Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist)"

Transkript

1 Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl 5. september 2012 Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist) Kapittel 9 er lagt ut på undervisningsplanen. Disse foilene ble opprinnelig laget av Petter Kristiansen (nå gruppelærer), og de fulgte starten av kapittelet nøye. Jeg har laget en noe annen start på dem som jeg synes blir enklere å forstå (men det kan jo være smak og behag!) Jeg skal skrive noe om forskjellen på bokas og disse foilenes innledning, og legge det ut på undervisningsplanen.

2 Dynamisk programmering Dynamisk programmering ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 50-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å gjøre.) Dynamisk for å indikere at det er en stegvis prosess. Men også et pynteord.

3 Hva kan løses med Dynamisk Programmering? Dynamisk programmering brukes typisk til å løse optimaliseringsproblemer. (Problemer hvor det kan være mange mulige («feasible») løsninger, og hvor vi ønsker å finne den beste vi ønsker å optimere verdien av en angitt objektiv-funksjon (eller objekt-funksjon?). Problemet må være slik at hver instans naturlig har en størrelse (som for O- notasjon), gjerne slik at de minste instansene har størrelse 1 eller 0. Videre må man kunne løse en instans (et problem) av størrelse n om man vet løsningen på et antall mindre instanser. Disse må være lette å sette opp ut fra det opprinnelige problemet, og alle er altså mindre enn n. De instansene vi på denne måten setter opp, kaller vi «del-problemer» av det store problemet. Mengden av delproblemer vi må løse for å løse det store problemet må være grei og sette opp, og være polynomisk i antall. Disse delproblemene settes typisk opp i en slags tabell, matrise, e.l. Løsningen gjøres så ved å beregne alle de aktuelle delproblemene, i rekkefølge fra de minste til det store problemet selv. De minste delproblemene må være greie å løse direkte

4 Overlappende delproblemer En dynamisk programmerings-algoritme starter med å løse de minste delproblemene, og setter sammen disse løsningene til løsninger på større og større problemer. Løsningene lagres etter hvert i en passelig array, matrise e.l. Dynamisk programmering er spesielt nyttig om samme delproblem skal brukes flere ganger for forskjellige større delproblemer. Siden løsningene på delproblemene lagres i en tabell, og slipper vi å løse delproblemer flere ganger. Under er størrelsen på en instans C(i,j) lik i - j

5 Polynomisk antall delproblemer En algoritmes effektivitet er direkte avhengig av antall delproblemer som løses: er det få (polynomisk), blir algoritmen effektiv, er det mange (eksponensielt) blir algoritmen ikke praktisk nyttig. C(1,n) Ikke egnet om det genereres et eksponensielt antall delproblemer

6 «Divide and conquer» vs. dynamisk programmering Divide and conquer (f.eks Quicksort) Top down (rekursivt kall) Best egnet når delproblemene er uavhengige av hverandre. Da re-beregnes ikke løsninger på delproblemer. Kun relevante delproblemer løses. Dynamisk programmering Gjøres i utganspunktet nedenfra-opp, altså slik at de enkleste delproblemene løses først, og svarene blir satt inn i en tabell. Egner seg spesielt når delproblemer overlapper. Svaret på hvert delproblem beregnes bare en gang, og siden kan svarene hentes i tabellen Og altså: Vi løser delproblemer i en slik rekkefølge at når vi trenger svaret på et bestemt (mindre) delproblem så er det allerede løst og svaret er satt inn i tabellen. «Top-Down» dynamisk programmering (Memoisering) En ulempe med metoden over er at vi beregner løsninger på alle delproblemer, selv de vi ikke vil trenge alle i den aktuelle beregningen. Vi kan i stedet gjøre beregningen (rekursivt) ovenfra-ned, og sette svaret inn i den samme tabellen. Må da ha en spesialverdi: «ikke beregnet». Litt mer om dette på slutten (eller hvertfall på gruppene).

7 Eksempel 1: Strenger som likner (kap. 20.5) Slike problemer er veldig aktuelle bl.a. i gen-forskning En streng P er en k-approksimasjon av en streng T dersom T kan konverteres til P ved å utføre maksimalt k av følgende operasjoner: Substitusjon Et symbol i T byttes ut med et annet. Tillegg Et nytt symbol legges til et sted i T. Sletting Et symbol slettes fra T. Edit distance, ED(P,T ), mellom to strenger T og P er det minste antall slike operasjoner som trengs for å konvertere T til P (eller P til T!). Eks. logarithm alogarithm algarithm algorithm (+a, -o, a/o) T P

8 Strenger som likner Gitt to strenger T og P, vi ønsker å finne edit distance mellom disse. Vi bruker en matrise D som under, og tar sikte på fylle den slik at: D [i, j ] = ED( P [1: i ], T [1: j ] ). Vi tenker oss at P ligger nedover langs venstre kant av matrisen, og at T ligger langs overkanten av matrisen. Vi ser på P opp til indeks i og T opp til indeks j. T P 0 1 j -1 j j -1 j i -1 i -1 i i? De «minste» problemene er langs øverste og venstre kant, der P eller T er tomme. Hvorfor kan vi initialisere disse som over? Hvordan kan vi finne svaret i én rute ut fra ruter for mindre problemer?

