Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen

Transkript

1 Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H sies å være isomorfe dersom det finnes en eller flere avbildninger f av nodene i G til nodene i H slik at G og H blir like. Lar vi (x,y) være en kant i G er altså G og H isomorfe hvis og bare hvis ( f(x), f(y)) er en kant i H. I figur 1 viser vi to grafer G og H som tilsynelatende er forskjellige. Det er imidlertid ikke vanskelig å se at det finnes en avbildning, vist i tabell 1, slik at grafene er isomorfe. I figur 2 viser vi grafisk hvordan denne avbildningen etablerer en sammenheng mellom nodene i de to grafene. Node i grafen G Node i grafen H Tabell 1: Avbildning som viser at grafene G og H vist i figur 1 er isomorfe. 1

2 a) b) Figur 1: To grafer a) G og b) H. Man kjenner ingen algoritme som finner slike avbildninger i polynomisk tid, men det er heller ikke bevist at dette er et NP-komplett problem. Det finnes mange sofistikerte algoritmer for å lete etter slike avbildninger. I denne oppgaven skal vi ta for oss en løsning basert på simulert størkning. For å arbeide med dette problemet i praksis kan det lønne seg å la grafene være representert ved sine naboskapsmatriser, grafen G i figur 1a) har en naboskapsmatrise N G gitt ved: N G = I matrisen N G vil altså element (i, j), i = 1,2,..., og j = 1,2,..., være lik 1 dersom det finnes en kant mellom nodene i og j i G og lik 0 dersom en slik kant 2

3 Figur 2: Grafisk illustrasjon av avbildningen vist i tabell 1 ikke finnes. Legg også merke til at avbildningen vi leter etter ikke er noe annet enn en permutasjon av nodene i grafen G. På bakgrunn av denne informasjonen ber vi deg utrede hvordan problemet med å finne isomorfismer mellom grafer kan løses med simulert størkning. Spesielt ber vi deg forklare hvordan du vil representere løsningene på dette problemet. Videre må du angi størrelsen på universet gitt den representasjonen du velger. Forklar også hva du mener er et fornuftig valg for nabolaget til en løsning og hvordan nabolagsøket kan gjennomføres samt hva du vil bruke som mål for optimaliteten til en løsning. Forklar videre strategien for løsningen din og vis til slutt pseudokode. NB: Dette problemet kan løses på mange måter. Vi ber om en enkel løsning som illustrerer at du har forstått simulert størkning algoritmen, ikke en spesielt sofistikert løsning på problemet med å finne isomorfismer. Løsningsforslag deloppgave b Vi lar en mulig løsning X være en permutasjon av nodene i den ene grafen, kall denne G. Dersom grafene har N noder kan vi la den opprinnelige løsningen være X = [1,2,...,N]. Det finnes i alt N! mulige permutasjoner av denne løsningen og siden alle løsninger er mulige vil dette være størrelsen på universet Ξ. Dersom vi lar naboene til løsningen X bestå av alle løsninger der to noder bytter plass vet vi at det finnes 1+ ( N ( 2) eller N 2) naboer til en gitt løsning avhengig av om en løsning inngår i sitt eget nabolag eller ikke. Blant disse naboene velger vi en vilkårlig nabo. Dette er derfor nabolagsøkestrategien vår. Heuristikken består 3

4 ganske enkelt i å gjennomføre dette nabolagssøket. Optimaliteten til en løsning kan vi måle ved å gjøre en rad-kolonne permutasjon på naboskapsmatrisen N G. Ved å måle hammingavstanden mellom denne rad-kolonne permuterte versjonen av N G og naboskapsmatrisen til den andre grafen, N H, finner vi et mål for hvor like grafene representert ved disse matrisene er. Denne avstanden kan vi benytte som mål for optimaliteten til en løsning. Løsningsstrategien vår er nå som følger: 1. La en løsning X være en permutasjon av nodene i grafen G. Universet består av alle slike permutasjoner og inneholder N! mulige løsninger. 2. Velg en vilkårlig permutasjon blant disse, for eksempel X = [1,2,...,N]. Dette er vår oprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsning X opt. 3. La oss anta at vi har gitt funksjonen D X =matchgraphs(x,n G,N H ) som tar som input en slik permutasjon X samt naboskapsmatrisene til de to grafene G og H. Funksjonen permuterer så radene og kolonnene i N G som gitt av permutasjonen X og returnerer hammingavstanden mellom den radkolonne permuterte naboskapsmatrisen N G og naboskapsmatrisen N H. Merk at dersom denne avstanden er null har vi funnet en permutasjon av radene og kolonnene i N G som gjør de to naboskapsmatrisene N G og N H like, dette vil si at den aktuelle permutasjonen er en av potensielt flere avbildninger som viser at de to grafene er isomorfe.. Benytt D X =matchgraphs(x,n G,N H ) til å beregne D X assosiert med X. Dette er vår opprinnelige D opt. 5. Anta at funksjonen Y =newx(x) er gitt. Denne tar en løsning X og returnerer en nabo Y til denne løsningen. Med X s nabo mener vi her en løsning Y der to elementer i X har byttet plass. Nabolagssøkestrategien vår er derfor svært enkel, velg kort og godt en ny løsning der to vilkårlige noder bytter plass. Hver løsning X får dermed ( N 2) naboer. 6. Heuristikken vår blir derfor ganske enkelt å utføre dette nabolagssøket. 7. Benytt D Y =matchgraphs(y,n G,N H ) til å beregne D Y assosiert med den nye løsningen Y. 8. Dersom D Y < D X settes X = Y og D X = D Y. (Merk at vi her krever at D Y er mindre enn D X, dette er et minimeringsproblem).. Dersom også D Y < D opt settes X opt = Y og D opt = D Y.

5 . Dersom D Y D X settes allikevel X = Y og D X = D Y med sannsynlighet proporsjonal med exp[ D Y D X T ]. 11. Oppdater temperaturen i tråd med nedkjølingsstrategien. 12. Iterer inntil maksimalt anall iterasjoner er nådd. I tillegg til dette kommer selvfølgelig endel initialisering etc. Vi trenger også funksjonen urand som returnerer et tilfeldig tall uniformfordelt i intervallet [0, 1]. Dette er vist i pseudokoden i figur 3. Merk at det selvfølgelig finnes mange varianter av denne og lignende strategier. 5

6 Require: N G,N H,i max,t 0,α {matchgraph(,, ), newx( ), urand er eksterne} 1: i 0 2: X en vilkårlig løsning fra universet 3: X opt X : D X matchgraphs(x,n G,N H ) 5: D opt D X 6: T T 0 7: α verdi i intervallet (0,1). 8: while i i max do : Y newx(x) : D Y matchgraphs(y,n G,N H ) 11: if D Y < D X then 12: X Y 13: D X D Y 1: if D Y < D opt then 15: X opt Y 16: D opt D Y 17: end if 18: else 1: tmp exp[ D Y D X T ] 20: if urand < tmp then 21: X Y 22: D X D Y 23: end if 2: end if 25: i i+1 26: T αt 27: end while 28: return(x opt ) Figur 3: Pseudokode for løsning av isomorfisme-problemet. 6