EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI. John Rognes. April 1997

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI John Rognes April 1997 Introduksjon til spektra Spektra representerer generaliserte reduserte kohomologiteorier. Gitt en slik teori X Ẽn (X) finnes det rom E n med Ẽn (X) = [X,E n ] for alle CW-komplekser X. Suspensjonsisomorfien gir en naturlig isomorfi σ n : Ẽ n (X) = Ẽn+1 (ΣX) [X,E n ] = [ΣX,E n+1 ] = [X,ΩE n+1 ] som er representert av en svak ekvivalens σ n : E n ΩE n+1. Man kan anta at hver E n er homotopiekvivalent med et CW-kompleks og at σ n er en homeomorfi. Det finnes adjungerte avbildninger σ n : ΣE n E n+1. Spekteret E = (E n,σ n ) n er følgen av rommene E n og strukturavbildningene σ n : ΣE n E n+1. Det representerer kohomologiteorien Ẽ i den forstand at E n (X) = [X,E n ]. Den duale homologiteorien er gitt ved Ẽn(X) = colim k π n+k (E k X). Eksempler. Eilenberg-MacLane spekteret H med H n = K(Z,n) representerer singulær kohomologi H og singulær homologi H. Det komplekse topologiske K-teori spekteret KU med KU n = Z BU for n jevn og KU n = U for n odde representerer kompleks topologisk K-teori KU og K-homologi KU. Tilsvarende for reell topologisk K-teori KO. Sfærespekteret S med S n = Q(S n ) = colim k Ω k Σ k (S n ) representerer stabil kohomotopi π S og stabil homotopi πs. ((Thom spektra.)) Kompleks topologisk K-teori er definert ved K(X) = K{komplekse vektorbunter E X/isomorfi} der K står for gruppekompletering av den Abelske monoiden av slike isomorfiklasser. La G være en kompakt Lie gruppe, og X et G-rom. Det finnes en ekvivariant K-teori K G (X) som bygges på tilsvarende vis fra komplekse G-vektorbunter E X. Dette er en slags generalisert ekvivariant kohomologiteori. La EG BG være en prinsipal G-bunt med kontraktibelt totalrom EG. La c: EG være kollapsavbildningen. Typeset by AMS-TEX 1

2 JOHN ROGNES Teorem (Atiyah Segal). Det er naturlige isomorfier K(BG) = K G (EG) c K G ( ) = I = R(G) I der R(G) er den komplekse representasjonsringen til G, I R(G) er augmentasjonsidealet, og (?) I står for I-adisk komplettering. For K G ( ) er bygget av komplekse G-vektorbunter over, som er det samme som komplekse G-representasjoner, og representasjonsringen R(G) er gitt ved å gruppekomplettere isomorfiklassene av komplekse G-representasjoner. Dette resultatet beregner den ikke-ekvivariante K-teorien til rommet BG. Likevel bruker argumentet den G-ekvivariante K-teorien. Den ekvivariante stabile kategorien Vi følger Lewis, May og Steinbergers bok [LMS]. Den ekvivariante stabile kategorien hgsu av G-spektra og svake homotopiklasser av G-avbildninger er en komplett og kokomplett lineær kategori, med et symmetrisk monoidalt smashprodukt, og med funksjonsspektra som gjør den til en lukket kartesisk kategori. Suspensjon og desuspensjon med vilkårlige G-representasjoner induserer selvekvivalenser av kategorien, og alle spektra er direkte grenser av desuspenderte suspenssjonsspektra på endelige G-CW komplekser. For G = 1 er kategorien hsu derfor ekvivalent med Boardmans stabile kategori. Den ekvivariante stabile kategorien kan oppfattes som en triangulert kategori, med enten kofibersekvenser eller fibersekvenser som eksakte triangler. De to strukturene er like, opp til fortegn. Gitt en gruppehomomorfi α: H G kan G-spektra oppfattes som H-spektra. Denne tilordningen α har både venstre- og høyreadjungerte funktorer; deriblant konstruksjonene av orbit- og fikspunkt-spektra. For H G og ǫ: G G/N = J med N normal er det naturlige isomorfier [G H D,E] G = [D,E]H [E,D] H = [E,FH [G,D)] G [D/N,E] J = [D,ǫ E] G [ǫ E,D] G = [E,D N ] J. I tillegg finnes det to duale adjunksjoner, kjent som Wirthmüller-isomorfien [Σ L E,D] H = [E,G H D] G med L = T e (G/H) den tangentielle H-representasjonen, og den mindre generelle Adams-isomorfien [E,D/N] J = [Σ A ǫ # E,i D] G med A = T e (N) den adjungerte G-representasjonen, som gjelder når D er et N-fritt G-CW spektrum. Når G er endelig er L = 0 og A = 0. Se Wirthmüller [W] og Adams [A].

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 3 I.1: Ekvivariant homotopiteori La G være en kompakt Lie gruppe, f.eks. en endelig gruppe. La GT være kategorien av kofibrant baserte kompakt genererte svake Hausdorff venstre G-rom; heretter G-rom. G antas å fiksere basispunktet. Morfismene i kategorien er basispunkt-bevarende G-ekvivariante kontinuerlige avbildninger; heretter G-avbildninger. Gitt G-rom X og Y gis smash-produktet X Y den diagonale gruppevirkningen g(x, y) = (gx, gy), og funksjonsrommet F(X, Y) den konjugerte gruppevirkningen (gf)(x) = gf(g 1 x). Det er en naturlig G-homeomorfi F(X Y,Z) = F(X,F(Y,Z)). For lukkede undergrupper H G kan vi danne orbitrommet X/H og fikspunktrommet X H. Da vil F(X,Y) H bestå av H-avbildningene f: X Y. Vi skriver også F H (X,Y) for dette rommet. Vi danner sylinderen X I + og kan snakke om homotopier av avbildninger. Tilsvarende er CX = X I kjeglen og ΣX = X S 1 suspensjonen på X. Dualt har vi frie veirom F(I +,X), veirom PX = F(I,X) og løkkerom ΩX = F(S 1,X). Tilsvarende kan vi danne homotopikofibre (avbildningskjegler) og homotopifibre, og gjøre G-ekvivariant homotopiteori. La hgt være homotopikategorien til GT, med G-rommene som objekter og homotopiklasser av G-avbildninger som morfismer. For (lukkede) undergrupper H G definerer vi generaliserte G-sfærer ved S n H = G/H + S n = Σ n (G/H + ). Homotopigruppene til X er samlingen av (mengder og) grupper for n 0 og H G. Det er adjunksjoner og π H n (X) = π n (X H ) = ht (S n,x H ) = hgt (S n H,X) GT (G + H X,Y) = HT (X,Y) HT (Y,X) = GT (Y,F H (G +,X)) for X HT og Y GT. Hvis X er et G-rom er det naturlige homeomorfier ζ: G + H X = G/H + X gitt ved ζ(g,x) = (g,gx). En G-avbildning f: X Y kalles en svak G-ekvivalens hvis f H : π H n (X,x) π H n (Y,f(x)) er en isomorfi for alle n 0, H G og alle valg av basispunkt x X H. Et basert G-CW kompleks X er unionen av en voksende følge underrom X (n) slik at X ( 1) er basispunktet og X (n+1) dannes ved å adjungere celler G/H + D n+1 til X (n) over avbildninger G/H + S n X (n). ((G-CW approksimasjon, Whitehead teoremet, triangulering av G-mangfoldigheter.))

