellom to ladninger er proporsjonal med ladningene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de. Loven inneholder også at ulike ladninger tiltrekker hverandre, mens like ladninger frastøter. Coulomb s lov formuleres med ligninga F e = 1 Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 u Elektrisk ladning har enheten Coulomb som forkortes til (C). 1.3 Gravitasjon 1.1 Elektriske ladninger Når vi gnir en glasstav med en ullklut blir begge statisk elektriske. Fenomenet unnfanger en fundamental egenskap ved vår natur, en egenskap som beskrives med elektriske ladninger. Det var amerikaneren Benjamin Franklin som oppdaget to typer ladninger. Han skilte mellom positive og negative ladninger. Franklin oppdaget at ved utladning av gjenstander med statisk elektrisitet går det en strøm av ladninger fra én gjenstand til en annen. Han antok at strømmen gikk fra den positive ladningen til den negative. Derfor er Benjamin Franklin opphavsmannen til den konvensjonelle strømretningen, slik vi bruker den i dag. Det er naturlig å sammenligne Coulomb s lov med Newton s lov for gravitasjon. F g = G M1 M 2 u r 2 Gravitasjonskraften mellom to masser er proporsjonal med massene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de. Dette viser en likhet mellom Coulomb s lov og Newton s lov, men det er to viktige forskjeller. Det finnes to forskjellige ladninger, men bare en type masse. Gravitasjonskraften mellom masser er alltid tiltrekkende. De elektriske kreftene er mye sterkere enn gravitasjonskreftene. Det er lett å vise at F e F g 10 39 11

12 KAPITTEL 1. EN HISTORISK OVERSIKT 1.4 Magnetiske poler På samme måte ble det utført eksperimenter med magnetiske poler. En fant to forskjellige poler. Den ene kalles nordpol og den andre sydpol. Eksperimenter vister at like poler frastøter hverandre, mens ulike poler tiltrekker hverandre. Likheten mellom magnetiske poler og elektriske ladninger er påfallende, men det er i det minste én fundamental forskjell. Det er mulig å frembringe én elektrisk ladning og beholde den som en egen enhet. Det er ikke mulig å skape en magnetisk nordpol uten samtidig å skape en sydpol, eller omvendt. Det viser at monopoler ikke eksisterer. Dette er en egenskap ved elektromagnetismen som har sin elegante formulering i Maxwell s ligninger. Se referansene Med kunnskapen om elektriske og magnetiske fenomener startet den spede begynnelse av elektroteknikk. Volta fant opp batteriet som en kilde av elektriske ladninger. En lærte at forskjellige materialer har forskjellig ledningsevne for elektriske strøm. Begrepene spenning og strøm ble innarbeidet gjennom utallige eksperimenter. En lærte noe om elektrisitet og noe om magnetisme, men spørsmålet om en sammenheng mellom de var åpent helt til den Danske fysikeren Hans Christian Ørsted utførte et viktig eksperiment i 1820. Elektrisk strøm er kilden til et magnetisk felt Ørsted plasserte en elektrisk leder ved siden av en kompassnål. Han observerte at en strøm i lederen påvirket nåla med en kraft, på samme måte som fra et magnetisk felt. Med det viste han at en elektrisk strøm skaper et magnetisk felt. Det er en interaksjon mellom elektriske og magnetiske fenomener. 1.5 Biot Savart s lov De to franske fysikerne Jean-Baptiste Biot og Fèlix Savart studerte fenomenet fra Ørsted s eksperiment og formulerte sammenhengen mellom elektrisk strøm og magnetisme i Biot Savart s lov. Se referanse [2, side 186]. db = µ 0I 4π d l u r r 2 Det er en kraft mellom to strømførende ledere Den franske fysikeren André Marie Ampe`re utførte eksperimenter som viste en kraftvirkning mellom to strømførende ledere. Kraften har sin årsak i de magnetiske feltene som omgir lederne. Det er kraften mellom strømførende ledere som er utgangspunktet for enheten til elektrisk strøm. Derfor er denne enheten oppkalt etter Ampe`re. 1.6 Elektromagnetisme Etter dette ble det all grunn til å snakke om elektromagnetisme. Den nye kunnskapen førte til nye muligheter for videnskaplige forsøk. Kunnskapen om elektromagnetisme økte i mange akademiske miljøer over hele verden. Studiene kulminerte med en komplett teori, utviklet og presentert av den Skotske fysikeren James Clark Maxwell i 1873. Hele den klassiske elektromagnetismen er formulert med fire ligninger. De kalles Maxwell s ligninger. Se referansene [2, side 359], [14, side 448] og [12, side 68]. Var det en Gud som skrev ned disse tegnene spurte den Østeriske fysikeren Ludwig Boltzmann dahanblekjentmedmaxwell steori.mange flere med ham har gitt uttrykk for stor undring over den elegansen disse ligningene har i seg. Foreningen av elektriske og magnetiske fenomener til én teori er en av de fineste syntesene fra menneskenes intellektuelle utfordringer. Med sine lover om tyngdekraft og bevegelse forenet Sir Isac Newton himmel og jord gjennom én felles teori basert på fire fundamentale lover: Newton s tre lover om kraft og bevegelse og Gravitasjons loven. Med sine fire ligninger forente Maxwell elektrisitet ogmagnetismetil én felles teori ogskaptemeddet en forståelse av elektromagnetisme, slik at menneskene lærte å bruke disse edle egenskapene fra vår moder jord til nyttige innretninger for hele menneskeheten.

