Heuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk
|
|
|
- Agnes Rasmussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Heuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141
2 Hva er tema for disse forelesningene? Det finnes beregningsproblemer der beregningsmengden blir enorm selv for høyst realistisk dimensjonering av problemet. Dessverre er dette ikke forbeholdt problemer av rent teoretisk interesse. I disse to forelesningene skal vi studere endel slike problemer......og hvordan man kan løse dem approksimativt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.2/141
3 Plan 1 Vi skal se på to ulike algoritmer for å løse slike problemer: Simulert størkning. Tabu-søk. Begge er såkalte heuristiske søkealgoritmer. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.3/141
4 Plan 2 Hva er en heuristisk søkealgoritme? Hvorfor heuristiske søkealgoritmer? Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.4/141
5 Plan 3 Vi skal se nærmere på følgende problemer: Knapsack-problemet. Reisende handelsmann-problemet. Maksimum klikk-problemet. Grafdelings-problemet. Graf isomorfisme-problemet. Bildebehandlingsapplikasjon. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.5/141
6 Litteratur 1 Boka som opprinnelig var utgangsunktet for kurset. Inneholder mange feil, men god framstilling. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.6/141
7 Litteratur 2 Telefonkatalog over NP-komplette problemer. Fin oversikt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.7/141
8 Litteratur 3 Onkel tegner og forteller.... Bortkastede penger. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.8/141
9 Litteratur 4 Detaljert beskrivelse, teknisk. Veldig god. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.9/141
10 Software: Matlab Matlab ( er ypperlig for å arbeide med denne typen problemer. Generelt miljø for numerisk matematikk. Enkel programmering. Topp grafikk. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.10/141
11 Software: Matlab Mathematia ( er ypperlig for å eksplorere denne typen problemer. Generelt miljø for numerisk og symbolsk matematikk. Enkel programmering. Topp grafikk. Egen pakke for algoritmikk, algorithmica (skrevet av Skiena). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.11/141
12 Web-ressurser På finner dere en omfattende oversikt over ressurser for denne typen problemer på web-en. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.12/141
13 Reisende handelsmann-problemet Berømt problem som har fått blekk og CPU-sykler til å flyte. Fra forrige gang: En komplett graf med n noder, G =(V,E). En kostfunksjon, cost: E Z +. Finn nå en Hamilton-syklus X i G slik at: cost(x)= cost(e) e E(X) blir minimal. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.13/141
14 Reisende handelsmann-problemet I forrige time så vi på en mulig løsning på dette problemet basert på simulert størkning. Vi lot løsningene være pemutasjoner av nodene. For å finne naboene til en eksistrende løsning så vi på alle permutasjoner av denne der to noder i turen har byttet plass. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.14/141
15 Reisende handelsmann-problemet Blant de mulig naboløsningene valgte vi en vilkårlig løsning. Husk vi kan vise at vi har: N 2 (X) = 1 + ( ) n 2 naboer gitt denne måten å finne naboer på. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.15/141
16 Maksimum klikk-problemet Dette er på ingen måte en optimal heuristikk. Skal du lage en god algoritme for TSP basert på simulert størkning må du bruke mer komplekse heuristikker. Ikke mulig å dekke disse i dette kurset. Skal bare se på noen enkle forbedringer. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.16/141
17 Maksimum klikk-problemet Opprinnelig løsning: Løsningen X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.17/141
18 Maksimum klikk-problemet Vår nabo-løsning: Løsningen X={0,2,1,3,4,5,6,7}. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.18/141
19 Maksimum klikk-problemet Bedre generering av naboer: 2-opt: Løsningen X={0,1,5,4,3,2,6,7}. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.19/141
20 Maksimum klikk-problemet Bedre generering av naboer: 3-opt eksiterer også. En variant av denne, Kernighan-Lin heurtistikken var lenge den beste. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.20/141
21 Maksimum kutt-problemet Husk: En klikk i en graf G er en komplett subgraf av G. Det såkalte maksimum-klikk problemet består i å finne en klikk i G med maksimal kardinalitet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.21/141
22 Maksimum klikk-problemet Maksimum klikk problemet er NP-komplett og for store grafer må man løse dette problemet med heuristiske søkemetoder. Universet består av alle mulige subsett av nodene i grafen G Mulige løsninger består av alle subsett av noder i grafen G som utgjør klikker. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.22/141
23 Maksimum klikk-problemet Hvordan løse dette problemet med simulert størkning? Sentralt spørsmål på ordinær eksamen i Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.23/141
24 Maksimum klikk-problemet Illustrasjonsgraf: Graf. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.24/141
25 Maksimum klikk-problemet Illustrasjonsgraf: Kantmatrise. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.25/141
26 Maksimum klikk-problemet Hjelpefunksjoner: getrandnode: Denne funksjonen tar som input en liste noder og returnerer en vilkårlig valgt node blant disse. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.26/141
27 Maksimum klikk-problemet Hjelpefunksjoner: nodesconnectedto: Denne funksjonen tar som input en liste L 1 noder samt grafen G og returnerer en ny liste L 2 noder fra G der alle noder i L 2 har en kant til minst en node i L 1. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.27/141