4 JOHN ROGNES I.2: G-prespektra og G-spektra La V være et reelt endelig-dimensjonalt indreprodukt-rom, og la S V = V { } være ettpunktskompaktifiseringen. Hvis G er en ortogonal G-representasjon, dvs. G virker gjennom isometrier på V, så er S V et basert G-rom, med som basispunkt. For X GT la Σ V X = X S V og Ω V X = F(S V,X). Hvis V,W U er ortogonale i et større indreproduktrom skriver vi V +W for deres sum. Hvis V W skriver vi W V for det ortogonale komplementet til V i W. Så (W V)+V = W. Definisjon. Et reelt indreproduktrom U kalles et G-univers dersom U er en direkte sum av irredusible G-representasjoner, slik at hver irredusibel representasjon forekommer tellbart uendelig mange ganger. Vi antar R U, med triviell G- virkning. Et G-univers kalles komplett hvis alle irredusible G-representasjoner forekommer i U. Eksempel. Hvis G er endelig er U = R[G] et komplett G-univers. Heretter vil V, W og Z være endelig-dimensjonale G-representasjoner inneholdt i U. Definisjon I.2.1. Et G-prespektrum D indeksert på U består av G-rom DV = D(V) for hver endelig-dimensjonal G-representasjon V U, og G-avbildninger σ = σ W V : Σ W V D(V) D(W) for alle V W U, slik at σv V er identiteten og σz W ΣZ W σv W = σz V for alle V W Z U. Avbildningene σ kalles strukturavbildningene i prespekteret. En avbildning f: D D av G-prespektra består av G-avbildninger fv = f V : D(V) D (V) for alle endelig-dimensjonale V U, slik at σ Σ W V f V = f W σ, dvs. avbildningene kommuterer med strukturavbildningene. Vi skriver σ: D(V) Ω W V D(W) for den adjungerte strukturavbildningen. G-avbildninger {f V } V kommuterer med strukturavbildningene σ hvis og bare hvis de kommuterer med de adjungerte strukturavbildningene σ. Definisjon I.2.1. Hvis hver σ er en homeomorfi kalles D et G-spektrum. Kategorien GSU er en full underkategori av kategorien GPU av G-prespektra. GSU GPU Teorem I.2.2. Den glemsomme funktoren har en venstreadjungert funktor l: GSU GPU L: GPU GSU.

Dvs. det er naturlige homeomorfier EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 5 GSU(LD,E) = GPU(D,lE) for D GPU og E GSU. Adjunksjonen har en enhet og en koenhet Koenheten ǫ er en naturlig isomorfi. η: D lld ǫ: LlE = E. Spektrifiseringsfunktoren L gir oss derfor en idempotent retraksjon av kategorien av G-prespektra ned på underkategorien av G-spektra. Som høyreadjungert bevarer l alle grenser (som produkt, pullback, equalizer, fikspunktrom), så disse kan dannes romvis i GPU og definerer derved grensene i GSU. Kogrenser (som sum, pushout, koequalizer, orbitrom) av G-spektra er nesten aldri G-spektra, men som venstreadjungert bevarer L alle kogrenser. Derfor dannes kogrenser i GSU ved først å konstruere kogrensen romvis i GPU, og så anvende L. Så GSU har alle grenser og kogrenser. Definisjon. Det underliggende rommet Ω E til et G-spektrum E GSU er E(0). Vi får en funktor Ω : GSU GT. Rom i bildet av Ω, eller G-homotopiekvivalente med slike rom, kalles uendelige løkkerom. For hver V er Ω E = E(0) = Ω V E(V) et V-te løkkerom, derav terminologien. Suspensjons G-prespekteret til et G-rom X er prespekteret {Σ V X} V med strukturavbildninger σ: Σ W V Σ V X = Σ W X. Suspensjons G-spekteret Σ X er spektrifiseringen L({Σ V X} V ). Vi får en funktor Σ : GT GSU. La Q(X) = Ω Σ X = colim V Ω V Σ V X, hvor kogrensen dannes over alle V U. Da er (Σ X)(V) = Q(Σ V X) for alle V U. Sfærespekteret er S = Σ S 0, med S(V) = Q(S V ), Ω S = Q(S 0 ). Proposisjon I.2.3. Σ er venstreadjungert til Ω, dvs. det er naturlige homeomorfier GSU(Σ X,E) = GT (X,Ω E). Adjunksjonen har enhet og koenhet η: X Q(X) ǫ: Σ Ω E E. Eksempel. La X og Y være G-rom. Homotopiklasser av G-spektrumsavbildninger Σ X Σ Y svarer bijektivt til homotopiklasser av G-avbildninger X Ω Σ Y = Q(Y), dvs. til colim V [Σ V X,Σ V Y] G = {X,Y} G. Dette er homotopiklassene av G-stabile avbildninger fra X til Y.

6 JOHN ROGNES A.1: Spektrifiseringsfunktoren L Alle (pre-)spektra er G-(pre-)spektra i dette avsnittet. Et prespektrum D kalles et imbeddingsprespektrum hvis alle de adjungerte strukturavbildningene σ: D(V) Ω W V D(W) er imbeddinger. La GIU være den fulle underkategorien av imbeddingsprespektra. Den glemsomme funktoren l kan faktoriseres som en sammensetning l l : GSU l GIU l GPU Vi konstruerer L som sammensetningen L L av venstreadjungerte til henholdsvis l og l. Funktoren L : GIU GSU er elementær. Gitt et imbeddingsprespektrum D er spektrifiseringen E = L D = Ll D lik G-spekteret med E(V) = colim W V ΩW V D(W) der W gjennomløper G-representasjonene i U som inneholder V. Eksempel. Hvis X er et G-rom er suspensjonsprespekteret {Σ V X} V et imbeddingsprespektrum, så suspensjonsspekteret Σ X er gitt ved (Σ X)(V) = colim W V ΩW V Σ W X = Q(Σ V X). Det gjenstår å konstruere L : GPU GIU som omdanner et prespektrum til et imbeddingsprespektrum. Vi velger en voksende uttømmende følge av G- representasjoner A 1 A n U slik at n A n = U. Gitt V U finnes det en minste n slik at V A n (ekte inklusjon). La D være et prespektrum. Vi vil danne den maksimale kvotienten av hvert rom D(V) slik at resultatet blir et imbeddingsprespektrum. Dette gjøres ved transfinitt induksjon. Vi definerer en funktor J: GPU GPU som utfører induksjonstrinnet. Gitt D GPU la JD GPU være prespekteret med JD(V) = im(d(v) Ω A n V D(A n )) der n er minimal slik at V A n. For V W vil σ: D(V) Ω W V D(W) gi opphav til en avbilding σ: JD(V) Ω W V JD(W) og JD blir et prespektrum. Det er en naturlig avbildning γ: D JD som er en romvis surjeksjon. Vi itererer så J transfinitt. Dvs. for ordinaltall α setter vi J α+1 = J J α, og for grenseordinaltall settes J α = colim β<α J β. For α tilstrekkelig stor (større en kardinaliteten til antall topologier på alle kvotienter av alle rom D(V) for alle V U) er så J α+1 D = J α D, dvs. strukturavbildningene i J α D er imbeddinger. Altså er J α D et imbeddingsprespektrum, og vi setter L D = J α D.

