Eksamen i Geometrisk Modellering

Transkript

1 Eksamen i Geometrisk Modellering STE608 Sivilingeniørutdanningen ved Høgskolen i Narvik, Produktutformingsteknologi (. PUT),. desember 998 Til denne eksamenen er alle skrevne hjelpemidler samt alle typer kalkulatorer tillatt! Kontaktperson under eksamen: Arne Lakså. Denne eksamenen består av 6 oppgaver.. Funksjoner og parametrisering. (Utgjør 7%). Forskjellige basiser. (Utgjør 7%). B-splines. (Utgjør 7%) 4. Flater og kurver (Utgjør 7%) 5. Interpolasjon/ approksimasjon. (Utgjør 6%) 6. Bezier-triangler. (Utgjør 6%) Side of 7

2 ) Oppgaven består av uavhengige deler. Utgjør 7% av eksamen(/-98) a) Hvilke av disse er homeomorfier og hvilke er isometrier,? fx ( ) x + gx () x x + hx () x + x Begrunn svarene. fuv (, ) b) Gitt en avbildning : fuv (, ) u + v 4 v u ct () fuv (, ) Finn skjæringskurven mellom og en sylinder r med x-aksen som senterakse og radius. ct () c () t (, ) t c) For en kurve er for alle. Hva vil c ( t) være. Hvilken type funksjon må x og y-komponenten til () være. Er ct () entydig bestemt hvis i tillegg til at c () t ct ct ( 0 ) c ( t 0 ) t t 0 er som over er og kjent for en gitt verdi? Side of 7

3 Utgjør 7% av eksamen(/-98). ) For enbezier-kurve er koefisientene punkter som danner et kontrollpolygon (se fig. under) C C C La så et nytt sett koeffisienter være: cˆ c ˆ c + -- ( c c ) ˆ c + -- ( c c ) c c Det vil si at vi beskriver den samme kurve med et annet punktsett og da et annet sett med basiser. a) Hva vil overgangsmatrisa mellom disse to måtene å beskrive den samme kurve på være. Det vil si overgangen fra koeffisieneter på Bezier form til koeffisieneter på den nye formen. b) Hvordan ser det nye settet med basisfunksjoner ut? c) Forklar både ut fra ligningene og ut fra en geometrisk observasjon om settet med basiser tilfredstiller kravet til en barysentrisk kombinasjon. Side of 7

4 Utgjør 7% av eksamen(/-98). ) Oppgaven omhandler B-spline. Videre i oppgaven forutsetter vi at indekseringen av skjøter og koeffisienter (punkter i kontrollpolygonet) starter med. t i t i + ti a) Gitt at skjøt og er like (har samme verdi). Hvilken kontinuitet vil en B-spline av orden 4 (grad ) ha over skjøt? t { ,,,,,,,,,, } b) Gitt en skjøtvektor. Hvor mange basisfunksjoner av grad (orden ) vil skjøtvektoren generere? Lag en skisse av disse basisene. c) Angi indeksen til punktet i kontrollpolygonet som en B-splines kurve generert av skjøtvektoren i oppgave b) alltid vil gå igjennom. Side 4 of 7

5 4) Gitt en Bezier-kurve : Utgjør 7% av eksamen(/-98). ct () c i b i () t i a) Hvilken polynomisk grad har, og hva er hoved forskjellen på Bezier og B-splines? ct () c 0 0 b) La koeffisientene vœre punkt i xy-planet og, -- c og c Lag en rotasjonsflate fuv, ( ) ved å rotere kurven ct () om x-aksen. fuv (, ) c) Finn arealet til flata. Side 5 of 7

6 Utgjør 6% av eksamen(/-98). p (, ) p ( 00, ) p (, ) 5) Gitt punktene,,. a) Bruk minste kvadraters metode til å finne koeffisientene til en. ordens (. grads) Bezier kurve som approksimerer punktene, når parameterverdiene til de punktene på kurven som approksimerer c( 0) p punktene p i er: t { 0, 0,5, }, dvs., c( 0,5) p c( ) p og. b) Finn skjøtvektoren og koeffisientene til en 4.ordens B-spline kurve ved Hermite-interpolasjon av punktene: p 00 (, ) med tilhørende tangentvektor v 0, p ( ) (, ) med tilhørende tangentvektor v (, 0) og og p 00 (, ) med tilhørende tangentvektor v 0, og der parameterverdien i skal være, og der parameterverdiene i de andre punktene skal være lik parameterverdien i punktet før pluss avstanden mellom punktet og punktet før ganget med. p 0 ( ) c) Hvor mange punkt må du ha for entydig å kunne interpolere punktene med en Bezier-flate med orden 4 i den ene parameterretningen og orden i den andre parameterretningen? Hvis du har flere punkt enn det du må ha for entydig å interpolere med gitte grader (orden), hvilken metode vil du da anbefale brukt for å lage en flate med gitt orden i begge parameterretningene tilpasset punktmengden? Side 6 of 7

7 Utgjør 6% av eksamen(/-98). 6) a) Hvor mange basiser har en. grads Bezier-triangel? Lag en skisse som viser punktene i kontrollnettet og de tilhørende basisene. Lag skissen som en trekant der u-parameteren er knyttet til toppen, v-paravmeteren knyttet til nedre venstre hjørne og w- parameteren knyttet til nedre høyre hjørne. Skriv ut basisene på skissen (eks. u i toppen) tilknyttet de punktene de er knyttet til. b) Hvordan finner man en randkurve til en Bezier-triangel? c) Gitt en første grads Bezier-triangel der punktene p ( 000,, ) p ( 0,, ) p ( 0,, ) er:, og. Finn verdien for f(,, ) Side 7 of 7