Bjørn Jahren. 1. DIFFERENSIABILITET I R m
|
|
- Hege Knutsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) Bjørn Jahren 1. DIFFERENSIABILITET I R m La f : E R n være en kontinuerlig avbildning, der E R m er en åpen delmengde. Vi sier at f er differensiabel i et punkt x E dersom det finnes en lineær transformasjon L : R m R n slik at hvis x + v E, så er ɛ(v) f(x + v) f(x) = L(v) + ɛ(v), der lim = 0 v 0 v ( v betyr euklidsk norm av v) 1 Hvis L eksisterer, har vi da L(v) = lim t 0 t (f(x+v) f(x)), så det følger at L er entydig bestemt. Eksempel. n = m = 1. Da er L(v) = f (x)v. m = 1. Da er L(v 1,.., v m ) = a 1 v a m v m, der 1 a i = L(e i ) = lim t 0 t (f(x 1,..x i + t,..x m ) f(x 1,.., x m )) = f (x 1,.., x m ) ({e 1,.., e m } er standard basis i R m.) Generelt får vi at matrisen til L relativt standardbasisene blir f 1 f x x m..... f n x 1... f n x m, dvs. Jakobimatrisen til f. Hvis f er lineær, har vi f(x + v) f(x) = f(v), så L = F. Notasjon. Vi kaller L den deriverte til f, og skriver L = df x. Hvis f er differensiabel i hele E, får vi funksjonen df : E L(R m, R n ) = mengden av lineære avbildninger fra R m til R n. L(R m, R n ) er et vektorrom med en naturlig topologi, som kan defineres enten via en isomorfi med et rom av matriser, eller ved normen gitt ved A(x) A = sup x 0 x Vi sier at f er kontinuerlig deriverbar dersom df : E L(R m, R n ) er kontinuerlig. Vi sier også at f er C 1. Oppgave. Vis at en funksjon g : E L(R m, R n ) er kontinuerlig hvis og bare hvis den assosierte funksjonen G : E R m R n gitt ved at G(x, v) = (g(x))(v) er kontinuerlig. Definisjon. Vi sier nå induktivt at f er C k dersom df : E L(R m, R n ) er C k 1. ekvivalent med at funksjonen E R m R n gitt ved (x, v) df x (v) er C k 1. f er C eller glatt hvis den er C k for alle k. Dette er 1 Typeset by AMS-TEX
2 2 BJØRN JAHREN Følgende resultat gir oss mulighet til å avgjøre når en funksjon er C 1 : Proposisjon. La E R m være åpen og anta f : E R n er en avbildning. Da er f C 1 hvis og bare hvis alle de partielle deriverte fi eksisterer og er kontinuerlige i E. Bevis. (i) Anta at f er C 1. Hvis {e 1,.., e m } er standard basis for R m og {u 1,.., u n } for R n, så er f i (x) = df x (e j ) u i (indreprodukt i R n ). Derfor er f i (y) f i (x) = (df x (e j ) df y (e j )) u i (df x df y )(e j ) u i df x df y e j = df x df y Så dersom df er kontinuerlig. så er også fi kontinuerlig. (ii) Hvis alle fi eksisterer og er kontinuerlige, så avhenger Jakobimatrisen L x = ( fi ) kontinuerlig av x, så vi trenger bare å vise at L x = df x for alle x E; dvs. at hvis vi setter η(h) η(h) = f(x + h) f(x) L x (h), så er lim h 0 h = 0. Men det er nok å vise dette for hver komponent av η dvs. for hver komponent av f. Derfor antar vi nå at m = 1. La x E, og la ɛ > 0. Det fins da en r > 0 slik at hvis S = {x R m ; x x < r}, så er S E, og f (y) f (x) < ɛ n Hvis nå h = n j=1 h je j tilfredsstiller h < r, setter vi for y S og j {1,.., n}. k v k = x + h j e j, for k = 1,..., n, og v 0 = x. j=1 Da er f(x + h) f(x) = n j=1 (f(v j) f(v j 1 )). La v j (t) = v j 1 + th j e j. S er konveks, så v j (t) S. Middelverdisetningen sier nå at det fins θ j (0, 1) slik at f(v j ) f(v j 1 ) = f (v j (θ j )) h j. Derfor er f(v j ) f(v j 1 ) h j f (x) = f (v j (θ j )) f (x) h j < h j ɛ n. Det følger at f(x + h) f(x) L x (h) = n f (f(v j ) f(v j 1 ) h j (x)) 1 n j=1 n h j ɛ h ɛ. j=1 dvs. η(h) h < ɛ bare h < r.
