MATURITA 2006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MATURITA 2006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A"

Transkript

1 TEST MA 006 MATURITA 006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň A kód testu: 04 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: - Pri úlohách s krátkou odpoveďou napíšte jednotlivé číslice výsledku do príslušných políčok odpoveďového hárka. Rešpektujte pritom predtlačenú polohu desatinnej čiarky. - Pri úlohách s výberom odpovede vyberte správnu odpoveď spomedi niekoľkých ponúkaných možností, ktorých je vždy správna iba jedna. Správnu odpoveď anačte krížikom do príslušného políčka odpoveďového hárka. Z hľadiska hodnotenia sú všetky úlohy rovnocenné. Na vypracovanie testu budete mať 0 minút. Pri práci smiete používať iba písacie potreby, kalkulačku a prehľad vorcov, ktorý je súčasťou tohto testu. Nesmiete používať ošity, učebnice ani inú literatúru. Ponámky si robte na pomocný papier. Na obsah pomocného papiera sa pri hodnotení neprihliada. Podrobnejšie pokyny na vyplňovanie odpoveďového hárka sú na poslednej strane testu. Prečítajte si ich. Pracujte rýchlo, ale sústreďte sa. Želáme vám veľa úspechov! Začnite pracovať, až keď dostanete pokyn! EČ MS Matematika úroveň A

2 Časť I Vyriešte úlohy 0 0 a do odpoveďového hárka apíšte vždy iba výsledok nemusíte ho dôvodňovať ani uvádať postup, ako ste k nemu dospeli. Výsledok apisujte do odpoveďového hárka pomocou desatinných čísel. Pri ápise rešpektujte predtlačenú polohu desatinnej čiarky. Výsledky uvádajte buď presné, alebo ak je to v adaní úlohy uvedené aokrúhlené podľa pokynov adania obvykle to bude na dve alebo tri desatinné miesta). Znamienko mínus) napíšte do samostatného políčka pred prvú číslicu. Onačenie jednotiek stupne, metre, minúty, ) neapisujte do odpoveďového hárka. Ak je Váš výsledok celé číslo, nevypĺňajte políčka a desatinnou čiarkou. Napríklad výsledok, apíšte, výsledok 5 cm apíšte 5, výsledok 47,9º apíšte 4 7, 9 Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. 0 Koľko farby potrebujeme na natretie reklamného pútača v tvare valca s polomerom podstavy 0,45 m a výškou,5 m podstavy nenatierame), ak spotreba farby na m je 0, kg? Výsledok uveďte v kilogramoch s presnosťou na dve desatinné miesta. 0 Každá platobná karta má svoj číselný štvorciferný PIN kód. Vypočítajte, koľko eistuje rônych PIN kódov, ak viete, že PIN kód utvorený o 4 rovnakých číslic sa kvôli bepečnosti nepoužíva. 0 V rovnoramennom lichobežníku ABCD ponáme AB = 7, BC = AD = 4, BCD = 0. Vypočítajte DC. EČ MS Matematika úroveň A

3 04 Rovnica L = má práve jeden reálny koreň. Určte ho. 05 Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré je množiny A B) C A = ; 6, B = ; 4 ), C = ; 5. Ponámka: Symbol A B onačuje rodiel množín A a B., kde A, B, C sú intervaly 06 Výška hladiny Dunaja v Bratislave sa pravidelne meria každý deň o 6. hodine ráno. Graf nameraných hodnôt a prvú polovicu mesiaca jún 005 vám predkladáme. Z uvedeného grafu určte najväčšiu menu v centimetroch) a 4 hodín. Hladina Dunaja od výška hladiny v cm dátum V trojuholníku ABC je bod S [ ; ; 9] stred strany BC, bod [ 4; 7;] trojuholníka. Nájdite prvú súradnicu vrchola A [ a; b; c]. T je ťažisko 08 Daný je štatistický súbor, 7, 8, 5, 6, 4,, 5,, y. Vypočítajte aritmetický priemer tohto súboru, ak viete, že jeho modus je Polomer podstavy rotačného valca je 5 cm, jeho výška je 4 cm. Vypočítajte v centimetroch) polomer gule opísanej tomuto valcu. 0 Nájdite také reálne číslo k, pre ktoré sústava, y, nemá riešenie. + y + = y + k = y = troch rovníc s nenámymi EČ MS Matematika úroveň A

4 Daný je trojuholník ABC. Jeho stredné priečky sú úsečky A B, BC a A C. Obraom trojuholníka ABC v istej rovnoľahlosti je trojuholník A B. C Určte koeficient tejto rovnoľahlosti. Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 0, 45, 05, jeho najdlhšia strana meria 0 cm. Vypočítajte dĺžku najkratšej strany. Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta. Tupouhlý trojuholník má obsah cm a strany určujúce tupý uhol sú dlhé cm a 4 cm. Určte veľkosť tohto tupého uhla v stupňoch. 4 Rovnica sin + cos ) =, 5 má v intervale ; 90 ) väčší nich. 0 dva korene. Určte v stupňoch) 5 Na priamkach určených rovnicami 5y + 5 = 0 a 5y + 6 = 0 leží dvojica rovnobežných strán štvorca. Určte s presnosťou na dve desatinné miesta obsah tohto štvorca. 6 Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom AB =, AD = 4, AE =. Vypočítajte uhol, ktorý vierajú telesové uhlopriečky AG a BH. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. EČ MS Matematika úroveň A

