Oversikt. Branch-and-bound. Hvordan løse NP-hard kombinatorisk optimering? Eks: Eksakt Min Vertex cover. Mulige løsninger representert som søketre

Transkript

1 Oversikt Branch-and-bound Pål ætrom Branch and bound Prinsipper Min Vertex cover B & B eksempler Median string TP Hvordan løse NP-hard kombinatorisk optimering? Kombinatorisk opt. Løsningsrom, C Målfunksjon (kostnad, c(. Problem: * min c( *! C Pragmatisk Approksimasjon Meta-heuristikker Eksakt jekk alle løsninger B & B Eks: Eksakt Min Vertex cover Test alle løsninger O( n I løsningen Utenfor løsningen Mulige løsninger representert som søketre Brute force Min Vertex cover def BruteForceMinVC(G, free, VC, best:. if free == 0:. if VC < best and IsVC(G, VC:. best = VC. return best. node = ChooseNode(free. best = BruteForceMinVC(G, free - node, VC + node, best. best = BruteForceMinVC(G, free - node, VC, best. return best BruteForceMinVC(G = (V, E,,,

2 Må hele treet utforskes? Mulige løsninger kontra korrekte løsninger C P Hvordan begrense utforskning? Kutt subtre som er garantert dårligere enn beste så langt i best n c(best g( < g( i g( n < Estimer beste mulige løsning - g(... Kutt i hvis g( i c(best Branch and bound pseudokode def BranchAndBound(, best, c, g:. if IsLeaf(:. if c( < c(best:. best =. return best. for i in Branch(:. if g( i < c(best:. best = BranchAndBound( i, best, c, g. return best Estimer beste mulige løsning - g Krav: g( i c( i, for alle noder g( i = c( i, for alle løvnoder g( i g( j, der i er barn av j Egenskaper $ & min "P ming( # c( (& % "P '& ming( *& # minc( "C "C Hvordan velge g(...? C P Valg av g(... påvirker tretraverseringen f( = g( + ( tor (, svak g Liten (, sterk g Effekt på traversering? Generell g(... strategi um kost av bundne variable i i vak eller sterk? g = g = g =

3 Generell estimering svak - forbedring = problemtilpassing VC-tilpassinger. Hold styr på dekte kanter. Hvor mange noder trengs for å dekke udekte kanter? g = E = c(best = E = 8 Hvor mange noder trengs for å dekke udekte kanter? Kjenner c(best Kjenner VC( i = X Gyldig VC med F = c(best - X frie noder til? Beste tilfelle: F noder med høyest deg(v dekker alle gjenværende kanter F g = E = F = D = c(best = E = 8 F = D = D = " deg(v l Forbedringer? l = Valg av udekt node begrenser søketreet Dekt node: Alle nabokanter dekt Udekt node: Alle naboer må i VC Branch and bound min VC def BranchAndBoundVC(V, E, VC, best:. if E == 0:. if VC < best :. best = VC. return best. F = best - VC. D = umdeg(v, E, F. if D < E :. return best. node = ChooseNode(V. best = BranchAndBoundVC(V - node, E - Edges(node, VC + node, best. for E i in Edges(node:. V = V - Node(E i. VC = VC + Node(E i. E = E - E i - Edges(Node(E i 8. best = BranchAndBoundVC(V, E, VC, best 9. return best Alternative søkestrategier Kritiske løsninger å langt: Dybde-først-søk (DF Bredde-først-søk (BF Håndterbart? Beste-først-søk (BeF Liste L over aktive løsninger Velg, min L g( Etter beste: kun kritiske løsninger g( < c(best Kombinasjon DF og BeF g( < c(best