3 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 3 Et annet viktig resultat er kjerneregelen, som vi til stadighet skal få bruk for. Teorem. Anta E R m og F R n er åpne mengder og f : E R n, g : F R p er to funksjoner slik at f(e) F, f er differensiabel i x E og g er differensiabel i y = f(x). Da er g f differensiabel i x og d(g f) x = dg y df x. Bevis. Sett A = df x og B = dg y, og sett u(h) = f(x + h) f(x) A(h) og v(k) = g(y + k) g(y) B(k) der disse uttrykkene er definert. Videre definerer vi ɛ(h) og η(k) slik at u(h) = ɛ(h) h og v(k) = η(k) k og ɛ(0) = η(0) = 0. Da er lim h 0 ɛ(h) = lim k 0 η(k) = 0. La nå h være gitt, og sett k = f(x + h) f(x). Da er k = A(h) + u(h) A h + ɛ(h) h = ( A + ɛ(h)) h. Videre blir gf(x + h) gf(x) BA(h) = g(y + k) g(y) BA(h) = B(k) + v(k) BA(h) = B(k A(h)) + v(k) = B(u(h)) + v(k) B ɛ(h) h + η(k) k ( B ɛ(h) + η(k)( A + ɛ(h))) h = θ(h) h der θ(h) 0 når h 0. Derfor er altså d(gf) x = AB. Før vi kommer til neste viktige teorem, må vi vise følgende Lemma. Anta E R m er konveks og f : E R n er differensiabel. Anta videre at det fins et M > 0 slik at df x M for alle x E. Da gjelder ulikheten f(x) f(y) M x y for alle x, y E. Bevis. Hvis f(x) = f(y) er det ingenting å vise, så vi kan anta f(x) f(y). La da u = f(x) f(y) f(x) f(y) og c(t) = y + t(x y), og la h : R n R være definert ved h(z) = z u (indreprodukt). Da er h lineær og dh z (v) = v u. La nå g(t) = (f(c(t)) f(y)) u = h(f(c(t)) f(y)). Siden E er konveks, er g definert på et intervall som inneholder [0,1]. Da kan vi bruke middelverdisetningen og finne et tall θ (0,1) slik at g(1) g(0) = g (θ). Bruker vi kjerneregelen og skriver dette ut, får vi f(x) f(y) = (df c(θ) (x y)) u. Cauchy Schwartz ulikhet gir da f(x) f(y) df c(θ) u df c(θ) x y M x y.
4 4 BJØRN JAHREN Teorem (Invers funksjonsteoremet). La f : E R n være C 1, der E R n er åpen. Anta df x0 er invertibel og la y 0 = f(x 0 ). (1) Da fins åpne U og V i R n med x 0 U og y 0 V slik at V = f(u) og f er 1 1 på U. (2) La g = f 1 : V U. Da er også g C 1. Bevis. Vi kan anta at df x0 = Id R n, for ellers kan vi erstatte f med df x 1 f. (1) La U være en åpen disk i E slik at x 0 U og df x I < 1 2 for alle x U. (OK siden x df x er kontinuerlig.) f U er injektiv : La φ y (x) = x + y f(x) for x U, y R n. Da har vi at f(x) = y hvis og bare hvis x er et fikspunkt for φ y. Nå er d(φ y ) x = I df x, slik at for x 1, x 2 U, så er φ y (x 1 ) φ(x 2 ) 1 2 x 1 x 2 etter lemmaet over. Det betyr at φ y er en kontraksjon, og har derfor høyst ett fikspunkt. Altså har ligningen f(x) = y høyst én løsning for hver y. V = f(u) er åpen : La y = f(x), x U, og la B være en åpen disk med radius r om x slik at B U. Vi skal vise at hvis y y < 1 2 r, så er y V. La da y være slik at y y < 1 2 r, og se på φ(x) = φ y (x) = x + y f(x). Hvis x B, så er φ(x ) x φ(x ) φ(x) + φ(x) x 1 2 x x + y f(x) 1 2 r r = r. Derfor er φ en kontraksjon på det komplette rommet B og har følgelig et fikspunkt. Men det betyr at y = f(x ) har en løsning (i B). (2) La g = f 1 : V R n. Vi skal vise at g er C 1 og at dg y = (df g(y) ) 1 for alle y V. La da y, y + k V og la y = f(x), y + k = f(x + k). Sett T = (df x ) 1. Da er g(y + k) g(y) T (k) = h T (K) + T (df x (h) (f(x + h) f(x)). Siden φ(x+h) φ(x) = h f(x+h)+f(x) = h k, er h k 1 2 h. Derfor er h h k + k 1 2 h + k, og dermed 1 2 h k, slik at h 0 når k 0. Da får vi g(y + k) g(h) T (k) k T f(k + h) f(x) df x(h) k T 2 f(x + h) f(x) df x(h) h som går mot null når k (og dermed h) går mot null. g er derfor differensiabel, og siden y dg y kan skrives som sammensetningen y g(y) df g(y) (df g(y) ) 1, følger at dg er kontinuerlig, siden df er.