1.9. LORENZKRAFT 13 Fysikerne arbeider fremdeles med nye synteser som forener ulike områder av fysikken. Håpet er å komme frem til The Grand Unification Theory. En teori som kan brukes til å forklare alle kjente fysiske fenomener på en entydig måte. Der er vi ikke enda! 1.7 Strømmer og magnetisme er relative Elektriske ladninger er kilden til elektriske fenomener. Ørsted oppdaget at en elektrisk strøm er kilden til et magnetisk felt. I dag vet vi at magnetisme har sin årsak i elektriske ladninger i bevegelse. Det fikk Albert Einstein til å stille spørsmålet: Bevegelse i forhold til hva? Anta to observatører a og b. a ser en ladning i bevegelse og kan registrere et magnetisk felt. b beveger seg sammen med ladningen og ser en ladning i ro og ingen magnetisk felt. Det var dette som ga Einstein ideen med relativitetsteori. Se referanse [11, side 4]. 1 1.8 Atomer er elementærmagneter Materien er bygd opp av atomer. Et atom består av en sentral kjerne med positive ladninger. Rundt kjerna kretser ett eller flere elektroner med sine negative ladninger. I tillegg har elektronene et spinnomsinegenakse.deterdennesammensatte bevegelsen som er kilden til magnetisme. Atomets magnetiske egenskaper beskrives med en vektor. Et atom er i seg selv en liten magnet, en elementærmagnet. Og slik er det fordi elektronet med sin ladning har den spesielle formasjonen i atomet. Magnetisme er ladninger i bevegelse og ladninger i bevegelse er elektrisk strøm. Derfor har magnetisme sin årsak i elektrisk strøm. I de fleste stoffer har de magnetiske vektorene en vilkårlig retning. Vektorsummen over et makroskopisk volum er null. For noen materialer, slik som jern nikkel og kobolt, kan de magnetiske vektorene innrettes i bestemte retninger, bestemt av et ytre 1 Einstein s første bidrag til den spesielle relativitetsteorien var hans artikkel: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Analen der Physik 17, 1905 felt. Da blir materialet magnetisert. Det er ingen prinsipiell forskjell mellom en elektromagnet og en permanentmagnet. Med en elektromagnet skapes magnetismen i materialet fra et ytre felt. For en permanentmagnet skapes magnetismen fra lokale strømmer i materialets mikrostruktur. Strømmer som skaper elementærmagneter, innrettet på en systematisk måte slik at et makroskopisk volum blir en permanentmagnet. Disse lokale strømmene kalles Ampe`re strømmer etter André Marie Ampe`re som var den første til å lage en teori for permanentmagneter. 1.9 Lorenzkraft Blant fysiske fenomener finner en ofte symmetri egenskaper. Fysikere kan finne egenskaper ved å lete etter symmetrier fra kjente egenskaper. Vi vet at en elektrisk strøm skaper et magnetisk felt. Tenker vi symmetri blir det naturlig å spørre: Kan et magnetisk felt skape en elektrisk strøm? Vi plasserer en elektrisk ladning i magnetfeltet fra en permanentmagnet og observerer: Ingenting skjer. Hvis ladningen beveger seg i feltet, utsettes den for en kraft med en retning normalt på feltet og bevegelses retningen. Dette kalles Lorenz kraften. F = q v B Det er den magnetisk kraften som fører til at ladninger beveger seg i en leder. Det er en elektrisk strøm. 1.10 Faraday s induksjonslov Den Engelske fysikeren Michael Faraday utførte eksperimenter i 1831 som viste dette. Han laget en magnet ved å sende en strøm gjennom en vikling rundt magneten. Deretter laget han en spole ved å vikle et bestemt antall tørn på en spoleform. Ledningene fra spolen ble koblet til et galvanometer. Han plasserte magneten foran spolen. Det kom ingen reaksjon fra galvanometeret. Når strømmen endret seg viste galvanometeret utslag. Det ble indusert en spenning i spolen som ga en strøm i