28 Maksimum klikk-problemet Hjelpefunksjoner: nodesconnectedto: L 1 L L 1 og L 2. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.28/141
29 Maksimum klikk-problemet Hjelpefunksjoner: intersectnodes: Denne funksjonen tar som input to lister med noder og returnerer en liste med noder som finnes i begge listene. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.29/141
30 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Velg vilkårlig en node n 1 blant alle nodene i grafen. Dette er vår opprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsning X opt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.30/141
31 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Generer en liste L 1 med noder i grafen som har en kant til en eller flere noder i X X L n 2 En løsning X og dens L 1. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.31/141
32 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Velg et vilkårlig element n 2 fra L X L n 2 Vilkårlig element n 2 valgt fra L 1. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.32/141
33 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Den nye løsningen Y er nå: Y = {n 2 intersectnodes(nodesconnectedto(n 2,G),oldM)} Dette er altså listen sammensatt av den nye løsningen n 2 og alle de noder i den eksisterende løsningen som har en kant til n 2. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.33/141
34 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Merk at vi nå kan være sikre på at den nye løsningen er en klikk, alle nodene i den eksisterende løsningen var jo forbundet parvis med kanter, dessuten har vi valgt n 2 slik at den har en kant til alle de nodene i den gamle løsningen som overføres til den nye. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.34/141
35 Maksimum klikk-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Dersom P(Y ) P(X) (la P(X)= X ) setter vi X = Y. Dersom P(X) > P(X opt ) setter vi også X opt = X. Dersom P(Y ) < P(X) lar vi allikevel X = Y med en sannsynlighet P proporsjonal med exp[(p(y) P(X))/T ] der T er temperatur, alt dette fullstendig i tråd med simulert størkning strategien. Iterer inntil det maksimale antallet iterasjoner er nådd. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.35/141
36 Maksimum klikk-problemet, pseudokode Forutsetninger: G,cmax, T 0 og α er input, getrandnode( ), nodesconnectedto(, ), intersectnodes(, ), randomu( ) og P( ) er eksterne c 0 T T 0 X getrandnode(g) X best X while c cmax do Y nodesconnectedto(x, G) Y getrandnode(y ) Y {Y intersectnodes(nodesconnectedto(y, G), X)} if P(Y ) > P(X) then X Y if P(X) > P(X best ) then X best X end if else r randomu(0,1) if r < e (P(Y ) P(X))/T then X Y end if end if c c + 1 T αt end while return(x best ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.36/141
37 Grafdelings-problemet Gitt en graf G(V,E) der V er settet av noder og E settet av kanter. Grafdelings-problemet består nå i å finne disjunkte subsett av noder fra V slik at antall kanter med noder i ulike subsett blir minimalt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.37/141
38 Grafdelings-problemet Det balanserte grafdelingsproblemet (balanced graph partitioning problem) består i å gjøre en slik inndeling av noder der forskjellen i kardinalitet mellom det største og det minste subsettet er maksimalt 1. Når vi deler grafen i to subsett kalles gjerne problemet grafbiseksjonproblemet evt. grafbipartisjonsproblemet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.38/141
39 Grafdelings-problemet Graf bipartisjons-problemet er NP-komplett og for store grafer må man løse dette problemet med heuristiske søkemetoder. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.39/141
40 Grafdelings-problemet Hvordan løse dette problemet med tabusøk? Sentralt spørsmål på ordinær eksamen i Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.40/141
41 Grafdelings-problemet Illustrasjonsgraf: Graf, bibartisjon {0,1,5,6}, {2,3,4}. 3 Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.41/141
42 Grafdelings-problemet Illustrasjonsgraf: Kantmatrise. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.42/141
43 Grafdelings-problemet Dersom grafen består av n noder sier vi at en mulig løsning s er et binært n-tuppel. Løsningen s =[ ] (der n altså er 7) beskriver bipartisjonen for grafen over. Dersom element k i løsningen er 0 tilhører node k det ene settet, er k lik 1 tilhører node k det andre settet Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.43/141
44 Grafdelings-problemet For at en løsning s skal være gyldig må vi i tillegg kreve følgende: Dersom n er et oddetall: n 1 i=0 s[i]= n 1 2 eller n 1 i=0 s[i]= n og n 3 (1) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.44/141
45 Grafdelings-problemet For at en løsning s skal være gyldig må vi i tillegg kreve følgende: Dersom n er et partall: n 1 i=0 s[i]= n 2 og n 2 (2) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.45/141
46 Grafdelings-problemet Disse betingelsene sørger for at forskjellen i kardinalitet mellom det største og det minste subsettet blir maksimalt 1. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.46/141
47 Grafdelings-problemet Hvor stort blir universet i dette tilfellet? En måte å definere naboløsninger på i dette tilfellet er å la naboene til en gitt løsning s bestå av alle ordnede n-tupler s slik at hammingavstanden mellom s og s minimalt er 1 og maksimalt er 2, det vil si: d ham (s,s )=1 eller d ham (s,s )=2 Hvor mange naboer har løsningen s for en gitt n? Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.47/141
