Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea042 Separable differensiallikninger. Oppgave Finn allmenn løsning av følgende separable differensiallikninger på eksplisitt form. Det er i denne oppgaven ikke nødvendig å gjennomføre drøftinger, f.eks. av om alle løsninger er funnet, og om definisjonsområdet på løsningsfunksjonen. a) 3y 2 y =2x b) yy = c) cos(y)y = e x d) y y 2 = x x2 + e) e x y = x y f) y y 2 = Oppgave 2 Nedbrytning av radioaktivt materiale foregår slik at nedbrytningshastigheten er proporsjonal med massen. Det vil si at ẏ = λy der y(t) er massen ved tidspunkt t, ogλ>0 er en konstant (som avhenger av hvilket stoff vi har). a) Anta y(0) =, det vil si vi har en enhetsmasse av stoffet ved tidspunktet t =0. Finn funksjonsuttrykket y(t) generelt (det vil si som et utrykk som inneholder λ). b) Etsliktstofferkarbonisotopen 4 C ( karbon fjorten ). Dette har halveringstid på 5730 år.detvilsiaty(5730) = /2. Bestem λ for 4 C. c ) Andelen 4 C i levende organisk materiale er konstant (så lenge næringsopptak foregår), men begynner å brytes ned når individet dør. Dette brukes til å datere organisk materiale. Under en arkeologisk utgravning fant man beinrester av elg i et leirbål, og undersøkelser viste at disse inneholdt 72.4% av den mengden 4 C som finnes i bein fra levende elg. Hvor gammel var leirplassen? (Du trenger nok kalkulator i denne oppgaven). Oppgave 3 Differensiallikningen y +2xy =0erseparabel. a ) Skriv om differensiallikninga til standardformen f(y)y = g(x).
2 Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Løs differensiallikninga. I første omgang skal dette gjøres uten noen form for drøfting, slik at du kommer fram til svaret y = e C e x2. c ) Gjennomfør så drøftinger som skal til for å vise at alle funksjoner på formence x2 er løsninger. d ) Generaliser dette til å utlede en løsningsformel for alle homogene, lineære differensiallikninger påformen y + f(x)y =0. Anta f(x) er kontinuerlig, og uttrykk løsningen ved hjelp av en funksjon F slik at F (x) = f(x). Oppgave 4 Løs følgende initialverdiproblemer. Forsøk å få med drøfting av løsningen. Angi spesielt størst mulig definisjonsområde for løsningen, når kravet er at løsningen skal være en kontinuerlig funksjon på et sammenhengende område. a) 2yy = 2x, y(4) = 3 b) 2yy = 2x, y(4) = 3 c) y cos 2 (y) =, y(0) = π/4 d) y y 2 =, y(0) = /2 Oppgave 5 En funksjon y = y(x) erdefinertforallex 0ved y = +y 4, y(0) = a ) Hvordan kan du vite at en eventuell løsning, når vi forutsetter at denne finnes, er en voksende funksjon for alle x uten å løse difflikningen? b) Hva må fortegnet til y(x) være for alle x 0? c ) Hva kan du si om krumminga til y(x) for alle x 0? I mange situasjoner i anvendt matematikk kan man trekke de opplysningene man for tilfellet er interessert i ut av selve difflikninga uten å løse den. Dette er et eksempel på noen egenskaper vi kan finne for denne kompliserte funksjonen, uten å kjenne eksplisitt løsning. Det forutsetter imidlertid at vi veit at det finnes en løsning, å avgjøre om dette er tilfellet er av og til det vanskeligste og viktigste med hele difflikninga. Dette er ikke pensum i Matematikk 0, men det er ihvertfall greit hvis difflikninga er lineær, som vi kommer til i neste avsnitt. 2.0.09, Hans Petter Hornæs
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 3 Fasit, Separable differensiallikninger. a ) Denne er ferdig på formenf(y)y = g(x) medf(y) =3y 2 og g(x) =2x: 3y 2 dy dx =2x 3y2 dy =2xdx Integrere så begge sider (og har bare med integrasjonskonstanten C på høyresiden): 3y 2 dy = 2xdx y 3 = x 2 + C Tar 3. roten påbeggesiderogfår y = 3 x 2 + C Denne er også ferdigpåformenf(y)y = g(x), med f(y) =y og g(x) =. Den kan da skrives om ved y dy = ydy= dx dx ydy= dx 2 y2 = x + C y 2 =2x +2C Når C er en vilkårlig konstant er 2C også en vilkårlig konstant, og vi erstatter 2C med C. Tar kvadratrot på begge sider (i en partikulær løsning vil det være enten pluss eller minus foran rottegnet, ikke begge): c) cos(y) dy dx = e x cos(y) dy = e x dx. y = ± 2x + C Ikke glem den lille substitusjonen med u = x, så dx = du ved integrasjon av e x. Dette gir minusen i integralet: cos(y) dy = e x dx sin(y) = e x + C y =arcsin ( C e x) d) dy y 2 dx = x x2 + y 2 dy = x x2 + dx. Integralet med x løses med substitusjonen u = x 2 +, som gir du =2xdx xdx= du: 2 Deretter brukes potensregelen både på /y 2 = y 2 og / u = u /2 : y 2 dy = du u 2 y 2 dy = 2 u /2 du y = 2 /2 u/2 +C y = 2 2 u + C y = x 2 ++C y = x 2 ++C