14 KAPITTEL 1. EN HISTORISK OVERSIKT galvanometeret. Dette kalles elektromagnetisk induksjon. Det formuleres med Faraday s induksjonslov 1.11 Lenz lov v i (t) = N dφ(t) dt Minustegnet i Faraday s induksjonslov er en konsekvens av Lenz lov. Lenz lov kan formuleres med følgende setning. Teorem 1.1 (Lenz lov (1)) Den induserte spenningen v i (t) har en retning som motvirker den forandringen som skaper v i (t). Lenz lov er lett å demonstrere. En likestrøm motor har en permanentmagnet og en vikling. En strøm gjennom viklinga får motoren til å gå. En likestrøm motor uten tilkobling vil indusere en spenning i viklinga når rotoren dreies rundt. Det er lett å dreie rotoren rundt. Kortsluttes motor viklinga må en bruke en kraft for å dreie rotoren. Dette er Lenz lov. Når motor viklinga kortsluttes går det en strøm i viklinga som skyldes den induserte spenningen. Denne strømmen setter opp et magnetisk felt som motvirker det feltet som induserte spenningen. Da bremser motoren. Et annet eksempel er en kraftstasjon. Tenk en turbin som driver en generator. Anta at generatoren ikke er tilkoblet en last. Da er det lett å få turbinentilårotere. Det krevesbareenkraftforå overvinne friksjonskrefter i lagrene. Anta at generatoren tilkobles et brukernett. Generatoren leverer strøm til nettet. Denne strømmen setter opp et magnetisk felt som motvirker det feltet som induserer spenningen. Det kreves en kraft for å drive generatoren rundt. Denne kraften må komme fra den vannmengden som er i rørgata og som treffer turbinskålene. Jo mere generatoren belastes, jo mere vann må en slippe til turbinen. Det viser at Lenz lov er en konsekvens av en mere generell lov i fysikken: Loven om energiens bevarelse. Vannmengden i rørgata har en kinetisk energi. Denne energien driver turbinen rundt og får generatoren til å produsere en strøm. Strømmen leveres som en elektrisk energi til brukernettet. Mesteparten av energien i vannmassen omdannes til elektrisk energi. Forskjellen mellom energien i vannmassene og energien i fordelingsnettet skyldes tap i prosessen. Endring av energiformer er alltid forbundet med tap. Dette er en konsekvens av termodynamikkens 2 hovedsetning. Det viktige i dette er at kraften mellom elektriske ladninger og magnetisk felt overvinnes av den kinetiske energien i vannstrømmen. Kinetisk energi omdannes til elektrisk energi ved interaksjon mellom elektriske og magnetiske krefter. En kan formulere Lenz lov på en alternativ måte som er mer generell. Teorem 1.2 (Lenz lov (2)) Når en magnetisk fluks gjennom en flate endres, vil feltet fra induserte strømmer produsere sin egen fluks motsatt rettet den opprinnelige fluksendringen. 1.12 Sammendrag Det finnes to typer ladninger, positive og negative. Like ladninger frastøter hverandre, ulike ladninger tiltrekker hverandre. Det finnes to magnetiske poler, nordpol og sydpol. Like poler frastøter hverandre og ulike poler tiltrekker hverandre. Nordpol og sydpol opptrer alltid parvis. Det finnes ingen egenskap i naturen som kan kalles en magnetisk ladning på samme måte som det finnes en egenskap som kalles elektrisk ladning. Elektriske strømmer er kilden til magnetisme. Endring av magnetisme er en kilde til elektriske strømmer. Konservering av energi gjelder i elektromagnetismen, slik den gjelder i alle områder av fysikken. Én av konsekvensene er Lenz lov.