5 7 Definičným oborom funkcie f : y = ln je interval a; b). Nájdite tento interval 4 a do odpoveďového hárka napíšte podiel b a. 8 Vypočítajte súčet všetkých trojciferných čísel, ktoré sú deliteľné číslom Vypočítajte log y, ak viete, že 5 y = a, y sú kladné čísla, nerovnajúce sa. 0 Sú dané otvorené intervaly A = ; ), B = 4; 4) číslo, pre ktoré platí A B.. Nájdite najväčšie reálne EČ MS Matematika úroveň A

6 Časť II V každej úloh až 0 je správna práve jedna ponúkaných odpovedí A) až E). Svoju odpoveď anačte krížikom v príslušnom políčku odpoveďového hárka. Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. Na obráku je časť grafu kvadratickej funkcie y = + b + c. Akú hodnotu má v predpise tejto funkcie koeficient b? A) B) C) 6 D) E) Do rotačného valca s polomerom podstavy 9 cm a výškou cm je vpísaný rotačný kužeľ tak, že majú spoločnú podstavu. Vypočítajte obsah plášťa S pl tohto kužeľa s presnosťou na dve desatinné miesta. S pl = A) 8,74 cm. B) 9,9 cm. C) 44, cm. D) 565,49 cm. E) 678,58 cm. Akú pravdivostnú hodnotu majú výroky A, B, C, ak viete, že implikácia C A je nepravdivá a implikácia C B pravdivá? A) A je pravdivý, B a C sú nepravdivé. C) C je pravdivý, A a B sú nepravdivé. B) B je pravdivý, A a C sú nepravdivé. D) A je nepravdivý, B a C sú pravdivé. E) B je nepravdivý, A a C sú pravdivé. 4 Podľa sčítania obyvateľstva žilo k. decembru 970 na Slovensku obyvateľov, k. decembru 980 to bolo obyvateľov. Predpokladajme, že a uvedené obdobie bol ročný percentuálny prírastok obyvateľstva p konštantný. Aká je s presnosťou na tri desatinné miesta) hodnota p? A) 0,909 % B) 0,958 % C) 0,99 % D),000 % E),00 % EČ MS Matematika úroveň A

7 5 Ktoré nasledujúcich tvrdení o etrémoch funkcie ; je pravdivé? 6 f : y = definovanej na intervale Pomôcka: Načrtnite si graf funkcie f. A) Funkcia f na ; nadobúda minimum pre = a maimum pre =. B) Funkcia f na ; nadobúda maimum pre = a minimum pre =. C) Funkcia f na ; nadobúda maimum, ale nenadobúda minimum. D) Funkcia f na ; nadobúda minimum, ale nenadobúda maimum. E) Funkcia f na ; nenadobúda ani maimum ani minimum. 6 Ostrouhlý trojuholník ABC so stranou AB = 6 je vpísaný do kružnice s polomerom r = 5. Akú veľkosť s presnosťou na dve desatinné miesta) má uhol pri vrchole C? A),56 B) 6,87 C) 8,66 D) 5,4 E) 5, 7 V množine R riešte rovnicu y 5 = 0 y. Ktoré nasledujúcich tvrdení o počte jej koreňov je pravdivé? A) Daná rovnica má rône korene a tie majú rovnaké namienka. B) Daná rovnica má rône korene a tie majú opačné namienka. C) Daná rovnica má koreň a ten je áporný. D) Daná rovnica má koreň a ten je kladný. E) Daná rovnica nemá korene. 8 Funkcia f rastie na intervale ; a klesá na intervale ; ), jej graf pretína os ; 0 4 ; 0. Na ktorých intervaloch funkcia y = f ) klesá? v bodoch [ ] a [ ] A) ; a ; 4 B) ; ) C) ; a 4 ; ) D) ; a 4; ) E) ; 4 EČ MS Matematika úroveň A

8 9 Veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku sú v pomere α : β : γ = : :. Pri vyčajnom onačení strán trojuholníka je číslo pomerom A) b : c. B) c : b. C) a : c. D) b : a. E) a : b. 0 Daný je štvorec ABCD so stranou 8 cm. Náhodne volíme vnútorný bod X tohto štvorca. Aká je pravdepodobnosť s presnosťou na dve desatinné miesta), že bod X bude od vrcholu A vdialený aspoň 6 cm? A) 0,5 B) 0,44 C) 0,56 D) 0,6 E) 0,75 KONIEC TESTU EČ MS Matematika úroveň A