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 7 Teorem (A.1.1 og A.2.1). (a) L = L L er venstreadjungert til l = l l. Dermed bevarer L kogrenser. (b) L er en kontinuerlig funktor. (c) L bevarer endelige produkter. I.3: Konstruksjonene E X, F(X,E), E/H og E H ; homotopiteori Definisjon I.3.1. La D GPU og X GT. Definer smash-produkt (pre- )spekteret D X GPU ved å la (D X)(V) = D(V) X for alle V U, med strukturavbildninger Σ W V (D(V) X) = (Σ W V D(V)) X σ 1 D(W) X. (Homeomorfien til venstre er gitt ved en transposisjon.) For E GSU la E X = L(lE X). Tilsvarende kan vi definere X D og X E. Spesielt har vi sylinderen E I +, kjeglen CE = E I og suspensjonen ΣE = E S 1 i kategorien av G-spektra. Mer generelt lar vi Σ V E = E S V. Definisjon I.3.2. Gitt D i GPU og X i GT, definer funksjons(pre-)spekteret F(X,D) i GPU ved å la F(X,D)(V) = F(X,D(V)) for alle V U, med adjungerte strukturavbildninger F(X,D(V)) F(1, σ) F(X,Ω W V D(W)) = Ω W V F(X,D(W)). (Homeomorfien til høyre er gitt ved en transposisjon.) Dersom E er et G-spektrum er F(X,E) allerede et G-spektrum. NåfårvidetfrieveispekteretF(I +,E),veispekteretPE = F(I,E)ogløkkeromsspekteret ΩE = F(S 1,E) i kategorien av G-spektra. Mer generelt lar vi Ω V E = F(S V,E). Den kontinuerlige adjunksjonen mellom (?) X og F(X,(?)) løftes romvis fra GT til GPU, og til GSU gjennom spektrifisering. Proposisjon I.3.4. Det er naturlige isomorfier E S 0 = E og F(S 0,E) = E. Vi kan nå snakke om homotopier av avbildninger av G-spektra. La hgsu være homotopikategorien til GSU, med G-spektra som objekter og homotopiklasser av avbildninger mellom slike som morfismer. Vi kan definere kofibreringer av G- spektra ved homotopi-utvidelsesegenskapen (de blir automatisk lukkede imbeddinger), og fibreringer ved homotopi-løftningsegenskapen. Man kan vise homotopiinvarians av pushout over en kofibrering, og av sekvensielle kogrenser over kofibreringer. Fra dette følge Puppe-sekvensene og lim-r lim-sekvensene. Man kan altså gjøre homotopiteori i kategorien hgsu.

8 JOHN ROGNES Definisjon. La H G være en (lukket) undergruppe. Et univers U kalles H- trivielt hvis H virker som identiteten på alle representasjoner V U. Hvis U er et G-univers er underrommet U H et eksempel på et H-trivielt univers. Definisjon I.3.7(i). La U være et H-trivielt univers, og la D GPU. La WH = NH/H der NH G er normalisatoren til H, og observer at U er et WH-univers. Definer orbit-spekteret D/H i W HPU ved med strukturavbildning (D/H)(V) = D(V)/H Σ W V (D(V)/H) = (Σ W V D(V))/H σ/h D(W)/H. (HomeomorfientilvenstrebrukerantagelsenomatH virkertrivieltpåw V U.) For E GSU definerer vi E/H = L(lE/H) Definer fikspunkt-spekteret D H i WHPU ved med adjungert strukturavbildning (D H )(V) = D(V) H WHSU. D(V) H σ H (Ω W V D(W)) H = Ω W V (D(W) H ). (Homeomorfien til høyre bruker antagelsen om at H virker trivielt på W V U.) Dersom E er et G-spektrum er E H allerede et WH-spektrum. La U være et G-univers, og la i: U H U være inklusjonen. Ved å restriktere et G-(pre-)spektrum definert på representasjoner V U til de representasjonene som faktisk ligger i U H får vi definert en funktor som igjen restrikterer til en funktor i : GPU GPU H, i : GSU GSU H. Definisjon I.3.7(ii). La U være et vilkårlig G-univers, og observer at U H er et H-trivielt W H-univers. For et G-prespektrum D GPU la D H = (i D) H WHPU H. Dersom E GSU er et G-spektrum er E H = (i E) H WHSU H allerede et W H-spektrum. Vi kan glemme WH-virkningen når den er irrelevant, og få funktorer til PU H og SU H. For V R U med triviell H-virkning er altså E H (V) = E(V) H. Proposisjon I.3.8. La U være et G-trivielt univers og la ǫ : SU GSU tilordne den trivielle G-virkningen på rommene i et spektrum. Det er adjunksjoner og for E GSU og F SU. SU(E/G,F) = GSU(E,ǫ F) GSU(ǫ F,E) = SU(F,E G )