9 Strenger som likner Gitt to strenger T og P, ønsker vi å finne edit distance mellom disse. Vi ønsker D [i, j ] = ED( P [1: i ], T [1: j ] ). Dermed vil svaret for hele T og P til slutt bli stående i D[m.n] Vi deler i følgende delproblemer: Tilfelle 1: Hvis P [ i ] = T [ j ]. så er D [ i, j ] = D [ i -1, j -1]. Se figur under: 1 i = a P[1: i ] 1 j a T[1: j ]

10 Strenger som ligner Tilfelle 2: Strenger som likner: Om T [ j ] ikke er lik P [ i ] Substitusjon sette T [ j ] = P [ i ] 1 i 1 j a n n e P[1: i ] a n n f T[1: j ] Tillegg i T legge til symbol i T i pos T [ j ] sletting av P [ i ] 1 i a n n e P[1: i ] 1 j a n n T[1: j ] Sletting i T sletting symbol i T på pos T [ j ] 1 i 1 j a n n P[1: i ] a n n e T[1: j ] Regner ut D [ i, j ] ved å finne D [ i -1, j -1] (edit distance for det grå området), og legger til 1 for substitusjonen. Å legge til en e i T er det samme som å slette en i P. Regner ut D [ i, j ] ved å finne D [ i -1, j ] (edit distance for det grå området), og legger til 1 for slettingen i P. Regner ut D [ i, j ] ved å finne D [ i, j -1] (edit distance for det grå området), og legger til 1 for slettingen i T.

11 Strenger som likner Formelen (rekursiv definisjon) for D[ i, j ] vil altså være som følger: 0 1 j -1 j j -1 j i -1 i -1 i i

12 Strenger som likner Formelen (rekursiv definisjon) for D[ i, j ] vil altså være som følger: Løsningen, edit distance mellom strengene, finnes i D[m,n] (P er av lengde m og T av lengde n).

13 Strenger som likner Formelen (rekursiv definisjon) for D[ i, j ] vil altså være som følger: 0 1 j -1 j j -1 j i -1 i -1 i i +1

14 Strenger som likner function EditDistance ( P [1:n ], T [1:m ] ) i 0 j 0 for i 0 to n do D[ i, 0 ] i for j 1 to m do D[ 0, j ] j for i 1 to n do for j 1 to m do If P [ i ] = T [ j ] then D[ i, j ] D[ i -1, j - 1 ] else D[ i, j ] min { D[i -1, j - 1] +1, D[i -1, j ] +1, D[i, j - 1] +1 } endif endfor endfor return( D[ n, m ] ) end EditDistance

15 Strenger som likner Eks. T D a n e j del T del T a P ins T n n e i

16 Strenger som likner Eks. T D a n e j del T del T a P ins T n n e i

17 Eksempel 2: Optimal matrisemultiplikasjon Vi er gitt en sekvens M 0, M 1,, M n -1 av matriser og ønsker å beregne produktet M 0 M 1 M n -1. Merk at «formatene» her må være riktig hele veien. Radlengden i f.eks. M 1 må være lik kolonnelengden i M 2 Matrisemultiplikasjon er assosiativ, altså: (A B) C = A (B C) (men ikke symmetrisk, siden A B generelt er forskjellig fra B A ) Dermed kan man utføre multiplikasjonen i forskjellige rekkefølger. Med fire matriser kan det gjøres på følgende måter: (M 0 (M 1 (M 2 M 3 ))) (M 0 ((M 1 M 2 ) M 3 )) ((M 0 M 1 ) (M 2 M 3 )) ((M 0 (M 1 M 2 )) M 3 ) (((M 0 M 1 ) M 2 ) M 3 ) Kostnaden (antall enkelt-multiplikasjoner) kan variere veldig mellom de ulike måtene å sette parenteser på. Vi ønsker å finnne den med færrest mulig.

18 Optimal matrisemultiplikasjon Gitt to matriser, der antall rader (= kolonnelengden) står først A = p q matrise, B = q r matrise. Kostnaden (antall skalare multiplikasjoner) ved å beregne A B er p q r (A B) er en p r matrise. Eks. Beregn A B C, hvor A er en matrise, B er en matrise, og C er en 5 50 matrise. Å beregne D = (A B) koster 5,000 og gir en 10 5 matrise. Å beregne D C koster 2,500. Total kostnad for (A B) C blir 7,500. Å beregne E = (B C) koster 25,000 og gir en matrise. Å beregne A E koster 50,000. Total kostnad for A (B C) blir 75,000.

19 Optimal matrisemultiplikasjon Gitt en sekvens av matriser M 0, M 1,, M n -1, ønsker vi å beregne produktet på billigst mulig måte vi vil finne optimal parentes-struktur. En parenterisering av sekvensen er en oppdeling i to delsekvenser, som hver for seg må parenteriseres: (M 0 M 1 M k ) (M k + 1 M k + 2 M n-1 ) Vi må prøve alle mulige k for å finne hvor det er best å dele sekvensen. Hvert delingspunkt gir opphav til to delproblemer parenterisering av venstre og høyre delsekvens. Består sekvensen bare av to matriser, er det bare én mulig parenterisering Har vi en optimal parenterisering av en sekvens av matriser, så må parenteriseringen av hver delsekvens også være optimal. Ellers kan vi jo bare bytte ut den som ikke var optimal med en bedre en.