9 Prehľad vorcov Mocniny: y + y a y a. a = a y. y a a = a a ) = a a. b) = a. b = a = y y a b b a a y = a Goniometrické funkcie: sin + cos = sin tg = cos sin =.sin cos cos = cos sin sin 0 π π sin = cos cos = sin Trigonometria: a b c Sínusová veta: = = = r sinα sinβ sin γ Logaritmus: log y ) = log + log y cos Kosínusová veta: log y c = log 0 = a + b ab. cos γ log log k log = k. log log y = log y n Aritmetická postupnosť: a n = a + n ). d s n = a + a n ) n Geometrická postupnosť: n q a n = a. q sn = a, q q n! n n! Kombinatorika: P n) = n! V k, n) = C k,n) = n k)! k = k! n k)! n! n + k P ' n, n, K, nk ) = k V ' k, n) = n C ' k, n) = n! n! Knk! k Geometrický priemer: n n a a Lan Harmonický priemer: + + L + a a Analytická geometria: Parametrické vyjadrenie priamky: r X = A + t u, t R a ; [ a ; b] [ 0; 0] Všeobecná rovnica priamky: + by + c = 0 r r u.v Uhol vektorov: cos ϕ = r r u. v Všeobecná rovnica roviny: a + by + c + d = 0; [ a ; b; c] [ 0; 0; 0] Stredový tvar rovnice kružnice: m) + y n) = r Objemy a povrchy telies: kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc π r v S p v povrch ab + ac + bc) πr r + v ) p pl y a n r 4 π v π r S + S πr + πrs 4π r EČ MS Matematika úroveň A

10 . tabuľka Kľúč správnych odpovedí pre položky s výberom odpovede test MAA forma E C D B A B D A E C C B A D D E C B E A EČ MS Matematika úroveň A

11 MATURITA 006 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň B kód testu: 057 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: - Pri úlohách s krátkou odpoveďou napíšte jednotlivé číslice výsledku do príslušných políčok odpoveďového hárka. Rešpektujte pritom predtlačenú polohu desatinnej čiarky. - Pri úlohách s výberom odpovede vyberte správnu odpoveď spomedi niekoľkých ponúkaných možností, ktorých je vždy správna iba jedna. Správnu odpoveď anačte krížikom do príslušného políčka odpoveďového hárka. Z hľadiska hodnotenia sú všetky úlohy rovnocenné. Na vypracovanie testu budete mať 0 minút. Pri práci smiete používať iba písacie potreby, kalkulačku a prehľad vorcov, ktorý je súčasťou tohto testu. Nesmiete používať ošity, učebnice ani inú literatúru. Ponámky si robte na pomocný papier. Na obsah pomocného papiera sa pri hodnotení neprihliada. Podrobnejšie pokyny na vyplňovanie odpoveďového hárka sú na poslednej strane testu. Prečítajte si ich. Pracujte rýchlo, ale sústreďte sa. Želáme vám veľa úspechov! Začnite pracovať, až keď dostanete pokyn! EČ MS Matematika úroveň B

12 Časť I Vyriešte úlohy 0 0 a do odpoveďového hárka apíšte vždy iba výsledok nemusíte ho dôvodňovať ani uvádať postup, ako ste k nemu dospeli. Výsledok apisujte do odpoveďového hárka pomocou desatinných čísel. Pri ápise rešpektujte predtlačenú polohu desatinnej čiarky. Výsledky uvádajte buď presné, alebo ak je to v adaní úlohy uvedené aokrúhlené podľa pokynov adania obvykle to bude na dve alebo tri desatinné miesta). Znamienko mínus) napíšte do samostatného políčka pred prvú číslicu. Onačenie jednotiek stupne, metre, minúty, ) neapisujte do odpoveďového hárka. Ak je Váš výsledok celé číslo, nevypĺňajte políčka a desatinnou čiarkou. Napríklad výsledok, apíšte, výsledok 5 cm apíšte 5, výsledok 47,9º apíšte 4 7, 9 Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. 0 Určte najmenšie reálne číslo, ktoré vyhovuje nerovnici Povrch gule je 64 π cm ). Vypočítajte v centimetroch) jej polomer. 0 Podiel štvrtého a prvého člena istej geometrickej postupnosti sa rovná 7. Určte kvocient tejto postupnosti. 04 Nájdite najmenší spoločný násobok čísel a V kocke ABCDEFGH ponáme súradnice 4; 0; 0 C 0; 4; 0 a H [ 0; 0; 4]. bodov A [ ], [ ] Bod S [ a b; c] ; je stred hrany CG. Určte tretiu súradnicu bodu S. EČ MS Matematika úroveň B