4 God første beste løsning viktig c(best = c(best = c(best = Median streng problemet Gitt sett av strenger, finn l-mer median streng Input: ett av strenger, og lengden l Output: En string v, v = l (l-mer med minimal total Hamming distanse (v, av alle mulige l-mers (w, = $ min " j " s i # w i= (w,s i, j = MP eksempel acgcggccaatcagaggccacgcacgagggtgaggcaagtccgcctctcgggagg atcgccacacgtgttgtttgtaggtgttggatggc cgcactgcgcgtgcgccacgtggccacaggcggaaccagctaaccagc attgcaccagccacccgcgtggcgaggtgccttctgccttcg cgggcctgcccgggggcgcgcacgcggatgtccgctctcggggtg ccctgtggacccatagcaggtggcaagccaggggcatg cgcagagcacgtggcgggccgcgcaccagagcacgt (w, = (CACGTG, = Faktorer for kjøretid? $ min " j " s i # w i= (w,s i, j imulert størkning for MP. Velg en tilstand som arbeidsløsning. Velg en tilfeldig nabotilstand. Oppdater temperaturen. if E( E(. Oppdater. else. ΔE = E( - E(. Oppdater med sannsynlighet e!e /(kt. Gå til Elementer i A løsning for MP? imulert størkning for MP ( Energi-funksjon (kostnad (w, = $ min (w,s i, j " j " s i # w i= Naboskapsrelasjon ~ hvis (, = Brute force median string BruteForceMediantring(, w, l, best, alpha:. if w == l:. if (w, < (best, :. best = w. return best. for letter in alpha:. best = BruteForceMediantring(, w + letter, l, best, alpha. return best BruteForceMediantring(,, l,, alpha O(

5 MP søketre MP kost-estimat g(... Eks: l =, alpha = {a, c} Kost-estimat g(...? a aa ac ca cc c Generell g(... strategi um kost av bundne variable i i g(w, = (w, Bedre estimat? a = {aa, ca} aa ac ca cc g = g = g = g = c g = MP kost-estimat g(... ( MP kost-estimat g(... ( Interne noder er prefixer Kutt subtre w hvor (w, >= best Hva med suffixene? aaa--- best = aa---- Bedre kost-estimat Kutt subtre w hvor (w, + (suf, >= best best = aaa--- aa---- ( aaac, = 9 ( aaag, = 0 ( aaat, = aaaa-- aaac-- aaag-- aaat-- ( aaac, = 9 ( aaag, = 0 ( aaat, = aaaa-- aaac-- aaag-- aaat-- w, w =, (w, Kutt? w, w =, (w, Traveling ales Person Gitt sett av noder V, kanter E, og vekter W, finn korteste Hamilton sykel Input: (V, E, W Output: Permutasjon av V (v i,...,v in, n = V, v il V, i l!= i k for alle l!= k slik at sum av vekter mellom etterfølgende noder er minimal: # min c( = $ w i "C l,i l+ + w i,i l = Brute Force TP BruteForceTP(V, W,, best:. if == best :. if Weight(, W < Weight(best, W:. best =. return best. for node in V - :. best = BruteForceTP(V, W, + node, best. return best BruteForceMediantring(V, W,, O(n! Trestruktur?

6 Trestruktur for BF TP Kost-estimat g( = Weight(, W Bedre?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Kostestimat for TP delløsning Delløsning må være forbundet til rest, V - Beste mulige løsning Korteste vei inn i Korteste vei ut av g TP ( = Weight(, W + w i ( + w u ( g TP ( = Weight(, W + min k,l,k!=l w l, + w i,k w i ( = min l"v # w l, w u ( = min l"v # w i,l g TP = g TP = Bedre? Hva er beste mulige vei i V -? Konstant endring kantvekter (inn/ut endrer ikke TP løsning Endre w slik at min j w i,j = 0 for alle i (rader min i w i,j = 0 for alle j (kolonner g TP = g TP ( = sum av endringer Kantvalg som alternativ TP trestruktur Høyre: kant e i,j utenfor Venstre: kant e i,j med Fjern kanter ut av i og inn i j Avstandsmatrise som delløsning g TP = g TP = g TP = Oppsummering def BranchAndBound(, best, c, g:. if IsLeaf(:. if c( < c(best:. best =. return best. for i in Branch(:. if g( i < c(best:. best = BranchAndBound( i, best, c, g. return best

7 Oppsummering ( B & B fungerer bra Godt estimat på beste løsning terk g(...: c( = g( + (, ( liten Domenekunnskap = AlgKons B & B ressurser BranchAndBound.html