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 9 I.4: Funktorene Ω Z og Σ Z ; sfærespektra og homotopigrupper La Z U være en G-representasjon. Da er Z-te-romsfunktoren Ω Z : GSU GT gitt ved Ω Z E = E(Z). Den har en venstreadjungert Σ Z : GT GSU, som vi kaller shift-desuspensjon. Definisjon I.4.1. Gitt et G-rom X la Σ Z X = L{Σ V Z X} V, der {Σ V Z X} V er G-prespekteret med V-te rom Σ V Z X hvis V Z, og ellers. Strukturavbildningene er identiteten eller inklusjonen av basispunktet. L er spektrifiseringsfunktoren. Så for Z V. (Σ Z X)(V) = Q(Σ V Z X) Definisjon I.4.3. Definer sfære G-spektra S n GSU ved og S n = Σ S n S n = Σ n S 0 for n 0. For H G definer generaliserte sfærespektra S n H for n Z ved S n H = G/H + S n. Definisjon I.4.4. (i) For H G, n Z og E GSU la π H n (E) = hgsu(s n H,E). Disse er Abelske grupper siden S n H er en dobbel suspensjon. (ii) En avbildning f: E F av G-spektra er en svak G-ekvivalens hvis f : π H n (E) π H n (F) er en isomorfi for alle n Z, H G. (iii) Et spektrum E er k-sammenhengende hvis π H n (E) = 0 for alle n k og alle H G. Det kalles konnektivt hvis det er ( 1)-sammenhengende, og nedad begrenset hvis det er k-sammenhengende for noen k. Proposisjon I.4.5(i, iii). For n 0 er og π H n (E) = π H n (E(0)) = π n (E(0) H ) = π n (E H ) π H n(e) = π H 0 (E(R n )) = π 0 (E(R n ) H ) = π n (E H ). Teorem I.4.6. En avbildning f: E F av G-spektra er en svak G-ekvivalens hvis og bare hvis den er en romvis svak G-ekvivalens, dvs. hvis f V : E(V) F(V) er en svak G-ekvivalens for alle V. Dersom E og F er konnektive holder dette hvis og bare hvis Ω f: Ω E Ω F er en svak G-ekvivalens. Dette er lett å vise ikke-ekvivariant (med G = 1 triviell), mens det ekvivariante utsagnet er dypere. Dette bevises i I.7.

10 JOHN ROGNES I.5: G-CW spektra og den stabile kategorien La avbildningskjeglen eller homotopikofiberen være C f = E f CD for en avbildning f: D E av G-spektra. Dette er pushout i diagrammet CD D f E. Dualt la homotopifiberen være F f = D f PE. Dette er pullback i diagrammet D f E PE. Definisjon I.5.1. Et G-cellespektrum er et G-spektrum E GSU med en følge av underspektra E n og avbildninger j n : J n E n slik at E 0 =, hver J n er en wedgesum av sfærespektra S q H, E n+1 = C jn = E n jn CJ n for n 0 og E er unionen av spektrene E n. Hver avbildning CS q H CJ n E n+1 er en (q+1)-celle i E. Et G-CW spektrum er et G-cellespektrum slik at hver pålimingsavbildning S q H j n J n En faktoriserer gjennom et celle-underspektrum av E n som bare inneholder celler av dimensjon q. La n-skjelettet E (n) E være unionen av cellene i E av dimensjon n. Da er E = n E(n). En avbildning f: E F av G-CW spektra som bevarer skjelettfiltrasjonen kalles cellulær. La GCU GSU være underkategorien av G-CW komplekser og cellulære avbildninger. La hgcu være dens homotopikategori. Man kan vise cellulær approksimasjon for avbildninger mellom G-CW spektra (Teorem I.5.8), Whitehead-teoremet at en svak G-ekvivalens mellom G-CW spektra er en G-homotopiekvivalens (Teorem I.5.10), og G-CW approksimasjon av spektra (Teorem I.5.12). Det siste resultatet gir en funktor Γ: hgsu hgcu som tar et G-spektrum E til et G-CW spektrum ΓE, sammen med en naturlig svak G-ekvivalens γ: ΓE E for alle E GSU. Definisjon. La den G-stabile kategorien hgsu være lokaliseringen av homotopikategorien hgsu med hensyn på de svake G-ekvivalensene. Dvs. hgsu har de samme objektene som GSU (og hgsu), og i tillegg til morfismene i hgsu (som er homotopiklasser av morfismer i GSU) innføres formelle inverser til de morfismene i hgsu som representeres av svake G-ekvivalenser. Dette realiseres ved å la hgsu ha G-spektrene som objekter, og å definere hgsu(d,e) = hgsu(γd,γe) der ΓD og ΓE er G-CW spektra naturlig svakt G-ekvivalente med hhv. D og E. Vi skriver kort [D,E] G = hgsu(d,e). Siden D er svakt G-ekvivalent med en dobbelt suspensjon er disse morfismemengdene Abelske grupper, og komposisjonen er bilineær, dvs. den G-stabile kategorien hgsu er en lineær kategori.

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 11 Morfismene i hgsu kalles også svake G-avbildninger. De kan skrives som en kjede av G-spektrums-avbildninger D γ ΓD ΓE γ E. Siden hgsu(s n H,ΓE) = hgsu(s n H,E) er ved induksjon hgsu(γd,γe) = hgsu(γd,e) siden ΓD er et G-CW spektrum. Så hvis D allerede er et G-CW spektrum er hgsu(d,e) = hgsu(d,e). Spesielt er π H n (E) = [S n H,E] G korepresentert i den G-stabile kategorien. γ induserer en ekvivalens av kategorier hgsu hgcu. Teorem I.5.11 (Browns representabilitetsteorem). En kontravariant funktor T : hgsu Sets kan representeres som T(D) = [D,E] G for et G-spektrum E hvis og bare hvis (i) T tar wedgesum til produkt, og (ii) T tar homotopipushout til (svakt) pullback. I.6: Stabilitet, homologi og kohomologi Teorem I.6.1. For alle V U er enheten og koenheten η: E Ω V Σ V E og ǫ: Σ V Ω V E E naturlige isomorfier i hgsu. Derfor er Σ V og Ω V inverse ekvivalenser. Så det er naturlige isomorfier Σ V : [D,E] G = [Σ V D,Σ V E] G og Ω V : [D,E] G = [Ω V D,Ω V E] G. Dette bevises i I.7. Vi kan altså desuspendere med V U i hgsu, og skriver også Σ V for Ω V. Et G-spektrum E representerer RO(G; U)-graderte homologi- og kohomologiteorier på G-spektra, og dermed også på G-rom. For a = V W RO(G;U) der V,W U er endelige summer av distinkte irredusible G-representasjoner i U, la S a = Σ W S V = Ω W S V. For a = n Z oppfattet som den trivielle representasjonen R n er S a = S n. Vi skriver Σ a E = Σ W Σ V E, og definerer E G a (Y) = [S a,y E] G og E a G(Y) = [Y,Σ a E] G

12 JOHN ROGNES for G-spektra Y. (Smashproduktet Y E defineres i II.3.) Spesielt for a = n Z er E G n(y) = π G n(y E) og E n G(Y) = [Y,Σ n E] G. For G-rom X defineres og Ẽ G a (X) = E G a (Σ X) = [S a,x E] G Ẽ a G(X) = E a G(Σ X) = [Σ X,Σ a E] G. For X et G-CW kompleks er den siste gruppen lik homotopiklassene av G- avbildninger av rom X Ω Σ a E. Slik representerer spektra homologi- og kohomologiteorier. F.eks. π G n(x) = S G n(x). III.2: Linearitet for G-spektra La f: X Y være en avbildning av G-spektra. Ved å danne itererte homotopikofibre får vi Puppe kofibersekvenser og dualt Puppe fibersekvenser X f Y i C f π ΣX Σf...... Ωf ΩY ι F f p X f Y. Lemma III.2.1. Følgende sekvenser er eksakte for alle G-spektra Z (i) (ii) (iii) (iv) f i [Z,X] G [Z,Y]G [Z,Cf ] G p f [Z,F f ] G [Z,X]G [Z,Y]G [X,Z] G f [Y,Z] G i [C f,z] G [F f,z] G p [X,Z] G f [Y,Z] G. Bevis. Sekvensene (ii) og (iii) er eksakte allerede på romnivået, og er velkjent. Vi viser at (i) er eksakt. Beviset for (iv) er dualt. Gitt α: Z Y med i (α) = 0 finnes en utvidelse β: CZ C f. Kvotienten gir en avbildning γ: ΣZ ΣX slik at diagrammet kommuterer: Z Z CZ γ α β X f Y i C f π ΣZ γ ΣX Vi skriver γ = Σγ med γ : Z X. Da er f (γ ) = α, som viser eksakthet. ((Får lange eksakte sekvenser i homotopi for begge Puppesekvensene.))