13 06 V pravouhlom trojuholníku ABC s odvesnou AC = má výška na preponu dĺžku CD = 5. Vypočítajte veľkosť uhla CAB. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. 07 Priamka, ktorá je grafom lineárnej funkcie f má smernicu k = a pretína os y v bode 0 ;. Akú hodnotu má táto funkcia pre = 5? [ ] 08 V rovnoramennom lichobežníku ABCD ponáme AB = 7, BC = AD = 4, BCD = 0. Vypočítajte DC. 09 Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré je množiny A B) C A = ; 6, B = ; 4 ), C = ; 5. Ponámka: Symbol A B onačuje rodiel množín A a B., kde A, B, C sú intervaly 0 Nájdite také reálne číslo a, pre ktoré bude mať sústava s nenámymi, y nekonečne veľa riešení. y = 6 + ay = 9 dvoch rovníc Určte -ovú súradnicu bodu, v ktorom graf funkcie = log0 + ) 4 y pretína -ovú os. Výška hladiny Dunaja v Bratislave sa pravidelne meria každý deň o 6. hodine ráno. Graf nameraných hodnôt a prvú polovicu mesiaca jún 005 vám predkladáme. Z uvedeného grafu určte najväčšiu menu v centimetroch) a 4 hodín. Hladina Dunaja od výška hladiny v cm dátum Čísla, 5, 7, 8, 0,,, m sú apísané vostupne. Určte číslo m, ak viete, že medián EČ MS Matematika úroveň B

14 uvedených ôsmich čísel sa rovná ich aritmetickému priemeru. 4 Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 0, 45, 05, jeho najdlhšia strana meria 0 cm. Vypočítajte dĺžku najkratšej strany. Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta. 5 V aritmetickej postupnosti { } n n = a sa a 0, a 5. Pre ktoré n sa a = 0? = 4 = n 6 V 4.C je dnes 0 žiakov, jedným nich je Cyril Nový. Z matematiky majú byť dnes náhodne vyvolaní žiaci. Aká je pravdepodobnosť, že jedným nich bude Cyril Nový, ak na poradí, v akom sú žiaci vyvolávaní, neáleží? 7 Dané sú kružnice kk; cm) a mm; 8 cm), pričom KM = cm. Spoločné vnútorné dotyčnice týchto kružníc sa pretínajú v bode P. Vypočítajte v centimetroch vdialenosť KP. 8 Tupouhlý trojuholník má obsah cm a strany určujúce tupý uhol sú dlhé cm a 4 cm. Určte veľkosť tohto tupého uhla v stupňoch. 9 Ak v jednom obráku načrtneme grafy funkcií y = sin a y = cos, tak vidíme, že množina M { 0 ; π ; sin > cos } = je otvorený interval a π ; bπ). Nájdite číslo b. 0 Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom EČ MS Matematika úroveň B

15 AB =, AD = 4, AE =. Vypočítajte uhol, ktorý vierajú telesové uhlopriečky AG a BH. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve desatinné miesta. Časť II V každej úloh až 0 je správna práve jedna ponúkaných odpovedí A) až E). Svoju odpoveď anačte krížikom v príslušnom políčku odpoveďového hárka. Obráky slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrty, dĺžky a uhly v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úlohy. EČ MS Matematika úroveň B

16 Priamka, ktorá precháda bodom [ ; 0] 0 a je kolmá na priamku + y = 5, má rovnicu A) C) 5 y = 0. + y = 0. B) 5y = 0. D) y = 0. E) + y = 0. Na obráku je časť grafu kvadratickej funkcie y = + b + c. Akú hodnotu má v predpise tejto funkcie koeficient b? A) 6 B) C) D) E) Aká je pravdepodobnosť, že v trojcifernom čísle vytvorenom číslic, 4, 6, 8 sa číslice neopakujú? A) 6,5 %. B) 7,5 %. C) 50 %. D) 6,5 %. E) 9,75 %. 4 Rohodnite, ktorý nasledujúcich výrokov je negácia výroku: Každé párne číslo je deliteľné štyrmi. A) B) C) D) E) Neeistuje párne číslo, ktoré je deliteľné štyrmi. Eistuje nepárne číslo, ktoré nie je deliteľné štyrmi. Eistuje nepárne číslo, ktoré je deliteľné štyrmi. Eistuje párne číslo, ktoré nie je deliteľné štyrmi. Každé nepárne číslo je deliteľné štyrmi. 5 Ako treba voliť reálne číslo c, aby rovnici + y + 4 y + c = 0 vyhovovali súradnice práve jedného bodu [ ; y]? A) c = 5 B) c = C) c = 0 D) c = E) c = 5 6 Ktoré nasledujúcich tvrdení o etrémoch funkcie intervale ; je pravdivé? Pomôcka: Načrtnite si graf funkcie f. 6 f : y = definovanej na A) Funkcia f na ; nadobúda maimum, ale nenadobúda minimum. EČ MS Matematika úroveň B