20 Optimal matrisemultiplikasjon La d 0, d 1,, d n være dimensjonene til sekvensen av matriser M 0, M 1,, M n-1, slik at matrise M i har dimensjon d i d i+1. La m i,j være kostnaden av en optimal parenterisering av M i, M i+1,, M j Formelen (rekursiv definisjon) for m i,j vil være som følger: m i, j { m + m + d d d }, for alle 0 i < j n 1 = min i, k k, j i k + 1 j + 1 i k< j = 0, for alle 0 i n m i, i 1 Kostnaden av å utføre hele multiplikasjonen med den optimale parenteriseringen vil da være m 0,n -1

21 Optimal matrisemultiplikasjon d Eksempel 0 Matrisen m 1 Andre indeks j , ,875 10,500 9,375 7,125 5,375 Første indeks i 7,875 4,375 2,500 3,500 15,750 2, ,000 5, m 1,4 = min(d 1 d 2 d 5 + m(1,1) + m(2,4), d 1 d 3 d 5 + m(1,2) + m(3,4), d 1 d 4 d 5 + m(1,3) + m(4,4)) 4 = min( ,500, , ,000, , ) = min(13000, 7125, 11375) 5 =

22 0 m Optimal matrisemultiplikasjon M 1 M 2 M 3 M 4 5 = M 1 (M 2 M 3 M 4 ) 4 = (M 1 M 2 ) (M 3 M 4 ) c = (M 3 1 M 2 M 3 ) M ,125 9,375 7,125 5,375 7,875 4,375 2,500 3,500 15,750 2, ,000 5, ,875 10, Registrering av hvor optimalt delepunkt ligger i M 1 M 2 M 3 M 4. Det ligger etter M

23 Optimal matrisemultiplikasjon c m 4 15, ,875 10, ,375 7,125 5, ,875 4,375 2,500 3, ,750 2, ,000 5,

24 Optimal matrisemultiplikasjon c M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 = (M 0 M 1 M 2 ) (M 3 M 4 M 5 ) = ((M 0 ) (M 1 M 2 )) ((M 3 M 4 ) (M 5 ))

25 Optimal matrisemultiplikasjon function OptimalParens( d[0 : n 1] ) for i 0 to n-1 do m[i, i] 0 for diag 1 to n 1 do // hjelpevariabel for å fylle ut tabellen nivå for nivå for i 0 to n 1 diag do j i + diag m[i, j] for k i to j 1 do q m[i, k] + m[k + 1, j] + d[i] d[k + 1] d[j + 1] if q < m[i, j] then m[i, j] q c[i,j] k endif return m[0, n 1] end OptimalParens

26 Eksempel 3: Optimale søketrær 0 Pat 1 Joe Ray 2 Ann 3

27 Optimale søketrær 0 Pat 1 Joe Ray 2 Ann 3 Ann Joe Pat Ray p 0 p 1 p 2 p 3 q 0 q 1 q 2 q 3 q

28 Optimale søketrær 0 Pat 1 Joe Ray 2 Ann 3 Sum av p-er og q-er er 1 Ann Joe Pat Ray p 0 p 1 p 2 p 3 q 0 q 1 q 2 q 3 q Gjennomsnittlig søketid: 3p 0 + 2p 1 + 1p 2 + 2p 3 + 3q 0 + 3q 1 + 2q 2 + 2q 3 + 2q 4

29 Optimale søketrær For generelle søketrær får vi følgende formel for gjennomsnittlig antall sammenlikninger som gjøres: T et tre med n nøkler (søkeord lagret i interne noder) K 0,, K n -1. n +1 bladnoder tilsvarer intervaller I 0,, I n mellom nøklene. sannsynlighetsvektorer p og q for nøklene og intervallene mellom dem. d i er nivået til nøkkel K i, e i er nivået til bladnode som korresponderer med I i. n 1 A ( T, n, p, q) = p ( d + 1) + i i i = 0 i = 0 n q i e i

30 Optimale søketrær Hvis p i -ene er like og q i -ene er like, vil det komplette binære søketreet være det optimale. Men noen ord kan være oftere søkt etter enn andre (p i -ene ulike), derfor kan det lønne seg med skjeve trær og deltrær, for å få ord som det ofte blir søkt etter så høyt som mulig opp i treet. Vi ønsker å finne det optimale binære søketreet T over alle mulige, gitt søkesannsynlighetene (p i -ene og q i -ene). Dvs treet som minimerer gjennomsnittlig antall sammenlikninger A(T,n,p,q): min A( T, n, P, Q) T p i -ene og q i -ene er i utgangspunktet sannsynligheter (tall i intervallet [0,1], som summerer til 1), men vi kan slakke på kravet og anta at de er positive reelle tall, det er uansett bare tall som sammenliknes. n 1 La σ ( p, q) = + n p i q i i = 0 i = 0