5 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 5 2. TANGENTBUNT OG DERIVASJON AV AVBILDNINGER Når vi vil studere glatte mangfoldigheter og avbildninger lokalt, kan vi bruke lokale kart og flytte oss over i (åpne mengder i) Euklidske rom. Her kan vi derivere avbildninger dvs. vi kan finne lineære approksimasjoner og det er klart at denne deriverte i en viss forstand også er en approksimasjon av den opprinnelige avbildningen. Men hvordan kan vi gjøre dette på en måte som er uavhengig av valg av lokalt kart og helst ikke refererer til et lokalt kart i det hele tatt? Tangentrom. Det første vi må avklare er hvilke vektorrom den lineære transformasjonen df p avbilder mellom. Etter definisjonen er df p (v) den deriverte av f i retning v, så df p må være definert på vektorrommet av retninger i p. Dette vektorrommet definerer vi slik: La M være en glatt mangfoldighet av dimensjon n, og la p være et punkt i M. Med en vei i p skal vi mene en glatt avbildning ω : J M, der J er et åpent intervall med 0 J, og ω(0) = p. La Ω p = Ω p (M) være mengden av alle veier i p. Vi velger nå et lokalt kart h : U U R m om p og definerer ekvivalensrelasjon på Ω p ved ω τ (h ω) (0) = (h τ) (0). (Strengt tatt burde vi her skrive h ω 1, der ω 1 er restriksjonen av ω til et så lite intervall J 1 J at ω(j 1 ) U. Da blir (h ω 1 ) (0) uavhengig av valg av J 1.) Lemma. (1) Ekvivalensrelasjonen avhenger ikke av valg av lokalt kart. Vi setter (Ω p (M)/ ) = T p M. (2) Tilordningen ω (hω) (0) induserer en bijeksjon T p M R n. (3) Bijeksjonen i (2) definerer en vektorromstruktur på T p M som er uavhengig av h. Bevis. (1) Hvis k : V V er et annet kart, så er Men d(kh 1 ) h(p) er invertibel. (kω) (0) = (kh 1 hω) (0) = d(kh 1 ) h(p) (hω) (0). (2) Tilordningen er injektiv pr. definisjon av. Surjektivitet: Hvis v R n, lar vi ω(t) = h 1 (h(p) + tv). Da er ω(t) veldefinert for t liten, og (hω) (0) = v. (3) La α h : T p M R n være bijeksjonen definert under (2), og la α k være tilsvarende for k. Da er α k α 1 h (v) = (kh 1 (h(p) + tv)) (0) = d(kh 1 ) h(p) (v). Men d(kh 1 ) h(p) er en isomorfi av vektorrom. Definisjon. T p M med vektorromstrukturen gitt ved lemmaet kalles tangentrommet til M i p. Notasjon. La ω (0) bety ekvivalensklassen til ω i T p M. Vi har altså nå definert et vektorrom T p M for hvert punkt p M, slik at dim T p M = dim M og vektorene i T p M representerer retninger i p. La T M = p M T pm (disjunkt union) og la π = π M : T M M være definert ved at π(t p M) = p. Paret (T M, π) kalles tangentbunten til M. Senere skal vi gi T M en glatt struktur slik at π blir en glatt avbildning. Derivasjon av glatte avbildninger. La f : M m N n være glatt, la p være et punkt i M og la q = f(p). Hvis ω Ω p (M), så er f ω Ω q (N).