17 B) Funkcia f na ; nadobúda minimum, ale nenadobúda maimum. C) Funkcia f na ; nenadobúda ani maimum ani minimum. D) Funkcia f na ; nadobúda maimum pre = a minimum pre =. E) Funkcia f na ; nadobúda minimum pre = a maimum pre =. 7 Podľa sčítania obyvateľstva žilo k. decembru 970 na Slovensku obyvateľov, k. decembru 980 to bolo obyvateľov. Predpokladajme, že a uvedené obdobie bol ročný percentuálny prírastok obyvateľstva p konštantný. Aká je s presnosťou na tri desatinné miesta) hodnota p? A) 0,909 % B) 0,958 % C) 0,99 % D),000 % E),00 % 8 Ktorá nasledujúcich množín je definičným oborom funkcie y log 9 8 ) ; 9) ; ) A) C) B) 0 ; ) D) ; 9) E) 9; ) 0; 9) =? 9 Bočná hrana pravidelného štvorbokého ihlana má dĺžku 4 cm, jej odchýlka od roviny podstavy je 45. Tento ihlan má objem V = A) cm. B) 6 cm. C) 8 cm. D) 8 cm. E) 6 8 cm. 0 V množine R riešte rovnicu y 5 = 0 y. Ktoré nasledujúcich tvrdení o počte jej koreňov je pravdivé? A) Daná rovnica nemá korene. B) Daná rovnica má koreň a ten je áporný. EČ MS Matematika úroveň B

18 C) Daná rovnica má koreň a ten je kladný. D) Daná rovnica má rône korene a tie majú opačné namienka. E) Daná rovnica má rône korene a tie majú rovnaké namienka. KONIEC TESTU Prehľad vorcov Mocniny: y + y a y a. a = a y. y a a = a a ) = a a. b) = a. b = a = y y a b b a a y = a Goniometrické funkcie: sin + cos = sin tg = cos sin =.sin cos cos = cos sin sin 0 π π sin = cos cos = sin Trigonometria: a b c Sínusová veta: = = = r sinα sinβ sin γ log log + log Logaritmus: y ) = y cos Kosínusová veta: log y c = log 0 = a + b ab. cos γ log log k log = k. log log y = log y n Aritmetická postupnosť: a n = a + n ). d s n = a + a n ) n Geometrická postupnosť: n q a n = a. q sn = a, q q n! n n! Kombinatorika: P n) = n! V k, n) = C k,n) = n k)! k = k! n k)! n! P ' n, n, K, nk ) = k n + k V ' k, n) = n C ' k, n) = n! n! Knk! k Geometrický priemer: n n a a Lan Harmonický priemer: + + L + a a y a n EČ MS Matematika úroveň B

19 Analytická geometria: Parametrické vyjadrenie priamky: r X = A + t u, t R a ; [ a ; b] [ 0; 0] Všeobecná rovnica priamky: + by + c = 0 r r u.v Uhol vektorov: cos ϕ = r r u. v Všeobecná rovnica roviny: a + by + c + d = 0; [ a ; b; c] [ 0; 0; 0] Stredový tvar rovnice kružnice: m) + y n) = r Objemy a povrchy telies: kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc π r v S p v povrch ab + ac + bc) πr r + v ) p pl r 4 π v π r S + S πr + πrs 4π r EČ MS Matematika úroveň B

20 . tabuľka Kľúč správnych odpovedí v položkách s výberom odpovede test MAA forma E C D B A B D A E C C B A D D E C B E A TEST MB 006 EČ MS Matematika úroveň B

26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy

26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy 26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy Úlohy na výpočet vzdialeností a odchýliek, tzn. metrické úlohy, riešime v analytickej geometrii pomocou vektorov. V stereometrii sa snažíme

Detaljer

MATURITA 2011 MATEMATIKA

MATURITA 2011 MATEMATIKA KÓD TESTU 06 MATURITA 2011 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIKA NEOTVÁRAJTE POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU. Test obsahuje 0 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa stretnete

Detaljer

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o r s a m l i n g i, a v h o l d e s m a n d a g 3. m ai 2 0 1 0, k l. 1 8 0 0 p å T r e

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D e t t e e r i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n er a l f o r s a m l i n g. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s m e l d i n g o g r e g n s k a

Detaljer

Sk ie n ko mm une. R EG UL E R I N GS B ES T E MM E L SER T I L D eta ljr e gu l e ri n g

Sk ie n ko mm une. R EG UL E R I N GS B ES T E MM E L SER T I L D eta ljr e gu l e ri n g R EG UL E R I N GS B ES T E MM E L SER T I L D eta ljr e gu l e ri n g K j ø r b ekk d a l en 12 D 220 / 211 m. fl R e g u l e r i n g s be s te mm e ls e r sist date r t 27.09.17. P l an k a r t sist

Detaljer

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i næ r t s am e i e rm ø t e i S am b o b o l i g s a m ei e fi n n e r s t e d t o r s d ag 3 0. 0 4. 2 0 0 9 K l. 1 8. 3 0

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løsning

Geometri R1, Prøve 1 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

Geometri R1, Prøve 2 løsning

Geometri R1, Prøve 2 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 K e y s e r l ø k k a Ø s t B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d

Detaljer

VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy

VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy VEDLEGG 5 Ifølge regelverket skal støynivået ved helårsboliger og fritidsboliger ikke overstige den anbefalte grenseverdien på Lden 45 db. Dersom det vurderes som nødvendig for vindkraftverkets realiserbarhet

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i S / E S o r g e n f r i g a t e n 3 4, a v h o l d e s o ns d a g 1 0. m a rs 2 0 1 0 k l. 1 8. 0 0 i K l u b b r o m m