Kapittel 2 Innledning Denne innledningen beskriver enkle, men viktige begreper fra elektrisitetslæra. Spenning og strøm er fundamentalt i alle deler av faget. Anvendelsen av spenning og strøm krever forståelse av prinsipper fra fysikken. Prinsipper som danner et fundament for hele faget. Det vil være klokt å tenke at elektrisitetslære er fysikk. Når en kommer til konkrete problemer ligger løsningen ofte i enkle, men særdeles innholdsrike setninger fra fysikken. Det er ikke mulig å lære alle detaljer i et så omfattende fag som elektrisitetslære. Men det er mulig å lære så mye fra grunnlaget at en blir istand til å resonere seg frem til en forståelse med utgangspunkt i egen kunnskap. Da får faget en egenverdi i form av å bli en inspirasjonskilde. Vanskelige oppgaver blir en fin utfordring en gleder seg til å ta tak i. Beskrivelsen i dette kapitlet er enkel. Det utfordrer leserens evne til å tenke praktisk fysikk, mer enn evnen til å manipulere matematiske ligninger. Matematikk er viktig i elektrisitetslære, men like viktig er forståelsen av den fysikken som elektrisitetslæra er en del av. Når en forstår de grunnleggende prinsippene i faget blir det utrulig fint å bruke matematikkens elegante form for kompakt beskrivelse. Emnene i dette kapitlet er: Måleenheter Definisjoner Elektrisk strøm Elektrisk spenning Resistans og Ohm s lov Effekt og energi Decibel (db) Fysiske modeller 2.1 Måleenheter Målingavenfysiskstørrelsegiretmåltalliforhold til en måleenhet. Måleenheter er valgt og bestemt med en internasjonal standard. De fysiske lovene og relasjonen mellom fysiske størrelser gjør det mulig å begrense antall valgte enheter. De enhetene som er valgt kalles grunnenheter. Alle andre avledes fra grunnenhetene og kalles avledede enheter. En størrelse S er et produktav et måltall {S} og en enhet [S]. Boken inneholder også temaer som ikke er pensum. Disse er merket med. Erfaring viser at mange studenter har en bakgrunn for, og lyst til å fordype seg i emner som illustrerer teorien. Det må være riktig å gi næring til alle som hungrer. S = {S} [S] Et eksempel er elektrisk strøm som kan angis med i = 1.38 A.Daermåltallet{i} = 1.38ogmåleenheten [i] = A. 15

16 KAPITTEL 2. INNLEDNING 2.1.1 Koherent målesystem Et koherent målesystem er et system av størrelsesligninger og måleenheter. Koherent i denne sammenhengen betyr samstemt. Til hver størrelsesligning svarer en ligning mellom enheter. I et koherent målesystem er alle enhetene enten grunnenheter eller enheter avledet fra grunnenhetene. Et eksempel kan være sammenhengen mellom kraft masse og akselerasjon, som i Newtons 2 lov. Størrelses ligning størrelse navn symbol lengde meter m masse kilogram kg tid sekund s strøm ampere A temperatur kelvin K stoffmengde mol mol lysstyrke candela cd F = m a Ligning mellom enheter Tabell 2.1: De syv grunnenhetene i SI systemet [ F] = [m] [ a] N = kg m/s 2 For å lage et koherent målesystem velger en noen grunnenheter. 2.1.2 Grunnenheter Måleenheter har eksistert i lang tid. Det har eksistert enheter for spesielle områder av fysikken. Dette førte til mange enheter og manglende samsvar (koherens) mellom enheter fra de ulike områdene. Dette var foranledningen til å lage et koherent målesystem for hele fysikken, basert på et lite antall grunnenheter. Alle andre enheter avledes fra grunnenhetene. Valget av grunnenheter er gjort slik at det blir samsvar mellom fysiske størrelser fra ulike områder av fysikken. I 1960 moderniserte standardiseringsorganisasjonen Det forkortes til SI enhetene. I 1960 moderniserte General Conference of Wights and Measures det metriske systemet. De valgte syv grunnenheter som utgangspunkt for å avledede koherente enheter for alle områder av fysikken. En grunnenhet har et navn og et symbol. Når navnet på enheten er navnet til en personen skrives symbolet med stor bokstav. Enheten for kraft er newton med symbolet N. Alle andre enheter i fysikken er avledet fra grunnenhetene. 2.1.3 Avledede enheter Denne delseksjonen beskriver noen avledede enheter for å illustrere de viktigste egenskapene til det metriske systemet SI. Kraft: Enheten for kraft er newton med symbolet N. Den er definert som den kraften som skal til for å gi en masse på 1 kg en akselerasjon på 1 m/s 2. Det gir størrelsesligninga F = m a General Conference of Wights and Measures det metriske målesystemet og utviklet et koherent system som kalles og enhets ligninga N = kg m s 2 Système International d Unités Enheten for kraft er avledet fra grunnenhetene for masse, lengde og tid.