6 6 BJØRN JAHREN Lemma. (fω) (0) avhenger bare av ω (0). Bevis. La h : U U R m og k : V V R n være lokale kart rundt henholdsvis p og q. Anta nå at ω (0) = τ (0) dvs. (hω) (0) = (hτ) (0). Da er (kfω) (0) = ((kfh 1 )(hω)) (0) = d(kfh 1 ) h(p) ((hω) (0)) = d(kfh 1 ) h(p) ((hτ) (0)) = (kfτ) (0). Definisjon. df p : T p M T q N er definert ved df p (ω (0) = (fω) (0). Eksempel. Hvis E er en åpen mengde i R m, har vi en naturlig identifikasjon mellom R m og T p E for alle p E. Denne identifikasjonen vil ofte være underforstått i det følgende. Bruker vi den, følger det av kjerneregelen at de to definisjonene av df p faller sammen. Proposisjon. (1) df p er en lineær transformasjon. (2) Hvis g : N P er en annen glatt avbildning, så er d(g f) p = dg q df p. Bevis. (2) d(gf)(ω (0)) = (gfω) (0) = dg q ((fω) (0)) = dg q (df p (ω (0)). (1) Legg først merke til at hvis h : U R m er et lokalt kart om p, så er bijeksjonen T p M R m nettopp dh p. Denne er lineær pr. def., og det følger at også d(h 1 ) = (dh) 1 er lineær. Etter (2) kan vi nå skrive df = d(k 1 (kgh 1 )h) = d(k 1 ) d(kfh 1 ) dh, som er en komposisjon av tre lineære avbildninger. Eksempel. Vi kan nå definere rangen til f i p som rangen til df p. Det er klart at skal vi studere f i en omegn om et punkt p, så er det om å gjøre å finne lokale kart slik at kfh 1 er så enkel som mulig, uttrykt i koordinatene i R m og R n. Dette er et sentralt problem i singularitetsteorien. Vi kan ikke gå noe særlig inn på denne teorien her, men som en illustrasjon skal vi vise det fundamentale Rangteoremet. (1) Hvis f : M m N n har rang l i p M, så kan vi finne lokale kart h om p og k om q = f(p) slik at kfh 1 (x) = (x 1,...x l, φ l+1 (x),.., φ n (x)), der x = (x 1,.., x n ) og φ l+1,.., φ n er glatte funksjoner. (2) Hvis rangen til f er konstant lik l i en omegn om p, så fins lokale koordinater slik at kfh 1 (x 1,.., x m ) = (x 1,.., x l, 0,.., 0) Bevis. (1) Vi starter med et valg h 1, k av lokale koordinater. Etter ( eventuelt ) en permutasjon av koordinatene, kan vi anta at matrisen til d(kfh 1 A B 1 ) h 1(p) har formen relativt til standardbasis, der A er en invertibel l l matrise. C D Sett kfh1 1 = (F 1,.., F n ) og la g(x 1,.., x m ) = (F 1 (x),.., F l (x), x l+1,.., x n ). ( ) A 0 Matrisen til dg h1(p) har da formen der I er en identitesmatrise, og er derfor invertibel. B I Etter Invers funksjonsteoremet er da g en lokal diffeomorfi, og vi kan definere et nytt lokalt kart ved h = gh 1.
7 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 7 Hvis x er nær nok h(p) kan vi da skrive x = (x 1,.., x n ) = g(y) = (F 1 (y),.., F l (y), y l+1,.., y n ). Da er kfh 1 (x) = F (g 1 (x)) = F (y) = (x 1,.., x l, φ l+1 (x),.., Φ m (x)), der φ i (x) = y i = i te komponent av g 1 (x). ( I 0 (2) Velg k 1, h som i (1). Da er matrisen til d(k 1 fh 1 h(p) ) på formen D φi ). Hvis denne matrisen har rang l, så må vi ha φi = 0 for i, j > l, dvs. φ i kan skrives på formen φ i (x 1,.., x n ) = φ i (x 1,.., x l ). Sett nå G(y 1,.., y m ) = (y 1,.., y l, φ l+1 (y 1,.., y l ) y l+1,.., φ m (y 1,.., y l ) y m ). G er en diffeomorfi, (vi har tilogmed G 1 = G), og vi kan erstatte k 1 med k = Gk 1. Da har åpenbart kfh 1 den ønskede formen. Eksempel. Hvis f har maksimal rang er situasjonen spesielt enkel: Hvis m > n = l får vi formen kfh 1 (x 1,.., x n ) = (x 1,.., x l ). Spesielt ser vi at f 1 (q) blir en glatt mangfoldighet nær p. En avbildning f : M m N n som har rang n i alle punkter kalles en submersjon, og har altså den egenskap at f 1 (y) er en glatt mangfoldighet for alle y N. Hvis l = m < n blir kfh 1 (x 1,.., x n ) = (x 1,.., x n, 0,.., 0), og f blir lokalt en imbedding. Hvis f er slik i alle punkter, kalles f en immersjon.. Topologi og glatt struktur på tangentbunten. Vektorbunter. Vi har sett at et lokalt kart h : U U R m gir en isomorfi dh p : T p M T h(p) R m R m. La T U = p U T pm. Da har vi naturlig bijeksjon T U U R m v T p M (p, dh p (v)) Derfor kan vi definere en avbildning H : T U U R m R 2m ved H(v T p M) = (h(p), dh p (v). La {(h i, U i )} være et glatt atlas på