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løysing

Geometri R1, Prøve 1 løysing Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene

Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)

Detaljer

Geometri R1. Test, 1 Geometri

Geometri R1. Test, 1 Geometri Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6

Detaljer

u 120 Bratislava - 宵ilina - (Ko将゙ice) Y 50 Bratislava - C将ソfer km km Vlak 3351 c 120 u h IDS BK Bratislava - C将ソfer 401,% K W c c 3305 c

u 120 Bratislava - 宵ilina - (Ko将゙ice) Y 50 Bratislava - C将ソfer km km Vlak 3351 c 120 u h IDS BK Bratislava - C将ソfer 401,% K W c c 3305 c u 120 Bratislava - 宵ilina - (Ko将゙ie) Y 50 Bratislava - C将ソfer km km Vlak 3351 3341 3305 RR 767,+ W v w _ x v 3305 3001 6 13353 10353 3307 2001 6 2003 6 K1 Zo stanie K将穰y K将穰y 0 Bratislava hl.st. 110,130,131

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s b e r e t n i

Detaljer

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE Innhold Ka pit tel 1 Etablering, drift og avvikling av virksomhet...................... 13 1.1 Ut meis ling av for ret nings ide en i en for ret nings plan................13 1.2 Valg mel lom en kelt per

Detaljer

FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN JUNI A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013

FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN JUNI A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013 FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN 5.- 6. JUNI 201 3 A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013 09. 0 0 1 0. 0 0 R E G I S TR E R I NG N o e å b i t e i 10. 0 0 1 0. 15 Å p n i ng

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Geometri 1T, Prøve 2 løsning

Geometri 1T, Prøve 2 løsning Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i

Detaljer

!"" #$ % <'/ & ' & & " E*.E *N 9 " 9 ) $ 9 ' &" )*./W BN 9 '" 9E * )* * 9 '" \./W 45 J = [\ T [\ > NO 1Z % H & 9: TG 23 Y*[\ $ * '

! #$ % <'/ & ' & &  E*.E *N 9  9 ) $ 9 ' & )*./W BN 9 ' 9E * )* * 9 ' \./W 45 J = [\ T [\ > NO 1Z % H & 9: TG 23 Y*[\ $ * ' !"" #$ %1 21+ 3 1 NO 1Z % H & 9: TG 23 Y*[\ $ * ' =N> Y* TG *! > " 9: 23J #$%&' F '3 * (23 )* +0,-G.0XO/0

Detaljer

(((5( *, (( (*(5((,5( +! "# " #$% & ' % & "! & & ((()!"#)((( $%&'!$%*(((!" # $% " & ' ((()& # & " & )(((& $( # & " ) # & $( *+& ((,*()* ((,**! "# $%&'

(((5( *, (( (*(5((,5( +! #  #$% & ' % & ! & & ((()!#)((( $%&'!$%*(((! # $%  & ' ((()& # &  & )(((& $( # &  ) # & $( *+& ((,*()* ((,**! # $%&' (((5( *, (( (*(5((,5( +! "# " #$% & ' % & "! & & ((()!"#)((( $%&'!$%*(((!" # $% " & ' ((()& # & " & )(((& $( # & " ) # & $( *+& ((,*()* ((,**! "# $%&'&%!!""!!()!*++,!!*!*! % -''&. /'& 0 + -. /.0.10' 1.0

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

R1 - Eksamen

R1 - Eksamen R1 - Eksamen 31.05.01 Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) f x 5 3x 1 0 15x 1 ) Kjerneregel: g x 5e u, u 3x g x 5e u 3 15e u 15e 3x b) ln a ln b ln a ln b 3 ln a ln a ln b ln a ln

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

C$! %!" T$K %!" F$"$ %

C$! %! T$K %! F$$ % ! " # $%&'%'!"#!"#$% &' %(( )&*+ ),-. &,*/ &),0% 1 1 ( )*+,--. /0 1 0 / 2 3456789 :;,--./ )*,- -.0/ 0 =?$ @AB-C;D-C E- - AB-C E- - FG HIJ KL0 IM1( N = U V W @ - ;D-CAB-CE-

Detaljer

1 Geometri R2 Løsninger

1 Geometri R2 Løsninger 1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l år e t s g e n e r a l f o rs am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i n

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18 Innhold Innledning...16 Kapitlene... 17 Ano ny mi tet... 18 Del I Innledning til mentoring KapIttel 1 Introduksjon til mentoring...20 Bak grunn...20 Be gre pe ne...22 Sponsorship og ut vik len de mentoring...23

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014 Eksamen MAT03 Matematikk T Høsten 04 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng)

Detaljer

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Europa-Universität Viadrina

Europa-Universität Viadrina !"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

!" # $ %& &'!"#$%&'! "# $ %!$ &' "# (%! "#!"#$%&' $!() *+,-. / '789:,; $, /0 FGHIJKL PQR S>TU$ /0VW,XY Y Z[\ ]^UN_$!(`YVWabc