4 Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. e) Her er e x og y på gal side av likhetstegnet i forhold til formen f(y)y = g(x). Dividerer derfor likningen med e x y e x y e x y = x y e x y y = x/e x dy y y /2 dx = xex y /2 dy = xe x dx Integralet på høyresiden løses som delvis integrasjon med u = x og v = e x, slik at u =ogv = e x : y /2 dy = xe x dx /2 y/2 = xe x e x 2 y = xe x e x + C Dividerer med 2 og kvadrerer begge sider av likningen: y =( 2 x ( 2 )ex + C y = ( 2 x ) 2 2 )ex + C f) Her må det omformes litt for åfå likningen på formenf(y)y = g(x): y y 2 = y =+y 2 +y 2 y = dy = dx +y2 +y dy = dx arctan(y) =x + C y =tan(x + C) 2 Oppgave 2 a) Funksjonen y = 0 er en mulig løsning av difflikningen, men kan ikke oppfylle tileggsbetingelsen (vi innser vel at masse 0 heller ikke oppnås i overskuelig framtid). Vi kan anta y 0 og defor uproblematisk dividere likningen med y. Divisjon med y gir likningen på standardform for separable difflikninger: y dy dt = λ dy = λdt y y dy = λdt ln(y) = λt + C Vi innser vel at massen aldri kan bli negativ, så det er unødvendig med absoluttverditegn på ln( y ). Integralet på høyresidenerå integrere en konstant. Bruker eksponentialfunksjonen på begge sider av likningen. Pass på å få med hele høyresiden opp i eksponenten: e ln(y) = e λt+c y = e C e λt Kan bestemme C nå fra initialbetingelsen y(0) = : = e C e 0 finne e C, selv om vi ser dette er oppfylt for 0). Partikulær løsning blir derfor y(t) =e λt e C =.(Nokå
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 5 Halveringstida gir en likning til å bestemme λ: y(5730) = /2 e λ 5730 =/2 Denne løses ved åtalnpå begge sider. Bruker at ln(/2) = ln(2 )= ln(2) = ln(2): ln ( e λ 5730) =ln(/2) λ 5730 = ln(2) λ = ln(2) 5730 Med kalkulator gir dette λ =0.00020 (Kanskje mer praktisk å bruke 000 år som enhet, da blir λ =0.20. Ihvertfall bør det være med 3 4 gjeldende siffer, λ =0.000 er 20% feil, og 4 C metoden til datering er mye mer nøyaktig enn det. c) Nåerλ =ln(2)/5730 og y(t) =0.724 kjent, og vi får en likning til å bestemme t: e λt =0.724 λt =ln(0.724) t = ln(0.724) ln(2)/5730 = 2670 Det vil si at leirplassen er ca 2670 år gammel, fra ca. 660 f.kr. Feilmarginen er av størrelsesorden ±50 år for 4 C dateringer av materiale med denne alderen, så hvisvi sier at den er fra mellom 700 og 600 f.kr. har vi vel et intervall med runde tall som sannsynligvis inneholder riktig datering. Oppgave 3 a) y +2xy =0 y = 2xy y y = 2x. b) Forutsatt at y 0,sedeloppg.c. y y = 2x y dy = 2xdx ln( y ) = x 2 + C Tar eksponentialfunksjonen på begge sider, og bruker dessuten at addisjon i eksponenten går over til produkt av eksponentilafunksjoner: e ln( y ) x2 +C = e y = e x2 e C c ) Siden høyresiden er absoluttverdien til y stemmer dette både om y = e C e x2 og y = e C e x2, som kan samles til y = ±e C e x2. Vi kan få e C til å bli hvilket som helst positivt tall C (ved åvelgec =ln(c )), og dermed C = ±e C til å bli hvilket som helst tall 0. I omformingen i a oppgaven dividerte vi med y, og kan da miste en eventuell løsning y = 0 (konstantfuksjon). Direkte innsetting i den opprinnelige likningen av y = 0, og dermed y = 0 viser at også dette er en løsning. Men denne løsningen kan også skrives påformenc e x2,hvisvisetterc =0.Detvilsiatviikkeharnoenbegrensningpå C. Til slutt bytter vi ut navnet C med C på denne vilkårlige konstanten, og har løsningen y = Ce x2.