M. Definér en topologi på T M ved at V T M er åpen hvis og bare hvis H i (V T U i ) er åpen for alle i. Proposisjon. Med denne topologien blir alle T U i åpne, og {(H i, T U i )} blir et glatt atlas på T M slik at π M er glatt. Bevis. Vi har H j H 1 i (x, v) = (h j h 1 i (x), d(h j h 1 i ) x (v)), som er en diffeomorfi. Derfor er det nok å vise at alle T U i er åpne. Men H j (T U i T U j ) = h j (U i U j ) R m, som er åpen for alle i og j. At π blir glatt er opplagt. Hvis vi har en glatt funksjon f : M N, kan vi definere df : T M T N slik at restriksjonen til T p M er df p for alle p. I lokale koordinater er den gitt ved K j df H 1 i (x, v) = (k j fh 1 i (x), d(k j fh 1 i ) x (v)), som er glatt. Altså er df glatt, og vi har et kommutativt diagram av glatte avbildninger T M π M M df T N π N f Bemerkning. Hvis vi startet med C k mangfoldigheter og C k avbildninger, vil T M og df bli C k 1. Tangentbunten er et eksempel på en vektorbunt. Definisjon. En glatt k vektorbunt over M består av en glatt mangfoldighet E og en glatt avbildning π : E M slik at (1) Hver fiber π 1 (p) er et vektorrom (2) For hvert punkt i M fins en åpen omegn U og en diffeomorfi π 1 (U) U R k som sender fibrene π 1 (p) på {p} R k ved lineære isomorfier. N
8 8 BJØRN JAHREN En slik diffeomorfi kalles en lokal trivialisering. E kalles totalrommet, M basisrommet og π projeksjonen til bunten. Vi kan tenke på en vektorbunt som en familie av vektorrom, parametrisert ved M. Den lokale trivialiteten betyr på en måte at disse vektorrommene varierer differensiabelt. 3. VEKTORFELTER OG DERIVASJONER Vi har definert den deriverte df av en differensiabel avbildning f som en lineær approksimasjon og konsentrert oss om df x som en avbildning T x M T f(x) N som avbilder en retning v på den deriverte av f i retningen v. Nå skal vi se nærmere på denne derivasjonen som funksjon av v. La da X p T p M være en tangentvektor representert ved en vei ω Ω p (M), og la C (M) være mengden av glatte funksjoner f : M R. C (M) er en R algebra under punktvis addisjon og produkt av funksjoner. X p bestemmer en funksjon C (M) R som vi også kaller X p, og som er definert ved X p (f) = df p (X p ). (Vi bruker her den naturlige identifikasjonen mellom T p R og R.) Funksjonen X p har følgende egenskaper: (1) X p (af + bg) = ax p (f) + bx p (g), der a, b R og f, g C (M). (2) X p (fg) = f(p)x p (g) + g(p)x p (f). En funksjon som har disse to egenskapene kalles en derivasjon i p. (1) betyr at en derivasjon l er en lineær avbildning. Anvender vi (2) på tilfellet f = g =konstant lik 1, får vi l(1) = l(1) + l(1) og derfor l(1) = 0. Ved lineariteten følger da at l(c) = 0 for alle c R. Det er klart at hvis to funksjoner f og g er like i en omegn om p, så er X p (f) = X p (g). Dette er faktisk tilfelle for enhver derivasjon i p: Lemma 1. Hvis l : C (M) R er en derivasjon i p og f, g er to funksjoner i C (M) som er like i en omegn omkring p, så er l(f) = l(g). Bevis. h(x) = f(x) g(x) = 0 i en omegn U om p, og det er nok å vise at l(h) = 0. La V være en åpen disk om p slik at V U. Det fins en ρ C (M) slik at ρ(x) = 0 utenfor U og ρ(x) = 1 i en enda mindre omegn om p. Da er ρ(x)h(x) = 0 for alle x, og l(ρ) = 0. Etter egenskapen (2) får vi derfor 0 = l(ρh) = ρ(p)l(h) + h(p)l(ρ) = l(h). Derfor induserer l en avbildning F p = F p (M) = C (M)/ R, der ekvivalensrelasjonen er definert ved at f g f U = g U for en eller annen omegn U om p. F p blir også en algebra, kalt algebraen av funksjonskimer i p, og l blir en derivasjon på F p. NB. Det er ofte praktisk å starte med en større mengde enn C (M) nemlig mengden C p av alle glatte funksjoner f : U R der U er en omegn om p. Ekvivalensrelasjonen er veldefinert på C p også. La f C p. Lar vi ρ være en funksjon i C (M) som er konstant lik 1 nær p og 0 utenfor U, så er ρ f definert på hele M og lik f nær p. Derfor er f ekvivalent med en funksjon i C (M) og det følger at også C p / = F p. La nå D p være vektorrommet av alle derivasjoner på F p. Vi har definert en avbildning χ p : T p M D p. χ p er åpenbart en injektiv lineæravbildning.