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 13 Teorem III.2.4. Det er naturlige isomorfier η: F f ΩC f og ǫ: ΣF f C f i den G-stabile kategorien hgsu. Dermed har hgsu to strukturer som triangulert kategori; enten med X f Y i C f π ΣX eller X f Y Σι ΣF f Σp ΣX som eksakte triangler. Disse er negativer av hverandre, dvs. i den G-stabile kategorien er kofibersekvenser og fibersekvenser det samme opp til fortegn. Spesielt gir både Puppe kofiber- og fiber-sekvensene av G-spektra lange eksakte sekvenser i både E-homologi og E-kohomologi av slike spektra, for ethvert G-spektrum E. II.1: Skifte av univers La U og U være G-universer, og la f: U U være en G-lineær isometri. Da er f nødvendigvis injektiv, og hver irredusibel G-representasjon som forekommer i U forekommer også i U. Definisjon II.1.1. Det er en kontravariant skifte-av-univers funktor f : GPU GPU gitt ved (f D )(V) = D (f(v)) der V U og D GPU. De adjungerte strukturavbildningene er D (f(v)) σ Ω f(w) f(v) D (f(w)) F(f,1) = Ω W V D (f(w)). Dersom E GSU er et G-spektrum er f (E ) allerede et G-spektrum. Det er også en kovariant skifte-av-univers funktor f : GPU GPU gitt ved (f D)(V ) = Σ V f(v) D(V) der V U og V = f 1 (V ) U, så f(v) V. Strukturavbildningene er Σ W V Σ V f(v) D(V) = Σ W f(w) Σ f(w) f(v) D(V) 1 f 1 1 = Σ W f(w) Σ W V D(V) σ 1 Σ W f(w) D(W) derv W U,V = f 1 (V ),W = f 1 (W ) U,såf(V) V ogf(w) W. For E GSU definerer vi f E = Lf (le). Intuitivt kan vi si at f glemmer noen av representasjonene vi kan deloope et spektrum med, mens f bygger inn nye representasjoner. På prespektrumsnivået gjør f dette ved suspensjon med de nye representasjonene i U som er ortogonale til bildet fra U. På spektrumsnivået følges dette opp med spektrifisering, som typisk også vil forandre de opprinnelige rommene indeksert på representasjoner i U.

14 JOHN ROGNES Proposisjon II.1.2. La f: U U være en G-lineær isometri. Da er f venstreadjungert til f, så det er en naturlig homeomorfi GSU (f E,E ) = GSU(E,f E ) der E GSU og E GSU. Videre er (gf) = g f og (gf) = f g for g: U U. Hvis det finnes en G-lineær isometri f: U U, dvs. hvis U inneholder alle de irredusible representasjonene i U, så er rommet av slike G-lineære isometrier kontraktibelt (Lemma II.1.5). For to slike f,g: U U er da de induserte funktorene f,g : hgsu hgsu på de G-stabile kategoriene kanonisk og koherent naturlig ekvivalente. Det samme gjelder f og g. Derfor er f og f på en presis måte essensielt uavhengige av valget av den isometriske imbeddingen U U. II.3: Smash-produkt og funksjons-spektra La U og U være G-universer. Da er U U igjen et G-univers. Gitt en familie rom D(V V ) og avbildninger Σ (W V) (W V ) D(V V ) D(W W ) for alle V W U og V W U utvider vi disse til et prespektrum D i GP(U U ) ved D(V ) = Ω V V V D(V V ) der V V V er minimalt valgt, for alle V U U. Så V = proj U (V ) og V = proj U (V ). Definisjon II.3.1. For D GPU og D GPU definer det eksterne smashprodukt-prespekteret D D GP(U U ) ved (D D )(V V ) = D(V) D (V ) med strukturavbildninger Σ (W V) (W V ) D(V) D (V ) = Σ W V D(V) Σ W V D (V ) σ σ D(W) D (W ). For E GSU og E GSU definer det eksterne smashprodukt-spekteret ved E E = L(lE le ) GS(U U ). Definisjon II.3.3. Gitt D GP(U U ) og V U definer et prespektrum D [V] GPU ved D [V](V ) = D (V V ) med strukturavbildninger Σ W V D (V V ) σ D (V W ).

Vi får prespektrumsavbildninger EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 15 D [V] Ω W V D [W] som er isomorfier dersom D er et spektrum. For D GPU definer det eksterne funksjonsprespekteret F(D,D ) GPU ved F(D,D )(V) = PU (D,D [V]) med strukturavbildninger PU (D,D [V]) σ PU (D,Ω W V D [W]) = Ω W V PU (D,D [W]). Dersom D er et G-spektrum, så er F(D,D ) allerede et G-spektrum. Proposisjon II.3.4. Det er naturlige homeomorfier og GP(U U )(D D,D ) = GPU(D,F(D,D )) GS(U U )(E E,E ) = GSU(E,F(E,E )). Det finnes en symmetrisk definisjon av F(E,E ) GSU for E GSU og E GS(U U ), og en tilsvarende adjunksjon. Det eksterne smashproduktet er assosiativt, unitalt og kommutativt opp til koherent isomorfi. F.eks. er t (E E) = E E i GS(U U ), der t: U U U U transponerer faktorene. Vi internaliserer så smashproduktet og funksjonsspekteret. Definisjon II.3.11. Velg en G-lineær isometri f: U U U. Definer interne smashprodukt- og funksjonsspektrum-funktorer GSU GSU GSU og GSU GSU F(, ) GSU ved E E = f (E E ) og F(E,E ) = F(E,f E ) for E,E GSU. Spesielt er Ω F(E,E ) = SU(E,E ) for E,E GSU, mens Ω F(E,E ) G = GSU(E,E ). De interne operasjonene bevarer svake ekvivalenser, og induserer derfor smashprodukt- og funksjonsspektra på den G-stabile kategorien hgsu. Her er konstruksjonene uavhengige (opp til kanonisk koherent isomorfi) av valget av f. Teorem II.3.13. Den G-stabile kategorien ḠSU er en lukket symmetrisk monoidal kategori, med hensyn på det interne smashproduktet og funksjonsspekteret F(, ), med sfærespekteret S som enhet. Dvs. det er en naturlig isomorfi hgsu(e E,E ) = hgsu(e,f(e,e )) for E,E,E hgsu, og koherente naturlige isomorfier i hgsu. (E E ) E = E (E E ) S E = E = E S γ: E E = E E