48 Grafdelings-problemet Hjelpefunksjoner: N=nGraphPart(s,L), som tar en gitt løsning s samt tabulisten L som argument og returnerer naboene til s untatt de som er på tabulisten L. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.48/141
49 Grafdelings-problemet Hjelpefunksjoner: C=cGraphPart(s,G), som tar en løsning s og grafen G som argument og som returnerer løsningens kostnad (kostnaden ved en løsning er antall kanter med en node i hvert av de to settene). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.49/141
50 Grafdelings-problemet Hjelpefunksjoner: tabugraphpart(s1,s2,l) som legger endringen som skal til for å endre løsningen s1 til s2 inn i en tabuliste L med gitt lengde. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.50/141
51 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Velg en vilkårlig løsning s som tilfredsstiller randbetingelsene. Dette er vår opprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsning X opt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.51/141
52 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Benytt C=cGraphPart(X opt,g) til å beregne kostnaden assosiert med X opt. Dette er vår opprinnelige C opt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.52/141
53 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Benytt funksjonen N=nGraphPart(X,L) til å generere alle ikke-tabu naboer til X. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.53/141
54 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Finn ved hjelp av C=cGrahPart(, ) den av naboene til X som gir lavest kostnad. Kall denne løsningen Y. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.54/141
55 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Legg endringen som skal til for å endre Y til X på tabulisten ved å kalle tabugraphpart(y,x,l). Sett X = Y. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.55/141
56 Grafdelings-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Dersom cgraphpart(x,g)<cgraphpart(x opt,g) setter vi X opt = X. Iterer inntil det maksimale antallet iterasjoner er nådd. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.56/141
57 Grafdelings-problemet, pseudokode Forutsetninger: G, imax er input, ngraphpart(, ), cgraphpart(, ), tabugraphpart(,, ) er eksterne i 0 L [ ] X en gyldig løsning s fra universet Xopt X Copt cgraphpart(xopt, G) while i imax do N ngraphpart(x, L) Y den løsningen fra N med lavest kostnad tabugraphpart(y, X, L) X Y if cgraphpart(x, G) < cgraphpart(xopt, G) then Xopt X end if i i + 1 end while return(xopt ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.57/141
58 Graf isomorfisme-problemet To grafer G og H sies å være isomorfe dersom det finnes en eller flere avbildninger f av nodene i G til nodene i H slik at G og H blir like. Lar vi (x,y) være en kant i G er altså G og H isomorfe hvis og bare hvis ( f (x), f (y)) er en kant i H. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.58/141
59 Graf isomorfisme-problemet Det er faktisk ikke bevist at graf ismorfisme-problemet er NP-komplett, men man kjenner ingen algoritmer osm løser problemet i polynomisk tid. For store grafer av visse typer må man løse dette problemet med heuristiske søkemetoder. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.59/141
60 Graf isomorfisme-problemet Hvordan løse dette problemet med simulert størkning? Sentralt spørsmål på kontinuasjonseksamen i Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.60/141
61 Graf isomorfisme-problemet Illustrasjonsgraf: To tilsynelatende ulike grafer G og H. 9 Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.61/141
62 Graf isomorfisme-problemet Illustrasjonsgraf: Node i grafen G Node i grafen H Mapping. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.62/141
63 Graf isomorfisme-problemet Illustrasjonsgraf: Mapping som viser at grafene G og H er like. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.63/141
64 Graf isomorfisme-problemet For å arbeide med dette problemet i praksis kan det nok en gang lønne seg å la grafene være representert ved sine naboskapsmatriser, grafen G i figuren over har en naboskapsmatrise N G gitt ved: N G = Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.64/141
65 Graf isomorfisme-problemet Hjelpefunksjoner: D X =matchgraphs(x,n G,N H ) som tar som input en permutasjon X av nodene samt naboskapsmatrisene til de to grafene G og H. Funksjonen permuterer så radene og kolonnene i N G som gitt av permutasjonen X og returnerer hammingavstanden mellom den rad-kolonne permuterte naboskapsmatrisen N G og naboskapsmatrisen N H. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.65/141
66 Graf isomorfisme-problemet Hjelpefunksjoner: Merk at dersom denne hammingavstanden er null har vi funnet en permutasjon av radene og kolonnene i N G som gjør de to naboskapsmatrisene N G og N H like, dette vil si at den aktuelle permutasjonen er en (av potensielt flere) avbildninger som viser at de to grafene er isomorfe. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.66/141
67 Graf isomorfisme-problemet Hjelpefunksjoner: Y =newx(x) som tar en løsning X og returnerer en nabo Y til denne løsningen. Med X s nabo mener vi her en løsning Y der to elementer i X har byttet plass. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.67/141
68 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): La en løsning X være en permutasjon av nodene i grafen G. Universet består av alle slike permutasjoner og inneholder N! mulige løsninger. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.68/141
69 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Velg en vilkårlig permutasjon blant disse, for eksempel X =[1,2,...,N]. Dette er vår oprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsning X opt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.69/141