2.2. DEFINISJONER 17 Arbeid: Enheten for arbeid er joule med symbolet J. Det er definert som det arbeidet som utføres når en bruker 1 N for å bevege en masse på 1 kg en lengde på 1 m. Det gir enhetsligninga J = N m = kg m2 s 2 Enheten for arbeid er avledet fra grunnenhetene for masse, lengde og tid. Effekt: Effekt er definert som utført arbeide per tidsenhet. Den måles i watt med symbolet W. Det gir enhetsligninga W = J s = Nm s Ved å multiplisere i teller og nevner med sekunder får en relasjonen W s = J = N m Dette viser koherensen i SI enhetene. Elektrisk energi (Ws) og mekanisk arbeide(nm) måles med samme enhet (J). 2.1.4 Arbeid og energi Arbeid og energi er så grunnleggende at de fortjener en spesiell omtale. I fysikken er arbeid én ting: kraft ganger veg som måles i joule. Energi er evnen til å utføre et arbeide. Når et arbeide utføres, endres energien fra én form til en eller flere andre former. Det finnes mange eksempler som viser dette. Energi fra sola løfter vann fra havet opp til et fjellvann som ligger på 1000 m høyde. Energien fra sola utfører arbeidet med å løfte vannet. Det er kraft ganger veg. Med det får vannet en potensiell energi som kan brukes i et kraftverk til å produsere elektrisk energi. Velger en å studere flere eksempler finner en at solenergi er utgangspunktet for nesten alle energiformer i vårt solsystem. Arbeid endrer energi mellom ulike former, men én form er alltid tilstede: varme. Endring av energiformer gir alltid tap i form av varme. Varme er en termisk agitasjon som, blant annet, fører til støy i elektriske komponenter. størrelse navn symbol definisjon elektrisk ladning elektrisk potensisal coulomb C A s volt V J/C resistans ohm Ω V/A elektrisk ledningsevne siemens S A/V kapasitans farad F C/V magnetisk fluks weber Wb V s induktans henry H V s/a kraft newton N kg m/s 2 arbeid energi joule J N m effekt watt W J/s Tabell 2.2: Tabellen viser ti av de viktigste enhetene som brukes i denne boken. Enhetene er avledet fra grunnenhetene. Dette hører til én av de tre hovedområdene i klassisk fysikk. Vi snakker om termodynamikkens 2 hovedsetning. 2.1.5 Prefikser og fysiske konstanter Tabell 2.3 viser prefikser som brukes i forbindelse med SI enhetene. Tabell 2.4 viser noen av de viktigste konstantene som brukes i fysikken. 2.2 Definisjoner Elektrisitetslære introduserer mange nye ord og uttrykk. I denne seksjonen beskrives de viktigste som et utgangspunkt for å komme videre i faget. 2.2.1 Symboler for spenning og strøm I denne boken brukes symbolet v eller V for elektrisk spenning. v brukes for en spenning som endre seg med tiden. Da skulle en egentlig bruke notasjonen v(t) for å presisere at spenningen varierer

18 KAPITTEL 2. INNLEDNING symbol navn tallverdi T tera 10 12 billion G giga 10 9 milliard M mega 10 6 million k kilo 10 3 kilo h hekto 10 2 hundre da deka 10 1 ti d desi 10 1 tidel c centi 10 2 hundredel m milli 10 3 tusendel µ mikro 10 6 milliondel n nano 10 9 milliarddel p piko 10 12 billiondel Tabell 2.3: Tabellen viser de viktigste prefiksene som brukes i forbindelse med SI enhetene Konstant lysfarten i tomt rom Symbol og verdi c = 299792458 m/s tomromspermeabiliteten µ 0 = 4π 10 7 H/m tomromspermittiviteten ε 0 = 8.854187818 10 12 F/m gravitasjonskonstanten G = 6.673 10 11 Nm 2 /kg 2 elementærladningen planckkonstanten bolzmannkonstanten elektronradien avogadrokonstanten elektronets masse protonets masse e = 1.602176462 10 19 C h = 6.62606876 10 34 Js k = 1.3806503 10 23 J/K r e = 2.817940285 10 15 m N A = 6.02214199 10 23 1/mol m e = 9.10938188 10 31 kg m p = 1.67262158 10 27 kg Tabell 2.4: Tabellen viser noen av de viktigste fysiske konstantene med tiden. Det er vanlig å bare skrive v når det går klart frem av sammenhengen at v er en varierende spenning. V er symbolet for en konstant, enten en likespenning eller effektivverdien til en vekselspenning. En elektrisk strøm har symbolet i eller I. i er symbolet for en strøm som endrerseg medtiden. I ersymbolet for enkonstant, enten en likestrøm eller effektivverdien til en vekselstrøm. I dette kapitlet brukes små bokstaver for spenning og strøm fordi de begrepene som innføres gjelder for varierende spenninger og strømmer. 