16 JOHN ROGNES II.2: N-frie G-spektra lever i N-trivielle universer Definisjon II.2.1. La N G være en normal undergruppe. Vi kan oppfatte et G-rom som et N-rom ved restriksjon av gruppevirkningen. Et G-rom X kalles N-fritt hvis N virker fritt på X, dvs. G x N = 1 for alle x der G x G er stabilisatoren til punktet x X. Et G-CW spektrum er N-fritt dersom det består av celler på formen CS n H = G/H + CS n med H N = 1. Vi definerer ikke hva det vil si at et generelt G-spektrum er N-fritt. Definisjon II.2.5. La i: U U være en inklusjon av G-universer. En U - representasjon av et spektrum E GSU er et spektrum E GSU sammen med en svak G-ekvivalens i E E. Teorem II.2.8. La N være en normal undergruppe av G, la U være et komplett G-univers, og la i: U N U være inklusjonen. (i) Hvis E GSU N er et N-fritt G-CW spektrum, og F GSU N et G- spektrum, så er i : [E,F ] G [i E,i F ] G en isomorfi. (ii) Hvis E GSU er et N-fritt G-CW spektrum så har E en U N -representasjon ved et N-fritt G-CW spektrum E GSU N. Videre er E entydig bestemt opp til G-homotopiekvivalens. Derfor huskeregelen: N-frie G-CW spektra lever i N-trivielle universer. Korollar II.2.9 (Adams). Hvis X er et N-fritt G-CW kompleks og Y et G-rom, så er [Σ X,Σ Y] G det samme om det beregnes i universet U N eller i U. II.4: Skifte av gruppe; frie og kofrie G-spektra La α: H G være en gruppehomomorfi. Et G-univers kan oppfattes som et H- univers ved prekomposisjon med α, og tilsvarende kan G-rom oppfattes som H-rom. Derfor har vi en glemsom funktor α : GSU HSU der U oppfattes som et G-univers til venstre og som et H-univers til høyre. Vi skal konstruere venstre- og høyreadjungerte funktorer G α (?) og F α [G,(?)) til α. La N = ker(α) og J = im(α). Da kan α faktoriseres som en surjeksjon og en injeksjon H H/N = J G. Det er derfor nok å konstruere adjungerte funktorer i tilfellene hvor α: H G er inklusjonen av en undergruppe, og hvor ǫ: G G/N = J er surjeksjonen på en kvotientgruppe.

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 17 Definisjon II.4.1. La H være en undergruppe av G, og la D HPU, der U er et G-univers. (i) Definer G H D GPU ved med strukturavbildninger (G + H D(V)) S (G H D)(V) = G + H D(V) W V ζ 1 G + H (D(V) S W V ) 1 σ G + H D(W). = (Homeomorfien til venstre tvister inn gruppevirkningen av H på G-representasjonen W V.) For E HSU definerer vi (ii) Definer F H [G,D) GPU ved med adjungerte strukturavbildninger G H E = L(G H le). F H [G,D)(V) = F H (G +,D(V)) F H (G +,D(V)) F(1, σ) F H (G +,Ω W V D(W)) = Ω W V F H (G +,D(W)). (Homeomorfien til høyre tvister H-virkningen vekk fra G-representasjonen W V.) Dersom E er et H-spektrum, så er F H [G,E) allerede et G-spektrum. La U være et G-univers, la D være et H-spektrum, og la E være et G-spektrum. Vi tenker på G H E som det frie G-spekteret, og F H [G,E) som det kofrie G- spekteret, generert av H-spekteret E. Proposisjon II.4.3. For H G er det naturlige isomorfier og GSU(G H D,E) = HSU(D,E) HSU(E,D) = GSU(E,F H [G,D)) der E GSU kan oppfattes som et H-spektrum ved restriksjon over H G. Ved å passere til den stabile kategorien gir dette et utsagn om representerte kohomologiteorier. Korollar. for G-spektra E og H-spektra D. E G(G H D) = E H(D) La så ǫ: G G/N = J være en surjeksjon med kjerne N. La U være et J-univers, slik at ǫ U er et N-trivielt G-univers. Orbit-konstruksjonen (?)/N og fikspunkt-konstruksjonen (?) N er hhv. venstre- og høyreadjungert til funktoren ǫ som oppfatter J-spektra som G-spektra.

18 JOHN ROGNES Proposition II.4.4. For ǫ: G G/N = J er det naturlige isomorfier og JSU(D/N,E) = GSU(D,ǫ E) GSU(ǫ E,D) = JSU(E,D N ) der D GSU oppfattes som et G-spektrum indeksert på et N-trivielt univers, og E JSU. Settes disse resultatene sammen får vi at for en vilkårlig homomorfi α: H G er G α D = G J (D/N) venstreadjungert til α, og F α [G,D) = F J [G,D N ) er høyreadjungert til α. Transitivitetsegenskaper til disse funktorene m.h.p. videre homomorfier β: G K uttrykkes best ved disse sammensatte funktorene. I den G-stabile kategorien er følgende sammenstilling av Teorem II.2.8 med Proposisjon II.4.4 nyttig. Teorem II.4.5. La J = G/N med kvotientavbildning ǫ: G N. La G være et komplett G-univers med inklusjon i: U N U. Hvis D GSU N er et N-fritt G-CW spektrum og E JSU N, så er det naturlige isomorfier der ǫ # E = i ǫ E. [D/N,E] J = [D,ǫ E] G = [i D,ǫ # E] G Korollar (Adams). La U være et komplett G-univers. Hvis X er et N-fritt G- CW kompleks og Y et J-rom så er [Σ X/N,Σ Y] J = [Σ X,Σ ǫ Y] G der venstresiden beregnes i universet U N og høyresiden i universet U. II.5: Pontryagin-Thom konstruksjonen LaH Gværeen(lukket)undergruppe. LaL = T e (G/H)væretangentrommet til G/H i e = eh. Da er L en H-representasjon. Konstruksjon II.5.1. La j: G/H V være en G-imbedding av G/H i en G- representasjon V. Inklusjonen av tangentrommet i e = eh gir en imbedding av L som en H-underrepresentasjon av V. La W = V L være det ortogonale komplementet til L, så V = L+W som en H-representasjon. Normalbunten til imbeddingen j er G H W G/H, så vi kan utvide j til en G-imbedding j: G H W V av en normal tubulær omegn. Ved å kollapse komplementet av den åpne tubulære omegnen til basispunktet fås en G-avbildning Det finnes også en H-avbildning t: S V G + H S W. u: G + H S W S V slik at sammensetningen u t: S V S V er H-homotop med identiteten.