70 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Benytt D X =matchgraphs(x,n G,N H ) til å beregne D X assosiert med X. Dette er vår opprinnelige D opt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.70/141
71 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Benytt Y =newx(x) til å finne en ny løsning Y. Nabolagssøkestrategien vår er derfor svært enkel, velg kort og godt en ny løsning der to vilkårlige noder bytter plass. Hver løsning X får dermed ( N) 2 naboer. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.71/141
72 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Benytt D Y =matchgraphs(y,n G,N H ) til å beregne D Y assosiert med den nye løsningen Y. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.72/141
73 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Dersom D Y < D X settes X = Y og D X = D Y. (Merk at vi her krever at D Y er mindre enn D X, dette er et minimeringsproblem). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.73/141
74 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Dersom også D Y < D opt settes X opt = Y og D opt = D Y. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.74/141
75 Graf isomorfisme-problemet Løsningstrategi (NB: ikke optimal): Dersom D Y D X settes allikevel X = Y og D X = D Y med sannsynlighet proporsjonal med exp[ D Y D X T ]. Iterer inntil det maksimale antallet iterasjoner er nådd. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.75/141
76 Graf isomorfisme-problemet, pseudokode Forutsetninger: N G,N H,imax,T 0,α er input, matchgraph(,, ), newx( ), urand er eksterne i 0 X en vilkårlig løsning fra universet Xopt X D X matchgraphs(x,n G,N H ) Dopt D X T T 0 α verdi i intervallet (0,1). while i imax do Y newx(x) D Y matchgraphs(y,n G,N H ) if D Y < D X then X Y D X D Y if D Y < Dopt then Xopt Y, Dopt D Y end if else tmp exp[ D Y D X T ] if urand < tmp then X Y, D X D Y end if end if i i + 1 T αt end while return(xopt ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.76/141
77 Bildebehandlingsapplikasjon Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling. Moderne metode basert på Markov-felter. Matematisk fundament. Implementering. Eksempler. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.77/141
78 Hva er segmentering 1 Segmentering: En prosess som tar utgangspunkt i et bilde (som kan være multispektralt) og som har som mål å generere et nytt bilde der hvert piksel i det opprinnelige bildet er tilordnet en etikett som indikerer dens tilhørighet til en gruppe piksler som deler en eller annen egenskap. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.78/141
79 Hva er segmentering 2 Tilhørigheten kan avgjøres ut fra mange kriterier: Pikslene i en gruppe kan ha tilnærmet samme spektralegenskaper. Pikslene i en gruppe kan ha spektralegenskaper som tilfredsstiller et eller annet høyere-ordens statistisk kriterium (tekstur). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.79/141
80 Hva er segmentering Segmentering er ikke det samme som klassifisering. Segmentering har som mål å gi hver piksel en etikett som sier noe om denne pikslens tilhørighet til en eller annen gruppe av piksler (gruppe 1, gruppe 2, etc.). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.80/141
81 Hva er segmentering Segmentering er ikke det samme som klassifisering. Klassifisering har som mål å gi hver slik gruppe en fornuftig fysisk tolkning. Klassifiseringsprosessen avhenger ofte av segmenteringsprosessen som et preprosesseringstrinn. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.81/141
82 Hva er segmentering, eksempel Original. Original med støy. Segmentert resultat, to etiketter. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.82/141
83 Klassisk metode, terskling Original. Original med støy. Histogram med terskel. Segmentert resultat, to etiketter, feil: 1.59%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.83/141
84 Klassisk metode, terskling Original. Original med støy. Histogram med terskel. Segmentert resultat, to etiketter, feil: 15.09%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.84/141
85 Klassisk metode, terskling Original. Original med støy. Histogram med terskel. Segmentert resultat, to etiketter, feil: 24.45%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.85/141
86 Klassisk metode, terskling, fordeler og ul Fordeler: Enkel algoritme. Hurtig (velegnet for sanntidsapplikasjoner). Vel utprøvd. Ulemper: Følsom for støy. Lokal. Terskelen kan være vanskelig å fastsette. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.86/141
87 Klassisk metode, terskling Hovedproblem: Terskling er en rent lokal algoritme. Etiketten for hver piksel bestemmes ut fra denne pikslens grånivå. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.87/141
88 Klassisk metode, terskling Ønsker en algoritme som tar hensyn også til nabopiksler ved valg av etikett. Generelt: Vi vil ha segmenterte bilder der de fleste piksler er omgitt av piksler med samme etikett. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.88/141
89 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Segmenteringsproblemet: I L Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.89/141
90 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun En mulig segmenteringsmetode: max L=l p(l = l I = i) Produserer et MAP (Maximum aposteriori) estimat av det segmenterte bildet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.90/141
91 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun I det etterfølgende skal vi betrakte pikslene i bildet som noder i en graf G (ν,ε). Med hver node assosierer vi en deskriptor som kan være denne nodens grånivå eller denne nodens etikett (i et segmentert bilde). Mellom nodene går det (som i enhver graf) kanter. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.91/141