31 Optimale søketrær Et binært tre T for nøklene K 0, K n-1 består av en rot med nøkkel K i, og to deltrær L og R. K i K 0,, K i -1 p 0,, p i -1 q 0,, q i K i+1,, K n -1 p i+1,, p n -1 p i+1,, q n Vi må prøve alle mulige røtter K i for å finne hvor det er best å dele treet. Hver mulige rot gir opphav til to delproblemer optimalisering av de korresponderende venstre og høyre deltrærne. Gjennomsnittlig antall operasjoner for treet T er gitt ved: A( T, n, p, q) A( L, i, p,..., p, q,..., q ) + A( R, n i +, p,..., p, q,..., q ) + σ ( p, q) = 0 i 1 0 i 1 i + 1 n 1 i + 1 For enkelthets skyld skriver vi A(T) = A(L) + A(R) + σ(p,q) n

32 Optimale søketrær La T ij være et søketre for nøklene K i,, K j, 0 i, j n 1. (T ij er det tomme treet om j < i.) La σ ( i, j) = j k = i j + 1 p k + q k k = i Formelen (rekursiv definisjon) for A(T i,j ) vil være som følger: A( Tij ) = min{ A( Ti, k 1) + A( Tk + 1, j )} + σ ( i, j) i k j A(T ii ) = σ(i,i) Kostnaden av det optimale treet finner vi i A(T 0,n -1 ).

33 Optimale søketrær En algoritme kan nå relativt enkelt lages ved å fylle ut en tabell med verdiene for A(T ij ) som definert av formelen (samme måte som for matrisemultiplikasjon): A( Tij ) = min{ A( Ti, k 1) + A( Tk + 1, j )} + σ ( i, j) i k j A( T ii ) = σ ( i, j) I tillegg til verdien A(T ij ) må også en representasjon av de aktuelle trærne vedlikeholdes, slik at vi finner selve treet.

34 Dynamisk programmering: Fyller ut ulike typer tabeller nedenfra-opp

35 Dynamisk Programmering Utregning Dynamisk programmering er i realiteten en beregning av en verdi bottomup. Vi har fylt ut tabeller, meget regelmessig, men egentlig kan alle beregninger som gjøres bottom-up i en rettet asyklisk graf (DAG) sees på som dynamisk programmering. (Trær er spesialtilfeller av DAG.)

36 Dynamisk Programmering Utregning Dynamisk programmering er i realiteten en beregning av en verdi bottomup. Vi har fylt ut tabeller, meget regelmessig, men egentlig kan alle beregninger som gjøres bottom-up i en rettet asyklisk graf (DAG) sees på som dynamisk programmering. (Trær er spesialtilfeller av DAG.)

37 Dynamisk Programmering, og litt om «memoisering» «Top-Down» dynamisk programmering (Memoisering) En ulempe med metoden over er at vi beregner løsninger på alle delproblemer, selv de vi ikke vil trenge alle i den aktuelle beregningen. Vi kan i stedet gjøre beregningen (rekursivt) ovenfra-ned, og sette svaret inn i den samme tabellen. Må da ha en ekstra spesialverdi: «ikke beregnet» i tabellelementene (f.eks. er -1 OK i de fleste tilfelle).

38 eks. Strenger som likner Memoisering T D a n e j del T del T a P ins T n n e i

39 Strenger som likner eks. T D a n e j del T del T a P ins T n n e i

Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl

Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl 5. september 2012 Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist) Kapittel 9 er lagt ut på undervisningsplanen.

Detaljer

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 50-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Eksamen i IN 110, 18. mai 1993 Side 2 Del 1 (15%) Vi skal se på prioritetskøer av heltall, der vi hele tiden er interessert i å få ut den minste verdi

Eksamen i IN 110, 18. mai 1993 Side 2 Del 1 (15%) Vi skal se på prioritetskøer av heltall, der vi hele tiden er interessert i å få ut den minste verdi UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 18. mai 1993 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: IN 110 Algoritmer

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer ynask prograerng Metoden ble foralsert av Rchard Bellann (RAN Corporaton på -tallet. Prograerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe ed kode eller å skrve kode å gøre. ynask for å ndkere

Detaljer

INF 4130 / / Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger:

INF 4130 / / Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger: INF 4130 / 9135 29/8-2012 Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger: Tre stykker, som må godkjennes. Frister: 21. sept, 26. okt, 16. nov Andre, «nærliggende»

Detaljer

Definisjon av binært søketre

Definisjon av binært søketre Binære søketrær Definisjon av binært søketre For alle nodene i et binært søketre gjelder: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden Alle verdiene i nodens høyre subtre er større

Detaljer

Definisjon: Et sortert tre

Definisjon: Et sortert tre Binære søketrær Definisjon: Et sortert tre For alle nodene i et binært søketre gjelder: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden Alle verdiene i nodens høyre subtre er større

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 og IN 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 14. mai 1996 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Choices, choices. Tiende forelesning. Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før.

Choices, choices. Tiende forelesning. Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før. Choices, choices Tiende forelesning Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før. DAG- SP er erkeeksemplet (og den underliggende modellen for all DP).

