MATURITA 2006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A

Transkript

1 TEST MA 006 MATURITA 006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň A kód testu: 04 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: - Pri úlohách s krátkou odpoveďou napíšte jednotlivé číslice výsledku do príslušných políčok odpoveďového hárka. Rešpektujte pritom predtlačenú polohu desatinnej čiarky. - Pri úlohách s výberom odpovede vyberte správnu odpoveď spomedi niekoľkých ponúkaných možností, ktorých je vždy správna iba jedna. Správnu odpoveď anačte krížikom do príslušného políčka odpoveďového hárka. Z hľadiska hodnotenia sú všetky úlohy rovnocenné. Na vypracovanie testu budete mať 0 minút. Pri práci smiete používať iba písacie potreby, kalkulačku a prehľad vorcov, ktorý je súčasťou tohto testu. Nesmiete používať ošity, učebnice ani inú literatúru. Ponámky si robte na pomocný papier. Na obsah pomocného papiera sa pri hodnotení neprihliada. Podrobnejšie pokyny na vyplňovanie odpoveďového hárka sú na poslednej strane testu. Prečítajte si ich. Pracujte rýchlo, ale sústreďte sa. Želáme vám veľa úspechov! Začnite pracovať, až keď dostanete pokyn! EČ MS Matematika úroveň A

2 Časť I Vyriešte úlohy 0 0 a do odpoveďového hárka apíšte vždy iba výsledok nemusíte ho dôvodňovať ani uvádať postup, ako ste k nemu dospeli. Výsledok apisujte do odpoveďového hárka pomocou desatinných čísel. Pri ápise rešpektujte predtlačenú polohu desatinnej čiarky. Výsledky uvádajte buď presné, alebo ak je to v adaní úlohy uvedené aokrúhlené podľa pokynov adania obvykle to bude na dve alebo tri desatinné miesta). Znamienko mínus) napíšte do samostatného políčka pred prvú číslicu. Onačenie jednotiek stupne, metre, minúty, ) neapisujte do odpoveďového hárka. Ak je Váš výsledok celé číslo, nevypĺňajte políčka a desatinnou čiarkou. Napríklad výsledok, apíšte, výsledok 5 cm apíšte 5, výsledok 47,9º apíšte 4 7, 9 Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. 0 Koľko farby potrebujeme na natretie reklamného pútača v tvare valca s polomerom podstavy 0,45 m a výškou,5 m podstavy nenatierame), ak spotreba farby na m je 0, kg? Výsledok uveďte v kilogramoch s presnosťou na dve desatinné miesta. 0 Každá platobná karta má svoj číselný štvorciferný PIN kód. Vypočítajte, koľko eistuje rônych PIN kódov, ak viete, že PIN kód utvorený o 4 rovnakých číslic sa kvôli bepečnosti nepoužíva. 0 V rovnoramennom lichobežníku ABCD ponáme AB = 7, BC = AD = 4, BCD = 0. Vypočítajte DC. EČ MS Matematika úroveň A

3 04 Rovnica L = má práve jeden reálny koreň. Určte ho. 05 Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré je množiny A B) C A = ; 6, B = ; 4 ), C = ; 5. Ponámka: Symbol A B onačuje rodiel množín A a B., kde A, B, C sú intervaly 06 Výška hladiny Dunaja v Bratislave sa pravidelne meria každý deň o 6. hodine ráno. Graf nameraných hodnôt a prvú polovicu mesiaca jún 005 vám predkladáme. Z uvedeného grafu určte najväčšiu menu v centimetroch) a 4 hodín. Hladina Dunaja od výška hladiny v cm dátum V trojuholníku ABC je bod S [ ; ; 9] stred strany BC, bod [ 4; 7;] trojuholníka. Nájdite prvú súradnicu vrchola A [ a; b; c]. T je ťažisko 08 Daný je štatistický súbor, 7, 8, 5, 6, 4,, 5,, y. Vypočítajte aritmetický priemer tohto súboru, ak viete, že jeho modus je Polomer podstavy rotačného valca je 5 cm, jeho výška je 4 cm. Vypočítajte v centimetroch) polomer gule opísanej tomuto valcu. 0 Nájdite také reálne číslo k, pre ktoré sústava, y, nemá riešenie. + y + = y + k = y = troch rovníc s nenámymi EČ MS Matematika úroveň A