92 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Med en 4-nærmeste naboer type nabolagssystem går kantene som følger: Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.92/141
93 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Med en 8-nærmeste naboer type nabolagssystem går kantene som følger: Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.93/141
94 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Vi skal betegne naboene til en node ν med N ν. Ser man vekk fra kantene i bildet er den tilsvarende grafen regulær med grad enten 4 eller 8 avhengig av nabolagssystemet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.94/141
95 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Med et 4-nærmeste naboer nabolagssystem får vi følgende typer klikker (utover den tomme klikken og klikker bestående av en enkelt node): Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.95/141
96 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Med et 8-nærmeste naboer nabolagssystem får vi følgende typer klikker (utover den tomme klikken og klikker bestående av en enkelt node): Hvor mange klikker av hver type tilhører en enkelt node gitt nabolagssystemet? Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.96/141
97 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Bayes formel, generelt: p(a B)= p(b A)p(A) p(b) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.97/141
98 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun I dette konkrete tilfellet: max L=l p(l = l I = i)= max L=l p(i = i L = l)p(l = l) p(i = i) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.98/141
99 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Forenkling (nevneren avhenger ikke av l): max L=l max L=l p(l = l I = i)= p(i = i L = l)p(l = l) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.99/141
100 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Vi vil maksimere: max L=l max L=l p(l = l I = i)= p(i = i L = l)p(l = l) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.100/141
101 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Sannsynligheten: p(i = i L = l) sier noe om sannsynligheten for et gitt bilde I = i gitt den segmenterte varianten L = l av dette bildet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.101/141
102 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Sannsynligheten: p(l = l) sier noe om sannsynligheten for et gitt segmentert bilde. Det er her vi baker inn vår a priori informasjon om hvordan et segmentert bilde skal se ut. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.102/141
103 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Tar for oss følgende sannsynlighet: p(i = i L = l) I en bestemt piksel antar vi hvit, gaussisk støy med null middelverdi og varians avhengig av hvilken etikett denne pikselen har. I så fall vil gråtoneverdiene til hver piksel gitt etikettene være statistisk uavhengige. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.103/141
104 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Derfor kan vi skrive: p(i = i L = l)= ν p(i ν = i ν L ν = l ν ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.104/141
105 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Vi vet at: p(i ν = i ν L ν = l ν )= [ 1 exp (i ν µ lν ) 2 2πσlν 2σl 2 ν ] Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.105/141
106 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Derav følger: p(i = i L = l)= ν 1 2πσlν exp [ (i ν µ lν ) 2 2σ 2 l ν ] Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.106/141
107 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Tar for oss følgende sannsynlighet: p(l = l) Det er vi som brukere som bestemmer hva som skal være et sannsynlig segmentert bilde. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.107/141
108 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Vi vi la det segmenterte bildet være et Markov-felt. Dette vil gjøre det mulig for oss å oppnå høy sannsynlighet for segmenterte bilder der nabopiksler har samme etikett. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.108/141
109 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Interaksjonene mellom nodene i en klikk beskrives med klikk potensial funksjoner V c. En klikk potensial funksjon er en funksjon av deskriptorene til alle nodene som inngår i klikken. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.109/141
110 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Energien i en bestemt node U ν er summen av klikk potensial-funksjonene for alle klikkene som denne noden inngår i. U ν = V c c ν c Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.110/141
111 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Eksempel: Anta et 4 nærmeste naboer nabosystem. Hver node ν inngår da i følgende klikker (utover den tomme klikk og klikker som omfatter bare en node): Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.111/141
112 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Eksempel fortsatt: La V c være gitt ved: V c = δ(d s,d r ) der s og r er de to nodene i klikken og der d s og d r er deskriptorene til disse to nodene. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.112/141
113 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Eksempel fortsatt: Anta følgende deskriptorer: Da blir energien: U ν = V c = δ(d s,d r )=1. c ν c c ν c Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.113/141
114 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Anta at l er en bestemt realisasjon av prosessen L. Anta videre at ν og ξ er to vilkårlige noder i l. Markovs hypotese holder for l dersom de betingede sannsynlighetene i en node i l bare avhenger av dette punktets naboer: p(l ν = l ν L ξ = l ξ,ν ξ)= p(l ν = l ν L ξ = l ξ,ξ N ν )=p(l ν = l ν N ν ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.114/141