Detaljer

Søking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen

Søking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Indeksering av

Detaljer

Turingmaskiner.

Turingmaskiner. Turingmaskiner http://www.youtube.com/watch?v=e3kelemwfhy http://www.youtube.com/watch?v=cyw2ewoo6c4 Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen

Detaljer

Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot. barn

Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot. barn Forelesning 26 Trær Dag Normann - 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot barn barn barnebarn barnebarn barn blad Her er noen

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk

Detaljer

Eksamen iin115 og IN110, 15. mai 1997 Side 2 Oppgave 1 Trær 55 % Vi skal i denne oppgaven se på en form for søkestrukturer som er spesielt godt egnet

Eksamen iin115 og IN110, 15. mai 1997 Side 2 Oppgave 1 Trær 55 % Vi skal i denne oppgaven se på en form for søkestrukturer som er spesielt godt egnet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 og IN110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 15. mai 1997 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet «Midterm» i: INF 4130: Algoritmer: Design og effektivitet Eksamensdag: 1. november 2011 Tid for «midterm»: Kl. 09:00 13:00 (4 timer) [124%,

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 26: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 5. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 MAT1030 Diskret Matematikk 5.

Detaljer

INF2220: Forelesning 2

INF2220: Forelesning 2 INF2220: Forelesning 2 Mer om analyse av algoritmer Analyse av binære søketrær Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) ANALYSE AV ALGORITMER 2 Analyse av tidsforbruk Hvor

Detaljer

Løsnings forslag i java In115, Våren 1998

Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker

Detaljer

Repetisjon: Binære. Dagens plan: Rød-svarte trær. Oppgave (N + 1)!

Repetisjon: Binære. Dagens plan: Rød-svarte trær. Oppgave (N + 1)! Repetisjon: Binære søketrær Dagens plan: Rød-svarte trær (kap. 12.2) B-trær (kap. 4.7) bstrakte datatyper (kap. 3.1) takker (kap. 3.3) For enhver node i et binært søketre gjelder: lle verdiene i venstre

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn

Detaljer

Alle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder.

Alle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Enkel alle-til-allealgoritme: Kjør Dijkstra (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Kan fungere for spinkle grafer blir dyrt ellers. Alle mot alle Åttende forelesning 1 Dijkstra

Detaljer

Et eksempel: Åtterspillet

Et eksempel: Åtterspillet Trær Et eksempel: Åtterspillet To spillere som «trekker» annenhver gang I hvert trekk velges et av tallene 1, 2, 3, men ikke tallet som motspiller valgte i forrige trekk Valgte tall summeres fortløpende

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2009

Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2009 Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2009 Leveringsfrist fredag 2. oktober Institutt for informatikk Krav til innleverte oppgaver ved Institutt for informatikk (Ifi) Ved alle pålagte innleveringer

Detaljer

INF 4130 Oppgavesett 3, 20/ m/løsningsforslag

INF 4130 Oppgavesett 3, 20/ m/løsningsforslag INF 4130 Oppgavesett 3, 20/09-2011 m/løsningsforslag Oppgave 1 1.1 Løs oppgave 20.19 (B&P), (a) er vist på forelesningen og kan vel bare repeteres, men løs (b). (a) er altså løst på forelesningen. (b)

Detaljer

Notater til INF2220 Eksamen

Notater til INF2220 Eksamen Notater til INF2220 Eksamen Lars Bjørlykke Kristiansen December 13, 2011 Stor O notasjon Funksjon Navn 1 Konstant log n Logaritmisk n Lineær n log n n 2 Kvadratisk n 3 Kubisk 2 n Eksponensiell n! Trær

Detaljer

Grådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder

Grådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem

Detaljer

INF2220: Forelesning 2

INF2220: Forelesning 2 INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre

Detaljer

INF2220: Forelesning 2. Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7)

INF2220: Forelesning 2. Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre

Detaljer

Algdat - øvingsforelesning

Algdat - øvingsforelesning Algdat - øvingsforelesning Dynamisk programmering Nils Barlaug Dagens plan 1. 2. 3. 4. Praktisk og dagens plan LF øving 8 a. Teori b. Praksis Dynamisk programmering a. Introduksjon b. Rod Cutting c. Matrise-multiplikasjon

Detaljer

... Når internminnet blir for lite. Dagens plan: Løsning: Utvidbar hashing. hash(x) katalog. O modellen er ikke lenger gyldig ved

... Når internminnet blir for lite. Dagens plan: Løsning: Utvidbar hashing. hash(x) katalog. O modellen er ikke lenger gyldig ved Dagens plan: Utvidbar hashing (kapittel 5.6) B-trær (kap. 4.7) Abstrakte datatyper (kap. 3.1) Stakker (kap. 3.3) Når internminnet blir for lite En lese-/skriveoperasjon på en harddisk (aksesstid 7-12 millisekunder)

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning

Detaljer

Stein Krogdahl, Dino Karabeg, Petter Kristiansen. Kenneth A. Berman and Jerome L. Paul.