! # $ %& &'!#$%&'! # $ %!$ &' # (%! #!#$%&' $!() *+,-. / '789:,; $, /0 FGHIJKL PQR S>TU$ /0VW,XY Y Z[\ ]^UN_$!(`YVWabc !"#$%&'! "# $ %!$ &' "# (%! "#!"#$%&' $!() *+,-. /01 2345 6'789:,; 4?@ABCDE $, /0 FGHIJKL MNO @ PQR S>TU$ /0VW,XY Y Z[\ ]^UN_$!(`YVWabc1 $ /ab!(@ E V$!( M $ [\ R ( ) *+ ),-!"#"$ $"$%"!$%!!$ $ $ " &$"!"#$

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034 10 b) Løs likningen x + 6x = 16 c) Løs ulikheten x x> 0 d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

Ã,ÐY1Â/YZ[Ú ØÙ" ` %#!$ /ÐYZ. ³!Á]äkí> ªÆμg ' Ô! ]g P. ] r U³!]kíg 1 ÔBS;&¼g $ / ÐYì[!ßs]g ì D!'!í Ö! ]Iô LH ¹ºE»¼Æª« ''' !"#$!

Ã,ÐY1Â/YZ[Ú ØÙ ` %#!$ /ÐYZ. ³!Á]äkí> ªÆμg ' Ô! ]g P. ] r U³!]kíg 1 ÔBS;&¼g $ / ÐYì[!ßs]g ì D!'!í Ö! ]Iô LH ¹ºE»¼Æª« ''' !#$! 1 / / %'/ /!" - 0 89: > @AB $D />@ABD E > / FGI#$J KL * M*NO./0 / * +, Y! ' * % > 1 @0 A B Z 0 I D Z B!0 E,B 0 $ BM b ::b Z 2 0+ @ * DI $EF GbEF @ % $ 2 I I0J K > I + > L * 9M 3 B $NO c I 1 %0 PT B + *

Detaljer

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

r r F r r pram de har tatt. yin -

r r F r r pram de har tatt. yin - j C c1 C j 0 C,, () c, 0 H 0 C 0 nj me du du du den et le 2 Sommenatt ved foden Dt maj7 G7sus4 G7 C m B1 9 Dt /Et E1 Dt fe, El 2Sopa 4 pam som de ha tatt. leg sta ved yin du i natt og en fi pam de ha tatt.

Detaljer

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

!"#$%&'&()%*+(",&-$.%)-/&%$0.+%$&1+(%)2,+",&/.33)%*& 4)%&/.%5+5",&6.%+-2&3)/*-"*",&6$5$,)31$-*

!#$%&'&()%*+(,&-$.%)-/&%$0.+%$&1+(%)2,+,&/.33)%*& 4)%&/.%5+5,&6.%+-2&3)/*-*,&6$5$,)31$-* !"##$%&%'()*+,-'./*&)(0/'!"#$%&'&()%*+(",&-$.%)-/&%$0.+%$&1+(%),+",&/.)%*& 4)%&/.%+",&6.%+-&)/*-"*",&6$$,)1$-* 7"/"8+&9$-):&;.8+&"-"8":&;.8"&@"8"1.%":&A.-+(?+&B+8.*":& 7"/"%.&C/?++:&"-6&>)/?+?+6$&;"1"/?+*"

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Litt enkel matematikk for SOS3003

Litt enkel matematikk for SOS3003 Litt enkel matematikk for SOS3003 Erling Berge 24 Aug 2004 Erling Berge 1 Om matematikk Matematikk er ikkje vanskeleg Det er eit språk for logikken. Det er lett å lære å lese Litt vanskelegare å forstå

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 H o v i n B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

1 REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE

1 REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE. Neka je f() = ln 4e 3 e. Odredite a) f b) D(f) i R(f) c) Odredite min f, inf f, ma f, sup f. 2. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = ln (3e e 3 ) + 5 log 5 +3 + ( cos

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Neko kao ti. Sara Desen. Prevela Sandra Nešović

Neko kao ti. Sara Desen. Prevela Sandra Nešović Neko kao ti Sara Desen Prevela Sandra Nešović 4 5 Naslov originala Sa rah Des sen So me o ne Li ke You Copyright Sarah Dessen, 1998 All rights reserved including the right of reproduction in whole or in

Detaljer

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Bjerkreim kyrkje 175 år Takksemd Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Takk for det liv du gav oss, Gud 5 5 Takk for det liv du gav oss, Gud, Hi-mlen som hvel - ver seg 5 5 9 9 o - ver! Takk

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s a m l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 25.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Hilja du ču de snih sunac a

Hilja du ču de snih sunac a 3 2 Ha led Ho se i ni Hilja du ču de snih sunac a Preveo Ni ko la Paj van čić 5 4 Naslov originala Kha led Hos se i ni A Tho u sand Splen did Suns Copyright 2007 by ATSS Publications, LLC First published

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

1 Geometri R2 Oppgaver

1 Geometri R2 Oppgaver 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...

Detaljer

IntroduksJQn (Springdans) Allegretto I - la. Tra-la-la-la, tra-la-la-la, tra-la-la-la - la. Tra - la. Ka-ri og Ma-ri, kom snsgg dokk sta.

IntroduksJQn (Springdans) Allegretto I - la. Tra-la-la-la, tra-la-la-la, tra-la-la-la - la. Tra - la. Ka-ri og Ma-ri, kom snsgg dokk sta. Avskt»T pattu elle atee e obudt 0lge OT. SOPRAN ALT J, N. 310 Nosk Muskolags salng av blandede ko. L0RDAGSKVELL R a p s o d o v e g a l e n o s k e d a n s e *^ ntoduksjqn (Spngdans) Allegetto ' Ths. Beok

Detaljer

apple К apple fl 0 0

apple К apple fl 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise

Detaljer

Eksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 7. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.

Eksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 7. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag. Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 013 Fag: MAT1006

Detaljer

DO ŽIV LJA JI HAK L BE RI JA FI NA

DO ŽIV LJA JI HAK L BE RI JA FI NA Mark Tven DO ŽIV LJA JI HAK L BE RI JA FI NA Nas lov ori gi na la Mark Twa in Adven tu res of Huc k le ber ry Finn 1884 Pre vod Je li sa ve ta Mar ko vić Beleška Ko po ku ša da na đe ne ku po bu du u ovom

Detaljer

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering i FORK1100 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 19. oktober 2018 kl. 14:30 Antall oppgaver: 15 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende

Detaljer

Oppgåve 1 (1 poeng) Oppgåve 2 (1 poeng) Oppgåve 3 (1 poeng) Oppgåve 4 (2 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform. Løys likninga.

Oppgåve 1 (1 poeng) Oppgåve 2 (1 poeng) Oppgåve 3 (1 poeng) Oppgåve 4 (2 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform. Løys likninga. Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 Oppgåve ( poeng) Løys likninga 6 Oppgåve 3 ( poeng) Løys likninga lg( 3) 0 Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen Oppgåve 5 ( poeng)

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt . til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i

Detaljer

Matematikk for yrkesfag

Matematikk for yrkesfag John Eneeth Odd Heir Håvard Moe fo re nk BOKMÅL l t e Matematikk for yrkefa BOKMÅL 6 Pytaoraetninen I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 90. katet hypotenu Den lente iden kaller vi hypotenu. De

Detaljer

JESEŇ. Ročník 5. Odborný časopis v oblasti plynárenstva, vykurovania, vodoinštalácií a klimatizačných zariadení

JESEŇ. Ročník 5. Odborný časopis v oblasti plynárenstva, vykurovania, vodoinštalácií a klimatizačných zariadení Odborný časopis v oblasti plynárenstva, vykurovania, vodoinštalácií a klimatizačných zariadení JESEŇ 2 0 0 7 Ročník 5 ZOZNAM PREDAJCOV RADIÁTOROV SOLIDSTAV - Holubbyho 12, 040 01 Košice, Tel.: 055/7299661,

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (18 poeng) a) Rekn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Rekn ut og skriv svaret på standardform 5 6 5,510 6,010 11 1 33,0 10

Detaljer

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 InnholD bak grunn... 11 h E n s i k t... 12 inn hold... 12 mo ti va sjon og takk... 13 Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 o p p h E v E l s E n av t y n g d E k r a

Detaljer

!"#$%&%'()" *+,!-.&%'(+, /%,%-"0",' 1+& *+02$"3 %,4!5,%0(# 6"'7+&89

!#$%&%'() *+,!-.&%'(+, /%,%-0,' 1+& *+02$3 %,4!5,%0(# 6'7+&89 !"#$%&%'()" *+,!-.&%'(+, /%,%-"0",' 1+& *+02$"3 %,4!5,%0(# 6"'7+&89!" #$%&!" '"& ()*! +, (*-.%/ ()* " 0)1*2"3 4)& 5%- (%-6%! "!"#$%&'#() *+,#-.#/0" 1 2"" 2&3*&! 2454 603' 1 7%'%0&-.!"#$%&'$# $%&'()* +,-,.%+%-&,-/

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 6.1 1 Anta at alle trekanter i nøytral geometri har samme defekt 1 c vi skal vise at vi må ha c = 0.

Detaljer

! " # $ #!!" #$ %&#"'

!  # $ #!! #$ %&#' !"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;

Detaljer

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e P r in s ipp s ø k n a d R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e O pp d ra g s n r : 2 0 1 50 50 O pp d ra g s n a v n : Sa n d s ta d g å r d

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

! $%&'&% %&&% () 1 &16! /!1+7**8 ()*+-./01! 8 $%&'()*'+ 8 ()*+-./01!$% 23 4()*567!$%89:;* ?@ABCDE$%()*567!$% 1567FG>HIJ()$%89 KL-.MN7MNO! $%MN 234! $% $% 56789 9: ; :; :9 +7*++ -./01.23456 *789:;9:

Detaljer