115 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Hammersley-Cliffords teorem: Dersom antallet noder i G er endelig og tellbart og dersom det på G er definert et nabosystem N og dersom antall mulige deskriptorer er endelig så vil et Markov-felt (med strengt positive sannsynligheter over konfigurasjonsrommet Ω)være et Gibbs potensialfelt. Sagt på en annen måte: Under enkelte, rimelig betingelser er et Markov-felt et Gibbs potensialfelt. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.115/141
116 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Hvorfor er det interessant å vite dette: For et Gibbs potensialfelt kjenner vi den globale sannsynligheten for feltet: [ ] p(l = l) = 1/Z exp V c c C Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.116/141
117 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun På grunn av Hammersley-Cliffords teorem som etablerer ekvivalensen mellom et Gibbs potensialfelt og et Markov-felt kjenner vi dermed den siste ukjente sannsynligheten. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.117/141
118 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Husk vi ville maksimere: max L=l max L=l p(l = l I = i)= p(i = i L = l)p(l = l) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.118/141
119 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Dette kan vi nå skrive slik: max L=l ν 1 Z exp 1 2πσlν exp [ [ ] V c c C (i ν µ lν ) 2 2σ 2 l ν ] Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.119/141
120 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Vi beregner logaritmen, bytter fortegn osv. og finner til slutt følgende uttrykk som må minimeres med hensyn på l. min L=l [ ν (i ν µ lν ) 2 2σ 2 l ν ] + V c c C Vi må altså finne den grafen som representerer det segmenterte bildet som minimaliserer dette uttrykket. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.120/141
121 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun min L=l [ ν (i ν µ lν ) 2 2σ 2 l ν ] + V c c C Det første leddet tar hensyn til informasjon fra grafen som representerer bildet som skal segmenteres. Det andre leddet implementerer de kravene vi stiller til nabopikslers verdier i det segmenterte bildet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.121/141
122 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun I praksis minimeres gjerne uttrykket: [ ] (i min α ν µ lν ) 2 L=l ν 2σl 2 + β V c ν c C Faktorene α og β regulerer vekten man leger på bidragene fra de to leddene. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.122/141
123 Markovfeltbasert segmentering, bakgrun Dette uttrykket kan betraktes som en global energifunksjon definert på nodene til grafen som representerer det segmenterte bildet. Hvordan minimeres denne energifunksjonen? Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.123/141
124 Markovfeltbasert segmentering, impleme Anta at vi vil segmentere et bilde med piksler. Anta at vil bruker 4 ulike etiketter i det segmenterte bildet. Da finnes det = ulike mulige segmenterte bilder. Et uttømmende søk blant disse er utenkelig. Vi må derfor bruke heuristiske søkemetoder. Typisk brukes simulert størkning for denne typen problemer. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.124/141
125 Markovfeltbasert segmentering, impleme Algoritmen som brukes er som følger: Algoritmen initialiseres ved å generere et vilkårlig segmentert bilde. Antallet ulike verdier i hvert piksler er lik antallet etiketter. I hver iterasjon trekkes et nytt vilkårlig segmentert bilde. Energifunksjonen beregnes for det gamle og nye segmenterte bildet. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.125/141
126 Markovfeltbasert segmentering, impleme Algoritmen som brukes er som følger (fortsatt): I de pikslene der det nye segmenterte bildet har en etikett som gir lavere energi enn den eksisterende oppdateres det segmenterte bildet. Er energien større aksepteres den nye verdien med en viss sannsynlighet P i tråd med simulert størkning strategien. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.126/141
127 Markovfeltbasert segmentering, impleme Forutsetninger: I,T 0,α,nmax,Nc er input, f loor( ),random( ),rows( ),cols( ) og energy( ) er eksterne n 0 T T 0 L random(nc,size(i)) L best L while n < nmax do L random(nc,size(i)) for i 1 to rows(i) do for j 1 to cols(i) do OldE energy(i,l best,i, j) NewE energy(i,l,i, j) if NewE < OldE then L best (i, j) L(i, j) else r random(1,1,1) if r < e (OldE NewE)/T then L best (i, j) L(i, j) end if end if end for end for n n + 1 T αt end while return(l best ) Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.127/141
128 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Husk: vi vil minimere følgende uttrykk: [ ] (i min α ν µ lν ) 2 L=l ν 2σl 2 + β V c ν c C Anta α = 0, β = 1 og V c = 1 δ(d ν,d ξ ). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.128/141
129 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Anta videre et fire nærmeste naboer system: Anta to klasser. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.129/141
130 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Initial konfigurasjon. 10 iterasjoner. 30 iterasjoner. 70 iterasjoner. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.130/141
131 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Husk: vi vil minimere følgende uttrykk: [ ] (i min α ν µ lν ) 2 L=l ν 2σl 2 + β V c ν c C Anta α = 0, β = 1 og V c = 1 δ(d ν,d ξ ). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.131/141
132 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Anta videre et to nærmeste naboer system: Anta to klasser. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.132/141