Stein Krogdahl, Dino Karabeg, Petter Kristiansen. Kenneth A. Berman and Jerome L. Paul. Stein Krogdahl, Dino Karabeg, Petter Kristiansen steinkr at ifi.uio.no dino at ifi.uio.no pettkr at ifi.uio.no INF 4130 / 9135 Algoritmer: Design og effektivitet Algorithms: Sequential Parallel and Distributed

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag : Lørdag 8. desember 2001 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på

Detaljer

EKSAMEN. Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00

EKSAMEN. Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 18. mai 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Kalkulator Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet

Detaljer

INF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel )

INF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel ) INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) PRAKTISK INFORMASJON 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ragnhild Kobro Runde (ragnhilk@ifi.uio.no)

Detaljer

INF3/4130 PRØVE-EKSAMEN MED SVARFORSLAG Gjennomgås 1/ , (lille aud.)

INF3/4130 PRØVE-EKSAMEN MED SVARFORSLAG Gjennomgås 1/ , (lille aud.) Oppgave 1 Uavgjørbarhet INF3/4130 PRØVE-EKSAMEN MED SVARFORSLAG Gjennomgås 1/12-2005, 14.15 (lille aud.) L = {(M 1, M 2 ) M 1 og M 2 er Turingmaskiner som er ekvivalente, dvs. gir samme output for samme

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 5: Prioritetskø og Heap Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 5 1 /

Detaljer

Live life and be merry

Live life and be merry Om grådighet og først litt mer DP. Live life and be merry Ellevte forelesning for tomorrow you may catch some disgusting skin disease. [Edmund Blackadder] 1 2 g i t k i s K o rt Grådighet All form for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF 4130: lgoritmer: Design og effektivitet Eksamensdag: 12. desember 2008 Tid for eksamen: Kl. 09:00 12:00 (3 timer) Oppgavesettet

Detaljer

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11 Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2017 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning

Detaljer

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

INF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær:

INF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: TRÆR Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: Generelle trær (kap. 4.1) Binærtrær (kap. 4.2) Binære søketrær (kap. 4.3) Den siste typen trær vi skal behandle, B-trær (kap. 4.7) kommer

Detaljer

Binære søketrær. En ordnet datastruktur med raske oppslag. Sigmund Hansen

Binære søketrær. En ordnet datastruktur med raske oppslag. Sigmund Hansen Binære søketrær En ordnet datastruktur med raske oppslag Sigmund Hansen Lister og trær Rekke (array): 1 2 3 4 Lenket liste (dobbelt-lenket): 1 2 3 4 Binært søketre: 3 1 4 2 Binære

Detaljer

EKSAMEN. Dato: 9. mai 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00

EKSAMEN. Dato: 9. mai 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00 EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 9. mai 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet består

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN

KONTINUASJONSEKSAMEN Høgskolen i Gjøvik KONTINUASJONSEKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Algoritmiske metoder I L 171 A EKSAMENSDATO: 19. august 1999 KLASSE: 97HINDA / 97HINDB ( 2DA / 2DB ) TID: 09.00-14.00 FAGLÆRER: Frode Haug ANT.

Detaljer

Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer. Repetisjon: Binære søketrær. Repetisjon: Binære søketrær

Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer. Repetisjon: Binære søketrær. Repetisjon: Binære søketrær Dagens plan: INF2220 - lgoritmer og datastrukturer HØTEN 2007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo (kap. 4.7) (kap. 12.2) Interface ollection og Iterator (kap. 3.3) et og maps (kap. 4.8) INF2220,

Detaljer

Datastrukturer. Stakker (Stacks) Hva er en datastruktur? Fordeler / Ulemper. Generelt om Datastrukturer. Stakker (Stacks) Elementære Datastrukturer

Datastrukturer. Stakker (Stacks) Hva er en datastruktur? Fordeler / Ulemper. Generelt om Datastrukturer. Stakker (Stacks) Elementære Datastrukturer Hva er en datastruktur? Datastrukturer Elementære Datastrukturer En datastruktur er en systematisk måte å lagre og organisere data på, slik at det er lett å aksessere og modifisere dataene Eksempler på

Detaljer

Lars Vidar Magnusson

Lars Vidar Magnusson B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : IN 115 Eksamensdag : Lørdag 20 mai, 2000 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på : 5 sider Vedlegg : Intet. Tillatte

Detaljer

Dagens plan. INF Algoritmer og datastrukturer. Koding av tegn. Huffman-koding

Dagens plan. INF Algoritmer og datastrukturer. Koding av tegn. Huffman-koding Grafer Dagens plan INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Avsluttende om grådige algoritmer (kap. 10.1.2) Dynamisk programmering Floyds algoritme

Detaljer

E K S A M E N. Algoritmiske metoder I. EKSAMENSDATO: 11. desember HINDA / 00HINDB / 00HINEA ( 2DA / 2DB / 2EA ) TID:

E K S A M E N. Algoritmiske metoder I. EKSAMENSDATO: 11. desember HINDA / 00HINDB / 00HINEA ( 2DA / 2DB / 2EA ) TID: Høgskolen i Gjøvik Avdeling for Teknologi E K S A M E N FAGNAVN: FAGNUMMER: Algoritmiske metoder I L 189 A EKSAMENSDATO: 11. desember 2001 KLASSE: 00HINDA / 00HINDB / 00HINEA ( 2DA / 2DB / 2EA ) TID: 09.00-14.00