9 Proposisjon 2. χ p er en isomorfi. (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 9 Før vi viser dette trenger vi litt forberedelse. La h : U U R n være et lokalt kart rundt p, og skriv x 1,..., x n for koordinatene i R n. Hvis e i er i-te standard enhetsvektor i T h(p) R n, lar vi v i T p M være definert ved v i = (dh p ) 1 (e i ). La f C (M). Da er v i (f) = df p (v i ) = df p ((dh p ) 1 (e i )) = d(fh 1 ) h(p) (e i ) = (fh 1 ) (h(p)). Derfor er det naturlig å innføre notasjonen v i = { (p),..., (p)} utgjør en basis for T p M. x 1 x n Videre trenger vi et lite (p). Legg merke til at Lemma 3. La U være en konveks omegn om 0 R n, og f C (U) slik at f(0) = 0. Da fins C funksjoner g 1 (x),..., g n (x) på U slik at (1) f(x) = n i=1 x ig i (x), der x = (x 1,..., x n ) (2) g i (0) = f (0) for i = 1,..., n. Bevis for Lemma 3. Fiksér x og la h(t) = f(tx). Da er h (t) = n f i=1 (tx) x i, og vi får 1 n 1 f(x) = h f (t) dt = x i g i (x), der g i (x) = (tx) dt. 0 i=1 Bevis for proposisjon 2. La l D p og f C (M), og velg et lokalt kart h : U U R n slik at h(p) = 0. Vi kan da bruke lemmaet på funksjonen fh 1 og skrive f(y) = n i=1 h i(y)g i (y) for y i en (muligens mindre) omegn om p, der h(y) = (h 1 (y),..., h n (y)) og g i (p) = (fh 1 ) (0) = (p)(f).. Da er l(f) = n (h i (p)l(g i ) + g i (p)l(h i )) = i=1 n i=1 0 l(h i ) (p)(f). Det betyr at l kan skrives som en lineær kombinasjon av ene, som alle er i bildet av χ p. Dette kan vi nå bruke til å gi en ny tolkning av vektorfelter. Først observerer vi at med notasjonen ovenfor blir x 1,... x n vektorfelter på koordinatomegnen U, og disse danner en basis for T p M for hvert punkt p U. Det betyr at hvis X er et vektorfelt på M, så kan vi skrive X U = n i=1 a i der a i C (U) Hvis f C (M), så vil p X p (f) være en ny funksjon, som vi skriver X(f) og som over U er gitt ved n f X(f) = a i. i=1 Det følger at X(f) C (M). Det betyr at X definerer en funksjon C (M) C (M) som vi lett ser tilfredsstiller (1) X er lineær (over R). (2) Hvis f og g er to funksjoner i C (M), så er X(fg) = fx(g) + gx(f). (Dvs. X er en derivasjon på R algebraen C (M).) La X (M) være mengden av vektorfelter på M. X (M) er et vektorrom ved (X + Y )(p) = X(p) + Y (p) etc. Mengden D(M) av derivasjoner på C (M) er også et vektorrom, og vi har nettopp definert en avbildning χ : X (M) D(M), som vi lett ser er lineær. X (M) og D(M) er til og med moduler over C (M), og χ er en homomorfi av C (M) moduler.
10 10 BJØRN JAHREN Teorem 4. χ er en isomorfi. For å vise dette trenger vi et viktig Lemma 5. Hvis l D(M) og U M er en åpen delmengde, så induserer l en derivasjon l : C (U) C (U) slik at l(f U) = (l(f)) U. Bevis. Vi skal bruke teknikken fra Lemma 1 og kommentarene etterpå. La f C (U) og la p U. Vi kan finne en ρ C (M) som er 1 i en omegn om p og 0 utenfor U, Da kan ρf utvides med 0 utenfor U, og l(ρf)(p) er uavhengig av valg av ρ. Derfor kan vi definere l(f)(p) = l(ρf)(p). Men vi kan bruke samme funksjon ρ også for alle q i en åpen omegn om p. Siden l(ρf) er glatt, følger at l(f) blir glatt i (en omegn om) p. Bevis for teorem 4. La l D(M). Hvis p M kan vi definere l p : C (M) R ved l p (f) = l(f)(p). Det er da lett å se at l p blir en derivasjon i p. Men da vet vi at l p svarer til en entydig bestemt tangentvektor X p T p M. Vi må vise at funksjonen p X p er glatt. Det er nok å se på X i en koordinatomegn om p. Lemma 3 gir at om U er liten nok, kan vi skrive X p på formen n i=1 l p(h i ) (p), der h i C (U). Altså har vi X U = n i=1 x l(h i), der i l(h i ) er definert som i Lemma 5. Men da er l(h i ) glatt, så X U er et glatt vektorfelt på U. Siden dette gjelder for alle U, følger at X er glatt. Det er nå klart at l X definerer en invers til χ. Lie produkt av vektorfelter. Til et vektorfelt på M har vi nå på entydig måte tilordnet en derivasjon. Et naturlig spørsmål er da: Hvis vi ser på to vektorfelter X og Y, hva kan vi si om sammensetningen X Y : C (M) C (M)? Det er klart at X Y er R lineær, men det er verre med derivasjonsegenskapen. Vi har X(Y (fg)) = X(fY (g) + gy (f)) = fx(y (g)) + X(f)Y (g) + gx(y (f)) + X(g)Y (f) som har to ledd for mye. Ekstraleddene er, imidlertid, symmetriske i X og Y, og vil falle bort dersom vi subtraherer Y (X(f g)). Derfor setter vi [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)) og får [X, Y ](fg) = f[x, Y ](g) + g[x, Y ](f). [X, Y ] blir også R lineær, så vi har definert et nytt vektorfelt. Definisjon. [X, Y ] kalles Lie produktet av X og Y Lie produktet har følgende fundamentale egenskaper, som verifiseres ved enkel regning Teorem 6. (1) [X, Y ] er lineær i både X og Y (2) [X, Y ] = [Y, X] for alle X, Y X (M) (3) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 for alle X, Y, Z X (M) (Jacobi identiteten) Disse egenskapene sier at X (M) med dette produktet er en Lie algebra. Andre eksempler på en slik struktur er n n matrisene med kommutatorproduktet [A, B] = AB BA, R 3 med kryssprodukt av vektorer. Vi kan uttrykke Lie produktet i X (M) ved lokale koordinater:
11 Hvis X = n i=1 a i X(Y (f)) = i,j (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 11 og Y = n i=1 b i, så er f. eks. a i ( ) f b j = i,j Skriver vi opp tilsvarende uttrykk for Y (X(f)) og bruker at ( ), [X, Y ] = j ( i ( bj f a i + b j ( ) ) b j a j a i b i. 2 f ). 2 f = 2 f, så får vi For eksempel ser vi at [ ] = 0, så dersom [X, Y ] 0, så kan det ikke finnes noe lokalt kart slik at x 1 = X og x 2 = Y. Men slike eksempler er lett å lage når vi har formelen ( ). Setter vi f. eks. X (x,y) = x og Y (x,y) = (1 + x 2 ) y på R2, så blir [X, Y ] = 2x y. Vi kan også konstruere globale eksempler ved å utvide lokale på samme måten som vi utvidet funksjonskimer til globale funksjoner. Hvis X er et vektorfelt på en åpen mengde U og p U, så kan vi finne en ρ C (M) som er lik 1 på en åpen V slik at p V V U og 0 utenfor U. Vektorfeltet ρx er da lik X på V og kan utvides med 0 utenfor U. Spesielt får vi [ρx, ρy ] q = [X, Y ] q for q V, så vi kan lett konstruere globale vektorfelter som ikke kommuterer. Globale, ikke trivielle vektorfelt som kommuterer kan vi naturligvis også konstruerer; foruten at vi jo har [X, Y ] = 0 hvis X = Y, kan vi med metoden ovenfor lett lage vektorfelter slik at supp(x) supp(y ) =, der supp(x) er tillukningen til {p M X p 0}.
Geometri på ikke-kommutative algebraer
Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk
Detaljer(ii) g = (f B)^{-1} \: V \to B \subset R^m er deriverbar med Dg(f(u)) = (Df(u))^{-1} \: R^m \to R^m for alle u i B.
MAT1300 Analyse I 5. mai 2009 13.3. Det inverse funksjonsteoremet Vi vil bruke kontraksjonsprinsippet for å bevise følgende teorem: Teorem 13.13 (Det inverse funksjonsteoremet): La U \subset R^m være åpen,
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerEksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014
Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014 LØYSINGSFORSLAG Oppgåve 1 å sette Vi definerer funksjonane F : R 4 R 2 og G : R 2 R 4 ved F : (x, y, z, w) (u, v) = (xy, zw) G : (u, v) (u, u 2, v,
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
Detaljer9. mai 2019 MAT Oblig 2 - Løsningsforslag
9. mai 219 MAT 24 Oblig 2 - Løsningsforslag Oppgave 1. La X være vektorrommet X = C([ 1, 1], R utstyrt med sup-norm, og la G : X X være definert ved G(f(x = f(s m ds, for en m N. Vis at G er deriverbar
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerOppgaver i kommutativ algebra
Oppgaver i kommutativ algebra Fredrik Meyer 1 Moduler Oppgave (1). Vis at om m, n er koprimære, så er (Z/mZ) Z (Z/nZ) = 0. Proof. Siden m og n er koprimære, finnes det a, b Z slik at an + bm = 1. La x
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
DetaljerOblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerDette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:
Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer12 Lineære transformasjoner
2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerINVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS
INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerKOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV. John Rognes
KOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV John Rognes Vi studerer rommet av knuter i R 3. En knuteinvariant er en klasse i H 0 av dette rommet. Rom av knuter. Vi arbeider med parametriserte knuter, med asymptotisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerEt forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder
Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Ruben Spaans May 21, 2009 1 Oppslagsverk Adjungert Ball, la (X, d) være et metrisk rom og la ɛ > 0. Da er for x 0 X: 1. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
Detaljerder hver f_i \: E \to R er deriverbar i x, for 1 \le i \le p. Vi kan skrive likningen \epsilon(x, h) = (\epsilon_1(x, h), \dots, \epsilon_p(x, h)).