2.2.2 Elementære kretselementer En viktig del av elektrisitetslæra er komponenter og elektriske kretser. En elektrisk krets er en sammenkobling av komponenter. Eksempel på komponent er motstand, kondensator eller transformator. I mengden av alle mulige komponenter finnes en delmengde som kalles elementære kretselementer.disseersåviktigeatenvelgeråinnfører de med en definisjon. Definisjon 2.1 ( Elementært kretselement ) Et elementært kretselement er en komponent entydig bestemt med spenning og strøm og som ikke kan deles i to eller flere mindre kretselementer. Eksempler på elementære kretselementær er motstand kondensator spole spenningskilde strømkilde Halvledere er eksempler på komponenter som ikke er elementære kretselementer. En bipolar transistor består av to dioder. Én diode er i seg selv en komponent. 2.2.3 Aktive og passive komponenter En aktiv komponent genererer energi. En spenningskilde eller en strømkilde er eksempler på aktive komponenter. Et 9 V batteri i en røkvarsler

2.3. ELEKTRISK STRØM 19 er en aktiv komponent. En passiv komponent forbruker energi. En motstand med sin resistans er en passiv komponent som forbruker energi som blir til varme. Ikke alle passive komponenter omdanner energien til varme. En elektrisk motor omdanner mesteparten av den tilførte energien til et dreiemoment på motorakslingen. Resten blir til varme. Spoler og kondensatorer er passive komponenter siden de ikke genererer energi. De er reaktive komponenter. De påvirker spenning og strøm i en vekselstrømkrets uten å forbruke mer energi enn den som skyldes at de ikke er ideelle komponenter. Modellen for en ideell spole eller en ideell kondensator forbruker ingen energi. 2.3 Elektrisk strøm Elektriske fenomener har sin årsak i elektriske ladninger. Den viktigste egenskapen til en elektrisk ladning er kraftvirkningen den har på andre ladninger. Denne kraften kan utføre et arbeide. Derfor er elektriske ladninger en kilde til energi. Det er energien som ligger i kraften mellom ladninger som er årsaken til hele floraen av anvendelser fra elektromagnetismen. I denne sammenhengen beskrives elektriske ladninger som et utgangspunkt for å definere elektrisk strøm. En tenker seg et batteri koblet til en lyspære med to kobbertråder. Batteriet driver en strøm gjennom lyspæra som får den til å lyse. Kobberledningene leder strømmen fra batteriet til lyspæra og tilbake til batteriet. En bruker kobberledninger fordi de er gode ledere. Siden kobber brukes i stor utstrekning i hele elektrofaget er det naturlig å beskrive en enkel modell av et kobberatom. 2.3.1 Grunnstoffet kobber Kobber har den kjemiske betegnelsen Cu. For å få en intuitiv forståelse av elektrisk ledningsevne ser en på egenskapene til ett enkelt kobberatom. Dette er vist i figur 2.1. Kobberatomer setter seg sammen til molekyler og molekyler blir til et polykrystallinsk materiale i form av et metall. Bindingene i materialet fører til at valenselektronet i de fleste atomene Cu Figur 2.1: Kobber er et grunnstoff med atomnummer 29. Det har fire energibånd med sine energinivåer. Båndet med det høyeste nivået kalles valensbåndet. Der er det bare ett elektron. Det kalles valenselektronet. Hvis et elektron får en energi større enn energien i valensbåndet frigjøres det fra atomet. I en metallisk leder betyr det at elektronet blir en fri ladningbærer, det befinner seg i ledningsbåndet. frigjøres fra valensbåndet og