Detaljer

Fra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes

Fra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes Fra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes til å løse problemer. Undersøke ulike implementasjoner

Detaljer

INF2220: Gruppe me 2. Mathias Lohne Høsten 2017

INF2220: Gruppe me 2. Mathias Lohne Høsten 2017 INF0: Gruppe me Mathias Lohne Høsten 0 1 Rød-svarte trær Vanlige binære søketrær blir fort veldig ubalanserte. røv å sett inn 1,,, 4, 5,, 7,... (i den rekkefølgen) i et binært søketre. Da vil vi i praksis

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse

Detaljer

Flerveis søketrær og B-trær

Flerveis søketrær og B-trær Flerveis søketrær og B-trær Flerveis (multi-way, n-ært) søketre Generalisering av binært søketre Binært søketre: Hver node har maksimalt 2 barn og 1 nøkkelverdi. Barna ligger sortert på verdi i forhold

Detaljer

Kap 9 Tre Sist oppdatert 15.03

Kap 9 Tre Sist oppdatert 15.03 Kap 9 Tre Sist oppdatert 15.03 Definere et tre som en datastruktur. Definere begreper knyttet til tre. Diskutere mulige implementasjoner av tre Analysere implementasjoner av tre som samlinger. Diskutere

Detaljer

København 20 Stockholm

København 20 Stockholm UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 26. mai 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

Oppgavesettet består av 7 sider, inkludert denne forsiden. Kontroll& at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.

Oppgavesettet består av 7 sider, inkludert denne forsiden. Kontroll& at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Høgskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: ITF20006 Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 9. mai 2016 9.00 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: Alle trykte og skrevne Jan Høiberg Om eksamensoppgaven

Detaljer

Algoritmer og Datastrukturer

Algoritmer og Datastrukturer Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 20102 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Lødag 5. juni 2004, kl. 09.00-13.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1 60% Oppgave 1.1-10% Forklar kort

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 11: Huffman-koding & Dynamisk programmering (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 11 1 / 32 Dagens

Detaljer

Lars Vidar Magnusson

Lars Vidar Magnusson Binære Søketrær Lars Vidar Magnusson 14.2.2014 Kapittel 12 Binære Søketrær Søking Insetting Sletting Søketrær Søketrær er datastrukturer som støtter mange dynamiske sett operasjoner. Kan bli brukt både

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 13. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: INF2220 lgoritmer og datastrukturer

Detaljer

Svarforslag til ukeoppgaver til INF 4130

Svarforslag til ukeoppgaver til INF 4130 Svarforslag til ukeoppgaver til INF 4130 15. november 2011 Oppgave 1: Løs 14.4 (hvori innbakt svaret på oppgave 14.5) Vi skal altså vise at Hungarian-algoritmen kan implementeres i tid O(n 3 ), der n er

Detaljer

LO118D Forelesning 12 (DM)

LO118D Forelesning 12 (DM) LO118D Forelesning 12 (DM) Trær 15.10.2007 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær Preorden-traversering 1 Behandle den nåværende noden. 2 Rekursivt behandle venstre subtre. 3 Rekursivt

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2008

Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2008 Obligatorisk oppgave 1 i INF 4130, høsten 2008 Leveringsfrist 3. oktober Institutt for informatikk Krav til innleverte oppgaver ved Institutt for informatikk (Ifi) Ved alle pålagte innleveringer av oppgaver

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 18. Desember 2000, kl

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 18. Desember 2000, kl Student nr.: Side 1 av 5 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 18. Desember 2000, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler:

Detaljer

INF / Kap. 5, Del 2 Stein Krogdahl, Ifi, UiO

INF / Kap. 5, Del 2 Stein Krogdahl, Ifi, UiO INF5110 12/2-2013 Kap. 5, Del 2 Stein Krogdahl, Ifi, UiO Dagens temaer: Noen foiler igjen fra forrige gang SLR(1), LR(1)- og LALR(1)-grammatikker NB: Oppgaver til kap 4 og 5 er lagt ut på undervisningsplanen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO BOKMÅL Eksamen i : UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet INF1020 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag : Fredag 15. desember 2006 Tid for eksamen : 15.30 18.30 Oppgavesettet

Detaljer

Binære søketrær. Et notat for INF1010 Stein Michael Storleer 16. mai 2013

Binære søketrær. Et notat for INF1010 Stein Michael Storleer 16. mai 2013 Binære søketrær Et notat for INF Stein Michael Storleer 6. mai 3 Dette notatet er nyskrevet og inneholder sikkert feil. Disse vil bli fortløpende rettet og datoen over blir oppdatert samtidig. Hvis du

Detaljer

E K S A M E N. Algoritmiske metoder I. EKSAMENSDATO: 11. desember HINDA / 99HINDB / 99HINEA / 00HDESY ( 2DA / 2DB / 2EA / DESY )