4 Daný je trojuholník ABC. Jeho stredné priečky sú úsečky A B, BC a A C. Obraom trojuholníka ABC v istej rovnoľahlosti je trojuholník A B. C Určte koeficient tejto rovnoľahlosti. Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 0, 45, 05, jeho najdlhšia strana meria 0 cm. Vypočítajte dĺžku najkratšej strany. Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta. Tupouhlý trojuholník má obsah cm a strany určujúce tupý uhol sú dlhé cm a 4 cm. Určte veľkosť tohto tupého uhla v stupňoch. 4 Rovnica sin + cos ) =, 5 má v intervale ; 90 ) väčší nich. 0 dva korene. Určte v stupňoch) 5 Na priamkach určených rovnicami 5y + 5 = 0 a 5y + 6 = 0 leží dvojica rovnobežných strán štvorca. Určte s presnosťou na dve desatinné miesta obsah tohto štvorca. 6 Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom AB =, AD = 4, AE =. Vypočítajte uhol, ktorý vierajú telesové uhlopriečky AG a BH. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. EČ MS Matematika úroveň A

5 7 Definičným oborom funkcie f : y = ln je interval a; b). Nájdite tento interval 4 a do odpoveďového hárka napíšte podiel b a. 8 Vypočítajte súčet všetkých trojciferných čísel, ktoré sú deliteľné číslom Vypočítajte log y, ak viete, že 5 y = a, y sú kladné čísla, nerovnajúce sa. 0 Sú dané otvorené intervaly A = ; ), B = 4; 4) číslo, pre ktoré platí A B.. Nájdite najväčšie reálne EČ MS Matematika úroveň A

6 Časť II V každej úloh až 0 je správna práve jedna ponúkaných odpovedí A) až E). Svoju odpoveď anačte krížikom v príslušnom políčku odpoveďového hárka. Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. Na obráku je časť grafu kvadratickej funkcie y = + b + c. Akú hodnotu má v predpise tejto funkcie koeficient b? A) B) C) 6 D) E) Do rotačného valca s polomerom podstavy 9 cm a výškou cm je vpísaný rotačný kužeľ tak, že majú spoločnú podstavu. Vypočítajte obsah plášťa S pl tohto kužeľa s presnosťou na dve desatinné miesta. S pl = A) 8,74 cm. B) 9,9 cm. C) 44, cm. D) 565,49 cm. E) 678,58 cm. Akú pravdivostnú hodnotu majú výroky A, B, C, ak viete, že implikácia C A je nepravdivá a implikácia C B pravdivá? A) A je pravdivý, B a C sú nepravdivé. C) C je pravdivý, A a B sú nepravdivé. B) B je pravdivý, A a C sú nepravdivé. D) A je nepravdivý, B a C sú pravdivé. E) B je nepravdivý, A a C sú pravdivé. 4 Podľa sčítania obyvateľstva žilo k. decembru 970 na Slovensku obyvateľov, k. decembru 980 to bolo obyvateľov. Predpokladajme, že a uvedené obdobie bol ročný percentuálny prírastok obyvateľstva p konštantný. Aká je s presnosťou na tri desatinné miesta) hodnota p? A) 0,909 % B) 0,958 % C) 0,99 % D),000 % E),00 % EČ MS Matematika úroveň A

7 5 Ktoré nasledujúcich tvrdení o etrémoch funkcie ; je pravdivé? 6 f : y = definovanej na intervale Pomôcka: Načrtnite si graf funkcie f. A) Funkcia f na ; nadobúda minimum pre = a maimum pre =. B) Funkcia f na ; nadobúda maimum pre = a minimum pre =. C) Funkcia f na ; nadobúda maimum, ale nenadobúda minimum. D) Funkcia f na ; nadobúda minimum, ale nenadobúda maimum. E) Funkcia f na ; nenadobúda ani maimum ani minimum. 6 Ostrouhlý trojuholník ABC so stranou AB = 6 je vpísaný do kružnice s polomerom r = 5. Akú veľkosť s presnosťou na dve desatinné miesta) má uhol pri vrchole C? A),56 B) 6,87 C) 8,66 D) 5,4 E) 5, 7 V množine R riešte rovnicu y 5 = 0 y. Ktoré nasledujúcich tvrdení o počte jej koreňov je pravdivé? A) Daná rovnica má rône korene a tie majú rovnaké namienka. B) Daná rovnica má rône korene a tie majú opačné namienka. C) Daná rovnica má koreň a ten je áporný. D) Daná rovnica má koreň a ten je kladný. E) Daná rovnica nemá korene. 8 Funkcia f rastie na intervale ; a klesá na intervale ; ), jej graf pretína os ; 0 4 ; 0. Na ktorých intervaloch funkcia y = f ) klesá? v bodoch [ ] a [ ] A) ; a ; 4 B) ; ) C) ; a 4 ; ) D) ; a 4; ) E) ; 4 EČ MS Matematika úroveň A

8 9 Veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku sú v pomere α : β : γ = : :. Pri vyčajnom onačení strán trojuholníka je číslo pomerom A) b : c. B) c : b. C) a : c. D) b : a. E) a : b. 0 Daný je štvorec ABCD so stranou 8 cm. Náhodne volíme vnútorný bod X tohto štvorca. Aká je pravdepodobnosť s presnosťou na dve desatinné miesta), že bod X bude od vrcholu A vdialený aspoň 6 cm? A) 0,5 B) 0,44 C) 0,56 D) 0,6 E) 0,75 KONIEC TESTU EČ MS Matematika úroveň A

9 Prehľad vorcov Mocniny: y + y a y a. a = a y. y a a = a a ) = a a. b) = a. b = a = y y a b b a a y = a Goniometrické funkcie: sin + cos = sin tg = cos sin =.sin cos cos = cos sin sin 0 π π sin = cos cos = sin Trigonometria: a b c Sínusová veta: = = = r sinα sinβ sin γ Logaritmus: log y ) = log + log y cos Kosínusová veta: log y c = log 0 = a + b ab. cos γ log log k log = k. log log y = log y n Aritmetická postupnosť: a n = a + n ). d s n = a + a n ) n Geometrická postupnosť: n q a n = a. q sn = a, q q n! n n! Kombinatorika: P n) = n! V k, n) = C k,n) = n k)! k = k! n k)! n! n + k P ' n, n, K, nk ) = k V ' k, n) = n C ' k, n) = n! n! Knk! k Geometrický priemer: n n a a Lan Harmonický priemer: + + L + a a Analytická geometria: Parametrické vyjadrenie priamky: r X = A + t u, t R a ; [ a ; b] [ 0; 0] Všeobecná rovnica priamky: + by + c = 0 r r u.v Uhol vektorov: cos ϕ = r r u. v Všeobecná rovnica roviny: a + by + c + d = 0; [ a ; b; c] [ 0; 0; 0] Stredový tvar rovnice kružnice: m) + y n) = r Objemy a povrchy telies: kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc π r v S p v povrch ab + ac + bc) πr r + v ) p pl y a n r 4 π v π r S + S πr + πrs 4π r EČ MS Matematika úroveň A

10 . tabuľka Kľúč správnych odpovedí pre položky s výberom odpovede test MAA forma E C D B A B D A E C C B A D D E C B E A EČ MS Matematika úroveň A

11 MATURITA 006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň B kód testu: 057 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: - Pri úlohách s krátkou odpoveďou napíšte jednotlivé číslice výsledku do príslušných políčok odpoveďového hárka. Rešpektujte pritom predtlačenú polohu desatinnej čiarky. - Pri úlohách s výberom odpovede vyberte správnu odpoveď spomedi niekoľkých ponúkaných možností, ktorých je vždy správna iba jedna. Správnu odpoveď anačte krížikom do príslušného políčka odpoveďového hárka. Z hľadiska hodnotenia sú všetky úlohy rovnocenné. Na vypracovanie testu budete mať 0 minút. Pri práci smiete používať iba písacie potreby, kalkulačku a prehľad vorcov, ktorý je súčasťou tohto testu. Nesmiete používať ošity, učebnice ani inú literatúru. Ponámky si robte na pomocný papier. Na obsah pomocného papiera sa pri hodnotení neprihliada. Podrobnejšie pokyny na vyplňovanie odpoveďového hárka sú na poslednej strane testu. Prečítajte si ich. Pracujte rýchlo, ale sústreďte sa. Želáme vám veľa úspechov! Začnite pracovať, až keď dostanete pokyn! EČ MS Matematika úroveň B

12 Časť I Vyriešte úlohy 0 0 a do odpoveďového hárka apíšte vždy iba výsledok nemusíte ho dôvodňovať ani uvádať postup, ako ste k nemu dospeli. Výsledok apisujte do odpoveďového hárka pomocou desatinných čísel. Pri ápise rešpektujte predtlačenú polohu desatinnej čiarky. Výsledky uvádajte buď presné, alebo ak je to v adaní úlohy uvedené aokrúhlené podľa pokynov adania obvykle to bude na dve alebo tri desatinné miesta). Znamienko mínus) napíšte do samostatného políčka pred prvú číslicu. Onačenie jednotiek stupne, metre, minúty, ) neapisujte do odpoveďového hárka. Ak je Váš výsledok celé číslo, nevypĺňajte políčka a desatinnou čiarkou. Napríklad výsledok, apíšte, výsledok 5 cm apíšte 5, výsledok 47,9º apíšte 4 7, 9 Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. 0 Určte najmenšie reálne číslo, ktoré vyhovuje nerovnici Povrch gule je 64 π cm ). Vypočítajte v centimetroch) jej polomer. 0 Podiel štvrtého a prvého člena istej geometrickej postupnosti sa rovná 7. Určte kvocient tejto postupnosti. 04 Nájdite najmenší spoločný násobok čísel a V kocke ABCDEFGH ponáme súradnice 4; 0; 0 C 0; 4; 0 a H [ 0; 0; 4]. bodov A [ ], [ ] Bod S [ a b; c] ; je stred hrany CG. Určte tretiu súradnicu bodu S. EČ MS Matematika úroveň B

13 06 V pravouhlom trojuholníku ABC s odvesnou AC = má výška na preponu dĺžku CD = 5. Vypočítajte veľkosť uhla CAB. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. 07 Priamka, ktorá je grafom lineárnej funkcie f má smernicu k = a pretína os y v bode 0 ;. Akú hodnotu má táto funkcia pre = 5? [ ] 08 V rovnoramennom lichobežníku ABCD ponáme AB = 7, BC = AD = 4, BCD = 0. Vypočítajte DC. 09 Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré je množiny A B) C A = ; 6, B = ; 4 ), C = ; 5. Ponámka: Symbol A B onačuje rodiel množín A a B., kde A, B, C sú intervaly 0 Nájdite také reálne číslo a, pre ktoré bude mať sústava s nenámymi, y nekonečne veľa riešení. y = 6 + ay = 9 dvoch rovníc Určte -ovú súradnicu bodu, v ktorom graf funkcie = log0 + ) 4 y pretína -ovú os. Výška hladiny Dunaja v Bratislave sa pravidelne meria každý deň o 6. hodine ráno. Graf nameraných hodnôt a prvú polovicu mesiaca jún 005 vám predkladáme. Z uvedeného grafu určte najväčšiu menu v centimetroch) a 4 hodín. Hladina Dunaja od výška hladiny v cm dátum Čísla, 5, 7, 8, 0,,, m sú apísané vostupne. Určte číslo m, ak viete, že medián EČ MS Matematika úroveň B

14 uvedených ôsmich čísel sa rovná ich aritmetickému priemeru. 4 Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 0, 45, 05, jeho najdlhšia strana meria 0 cm. Vypočítajte dĺžku najkratšej strany. Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta. 5 V aritmetickej postupnosti { } n n = a sa a 0, a 5. Pre ktoré n sa a = 0? = 4 = n 6 V 4.C je dnes 0 žiakov, jedným nich je Cyril Nový. Z matematiky majú byť dnes náhodne vyvolaní žiaci. Aká je pravdepodobnosť, že jedným nich bude Cyril Nový, ak na poradí, v akom sú žiaci vyvolávaní, neáleží? 7 Dané sú kružnice kk; cm) a mm; 8 cm), pričom KM = cm. Spoločné vnútorné dotyčnice týchto kružníc sa pretínajú v bode P. Vypočítajte v centimetroch vdialenosť KP. 8 Tupouhlý trojuholník má obsah cm a strany určujúce tupý uhol sú dlhé cm a 4 cm. Určte veľkosť tohto tupého uhla v stupňoch. 9 Ak v jednom obráku načrtneme grafy funkcií y = sin a y = cos, tak vidíme, že množina M { 0 ; π ; sin > cos } = je otvorený interval a π ; bπ). Nájdite číslo b. 0 Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom EČ MS Matematika úroveň B

15 AB =, AD = 4, AE =. Vypočítajte uhol, ktorý vierajú telesové uhlopriečky AG a BH. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. Časť II V každej úloh až 0 je správna práve jedna ponúkaných odpovedí A) až E). Svoju odpoveď anačte krížikom v príslušnom políčku odpoveďového hárka. Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. EČ MS Matematika úroveň B

16 Priamka, ktorá precháda bodom [ ; 0] 0 a je kolmá na priamku + y = 5, má rovnicu A) C) 5 y = 0. + y = 0. B) 5y = 0. D) y = 0. E) + y = 0. Na obráku je časť grafu kvadratickej funkcie y = + b + c. Akú hodnotu má v predpise tejto funkcie koeficient b? A) 6 B) C) D) E) Aká je pravdepodobnosť, že v trojcifernom čísle vytvorenom číslic, 4, 6, 8 sa číslice neopakujú? A) 6,5 %. B) 7,5 %. C) 50 %. D) 6,5 %. E) 9,75 %. 4 Rohodnite, ktorý nasledujúcich výrokov je negácia výroku: Každé párne číslo je deliteľné štyrmi. A) B) C) D) E) Neeistuje párne číslo, ktoré je deliteľné štyrmi. Eistuje nepárne číslo, ktoré nie je deliteľné štyrmi. Eistuje nepárne číslo, ktoré je deliteľné štyrmi. Eistuje párne číslo, ktoré nie je deliteľné štyrmi. Každé nepárne číslo je deliteľné štyrmi. 5 Ako treba voliť reálne číslo c, aby rovnici + y + 4 y + c = 0 vyhovovali súradnice práve jedného bodu [ ; y]? A) c = 5 B) c = C) c = 0 D) c = E) c = 5 6 Ktoré nasledujúcich tvrdení o etrémoch funkcie intervale ; je pravdivé? Pomôcka: Načrtnite si graf funkcie f. 6 f : y = definovanej na A) Funkcia f na ; nadobúda maimum, ale nenadobúda minimum. EČ MS Matematika úroveň B

17 B) Funkcia f na ; nadobúda minimum, ale nenadobúda maimum. C) Funkcia f na ; nenadobúda ani maimum ani minimum. D) Funkcia f na ; nadobúda maimum pre = a minimum pre =. E) Funkcia f na ; nadobúda minimum pre = a maimum pre =. 7 Podľa sčítania obyvateľstva žilo k. decembru 970 na Slovensku obyvateľov, k. decembru 980 to bolo obyvateľov. Predpokladajme, že a uvedené obdobie bol ročný percentuálny prírastok obyvateľstva p konštantný. Aká je s presnosťou na tri desatinné miesta) hodnota p? A) 0,909 % B) 0,958 % C) 0,99 % D),000 % E),00 % 8 Ktorá nasledujúcich množín je definičným oborom funkcie y log 9 8 ) ; 9) ; ) A) C) B) 0 ; ) D) ; 9) E) 9; ) 0; 9) =? 9 Bočná hrana pravidelného štvorbokého ihlana má dĺžku 4 cm, jej odchýlka od roviny podstavy je 45. Tento ihlan má objem V = A) cm. B) 6 cm. C) 8 cm. D) 8 cm. E) 6 8 cm. 0 V množine R riešte rovnicu y 5 = 0 y. Ktoré nasledujúcich tvrdení o počte jej koreňov je pravdivé? A) Daná rovnica nemá korene. B) Daná rovnica má koreň a ten je áporný. EČ MS Matematika úroveň B

18 C) Daná rovnica má koreň a ten je kladný. D) Daná rovnica má rône korene a tie majú opačné namienka. E) Daná rovnica má rône korene a tie majú rovnaké namienka. KONIEC TESTU Prehľad vorcov Mocniny: y + y a y a. a = a y. y a a = a a ) = a a. b) = a. b = a = y y a b b a a y = a Goniometrické funkcie: sin + cos = sin tg = cos sin =.sin cos cos = cos sin sin 0 π π sin = cos cos = sin Trigonometria: a b c Sínusová veta: = = = r sinα sinβ sin γ log log + log Logaritmus: y ) = y cos Kosínusová veta: log y c = log 0 = a + b ab. cos γ log log k log = k. log log y = log y n Aritmetická postupnosť: a n = a + n ). d s n = a + a n ) n Geometrická postupnosť: n q a n = a. q sn = a, q q n! n n! Kombinatorika: P n) = n! V k, n) = C k,n) = n k)! k = k! n k)! n! P ' n, n, K, nk ) = k n + k V ' k, n) = n C ' k, n) = n! n! Knk! k Geometrický priemer: n n a a Lan Harmonický priemer: + + L + a a y a n EČ MS Matematika úroveň B

19 Analytická geometria: Parametrické vyjadrenie priamky: r X = A + t u, t R a ; [ a ; b] [ 0; 0] Všeobecná rovnica priamky: + by + c = 0 r r u.v Uhol vektorov: cos ϕ = r r u. v Všeobecná rovnica roviny: a + by + c + d = 0; [ a ; b; c] [ 0; 0; 0] Stredový tvar rovnice kružnice: m) + y n) = r Objemy a povrchy telies: kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc π r v S p v povrch ab + ac + bc) πr r + v ) p pl r 4 π v π r S + S πr + πrs 4π r EČ MS Matematika úroveň B

20 . tabuľka Kľúč správnych odpovedí v položkách s výberom odpovede test MAA forma E C D B A B D A E C C B A D D E C B E A TEST MB 006 EČ MS Matematika úroveň B