133 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Initial konfigurasjon. 30 iterasjoner. 70 iterasjoner. 110 iterasjoner. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.133/141
134 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Husk: vi vil minimere følgende uttrykk: [ ] (i min α ν µ lν ) 2 L=l ν 2σl 2 + β V c ν c C Anta α = 0, β = 1 og V c = δ(d c,d e )+δ(d d,d e ) δ(d a,d e ) δ(d b,d e ). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.134/141
135 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Anta videre et fire nærmeste naboer system: a a c e d e e c e e d b b Anta to klasser. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.135/141
136 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Initial konfigurasjon. 30 iterasjoner. 70 iterasjoner. 110 iterasjoner. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.136/141
137 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Husk: vi vil minimere følgende uttrykk: [ ] (i min α ν µ lν ) 2 L=l ν 2σl 2 + β V c ν c C Anta α > 0, β > 0 og V c = 1 δ(d ν,d ξ ). Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.137/141
138 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Anta et fire nærmeste naboer system: Anta to klasser. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.138/141
139 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Original. Original med støy. Terskling, feil 1.86%. Markovfeltbasert segmentering, feil 0.13%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.139/141
140 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Original. Original med støy. Terskling, feil 14.81%. Markovfeltbasert segmentering, feil 0.55%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.140/141
141 Markovfeltbasert segmentering, eksempl Original. Original med støy. Terskling, feil 23.08%. Markovfeltbasert segmentering, feil 1.26%. Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.141/141
Heuristiske søkemetoder III
Heuristiske søkemetoder III Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling.
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 00, ordinær eksamen 1. september 003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte grafdelingsproblemet (graph partitioning problem). Problemet kan
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2001, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 21, ordinær eksamen 14. september 23 Innledning En klikk i en graf G er en komplett subgraf av G. Det såkalte maksimum-klikk problemet består
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen 14. september 2003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte maksimum-kutt problemet (maximum cut problem). Problemet
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen 14. september 2003 Deloppgave a 50-års jubileet for simulert størkning: I juni 1953 publiserte fire amerikanske fysikere,
Heuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder I:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
Statistiske metoder i bildebehandling, anvendelser innen segmentering. Lars Aurdal, lau@ffi.no
Statistiske metoder i bildebehandling, anvendelser innen segmentering. Lars Aurdal, lau@ffi.no FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications (ENST) Henri Maître, Isabelle
Heuristiske søkemetoder II
Heuristiske søkemetoder II Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 4. september 23 Plan Hva er en heuristisk søkealgoritme? Hvorfor heuristiske søkealgoritmer framfor tilbakenøsting?
Matematisk morfologi V
Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 5 Segmentering: Watershedtransformen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR
Oversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral
Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Segmentering: Watershedtransformen. Oversikt, kursdag 5 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR
Heuristiske søkemetoder I
Heuristiske søkemetoder I Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Hva slags søkemetoder snakker vi om? Kombinatoriske strukturer. Sett. Lister. Grafer. Søkealgoritmer
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder
Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf
Heuristisk søk 1. Prinsipper og metoder
Heuristisk søk Prinsipper og metoder Oversikt Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Traveling sales person (TSP) Tromsø Bergen Stavanger Trondheim Oppdal Oslo
Oversikt. Heuristisk søk 1. Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk. Prinsipper og metoder
Oversikt Heuristisk søk Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Prinsipper og metoder Pål Sætrom Traveling sales person (TSP) Kombinatorisk optimering Trondheim
!"!#$ INF-MAT Geir Hasle - Leksjon 2 2
Leksjon 2 !"!#$ Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk program COP Definisjon DOP Anvendelser Kompleksitetsteori Eksakte metoder, approksimasjonsmetoder
TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag : Lørdag 8. desember 2001 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på
MAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
Introduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
Kombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
Introduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
EKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Kontakt: Jo Eidsvik 9747 EKSAMEN I TMA43 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 6 Mai, 3 Tilatte hjelpemiddel: Gult
Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
LO118D Forelesning 10 (DM)
LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori 03.10.2007 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad
Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.
MAT1030 Forelesning 24
MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
Forelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
INF-MAT-5380
INF-MAT-5380 http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf-mat5380/ Leksjon 2 Leksjon 1: Oppsummering Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk
Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
Løsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl
TDT4120 2003-12-09 Stud.-nr: Antall sider: 1/7 Løsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas,
Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3
8. april, 2013 MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3 Innleveringsfrist: 2/5-2013, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7.
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
Oppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver
Oppgaver fra forelesningene MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 28. mars 2007 Tid for eksamen : 13:30 16:30 Oppgavesettet er på : 4 sider
TMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne
Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200
Kompleksitet og Beregnbarhet
Kompleksitet og Beregnbarhet 16. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Avgjørelsesproblemer. P EXPTIME NP Reduksjoner NP-kompletthet Uavgjørbarhet UNDECIDABLE DECIDABLE PSPACE NPC NP
Kompleksitet. IN algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon
Kompleksitet IN2010 - algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon Dagens agenda Kompleksitet - hva er det? Avgjørelsesproblemer Kompleksitetsklassene P og NP Reduksjoner - å redusere et problem
Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april
Forelesning 30. Kompleksitetsteori. Dag Normann mai Informasjon. Oppsummering
Forelesning 30 Kompleksitetsteori Dag Normann - 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne våren på semestersiden. Det blir ikke ordinære gruppetimer fra og med
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk
MAT1030 Forelesning 23
MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter
Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.
Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne
A study of different matching heuristics. Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen
A study of different matching heuristics Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen (janma@ifi.uio.no) Terminologi: Graf teori En graf består av et sett med noder Nodene er tilknyttet hverandre ved hjelp
Histogrammetoder. Lars Aurdal Norsk regnesentral. Histogrammetoder p.1/91
Histogrammetoder Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no Histogrammetoder p.1/91 Oversikt 1 Litt praktisk informasjon. Grånivåtransformasjoner. Grunnleggende transformasjoner. Negativer. Log-transformasjoner.
Vektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og
MAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2100 - FASIT Eksamensdag: Torsdag 15. juni 2017. Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF230 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 6. juni 202 Tid for eksamen : 09:00 3:00 Oppgavesettet er på : 6 sider Vedlegg
Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs
TDT4125 2010-06-03 Kand-nr: 1/5 Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs Eksamensdato 3. juni 2010 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 24. juni Språk/målform Bokmål Kontakt under
NP-kompletthet. «Hvordan gjøre noe lett for å vise at noe annet er vanskelig»
NP-kompletthet «Hvordan gjøre noe lett for å vise at noe annet er vanskelig» Gjennomgang Øving 12, maks flyt Oppskrift på et NPkomplett problem 1. Vise at problemet er veldig lett å sjekke 2. Vise at problemet
Korteste vei problemet (seksjon 15.3)
Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k
Forelesning 30: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 30: Kompleksitetsteori 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 MAT1030 Diskret Matematikk
Matematisk morfologi IV
Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.
Maks Flyt og NPkompletthet
Maks Flyt og NPkompletthet Flyt - Intro Mange av oppgavene om flyt handler om å se at Dette kan vi løse som et flytproblem. Resten er som regel kortsvarsoppgaver, og går på grunnleggende forståelse av
Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at
Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
KONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer
Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
Plenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3).
Plenumsregning 9 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3). a) Ved å bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skritt
Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 30. november 2000, kl. 09.00-14.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1, Binære søketrær Totalt
Mengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
Ikke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
UNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 14. desember 2015 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF2220
Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.
Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne
dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva
MAT1030 Forelesning 19
MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
Plenumsregning 1. Kapittel 1. Roger Antonsen januar Velkommen til plenumsregning for MAT1030. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode
Plenumsregning 1 Kapittel 1 Roger Antonsen - 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang av ukeoppgaver Gjennomgang av eksempler fra boka Litt repetisjon
MAT1030 Forelesning 28
MAT1030 Forelesning 28 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 12. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-13 08:12) Forelesning 28: Kompleksitetsteori Introduksjon Da er vi klare (?) for siste kapittel, om kompleksitetsteori!
MAT1030 Plenumsregning 1
MAT1030 Plenumsregning 1 Kapittel 1 Mathias Barra - 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Fredager 12:15 14:00 Vi vil gjennomgå utvalgte
PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10. Lars Sydnes 21. november 2014
PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10 Lars Sydnes 21. november 2014 I Grafer Grafisk fremstilling av en graf D A B C Ikke-rettet graf Grafisk fremstilling av en graf D A B C Rettet graf Grafisk
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : XXX sider
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A
Matematisk morfologi III
Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.