LØSNINGSFORSLAG ØVING 2 - APPROKSIMERING AV TSP

Transkript

1 LØSNINGSFORSLAG ØVING 2 - APPROKSIMERING AV TSP Approksimering av Travling Salesman Problem er her illustrert vha. en genetisk algoritme (GA). Den grunnlegge metaforen for en genetisk algoritme er evolusjon arv, mutasjon, forplanting og naturlig utvelgelse er prinsipper som er overført fra biologisk evolusjon. Fordelen med GA er er at de er veldig generelle og krever liten forståelse av problemet annet enn å representere løsninger og definere fitnessfunksjoner (løsningenes kostnad). Vi kan si at GA er er en form for guida randomisert søk. En GA begynner med å generere tilfeldige løsninger, i vårt tilfelle representert med ei rute av byer en Salesman besøker (representert som et array hvor hver by er angitt med et tall). Disse løsningene testes så mot en fitness-funksjon, her den totale kostnaden for å besøke byene i den gitte rekkefølgen. Deretter velger man foreldre blant de beste løsningene og parer/rekombinerer disse. Her fins det ulike metoder; i vårt tilfelle har vi benytta cycle crossover, som bevarer mye av den opprinnelige rekkefølgen i ruta til hver av foreldrene. De dårligste individene fra forrige generasjon byttes så ut med de nye barna. I tillegg benytter vi også mutasjon som tilfeldig flytter om på rekkefølgen av byene. Mutasjon er ofte nyttig for at algoritmen ikke skal konvergre på lokal optima. Vår GA en har tre klasser: CityMap. Henter og initialiserer data. Metoder for å teste kostnaden av ei rute. Salesman. Representerer ei rute/løsning. Metoder for crossover og mutasjon. Evolution. Initialiserer en populasjon av løsninger, velger foreldre og bytter ut individer med nye avkom for hver generasjon. GA en bruker følge datasett: Datasettet inneholder 131 byer med koordinater. Den optimale ruta har en kostnad på 564. Vår GA oppnår følge resultat på 2000 generasjoner:

2 Vi er altså opp med en kostnad 64% over optima, men har likevel en god forbedring fra opprinnelig, randomisert løsning. Den flate kurven etter litt over 1000 generasjoner viser at algoritmen kjører seg fast i lokal optima. Større populasjon, mer mutasjon/annen mutasjonsmetode, andre seleksjonsmetoder og rekombinasjonsmetoder kunne antagelig motvirka dette. Kode i Ruby: require 'open-uri' include Math class CityMap attr_reader :cities def = [] tsp_data = open(url_path) for line in tsp_data do city = line.split if city[0][/\d+/] then koordinat hvis linja begynner med et Float(city[1]), y: Float(city[2])}) tsp_data.close Kostnad mellom to byer. def distance(city1, city2) return sqrt((city1[:x]-city2[:x])**2 + (city1[:y]-city2[:y])**2).round Total kostnad for rute. def total_distance(route) sum = 0 for i in 0...route.size-1 do sum += sum += tilbake til start-by return sum class Salesman attr_accessor :route def initialize(city_map, = city_map if route = route = (0...@city_map.cities.size).to_a.shuffle lag tilfeldig rute def fitness

3 return Insert mutation Velg to byer tilfeldig, plasser den bakerste etter den første, shift resten av array et.! def mutate i1 = rand(0...@route.length) i2 @route.uniq! Cycle crossover. def crossover(mate) def make_child(mom, dad, cycle) moms_child = [] dads_child = [] mom.each_with_index do allele, i if cycle.include? allele then moms_child.insert i, allele else moms_child.insert i, dad[i] moms_child def make_cycle(mom, dad) cycle = [] i = rand(mom.length) first_allele = mom[i] cycle << first_allele allele = dad[i] cycle << allele while first_allele!= allele do i = mom.index(allele) allele = dad[i] cycle << allele cycle cycle = make_cycle(@route, mate.route) return Salesman.new(@city_map, make_child(@route, mate.route, cycle)) class Evolution attr_accessor :population, :best_in_generation def initialize (population_size, crossover_rate=0.9, mutation_rate=0.1, = = = mutation_rate

4 @city_map = = make_population private def make_population population do population.push(salesman.new(@city_map)) population public def { salesman +salesman.fitness} def best rank Tournament selection def select_parents number_of_parents = Integer(@population_size parents = [] number_of_parents.times do selected = [] Integer(@population_size * 0.3).times do selected selected.sort_by! { salesman +salesman.fitness} parents << selected.first return parents def step_one_generation velg foreldre og lag barn parents = select_parents children = [] parents.each_with_index do salesman, i children << salesman.crossover(parents[i]) erstatt verste individer i populasjon med nye - muter populasjonen mutations = Integer(@population_size mutations.times

5 city_map = CityMap.new(' evolution = Evolution.new(200, 0.6, 0.6, city_map) puts "Original cost:", evolution.best.fitness 2000.times do evolution.step_one_generation puts "Cost after 2000 generations:", evolution.best.fitness