opptrer som frie ladningbærere i ledningsbåndet. Det er dette som gir en kobberleder en god ledningsevne. Ett elektron er en elementærladning med verdien q e = 1.602 10 19 C. 2.3.2 Elektrisk leder Figur 2.2 viser et utsnittet av en elektrisk leder. Frie elektroner beveger seg fra minus til pluss. Det kalles en elektronstrøm. Av historiske grunner regner en med en strøm av positive ladninger fra pluss til minus. Det kalles den konvensjonelle strømretningen. Det er den som brukes i praksis. Det virker spesielt å snakke om en strøm av positive ladninger når en vet at strømmen er en elektronstrøm i den motsatte retningen. Det er helt greit når en bare gjør et valg og følger det konsekvent. Det finnes flere eksempler på at strøm er en transport av positive ladninger. I havledere har en både n-materialer og p-materialer. I n-materialer foregår ladningtransporten med elektroner i ledningsbåndet. I p-materialer foregår ladningtrans-

20 KAPITTEL 2. INNLEDNING porten med positive hull i valensbåndet. elektronstrøm S Konvensjonell strømretning Figur 2.2: I en kobberleder er de fleste valenselektronene frie ladningbærere i ledningsbåndet. Det går en strøm av elektroner fra minus til pluss. Den konvensjonelle strømretningen går fra pluss til minus. Elektrisk strøm er definert som ladningtransport per tidsenhet gjennom et tverrsnitt S av lederen. 2.3.3 Definisjon av elektrisk strøm Figur2.2viseretutsnittavenledermedtverrsnitt S. Ladningmengden q utgjør strømmen i lederen. Med q definerer en strømmen i lederen. Definisjon 2.2 (Elektrisk strøm) Strømmen i en leder er definert som ladningtransporten per tidsenhet gjennom et tverrsnit av lederen i = dq dt (2.1) Enheten for elektrisk strøm er ampere med symbolet A. Enheten er definert ved kraftvirkningen mellom strømførende ledere. Se referanse[9, side 11]. Når en kjenner strømmen i en leder kan en finne den totale ladningmengden som passerer et tverrsnittet i et bestemt tidsintervall [0 t) ved å integrere strømmen. q = t 0 i(τ) dτ (2.2) Til enheten ampere bruker en de vanlige prefiksene for å tilpasse numeriske verdier. ka = 10 3 A ma = 10 3 A kilo ampere mili ampere µa = 10 6 A pico ampere µa = 10 6 A nano ampere Når strømmen går i samme retning hele tiden er den en likestrøm. Når strømmen i tillegg er konstant, er det en konstant likestrøm. Da bruker en symbolet I. Noen sier en dc-strøm der dc er en forkortelse for den engelske beskrivelsen direct current. Når i veksler mellom positiv og negativ retning er i en vekselstrøm. Noen sier en ac-strøm der ac er en forkortelse for den engelske beskrivelsen alternating current. 2.3.4 Strømkilder Strømkilder er komponenter i elektriske kretser. Figur 2.3 viser symboler for strømkilder, slik de brukes i elektriske kretser. Strømkilden i figur 2.3 (a) leverer den konstante strømmen i s, uavhengig av spenninger og strømmer i resten av kretsen. Figur 2.3 (b) viser en avhengig strømkilde. Den leverer en strøm som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning et sted i kresen. Det blir en spenningsstyrt strømkilde. Figur 2.3(c) er også en avhengig strømkilde. Den leverer en strøm som er en konstant β ganger strømmen i β, der i β er en strøm et sted i kretsen. Det er en strømstyrt strømkilde. Figur 2.4 viser den vanlige betegnelsen av retning for spenning og strøm i en resistans. Det samme brukes for alle passive komponenter. 2.4 Elektrisk spenning Elektrisk spenning er definert som energi. I denne sammenhengen snakker en om kinetisk og potensiell energi. Kraftvirkningen mellom frie ladninger er forbundet med energi. Hvis kraften utøves på en ladning mot feltets retning øker den potensielle energien. Hvis kraften fjernes, frigjøres denne energien og blir en kinetisk energi i form av en ladningtransport i feltets retning. Det er en elektrisk strøm.

