Løsningsforslag ST2301 Øving 5

Transkript

1 Løsningsforslag ST2301 Øving 5 Kaittel 2 Exercise 6 Har en diloid oulasjon, ser å et locus med to allel A og a. Fitnessene for genotyene er h 0 Hva er likevektsfrekvensen av A som funksjon av h? La frekvensen av A være. Når likevektsfrekvensen er nådd er endringen i genfrekvens lik null, dvs = 0. Likning II-34 side 45 kan brukes. = 1 w [ (1 ( w A w a ] Har at w A = w AA + (1 w Aa = + (1 (1 + h w a = (1 w aa + w Aa = (1 + h Ved likevekt er = 0. = 0 1 w [ (1 ( w A w a ] = 0 (1 ( w A w a = 0 Det er tre muligheter for likevekt. Det er = 0, = 1, og frekvensen e som gir at w A w a = 0. Den siste muligheten gir 1

2 w A w a = 0 e + (1 e (1 + h e (1 + h = 0 e h e e h e e h = h e (2h + 1 = 0 e = 1 + h 1 + 2h For at denne frekvensen skal være mellom 0 og 1, må man ha h 1 (dvs h = 1 fordi tnessen til heterozygotene ikke kan være negativ, eller h > 0. Dersom 1 < h < 0, eksisterer ikke denne likevekten. Exercise 7 I exercise 6, hvordan avhenger stabiliteten av likevektsfrekvensene av A, av h? Fitnessene var gitt ved h 0 Ut fra disse ser man at når h > 0 har heterozygoten høyest tness. Da forventes det at e vil være en stabil likevekt, mens = 0 og = 1 vil være lokalt ustabile. Seleksjon vil altså ikke favorisere noen av allelene. Når 1 < h < 0 har AAhomozygoten høyest tness, og seleksjon favoriserer A-allelet. Da forventes det at = 1 er en stabil likevekt, mens = 0 og e er ustabile likevekter. En likevekt er lokalt stabil dersom synker når endres vekk fra likevekten, og lokalt ustabil dersom vokser når endres vekk fra likevekten. For å vurdere stabilitet må man altså derivere m.h.., og så evaluere denne i likevektsunktene. Har at w = 2 w AA + 2(1 w Aa + (1 2 w aa = 2 + 2(1 (1 + h = (1 ( w A w a w (1 ( + (1 + h(1 2 = + 2(1 (1 + h = 2 (2h + 1 (2 + 3h + (1 + h 2(1 + h (1 + 2h 2

3 Figur 1 viser hvordan endres med, for ulike verdier av h. Ser at synker med for 1 < h < 0, noe som viser at = 1 er en lokalt stabil likevekt mens = 0 er lokalt ustabil. Likevekten e eksisterer ikke for 1 < h < 0. For 0 < h < 1 ser man at er synker med for < e, og øker for > e. Dette viser at e er et lokalt stabilt likevektsunkt, mens både = 0 og = 1 er ustabile likevekter. I boka er det utledet et kriterium for likevekt (likning II-103 h= 1 h= 0.75 h= 0.5 h= 0.25 h=0 h=0.25 h=0.5 h=0.75 h=1 Figur 1: Fra exercise 7. Hvordan endres med, for ulike verdier av h. side 65. For at en likevekt skal være lokalt stabil, må 2 < d d < 0 = Dvs stigningstallet til som funksjon av må være negativt, men kurven til må ikke være for bratt ved likevekten. Hvis vi skriver om å tnessene, kjenner vi igjen tilfellet for overdominans når h > 0. 3

4 1 1 + h h s 1 1 t Her er s = h mens 1+h t = 1. Side 65 i boka blir det utledet hvorfor e er en lokalt stabil likevekt, mens = 0 og = 1 er ustabile likevekter. Exercise 9 Hva er segregational load i et system med to balanserte dødelige alleler? Segregational load er reduksjonen i gjennomsnittlig tness w for en oulasjon med kjønnet formering, i forhold til den gjennomsnittlige tnessen w til en oulasjon uten kjønnet formering. I et system med to balanserte dødelige alleler er tnessene Dersom det ikke hadde vært kjønnet formering, ville oulasjonen tilslutt utelukkende bestått av heterozygotene, med gjennomsnittlig tness w = 1. Når man har kjønnet formering er gjennomsnittlig tness i dette systemet w = 2(1. Ved likevekt er endringen av w lik 0. Likevektsfrekvensen er d w d = 2 4 e = 0 e = 1 2 Dermed blir segregational load L = w w = = 1 2 Comlement 4 For s = 1 i tilfellet med et recessivt dødelig allel, nn likningen for det eksakte antallet generasjoner det tar å endre allelfrekvensen fra 0 til t, utfra seksjon II.5. Sammenlikn med tilnærmingen i det kontinuerlige tilfellet, for s = 1. Den eksakte løsningen er likning II-89 side 56. 4

5 t = 1 t 1 0 Tilnærmingen i det kontinuerlige tilfellet er likning II-94 side 57. Setter inn for s = 1. t 1 [ 1 ( t + ln s t 1 t [ ( 1 t = t + 2 ln + ln ( 0 ln 0 ( ( ] 1 t + 2s ln ] ln ( t 1 t Siden det er et recessivt tilfelle med dødelig allel, vil alle homozygoter med dette allelet dø i løet av en generasjon. Andelen heterozygoter med allelet kan heller ikke øke uten mutasjon eller annen åvirkning utenfra. Derfor kan frekvensen av det dødelige allelet bare endres slik at den blir mindre, dvs t 0. Dette gir t t t 1 ( ( 0 t 0 ln ln 1 t 1 0 ( ( 0 t ln ln t ( 1 t ln ( ( ( 1 t 0 t 2 ln + ln ln t Dvs i forhold til den eksakte verdien av t, vil tilnærmingen overestimere t. For eksemel, dersom 0 = 0.5 og t = 0.1, får man t = = 8 [ ( 0.9 t = ln 0.5 = ln ( ] Dersom 0 = 0.5 og t = 0.4, får man 5

6 t = t = = = 0.5 [ 2 ln ( ln ( ]