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 19 Eksempel. Hvis G er endelig er L = 0 og V = W. Vi kan la V = R[G/H] og imbedde G/H på basisvektorene til V. Vi får en G-avbildning t: S V G + H S V = G/H+ S V = S V. G/H og en H-avbildning u: G/H + S V S V. Her er u projeksjonen på wedgesummanden til e = eh G/H. Siden t er en G- avbildningertsammensattmedprojeksjonpåhveravwedgesummandeneig/h + S V en selvavbildning av S V av grad 1. På homologi sender derfor t generatoren i H (S V ) = Z til norm-elementet N = gh G/H gh i H (G/H + S V ) = Z[G/H]. II.6: Wirthmüller-isomorfien Wirthmüller-isomorfien uttrykker en sammenheng mellom funktorene G H (?) og F H [G,(?)) fra H-spektra til G-spektra. LaU væreetg-universslikatalleorbiterg/h imbedderiu. Velgenimbedding j: G/H V med V U, som i II.5.1. Med L = T e (G/H) og W = V L er S V = S L S W. Koenheten til den andre adjunksjonen i II.4.3 er en H-avbildning ǫ: F H [G,D) D. Definisjon II.6.1. La D være et H-spektrum. Dann sammensetningen av G- spektrumsavbildninger F H [G,Σ L D) S V 1 t F H [G,Σ L D) (G + H S W ) ζ 1 = G + H (F H [G,Σ L D) S W ) 1 ǫ G + H (Σ L D S W ) = G + H (D S V ) ζ = (G + H D) S V. La Wirthmüller-avbildningen ω: F H [G,Σ L D) G H D være Σ V anvendt på denne sammensetningen. Teorem II.6.2. For H-spektra D er ω: F H [G,Σ L D) G H D en naturlig ekvivalens av G-spektra. Teoremet bevises ved å konstruere en G-homotopiinvers til ω, ved å bruke avbildningen u: G H S W S V. Korollar II.6.5. For G-spektra E og H-spektra D er en naturlig isomorfi. ω : [E,Σ L D] H = [E,FH [G,Σ L D)] G = [E,G H D] G

20 JOHN ROGNES Korollar II.6.6. For G-spektra E og H-spektra Y er E H (Σ L Y) = E G (G H Y). Her er E H den RO(G;U)-graderte homologiteorien på H-spektra som kommer fra å oppfatte E som et H-spektrum. Korollar (Wirthmüller). For G-spektra E og H-rom X er Ẽ H (Σ L X) = ẼG (G H X). La e: 0 L være inklusjonen av null-rommet. Det er klart at e induserer inklusjoner e: W V og e: S W S V. Definisjon II.6.15. Transfer-avbildningen τ: S Σ (G/H + ) tilknyttet projeksjonen c: G/H dannes fra sammensetningen S V t G H S W 1 e G H S V = Σ V (G/H + ) ved å desuspendere med V. Den G-ekvivariante Euler-karakteristikken χ(g/h) π G 0 (S) er sammensetningen der ξ er indusert av c. Graden til sammensetningen S τ Σ (G/H + ) ξ S S V t G + H S W 1 e G + H S V ξ S V er lik den klassiske Euler-karakteristikken χ(g/h). II.7: Adams-isomorfien Adams-isomorfien uttrykker en sammenheng mellom funktorene (?)/N og (?) N på N-frie G-CW spektra, der N G er en normal undergruppe. Konstruksjon. La N G være en normal undergruppe. Da virker G fra venstre på N ved konjugasjon: g n = gng 1. Da virker G også ved konjugasjon på tangentrommet A = T e (N) til N i e. Vi kaller A den adjungerte G-representasjonen til N. Tilsvarende virker G fra høyre på N ved konjugasjon: n g = g 1 ng. La G c N være det semidirekte produktet av G og N for denne høyre-virkningen. Så N er også en normal undergruppe i G c N, med kvotientgruppe G: 0 N G c N ǫ G 0 Her er ǫ(g,n) = g. Multiplikasjonen i G c N er (g,n) (h,m) = (gh,h 1 nhm).

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 21 Vi kan også oppfatte G som en undergruppe i G c N, ved g (g,e). Vi vil se på det homogene rommet (G c N)/G. Merk at G c N virker transitivt på N ved (g,n) m = gnmg 1, med stabilisator lik undergruppen G G c N. Vi identifiserer rommet (G c N)/G med N gjennom denne venstre-virkningen. Da identifiseres tangentrommet til (G c N)/G i e = eg, som G-representasjon, med den adjungerte G-representasjonen A til N. For virkningen av G G c N på N er konjugasjonen g m = gng 1. Videre er tangentbunten til (G c N)/G triviell. Merk at N nå er en undergruppe av G c N på to forskjellige måter: som elementene (n,e) og som elementene (e,n). Vi vil presisere dette som N G i det første tilfellet, og som N G c N i det andre tilfellet. La nå U være et komplett G c N-univers. Ved å imbedde (G c N)/G i en tilstrekkeligstorg c N-representasjonV, ogålaw = V AsomG-representasjon, får vi som i II.5.1 en G c N-avbildning S V (G c N)/G + S W = Σ V A N +. (Vi bruker at også normalbunten til imbeddingen er triviell.) Vi anvender Σ og desuspenderer med V, og får en avbildning t: S Σ A Σ N + av G c N-spektra indeksert på U. Denne avbildningen t kalles dimension-shifting pretransfer. La så U = (U ) N der N G c N. Da blir U et komplett G-univers. Videre kan vi danne U N for N G. Vi får inklusjoner av universer U N i U = (U ) N j U. La θ: G c N G være homomorfien gitt ved θ(g,n) = gn. La D GSU N være et N-fritt G-CW spektrum indeksert på U N. Da er θ D et N-fritt (G c N)-CW spektrum, når N oppfattes som en undergruppe av G G c N. Videre er j i θ D et N-fritt (G c N)-CW spektrum indeksert på U. Vi kan danne avbildningen 1 t: j i θ D = j i θ D S j i θ D Σ A Σ N + = j Σ A (i θ D N + ) av N-frie spektra indeksert på U. Ved II.2.8 er denne representert på U = (U ) N ved en avbildning ˆτ: i θ D Σ A (i θ D N + ) av N-frie (G c N)-CW spektra. Vi danner så orbitspektra for de frie N-virkningene, på dette N-trivielle universet. Resultatet (se II.7.4) er en avbildning τ: ǫ # (D/N) = i ǫ (D/N) Σ A i D av G-spektra indeksert på U. Denne avbildningen τ kalles dimension-shifting transfer.