2.4. ELEKTRISK SPENNING 21 (a) (b) (c) i s i s = α v α i s = β i β q b a Figur 2.3: Figur (a) viser en strømkilde med strømmen i s. Indeksen s er en forkortelse for source. Figur (b) viser en spenningsstyrt strømkilde. Kilden leverer en strøm som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning i kretsen. Figur (c) viser en strømstyrt strømkilde. Kilden leverer en strøm som er en konstant β ganger strømmen i β der i β er en strøm i kretsen. a i ab R v ab Figur 2.4: Retning av strøm og spenning i en resistans. Tenk to positive ladninger Q og q i en avstand fra hverandre og q << Q. Dette er vist i figur 2.5 Det kreves et arbeide W(b) for å bringe q fra en stor avstand til punktet b. Dette arbeidet gir q enpotensiell energiφ(b). Tenkatq bringesfrabtil a som er nærmere Q. Da har en utført det totale arbeidet W(a) på q. Det gir q en potensiell energi φ(a).differansenw(a)w(b)erdetarbeidesom kreves for å bringe q fra b til a. Det har endret q sin potensielle energi med φ ab = φ(a) φ(b). Potensial forskjellen φ ab per enhetsladning av q defineres som spenningen mellom punktene a og b. Den betegnes med v ab og måles i volt med symbolet V. Definisjonen av elektrisk spenning ut fra feltteoretiske betraktninger blir med dette. v ab = φ ab q Det er viktig å få en intuitiv forståelse av spenning, slik spenning brukes i elektriske kretser. Figur 2.6 viser symbolet for en resistans med spenningen v ab. Node a har symbolet og node b b V Q Figur 2.5: Figuren viser ladningen Q og kraftfeltet rundt den. Kraft er en vektor. Det illustreres med vektorer som går ut fra Q som sentrum. Kraften avtar med avstanden fra Q. Det symboliseres med at lengden av vektorene blir kortere når avstanden fra Q øker. har symbolet. Node a har et høyere elektrisk potensial enn node b. Det er i samsvar med den fysikalske definisjonen av spenning. Spenningen v ab er proporsjonal med den energien som skal til for å bringe en positiv ladning fra node b til node a, i samsvar med den feltteoretiske forklaringen i figur 2.5. Ut fra dette gjør en følgende definisjon av elektrisk spenning, slik den brukes i elektriske kretser. Definisjon 2.3 (Spenning) Spenningen over en komponent er lik den energien som skal til for å føre en positiv enhetsladning fra minusnoden til plussnoden på komponenten. Elektrisk spenning har enheten volt med symbolet V. Spenningene v ab og v ba har samme tallverdi, men motsatt polaritet. v ab = v ba

22 KAPITTEL 2. INNLEDNING a R v ab Figur 2.6: Figuren viser en resistans som eksempel på en komponent med spenningen v ab. En bruker de vanlige prefiksene for å skalere numeriske verdier når en angir spenningsverdier. kv = 10 3 V mv = 10 3 V b kilo volt mili volt µv = 10 6 V pico volt µv = 10 6 V nano volt 2.4.1 Symboler for spenningskilder Spenningskilder er komponenter i elektriske kretser. Figur 2.7 viser symboler for spenningskilder, slik det er vanlig å bruke i elektriske kretser. et batteri. Spenningen fra batteriet påvirker elektronene med en kraft som øker hastigheten. Elektroner kolliderer med atomene og mister hastighet. Den tapte energien fra en kollisjon blir til varme. Spenningen fra batteriet gjenvinner den tapte hastigheten Denne prosessen med økning og reduksjon av elektronenes hastighet foregår så lenge det er strøm i lederen. Det setter en grense for lederens evne til å lede strøm, en egenskap som kalles resistans. Resistans innføres i forbindelse med strøm i en metallisk leder, men resistans er en fysisk egenskap ved alle faste stoffer. Derfor lager en følgende definisjon: Definisjon 2.4 (Resistans) Resistans er en fysisk egenskap som hindrer bevegelse av frie ladninger i et materiale. Det kreves en spenning for å drive en strøm gjennom materialet. Resistans er definert som forholdet mellom spenning og strømm. Energien som leveres av kilden forbrukes i materialet og blir til varme. (a) (b) (c) R = v i v : spenning i V i : strøm i A R : resistans i Ω v s v s = αv α v s = βi β Figur 2.7: Figur (a) viser en spenningskilde med spenningen v s. v s opptrer uavhengig av andre verdier i kretsen. En sier at v s er en uavhengig kilde. Indeksen s er en forkortelse for source. Figur (b) viser en avhengig spenningskilde. Kilden leverer en spenning som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning i kretsen. Figur (c) viser en avhengig spenningskilde. Den leverer en spenning v s som er avhengig av en strøm i kretsen. Spenning er en konstant β ganger strømmen i β der i β er en strøm i kretsen. 2.5 Resistans og Ohm s lov Figur 2.2 illustrerer en leder med frie elektroner som beveger seg fra minuspolen til plusspolen på Enheten for resistans en avledet fra grunnenhetene. Resistans måles i ohm med symbolet Ω. Definisjonen er V/A. Se tabell 2.2 på side 17. En bruker de vanlige prefiksene for å tilpasse måleenheten til numeriske verdier. De vanligste er: MΩ = 10 6 Ω kω = 10 3 Ω mω = 10 3 Ω mega ohm kilo ohm mili ohm µω = 10 6 Ω mikro ohm Ohm s lov sier at for en resistans er forholdet mellom spenning og strøm konstant. Det gir en sammenheng mellom de tre størrelsene strøm, spenning og resistans. Når en kjenner to av de, kan en beregne den tredje. Dette er vist med et eksempel.