6 Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. d) y +f(x)y =0 y = f(x)y y y = f(x) y dy = f(x) dx F (x)+c ln y = F (x)+c y = e y = ±e C F (x) e Helt tilsvarende drøfting som i forrige punkt gir at ±e C kan erstattes med C. Løsningssformelen er da y = Ce F (x) der F (x) =f(x), dvs. at F (x) = f(x) dx (uten integrasjonskonstant C). Oppgave 4 a) 2yy = 2x 2ydy= 2xdx y 2 = x 2 + C. Vi kan nå bestemme konstanten C: 4 2 = ( 3) 2 + C C = 6 + 9 = 25. Merk at løsningen dermed implisitt kan skrives på formenx 2 + y 2 = 25, likningen for en sirkel med sentrum i origo og radius 5. Når vi skal ha y som en funksjon av x kan vi bare bruke enten øvre eller nedre halvsirkel. Siden y(4) = 3 > 0 er det øvre halvsirkel som kan brukes, og dette får vi ved å bruke plusssroten: y = 25 x 2, 5 x 5. Begrensningen på definisjonsområdet kommer av at det under rottegnet ikke kan være negativt. Den eneste forskjellen fra a oppgaven er at nå ery(4) = 3 < 0, slik at det er minusroten som må brukes: y = 25 x 2, 5 x 5. c ) Integralet på venstre side får vi ved å snu derivasjonsregelen tan(x) =/ cos 2 (x): cos 2 (y) dy = dx tan(y) =x + C Innsetting av initialbetingelsen gir tan(π/4) = 0 + C C = tan(π/4) =. Eksplisitt løsning finner vi da ved å ta arctan på begge sider: tan(y) =x + y = arctan(x +) d ) Her er det ingen begrensninger, vi har automatisk at π/2 <y<π/2 fra verdimengden for arcustangens. På dette området er cos(y) i nevneren i den opprinnelige likningen større enn 0. Integranden på venstre side er d arcsin(y), så dy dy = dx arcsin(y) =x + C y 2
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 7 Vi tar sinus på begge sider og finner y =sin(x + C). Initialbetingelsen gir da /2 = sin(c). En (av uendelig mange) løsninger av denne er C = π/6. Løsningen y =sin(x + π/6) er vel da akseptabelt svar. Litt mer inngående drøfting: Vi ser at y fra verdimengden til sinus, mens det på selve difflikningen må dettes en avgrensning <y<, siden nevneren ikke kan være 0. Det vil si at løsningen ikke er definert i maks og minpunktene for sinus. Siden vi ønsker kontinuerlige løsninger på et sammenhengende område må vi begrense løsningen til et intervall mellom en maks og en min, eller omvendt, av sinus. Siden x = 0 skal være med i området må definisjonsområdet være π/2 < x + π/6 <π/2 2π/3 <x<π/3. Den samme løsningen får vi om vi velger C = π/2+2kπ for et heltall k. Vi kunne imidlertid valgt C = 5π/6+2kπ også. Med k = 0 ville løsningen da blitt en essensielt annen, y =sin(x +5π/6) med definisjonsområde på nedoverbakken til sinus, π/2 <x+5π/6 < 3π/2 4π/3 <x<2π/3. Oppgaveteksten er ikke presis nok til å avgjøre hvilken av disse løsningene som skal velges. Hadde difflikningen vært formulert som y = y 2 hadde ikke argumentet om at y ± vært gyldig, og definisjonsområdet kunne vært alle x R. Det hadde imidlertid fortsatt eksistert to løsninger. Oppgave 5 En funksjon y = y(x) erdefinertforallex 0ved y = +y 4, y(0) = a ) c ) Siden + y 4 > 0 for alle y er y =/( + y 4 ) > 0. Når den deriverte er større enn 0 er funksjonen voksende. Siden y(0) = > 0 og funksjonen er voksende må funksjonsverdien også være større enn 0 for alle x>0. Vi kan finne derivere begge sider av likningen med hensyn på x. Påhøyresidenfår vi kjerneregelen med kjerne u = y: y = 4y3 ( + y 4 ) 2 y Siden vi vet at y>0er 4y 3 < 0. Dessuten er y > 0og(+y 4 ) 2 > 0, så y < 0. Da krummer grafen nedover (funksjonen er konkav). Hans Petter Hornæs