Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen

Transkript

1 Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen 14. september 2003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte maksimum-kutt problemet (maximum cut problem). Problemet kan enkelt formuleres som følger: Gitt en graf G(V,E) der V er settet av noder og E settet av kanter. Maksimum-kutt problemet består nå i å finne to disjunkte subsett av noder fra V slik at antall kanter med noder i ulike subsett blir maksimalt. Figuren under viser en graf som illustrerer dette. Tallene ved hver node er denne nodens navn eller etikett. I denne grafen er det lett å se at dersom vi velger subsettene {0,2,4,6} og {1,3,5,7} utgjør disse subsettene av noder et maksimalt kutt for grafen i figuren. Vi vil lage en algoritme for beregning av en grafs maksimale kutt basert på simulert størkning. Løs følgende oppgaver på bakgrunn av informasjonen over: Deloppgave a Hvor stort er universet for dette problemet for et gitt antall noder n. Ved et uhell ble denne oppgaven kjent for en student like før kontinuasjonseksamen i Oppgaven ble derfor strøket fra oppgavesettet og i 2002 inneholdt kontinuasjonseksamen ingen spørsmål om heuristiske søkemetoder. Jeg har allikevel valgt å legge dette ut på web-en som et eksempel på hva slags oppgaver som kunne blitt gitt. I det opprinnelige løsningsforslaget som ble lagt ut var det en feil i løsningen av deloppgave a). Tor Arvid Lund som fulgte dette faget våren 2003 gjorde meg oppmerksom på denne feilen, mange takk til ham. 1

2 Figur 1: Graf med maksimalt kutt definert ved nodesubsettene {0,2,4,6} og {1,3,5,7}. Løsningsforslag deloppgave a La en løsning være representert ved et binært n-tuppel. Dersom element i, i [0, n 1] er lik 0 er den tilsvarende noden medlem av det ene settet noder, dersom element i er lik 1 er denne noden medlem av det andre settet. I utgangspunktet får man derfor 2 n løsninger. Nå opptrer løsningene i symmetriske par ettersom det jo ikke spiller noen rolle om en node tilhører det ene eller andre settet. For eksempel representerer 4-tuplene [0, 0, 1, 1] og [1, 1, 0, 0] de samme løsningene. Vi skal derfor ha halvparten av dette antallet løsninger og vi sitter igjen med 2 n 1 løsninger. Til slutt må vi huske at løsningen [0,0,0,0] ikke representerer en løsning (alle nodene er i samme sett) og vi har til slutt at universet består av 2 n 1 1 løsninger. Deloppgave b Gi pseudokode for en algoritme som leter etter løsninger på maksimum kutt problemet basert på simulert størkning (simulated annealing). Gi en konsis men grundig forklaring av pseudokoden. Forklar spesielt hvilken nabolagsfunksjon og hvilken heuristikk du bruker. Løsningsforslag deloppgave b Løsningsstrategien vår er som følger: 2

3 1. La en løsning X være et binært n-tuppel. Dersom element i i X er 0 betyr dette at noden med samme indeks er assosisert med nodesett 0. Er element i i X lik 1 er den tilsvarende noden assosiert med sett Velg et vilkårlig binært n-tuppel. Dette er vår oprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsningx opt. 3. Anta at funksjonen C X =cmaxcut(x,g) er gitt. Denne tar en løsningen X samt en beskrivelse av grafen G som argument og returnerer kostnaden C X ved løsningen X. Kostnaden i dette tilfellet er ganske enkelt antall kanter med en node i hvert sett. 4. Benytt C X =cmaxcut(x,g) til å beregne kostnaden assosiert med X. Dette er vår opprinneligec opt. 5. Anta at funksjonen Y =nmaxcut(x) er gitt. Denne tar en løsning X og returnerer en nabo Y til denne løsningen. Med X s nabo mener vi her en løsning Y der ett element i n-tuplet som definerer X har byttet verdi. Dette tilvarer at en node flyttes fra det ene settet til det andre. Merk at valget av element som bytter verdi må gjøres slik at det er like sannsynlig at en 0-er blir en 1-er som omvendt, dette uavhengig om den ene eller andre typen element dominerer. Det enkleste er å trekke type element først, for så å trekke hvilket av disse elementene som bytter verdi. Nabolagsøkestrategien vår er derfor svært enkel, velg kort og godt en ny løsning der en enkelt node har byttet plass mellom settene. 6. Heuristikken vår blir derfor ganske enkelt å utføre dette nabolagssøket. 7. Benytt C Y =cmaxcut(y,g) til å beregne kostnaden assosiert med den nye løsningen Y. 8. Dersom C Y > C X settes X = Y og C X = C Y. (Merk at vi her krever at C Y er større enn C X, dette er et maksimeringsproblem). 9. Dersom ogsåc Y > C opt settes X opt = Y og C opt = C Y. 10. Dersom C Y < C X settes allikevel X = Y og C X = C Y med sannsynlighet proporsjonal med exp[ C Y C X T ]. 11. Oppdater temperaturen i tråd med nedkjølingsstrategien. 12. Iterer inntil maksimalt anall iterasjoner er nådd. 3

4 I tillegg til dette kommer selvfølgelig endel initialisering etc. Vi trenger også funksjonen urand som returnerer et tilfeldig tall uniformfordelt i intervallet [0, 1]. Dette er vist i pseudokoden i figur 2. Merk at det selvfølgelig finnes mange varianter av denne og lignende strategier. Deloppgave c Hva er viktig ved valg av nedkjølingsprosedyre og initialtemperatur? Løsningsforslag deloppgave c For en geometrisk nedkjølingsprosedyre der: T n+1 = αt n (1) med en gitt T 0 er det faktoren α som bestemmer hastigheten temperaturen faller med. Genrelt er α (0,1) og i praksis velges typisk α nær 1. Settes α for nær 1 tar nedkjølingen svært lang tid, settes den for nær 0 faller temperaturen for raskt og systemet vil med stor sannsynlighet låse seg i et lokalt minimum. Initialtemperaturen T 0 må velges i forhold til hvilke verdier kostfunksjonen kan anta. Vi vet at i en gitt iterasjon av algoritmen vil sannsynligheten for å velge en ny løsning Y framfor den eksisterende X, der P(Y) < P(X) (P er kostfunksjonen, vi anter her at vi betrakter et maksimaliseringsproblem) være proporsjonal med: e (P(Y) P(X))/T (2) I de innledenede iterasjonene ønsker vi at denne sannsynligheten skal være høy, det vil si at algoritmen beveger seg nærmest vilkårlig rundt i løsningsrommet, mens vi i de senere iterasjonene ønsker at denne sannsynligheten skal avta slik at nabolaget til en eksisterende løsning X utforskes nærmere. Initialtemparturen må velges for å ta hensyn til dette. 4

5 Require: G,i max,t 0,α {nmaxcut(, ), cmaxcut(, ) er eksterne} 1: i 0 2: X en vilkårlig løsning fra universet 3: X opt X 4: C X cmaxcut(x,g) 5: C opt C X 6: T T 0 7: α verdi i intervallet (0,1). 8: while i i max do 9: Y nmaxcut(x) 10: C Y cmaxcut(y,g) 11: if C Y > C X then 12: X Y 13: C X C Y 14: if C Y > C opt then 15: X opt Y 16: C opt C Y 17: end if 18: else 19: tmp exp[ C Y C X T ] 20: if urand < tmp then 21: X Y 22: C X C Y 23: end if 24: end if 25: i i+1 26: T αt 27: end while 28: return(x opt ) Figur 2: Pseudokode for løsning av maksimum kutt problemet basert på simulert størkning. 5