MAT1300 Analyse I 23. februar 2009 La E \subset R^m og f \: E \to R^p. Anta B(x, \delta) \subset E. Dersom f er deriverbar i x, er den deriverte \alpha = f'(x) \: R^m \to R^p gitt ved multiplikasjon med
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerMA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering
MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerGeometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver.
Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver george.h.hitching@hive.no 14. september 2010 1 Mye av dette er samarbeid med Insong Choe (Konkuk Univ., Seoul). La C være en kompleks projektiv glatt
DetaljerLøsning til prøveeksamen i MAT2400, V-11
Løsning til prøveeksamen i MAT400, V-11 Oppgave 1 a) Vi ser at den deriverte f (x) = 1 1+x alltid er mindre enn eller lik 1 i tallverdi. Gitt to punkter x, y R, finnes det ifølge middelverdisetningen en
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerIterasjon og optimering
Innhold 5 Iterasjon og optimering 3 5.1 Litt topologi i R m........................ 4 5. Kompletthet av R m....................... 13 5.3 Noen konsekvenser av kompletthet............... 18 5.4 Iterasjon
DetaljerFor æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008
ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
Detaljer11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon
DetaljerDagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling
Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerAnalysedrypp IV: Metriske rom
Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 28/4-2/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8/4-/5 Tom Lindstrøm (lindstro@math.uio.no) 5..5 a) Alle punktene i B har avstand til origo større enn 1, så d(0, B) må være minst 1. Ved å velge punkter på x-aksen
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerForelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting
Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket
DetaljerNotat med oppgaver for MAT1140
Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis
DetaljerVASSILIEVS SPEKTRALFØLGE. John Rognes. 15. oktober 1994
VASSILIEVS SPEKTRALFØLGE John Rognes 15. oktober 1994 Resolventen. La d, Γ d og λ : R 2 / R N være valgt som før. La T = {{t 0,t 0},...,{t q,t q}} være en samling krav om selvskjæringer, og V = {v 1,...,v
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
DetaljerTOPOLOGI. Dan Laksov
Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst
DetaljerHolomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem.
Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem. av Knut Petersen-Øverleir MASTEROPPGAVE for graden Master i matematikk Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet
DetaljerTMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerLitt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
DetaljerTeorem 12.8: Anta f \: R^2 \to R er kontinuerlig, t_0, y_0 \in R og \delta>0. Anta videre at det finnes en K>0 med K\delta<1 slik at
MAT1300 Analyse I 4. mai 2009 12.2. Eksistens av løsninger for differensiallikninger Teorem 12.8: Anta f \: R^2 \to R er kontinuerlig, t_0, y_0 \in R og \delta>0. Anta videre at det finnes en K>0 med K\delta
DetaljerEksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag.
Eksamen i TMA48 Optimeringsteori Løsningsforslag. Oppgave :. ordens betingelse for minima gir oss f(x) = [ 2x 2x 2 + 2 2x 2 2x 2 ] [ = som er oppfylt for når x 2 = x +. I dette punktet er [ ] 2 2 2 f(x)
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerLogaritmer og eksponentialfunksjoner
Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange
DetaljerTransformasjoner av stokastiske variabler
Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså
DetaljerUtvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010
Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På
DetaljerMAT feb feb feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer1 Mandag 8. februar 2010
1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerA.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
DetaljerTOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET. John Rognes. 8. mai 2003
TOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET John Rognes 8. mai 2003 0. Ikke-kommutative rom og bunter Ved Gelfand Naimark korrespondansen svarer det et kompakt Hausdorff rom X til enhver kommutativ C -algebra
DetaljerKjerneregelen. variabelbytte. Retningsderivert MA1103. gradienter 7/2 2013
MA1103 7/2 2013 U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert) U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert) x 0 U
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av ):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
Detaljer