22 JOHN ROGNES Eksempel (S 1 -transfer). La Y være et S 1 -rom og U et komplett S 1 -univers. Da er ES 1 + Y et fritt S 1 -rom, og vi kan finne et svakt ekvivalent fritt S 1 -CW kompleks som vi også kaller ES 1 + Y. Med D S 1 SU S1 lik suspensjonsspekteret Σ (ES 1 + Y) dannet i U S1, er D/S 1 SU S1 lik Σ (ES 1 + S 1 Y), og ǫ # (D/S 1 ) S 1 SU er samme spektrum gitt triviell S 1 -virkning og deretter utvidet over alle S 1 -representasjoner i U. Så ǫ # (D/S 1 ) er suspensjonsspekteret til ES 1 + S 1 Y med triviell S 1 -virkning, dannet i universet U. Tilsvarende er i D S 1 SU suspensjonsspekteret Σ (ES 1 + Y) dannet i U, og siden A = R 1 har triviell S 1 -virkning er Σ A i D S 1 SU lik desuspensjonen Σ 1 Σ (ES 1 + Y). Transferavbildningen er da en S 1 -avbildning τ: Σ (ES 1 + S 1 Y) Σ 1 Σ (ES 1 + Y). i S 1 SU. Glemmer vi S 1 -virkningen, suspenderer med R 1 og kollapser ES 1 til et punkt får vi en avbildning c Στ: ΣΣ (ES 1 + S 1 Y) Σ Y. Den underliggende romavbildningen er S 1 -transferavbildningen trf S 1: Q(Σ(ES 1 + S 1 Y)) Q(Y), som er en uendelig-løkkeromsavbildning. Med Y = ΛX + er dette avbildningen som forekommer i beskrivelsen av T C(X); den topologiske sykliske homologien [BHM] til rommet X. La J = G/N være kvotientgruppen. Merk at ǫ # = i ǫ er venstreadjungert til N-fikspunktfunktoren (?) N = (i (?)) N : GSU JSU N. Derfor har τ en høyreadjungert avbildning τ: D/N (Σ A i D) N. Teorem II.7.1. For N-frie G-CW spektra D indeksert på U N er den adjungerte τ: D/N (Σ A i D) N til τ en naturlig ekvivalens av J-spektra indeksert på U N. Teoremet bevises ved å redusere til D = S 0 H med H N = 1. I dette tilfellet kan τ omskrives ved hjelp av Wirthmüller-avbildningen ω, og man kan ad omveier konstruere en homotopiinvers. Korollar II.7.2. Hvis D GSU N er et N-fritt G-CW spektrum og E JSU N, så er τ : [E,D/N] J = [E,(Σ A i D) N ] J = [ǫ # E,Σ A i D] G en naturlig isomorfi.

EKVIVARIANT STABIL HOMOTOPITEORI 23 Korollar (Adams). Hvis X er et N-fritt G-CW kompleks og Y et J-CW kompleks, så er [Σ Y,Σ X/N] J = [Σ Y,Σ A Σ X] G. Bemerkninger II.7.3. (i) Hvis N ikke er Abelsk og har positiv dimensjon så virker N ikke-trivielt på A. Da lar desuspensjonsfunktoren Σ A seg bare definere i hgsu og ikke i hgsu N. (ii) Selv om A = 0 kan ikke (i D) N erstattes med D N i II.7.1. For eksempel hvis G = N er endelig og D = Σ G + i GSU, så er D G = mens teoremet viser at (i D) G = S. Så N-frie G-CW spektra har typisk ikke trivielle N-fikspunktspektra. II.8: Splitte spektra La U være et komplett G-univers, la A = T e (G) være den adjungerte G- representasjonen, og la i: U G U være inklusjonen. Definisjon (se II.8.4). For E G GSU la E SU G være i E G med glemt G- virkning. Vi tenker på E som det underliggende ikke-ekvivariante spekteret til E G. Det er en naturlig inklusjon ι: (E G ) G = (i E G ) G E. Vi sier at G-spekteret E G er splitt dersom det finnes en spektrumsavbildning ζ: E (E G ) G slik at ιζ 1. Da er ι en homotopiretraksjon, med ζ som en homotopiseksjon. Teorem II.8.1. La E G GSU være et splitt G-spektrum, med underliggende ikke-ekvivariant spektrum E. Da er det naturlige isomorfier E (D/G) = E G(i D) og E (D/G) = E G (Σ A i D) for ethvert G-fritt G-CW spektrum D. Spesielt, for ethvert G-fritt G-CW kompleks X er Ẽ (X/G) = Ẽ G(X) og Ẽ (X/G) = ẼG (Σ A X). Her står Σ A X for Σ A Σ X. Dette resultatet kan generaliseres til å relatere G-ekvivariant og J-ekvivariant (ko-)homologi for N-frie G-CW spektra, for N G normal og J = G/N, men hypotesen kan da best formuleres ved hjelp av familier, som vi har utelatt. Eksempel. DetG-ekvivariantesfærespekteretS G ersplitt. Dermederπ S (X/G) = π G (X) og πs (X/G) = π G (Σ A X) for G-fri G-CW komplekser X. Likeledes er de G-ekvivariante topologiske K-teorispektrene KU G og KO G splitte. La Ad(WH) = T e (WH) være den adjungerte WH-representasjonen. Teorem (Segal tomdieck). La X være et G-CW kompleks. Det er en naturlig splitting (Σ X) G EWH + WH Σ Ad(WH) Σ X H (H)

24 JOHN ROGNES der summen løper over alle konjugasjonsklasser av undergrupper H G slik at WH = NH/H er endelig. Spesielt, for G endelig og X = S 0 er (S G ) G (H)Σ (BWH + ) så Q G (S 0 ) G (H) Q(BWH +). II.9: Romvise fikspunkter ((Eksempel: Kofibersekvensen for T HH.)) III: Ekvivariant dualitetsteori ((Spanier Whitehead dualitet: X retrakt av endelig G-CW spektrum. Da er F(X,E) DX E så E G (X) = E G (DX). Her er dualet DX = F(X,S).)) ((..)) ((..)) IV: Ekvivariant transfer Generalisert Tate kohomologi Referanser [A] J. F. Adams, Prerequisites (on equivariant theory) for Carlsson s lecture, Algebraic Topology, Proc. Conf., Aarhus 1982, Lecture Notes in Math., vol. 1051, Springer Verlag, 1984, pp. 483 532. [BHM] M. Bökstedt, W. C. Hsiang and I. Madsen, The cyclotomic trace and algebraic K-theory of spaces, Invent. Math. 11 (1993), 465 540. [LMS] L. G. Lewis, Jr., J. P. May and M. Steinberger, Equivariant Stable Homotopy Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1213, Springer Verlag, 1986. [W] K. Wirthmüller, Equivariant homology and duality, Manuscripta Math. 11 (1974), 373 390.