E K S A M E N. Algoritmiske metoder I. EKSAMENSDATO: 11. desember HINDA / 99HINDB / 99HINEA / 00HDESY ( 2DA / 2DB / 2EA / DESY ) Høgskolen i Gjøvik Avdeling for Teknologi E K S A M E N FAGNAVN: FAGNUMMER: Algoritmiske metoder I L 189 A EKSAMENSDATO: 11. desember 2000 KLASSE: 99HINDA / 99HINDB / 99HINEA / 00HDESY ( 2DA / 2DB / 2EA

Detaljer

Dagens temaer. Sortering: 4 metoder Søking: binærsøk Rekursjon: Hanois tårn

Dagens temaer. Sortering: 4 metoder Søking: binærsøk Rekursjon: Hanois tårn Dagens temaer Sortering: 4 metoder Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering Sortering når objektene som skal sorteres er i et array 1. Sorterering ved bruk av binærtre som «mellomlager»

Detaljer

Hva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema

Hva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema va er en algoritme? Vanlig sammenligning: Oppskrift. nput lgoritme NF1020 - ØSTEN 2006 Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: ragnarn@ifi.uio.no Output Knuth : tillegg til å være et endelig sett med regler

Detaljer

INF oktober Stein Krogdahl. Kap 23.5: Trær og strategier for spill med to spillere

INF oktober Stein Krogdahl. Kap 23.5: Trær og strategier for spill med to spillere INF 4130 1. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens program: Første time: Kap 23.5: Trær og strategier for spill med to spillere Andre time, gjesteforelesning: Rune Djurhuus: Om sjakkspillende programmer (Ikke

Detaljer

Divide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015

Divide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Divide-and-Conquer Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Kapittel 4 Maximum sub-array problemet Matrix multiplikasjon Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av substitusjonsmetoden Divide-and-Conquer

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 13: Dynamisk programmering (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning 13 1 / 30 Dagens plan Dynamisk

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf.

Detaljer

Et eksempel: Åtterspillet

Et eksempel: Åtterspillet Trær Et eksempel: Åtterspillet To spillere som «trekker» annenhver gang I hvert trekk velges et av tallene 1, 2, 3, men ikke tallet som motspiller valgte i forrige trekk Valgte tall summeres fortløpende

Detaljer

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi

Detaljer

To geometriske algoritmer, kap. 8.6

To geometriske algoritmer, kap. 8.6 INF 4130, 18. november 2010 To geometriske algoritmer, kap. 8.6 Computational Geometry Stein Krogdahl Hovedkapittelet t (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk : Splitt

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Choices, choices. Tiende forelesning. Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før.

Choices, choices. Tiende forelesning. Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før. Choices, choices Tiende forelesning Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før. DAG- SP er erkeeksemplet (og den underliggende modellen for all DP).

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Prøveekasmen 2007, med svarforslag Eksamen i: INF 330/430: Algoritmer: Design og effektivitet Eksamensdag: Fredag. desember 200 Tid

Detaljer

6. oktober Dagens program: Første time: Andre time, gjesteforelesning: Uavgjørbarhet. Stein Krogdahl. (Ikke pensum, egne foiler legges ut)

6. oktober Dagens program: Første time: Andre time, gjesteforelesning: Uavgjørbarhet. Stein Krogdahl. (Ikke pensum, egne foiler legges ut) Dagens program: Første time: INF 4130 6. oktober 2011 Stein Krogdahl Kap 23.5: Spilltrær og strategier for spill med to spillere Andre time, gjesteforelesning: Rune Djurhuus: Om sjakkspillende programmer

Detaljer

Innhold. Innledning 1

Innhold. Innledning 1 Innhold Innledning 1 1 Kompleksitetsanalyse 7 1.1 Innledning.............................. 8 1.2 Hva vi beregner........................... 8 1.2.1 Enkle operasjoner...................... 8 1.2.2 Kompleksitet........................

Detaljer

Lars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting

Lars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Lars Vidar Magnusson 21.2.2014 Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Rød-Svarte trær (red-black trees) er en variasjon binære søketrær som

Detaljer

Algdat Oppsummering, eksamen-ting. Jim Frode Hoff

Algdat Oppsummering, eksamen-ting. Jim Frode Hoff Algdat Oppsummering, eksamen-ting Jim Frode Hoff November 18, 2012 1 Definisjoner 1.1 Ordliste Problem Probleminstans Iterasjon Asymtpoisk notasjon O(x) kjøretid Ω(x) kjøretid Θ(x) kjøretid T (x) kjøretid

Detaljer

Stack. En enkel, lineær datastruktur

Stack. En enkel, lineær datastruktur Stack En enkel, lineær datastruktur Hva er en stack? En datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 10 1 / 27

Detaljer

Dagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner

Dagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Definisjon av binær relasjon Definisjon av ekvivalens

Detaljer

Løsnings forslag i java In115, Våren 1996

Løsnings forslag i java In115, Våren 1996 Løsnings forslag i java In115, Våren 1996 Oppgave 1a For å kunne kjøre Warshall-algoritmen, må man ha grafen på nabomatriseform, altså en boolsk matrise B, slik at B[i][j]=true hvis det går en kant fra

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 7 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer