Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen
|
|
- Susanne Hansen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen 14. september 2003 Deloppgave a 50-års jubileet for simulert størkning: I juni 1953 publiserte fire amerikanske fysikere, deriblant en av atombombens fedre, Edward Teller, artikkelen Equation of State Calculations by Fast Computing Machines (fritt oversatt til norsk Tilstandsligningsberegninger med Hurtige Regnemaskiner) i det anerkjente tidsskriftet The Journal of Chemical Physics (fritt oversatt til norsk Journal for Kjemisk Fysikk). Denne artikkelen handler om hvordan man kan bruke datamaskiner til å beregne hvordan elementærpartikler i et aller annet stoff vil organisere seg seg imellom for å minimere kreftene som virker mellom partiklene. I denne artikkelen framsetter de fire fysikerne grunnlaget for den algoritmen som senere er blitt kjent som simulert størkning (engelsk: simulated annealing). Man kan spørre seg hvorfor en algoritme som i dag brukes i alt fra kretskortutlegg til flytrafikkplanlegging har sitt utspring i en artikkel om en slik problemstilling. Forklar og utred hvilken fysisk analogi simulert størkning er basert på. Svar kort og konsist. Løsningsforslag deloppgave a Som oppgaveteksten angir dreier Tellers artikkel seg om hvordan elementærpartikler ordnes innbyrdes i en lavenergi likevektstilstand. For at elementærpartikler skal kunne finne slike lavenergi likevektstilstander må enorme antall av dem finne sin respektive plass i en kompleks struktur. Den optimale konfigurasjonen representerer egentlig en løsning på et gigantisk optimaliseringsproblem der alle disse elementærpartiklene har funnet sin plass i forhold til alle de andre. 1
2 Et godt eksempel på en slik struktur finner man i en diamant. En diamant er en mer eller mindre perfekt ordning av karbonatomer i en helt spesiell innbyrdes (krystall-)struktur. For at en slik struktur skal oppstå må karbonatomene først være utsatt for svært høyt trykk og temperatur og befinne seg i en tilstand der de flyter rundt hverandre innbyrdes. I denne tilstanden vil atomene prøve et utall innbyrdes konstellasjoner og etterhvert organisere seg i små grupper som har optimal innbyrdes konfigurasjon. I denne fasen er temperaturen ennå så høy at en gruppe atomer som har funnet en gunstig innbyrdes konstellasjon fortsatt ofte vil brytes opp for å danne nye konstellasjoner. Med tiden faller trykk og temperatur og atomene vil etterhvert flyte mindre fritt innbyrdes. I denne fasen vil gruppene av atomer med perfekt innbyrdes konfigurasjon vokse. Samtidig vil det bli mindre og mindre sannsynlig at slike gunstige konstellasjoner brytes opp. Dette fortsetter inntil temperaturen er så lav at den innbyrdes konfigurasjonen ikke lenger endres. Dersom denne prosessen skjer under gunstige trykk- og temepraturforhold vil store diamanter kunne oppstå. Simulert størkning er en iterativ optimaliseringsalgoritme som simulerer denne prosessen. Ved hjelp av en temperaturparameter T som reduseres etter hver iterasjon (typisk etter en geometrisk formel T n+1 = αt n ) tillater man først at algoritmen forkaster tilsynelatende gunstige løsninger til fordel for mer uheldige løsninger. Etterhvert som T avtar gjøres denne sannsynligheten mindre. Dette skjer ved at en ny løsning Y genereres og at forskjellen i optimalitet P(Y) P(X) mellom Y og en eksisterende løsning X beregnes. P er her en funksjon som måler en løsnings optimalitet. Dersom den nye løsningen er mer optimal (P(Y) > P(X)) velges den nye løsningen Y foran den gamle X. Dersom den nye løsningen er mindre optimal enn den gamle (P(Y) P(X)) velges allikevel den nye løsningen med sannsynlighet proporsjonal med: exp[ P(Y) P(X) ] T Denne sannsynligheten er illustrert i figur 1. For høy T vil sannsynligheten for å velge en ny løsning Y som er mindre gunstig enn den eksisterende løsningen X være relativt høy. Etterhvert som T avtar vil denne sannsynligheten avta. Effekten av denne strategien er at algoritmen først hopper vilkårlig rundt i løsningsrommet mens den leter etter gunstige løsninger. Sannsynligheten for å forlate en gunstig løsning til fordel for en dårligere løsning vil i denne fasen være høy. Etterhvert som T faller vil denne sannsynligheten avta og istedet for å hoppe fra løsning til løsning vil algoritmen nå mer systematsik eksplorere nabolaget til hver løsning. 2
3 P 1 (P(Y) P(X))/T 0 Figur 1: Sannsynligheten for valg av en ny løsning Y gitt en eksisterende løsning X. Deloppgave b I denne oppgaven skal vi ta for oss det såkalte tilfredsstillbarhetsproblemet (engelsk: satisfiability problem). Dette problemet omtales ofte som SAT-problemet. Steven Skiena, forfatter av boken The algorithm design manual, omtaler spøkefullt dette problemet som alle NP-komplette problemers mor. Problemet kan enkelt formuleres som følger: Anta gitt en boolsk funksjon F på såkalt konjunktiv normal form. Dersom vi, for eksempel, betrakter en slik funksjon av 10 boolske variable x 0,x 1,...,x 9 kan F være gitt ved: F(x) = ( x 2 x 7 x 9 ) (x 3 x 5 ) (x 0 x 1 x 3 x 6 x 8 x 9 )... (x 4 x 5 ) der x i og x i betegner en variabel og dens inverse verdi respektive. Symbolene og betegner logisk ELLER og OG respektive. SAT-problemet består nå i å finne verdier for x 0,x 1,...,x 9 slik at F evaluerer til SANN (TRUE). For endel særtilfeller finnes effektive algoritmer for å løse dette problemet, men i sin generelle form er dette et svært komplisert problem. I en del situasjoner krever man ikke at F skal evaluere til SANN, men at et så stort som mulig antall av delleddene (ledd av typen ( x 2 x 7 x 9 ) ) i F skal være 3
4 SANNE. Hvordan vil du løse denne siste typen problem ved hjelp av simulert størkning? Forklar løsningsstrategien din og gi pseudokode for den algoritmen du foreslår. NB: Dette problemet kan løses på mange måter. Vi ber om en enkel løsning som illustrerer at du har forstått simulert størkning algoritmen, ikke en spesielt sofistikert løsning på denne varianten av SAT-problemet. Løsningsforslag deloppgave b Løsningsstrategien vår er som følger: 1. La en løsning X være et binært n-tuppel X = [x 0,x 1,...,x n 1 ]. Dersom element i i X er 0 betyr dette at den tilsvarende variabelen x i er 0 (det vil si USANN). Er element i i X lik 1 er den tilsvarende variabelen x i lik 1 (det vil si SANN). Universet består av alle slike n-tupler og inneholder 2 n mulige løsninger. 2. Velg et vilkårlig binært n-tuppel. Dette er vår oprinnelige løsning X. Dette er også vår opprinnelige beste løsningx opt. 3. La oss anta at vi har gitt funksjonen N X =countterms(x,f) som tar som input et slikt binært n-tuppel X samt definisjonen av funksjonen F, teller hvor mange av delleddene i definisjonen av den boolske funksjonen F som er tilfredsstilte (SANNE) og returnerer dette antallet i variabelen N X. Vi leter altså etter den X som gjør N X størst mulig (dersom N X er lik antall delledd i F vil naturligvis F selv evaluere til SANN). 4. Benytt N X =countterms(x,f) til å beregne N X assosiert med X. Dette er vår opprinnelige N opt. 5. Anta at funksjonen Y =newx(x) er gitt. Denne tar en løsning X og returnerer en nabo Y til denne løsningen. Med X s nabo mener vi her en løsning Y der ett element i n-tuplet som definerer X har byttet verdi fra 0 til 1 eller omvendt. Dette tilsvarer at den korresponderende variabelen inverteres. Nabolagssøkestrategien vår er derfor svært enkel, velg kort og godt en ny løsning der en enkelt vilkårlig variabel har byttet verdi. Hver løsning X får dermed n naboer. 6. Heuristikken vår blir derfor ganske enkelt å utføre dette nabolagssøket. 7. Benytt N Y =countterms(y,f) til å beregne N Y assosiert med den nye løsningen Y. 4
5 8. Dersom N Y > N X settes X = Y og N X = N Y. (Merk at vi her krever at N Y er større enn N X, dette er et maksimeringsproblem). 9. Dersom også N Y > N opt settes X opt = Y og N opt = N Y. 10. Dersom N Y N X settes allikevel X = Y og N X = N Y med sannsynlighet proporsjonal med exp[ N Y N X T ]. 11. Oppdater temperaturen i tråd med nedkjølingsstrategien. 12. Iterer inntil maksimalt anall iterasjoner er nådd. I tillegg til dette kommer selvfølgelig endel initialisering etc. Vi trenger også funksjonen urand som returnerer et tilfeldig tall uniformfordelt i intervallet [0, 1]. Dette er vist i pseudokoden i figur 2. Merk at det selvfølgelig finnes mange varianter av denne og lignende strategier. 5
6 Require: F,i max,t 0,α {countterms(, ), urand er eksterne} 1: i 0 2: X en vilkårlig løsning fra universet 3: X opt X 4: N X countterms(x,f) 5: N opt N X 6: T T 0 7: α verdi i intervallet (0,1). 8: while i i max do 9: Y newx(x) 10: N Y countterms(y,f) 11: if N Y > N X then 12: X Y 13: N X N Y 14: if N Y > N opt then 15: X opt Y 16: N opt N Y 17: end if 18: else 19: tmp exp[ N Y N X T ] 20: if urand < tmp then 21: X Y 22: N X N Y 23: end if 24: end if 25: i i+1 26: T αt 27: end while 28: return(x opt ) Figur 2: Pseudokode for løsning av den gitte varianten av SAT-problemet. 6
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen 14. september 2003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte maksimum-kutt problemet (maximum cut problem). Problemet
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2001, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 21, ordinær eksamen 14. september 23 Innledning En klikk i en graf G er en komplett subgraf av G. Det såkalte maksimum-klikk problemet består
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 00, ordinær eksamen 1. september 003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte grafdelingsproblemet (graph partitioning problem). Problemet kan
DetaljerHeuristiske søkemetoder II
Heuristiske søkemetoder II Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 4. september 23 Plan Hva er en heuristisk søkealgoritme? Hvorfor heuristiske søkealgoritmer framfor tilbakenøsting?
DetaljerHeuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder I: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder I:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
DetaljerHeuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
DetaljerMAT1030 Plenumsregning 1
MAT1030 Plenumsregning 1 Kapittel 1 Mathias Barra - 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Fredager 12:15 14:00 Vi vil gjennomgå utvalgte
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerPlenumsregning 1. Kapittel 1. Roger Antonsen januar Velkommen til plenumsregning for MAT1030. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode
Plenumsregning 1 Kapittel 1 Roger Antonsen - 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang av ukeoppgaver Gjennomgang av eksempler fra boka Litt repetisjon
DetaljerPlenumsregning 1. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Velkommen til plenumsregning for MAT1030
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo Plenumsregning 1 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerHeuristisk søk 1. Prinsipper og metoder
Heuristisk søk Prinsipper og metoder Oversikt Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Traveling sales person (TSP) Tromsø Bergen Stavanger Trondheim Oppdal Oslo
DetaljerVelkommen til plenumsregning for MAT1030. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Eksempel fra boka. Eksempel
Velkommen til plenumsregning for MAT1030 MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 4: Logikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-27 12:47) Kapittel 4: Logikk (fortsettelse) MAT1030 Diskret
DetaljerHeuristiske søkemetoder III
Heuristiske søkemetoder III Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling.
DetaljerHeuristiske søkemetoder I
Heuristiske søkemetoder I Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Hva slags søkemetoder snakker vi om? Kombinatoriske strukturer. Sett. Lister. Grafer. Søkealgoritmer
DetaljerINF2810: Funksjonell programmering: Mer om Scheme. Rekursjon og iterasjon.
INF2810: Funksjonell programmering: Mer om Scheme. Rekursjon og iterasjon. Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 25. januar, 2013 På blokka 2 Forrige uke Introduksjon og oversikt Funksjonell
DetaljerMer om representasjon av tall
Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder
DetaljerOppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3
Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01
DetaljerINF-MAT 5380 - Geir Hasle - Leksjon 3 2
Leksjon 3 !"#$ Eksempler på DOP Alternative representasjoner Definisjon nabolag, -operator Lokalsøk Definisjon lokalt optimum Eksakt nabolag Prosedyre for lokalsøk Traversering av nabolagsgraf Kommentarer,
DetaljerOversikt. Heuristisk søk 1. Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk. Prinsipper og metoder
Oversikt Heuristisk søk Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Prinsipper og metoder Pål Sætrom Traveling sales person (TSP) Kombinatorisk optimering Trondheim
DetaljerNy/utsatt EKSAMEN. Dato: 6. januar 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00
Ny/utsatt EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 6. januar 2017 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerForelesning 1. Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer. Dag Normann - 14. januar 2008. Vi som skal undervise. Hva er diskret matematikk?
Forelesning 1 Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer Dag Normann - 14. januar 2008 Vi som skal undervise Dag Normann Roger Antonsen Christian Schaal Robin Bjørnetun Jacobsen http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/mat1030/v08/
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Lørdag 15. desember 2001, kl. 09.00-14.00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler.
DetaljerForelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11
Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN HØST 2012 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GRUNNKURS
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN HØST 2012 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GRUNNKURS Oppgave 1 a) La x 1, x 2 og x 3 være antall enheter produsert av henholdsvis lenestoler, skamler og kjøkkenstoler. Modellen blir
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerInnledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 3. november 2, kl. 9. - 14. Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
DetaljerVi som skal undervise. MAT1030 Diskret matematikk. Hva er diskret matematikk? Hva er innholdet i MAT1030?
Vi som skal undervise MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. januar 2008 Dag Normann Roger Antonsen
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:44) Velkommen
DetaljerVelkommen til MAT1030!
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Velkommen til MAT1030! 13. januar 2009 (Sist oppdatert:
Detaljer!"!#$ INF-MAT Geir Hasle - Leksjon 2 2
Leksjon 2 !"!#$ Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk program COP Definisjon DOP Anvendelser Kompleksitetsteori Eksakte metoder, approksimasjonsmetoder
DetaljerMAT1030 Forelesning 19
MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
DetaljerI Kapittel 3 så vi på hvordan data, som hele tall og reelle tall, kan representeres som bitsekvenser
Forelesning 5 Logikk Dag Normann - 28. januar 2008 Oppsummering av Kapittel 3 I Kapittel 3 så vi på hvordan data, som hele tall og reelle tall, kan representeres som bitsekvenser i en datamaskin. Stoffet
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerMAT1030 Forelesning 4
MAT1030 Forelesning 4 Logikk Roger Antonsen - 21. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-22 13:02) Kapittel 4: Logikk (fortsettelse) Enda et eksempel (a) Jeg liker ikke Bamsemums. (b) Du liker alt jeg liker.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 4: Logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 21. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-22 13:02) Kapittel 4: Logikk (fortsettelse) MAT1030
DetaljerKapittel 4: Logikk (fortsettelse)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 4: Logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (fortsettelse) 21. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-22 13:03) MAT1030
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
DetaljerMAT1030 Forelesning 28
MAT1030 Forelesning 28 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 12. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-13 08:12) Forelesning 28: Kompleksitetsteori Introduksjon Da er vi klare (?) for siste kapittel, om kompleksitetsteori!
DetaljerKONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder
Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl
TDT4120 2003-12-09 Stud.-nr: Antall sider: 1/7 Løsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas,
DetaljerForelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer
Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:
DetaljerMAT1030 Plenumsregning 3
MAT1030 Plenumsregning 3 Ukeoppgaver Mathias Barra - 30. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:26) Plenumsregning 3 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58 8+1 465 8+6 3726. Svar: 3726
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl
SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf.
DetaljerForelesning 30. Kompleksitetsteori. Dag Normann mai Informasjon. Oppsummering
Forelesning 30 Kompleksitetsteori Dag Normann - 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne våren på semestersiden. Det blir ikke ordinære gruppetimer fra og med
Detaljer45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 1992
45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 12 Oppgave 1 Idé til algoritme Benytter S n som betegn på en tallmengde med n elementer. For at et tall m skal være et majoritetstall
DetaljerDynamisk programmering
Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 50-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å
DetaljerGenerell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
DetaljerOppsummering fra sist
1 av 34 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Terje Rydland - IDI/NTNU 2 av 34 Oppsummering fra sist Betingelser i Python: ,
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerHvordan løse problemer med programmering?
Start screencast!! (tidlig..) Ha klar glass med linser Lukk programmer, untatt Atom, Keynote, Terminal Hvordan løse problemer med programmering? Problemløsning, løkker, og funksjoner med parametre IN1000,
DetaljerOppsummering av Kapittel 3. MAT1030 Diskret matematikk LOGIKK. Logikk. Forelesning 5: Logikk
Oppsummering av Kapittel 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 5: Logikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. januar 2008 I Kapittel 3 så vi på hvordan data, som hele tall og reelle
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerG høgskolen i oslo. Emnekode:!;_unstiq intelliqens lv 145A Gruppe(r) : Dato: Tillatte
I Emne: G høgskolen i oslo Emnekode:!;_unstiQ intelliqens lv 145A Gruppe(r) : Dato: 23.04.04 Tillatte Antall sider (inkl. Antall oppgaver: hjelpemidler: forsiden): 5 3 Inoen Faglig veileder: Eva Vihovde
DetaljerINF1010 notat: Binærsøking og quicksort
INF1010 notat: Binærsøking og quicksort Ragnhild Kobro Runde Februar 2004 I dette notatet skal vi ta for oss ytterligere to eksempler der rekursjon har en naturlig anvendelse, nemlig binærsøking og quicksort.
DetaljerEKSAMEN med løsningsforslag
EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2810 Eksamensdag: 5. juni, 2014 Tid for eksamen: 14:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKommentarer til eksempelinnleveringene
Kommentarer til eksempelinnleveringene Det er lagt ut 4 eksempelinnleveringer, en som er nesten perfekt og får 100 poeng uten opprunding. De andre 3 er kommentert i detalj her. Merk at tilbakemeldingene
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Dag Normann - 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:01) Kapittel 6: Funksjoner Injektive funksjoner Igår begynte vi på kapitlet om funksjoner f : X Y, og
DetaljerNorsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016
Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.
DetaljerForelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf
Forelesning 24 Grafer og trær Dag Normann - 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og Eulerstier Hamiltonkretser Minimale utspennende trær. Vi skal nå se
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:00) MAT1030 Diskret
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag. med forbehold om bugs :-)
1 EKSAMEN Løsningsforslag med forbehold om bugs :-) Emnekode: ITF20006 000 Dato: 20. mai 2011 Emne: Algoritmer og datastrukturer Eksamenstid: 09:00 til 13:00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater
DetaljerMed løkke: Læringsmål og pensum. TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Utgave 2: Kap. 5. Mål.
1 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Løkker/Sløyfer Utgave 3: Kap. 4 Utgave 2: Kap. 5 Terje Rydland - IDI/NTNU 2 Læringsmål og pensum Mål Lære om begrepet løkker
DetaljerRekursjon og lister. Stephan Oepen & Erik Velldal. 1. februar, Universitetet i Oslo
INF2810: Funksjonell programmering Rekursjon og lister Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 1. februar, 2013 Agenda 2 Forrige uke Scheme Substitusjonsmodellen Blokkstruktur Predikater Kondisjonale
DetaljerINF-MAT-5380
INF-MAT-5380 http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf-mat5380/ Leksjon 2 Leksjon 1: Oppsummering Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk
DetaljerVektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.
DetaljerForelesning 30: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 30: Kompleksitetsteori 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerForelesning 3. Karnaughdiagram
Forelesning 3 Karnaughdiagram Hovedpunkter Karnaughdiagram Diagram med 2-4 variable Don t care tilstander Alternativ utlesning (leser ut ere) XOR implementasjon NAND implementasjon ved DeMorgan 2 Bakgrunn,
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerPlenumsregning 12. Diverse oppgaver. Roger Antonsen mai Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Plan
Plenumsregning 12 Diverse oppgaver Roger Antonsen - 22. mai 2008 Plan Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett eksamensoppgaver. Neste uke blir det repetisjon på mandag og onsdag. Send epost
DetaljerLars Vidar Magnusson
B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner
DetaljerTDT4110 IT Grunnkurs Høst 2014
TDT4110 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 10 Denne øvingen er en to-ukers øving (prosjekt) og inneholder én
DetaljerOppgave 1. Sekvenser (20%)
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet I 20 - Algoritmer, datastrukturer og programmering Mandag 2.Mai 200, kl. 09-5. Ingen hjelpemidler tillatt. Oppgavesettet
DetaljerBruk piazza for å få rask hjelp til alles nytte!
Kunnskap for en bedre verden 1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab 5: Løkker (FOR og WHILE) Amanuensis Terje Rydland Kontor: ITV-021 i IT-bygget vest (Gløshaugen) Epost: terjery@idi.ntnu.no
DetaljerKort innføring i problemløsningsmetodikk
2016 Kort innføring i problemløsningsmetodikk Ali Ghaderi Høgskolen i Sørøst-Norge 14 January 2016 If I had an hour to solve a problem I d spend 55 minutes thinking about the problem and 5 minutes thinking
DetaljerGrådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder
Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerDynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl
Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl 5. september 2012 Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist) Kapittel 9 er lagt ut på undervisningsplanen.
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs. Matlab 5: Løkker (FOR og WHILE) Matlab 6: Problemløsning / Algoritmer
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab 5: Løkker (FOR og WHILE) Matlab 6: Problemløsning / Algoritmer Rune Sætre (satre@idi.ntnu.no) Anders Christensen (anders@idi.ntnu.no) TDT4105 IT Grunnkurs
DetaljerProgrammering Høst 2017
Programmering Høst 2017 Tommy Abelsen Ingeniørfag - Data Innledning Dette er et dokument med litt informasjon og eksempler om kontrollstrukturer, samt oppgaver til forskjellige kontrollstrukturer. Spør
DetaljerKap. 4: Ovenfra-ned (top-down) parsering
Kap. 4: Ovenfra-ned (top-down) parsering Dette bør leses om igjen etter kapittelet: First og Follow-mengder Boka tar det et stykke uti kap 4, vi tok det først (forrige foilbunke) LL(1)-parsering og boka
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid
Detaljer