INF1010. Sekvensgenerering Alle mulige sekvenser av lengde tre av tallene 0, 1 og 2: Sekvensgenerering. Generalisering. n n n! INF1010 INF1010 INF1010

Transkript

1 Sekvensgenerering Alle mulige sekvenser av lengde tre av tallene, og : Kombinatorisk søking Generering av permutasjoner Lett: Sekvensgenerering Vanskelig: Alle tallene må være forskjellige Eksempel: Finne korteste reiserute Mer direkte generering av permutasjoner Dette er et sett lysark for en forelesning. Noen sider er ufullstendige og vil kun være nyttig som grunnlag for selvstudium påført studentens merknader fra forelesningen. Særlig gjelder dette en del eksempler og figurer.. februar 6 Ark av 9. februar 6 Ark av 9 Sekvensgenerering Alle mulige sekvenser av lengde tre av tallene, og : Generalisering Alle mulige sekvenser av lengde n av tallene fra til n : class Gen { Mulig implementasjon int[] p = new int[3]; void gen3(int plass) { for (int siffer = ; siffer < 3; siffer++) { if (plass < ) { gen3(plass + ); else { System.out.println("" + p[] + p[] + p[]); Startkall: gen3(); Sekvenser og permutasjoner Legg merke til at få av sekvensene er permutasjoner. For stor n, vil det være veldig mange sekvenser som ikke er permutasjoner. n n n! for (int siffer = ; siffer < n; siffer++) { if (plass < n ) { gen(plass + ); else { for (int i = ; i < n; i++) { System.out.print(p[i]); System.out.print( ); System.out.println( \n ); public static void main(string[] args){ int argument = Integer.parseInt(args[]); Gen g = new Gen(argument); if (argument < ) argument = ; g.gen();. februar 6 Ark 3 av 9. februar 6 Ark 4 av 9

2 Kombinatorisk søking Kombinatorisk søking: Leting etter kombinasjoner av elementer som tilfredsstiller visse kriterier. Har: Et endelig antall (men ofte mange) elementer. Skal: Finne en rekkefølge, gjøre et utplukk, lage en oppdeling,... Vi har da problemer hvor vi må: Greie å lage alle interessante kombinasjoner. Teste om en kombinasjon er en løsning på det aktuelle problemet. NB! Ofte blander vi disse sammen, slik at vi bare lager kombinasjoner det er «håp for». Eksempler: Oppgaven kan ha forskjellig form: Plassere 8 dronninger på et sjakkbrett slik at ingen av dronningene kan slå hverandre. Finne en eller annen konstellasjon som oppfyller kravet Finne korteste rundtur blant «n» byer hvor hver by bare besøkes en gang (avstanden mellom ethvert par av byer er kjent). Finne raskeste reisemåte med kollektivt transportmiddel etter klokken 6 fra Blindern til Badebakken (gitt at vi har rutetabellene). Plassere 5 elever i et klasserom slik at ingen uvenner blir sittende ved siden av hverandre (gitt at vi har en liste over uvenner). Finne sannsynligheten for at to av fem deltagere i pokerspill får utdelt «fire like». Finne alle konstellasjoner Finne den beste konstellasjonen i en eller annen forstand Generelt søker vi blant alle mulige konstellasjoner/kombinasjoner eller permutasjoner. Derfor er generering av permutasjoner en viktig del av løsningen.. februar 6 Ark 5 av 9. februar 6 Ark 6 av 9 Permutasjoner Kombinatoriske problemer kan løses etter følgende «enkle» algoritme: generer alle mulige kombinasjoner Eksempel: Korteste reiserute for hver ny kombinasjon, sjekk om denne «løser problemet» Alle mulige kombinasjoner (permutasjoner) av tallene fra til n : class Gen { boolean[] brukt; brukt = new boolean[n]; for (int j = ; j < n; j++) { brukt[j] = false; for (int siffer = ; siffer < n; siffer++) { if (!brukt[siffer]) { brukt[siffer] = true; if (plass < n ) { gen(plass + ); else { < Lever arrayen p til videre bruk. > brukt[siffer] = false; Korteste reiserute (by nr): 4 3 Korteste vei: = 36 Hvis vi lager alle permutasjoner av tallene 3 4 og regner ut lengden av veien fra by tilbake til, vil vi finne minst en korteste rute, siden vi går igjennom alle mulige reiseruter. Vi bruker permutasjonsalgoritmen, men beholder p[]=, siden vi alltid starter fra by. Det svarer til at vi starter for løkken og det rekursive kallet med. 3. februar 6 Ark 7 av 9. februar 6 Ark 8 av 9

3 class Gen { boolean[] brukt; Siden vi starter med gen(), vil p[i ] alltid vil være definert. For å regne ut lengden av reiseruten trenger vi noen nye variable: float[][] avstand inneholder avstanden mellom ethvert par av byer. brukt = new boolean[n]; for (int j = ; j < n; j++) { brukt[j] = false; for (int siffer = ; siffer < n; siffer++) { if (!brukt[siffer]) { brukt[siffer] = true; if (plass < n ) { gen(plass + ); else { < summerer avstandene mellom byene og sjekker om denne er kortest hittil > brukt[siffer] = false; Eksempel på bruk for 9 byer: new Gen(9).gen(); float reiselengde hjelepvariabel for å summere avstandene mellom byene. float minlengde = Float.MAX VALUE lengden av den korteste (fullstendige) reiseruten hittil. Når programmet vårt har laget et forslag til reiserute (i p) kan vi beregne lengden av den: reiselengde=.; for (int j = ; j < n; j++) { reiselengde = reiselengde + avstand[p[j ]][p[j]]; reiselengde = reiselengde + avstand[p[n ]][]; Legg merke til at vi tilslutt legger til avstanden fra siste by i ruta og hjembyen. Legger vi til testen if (reiselengde < minlengde) { minlengde = reiselengde finner vi ny korteste rute og tar vare på lengden.. februar 6 Ark 9 av 9. februar 6 Ark av 9 Vi introduserer en ny variabel og skifter navn på to andre. for (int by = ; by < n; by++) { if (! (brukt[by]) { float lengde lengden av reiseruten så langt. int by den byen vi tester om er i ruta allerede (tidligere siffer) void finnveier() nytt mer passende navn på metoden (tidligere gen). Vi har funnet en by som ikke er med i reiseruta. Legger den inn i p og oppdaterer lengden så langt. Så sjekker vi om dette var siste by: brukt[by] = true; p[i] = by; lengde = lengde + avstand [ p[i ] ] [by]; if (i < n ) { finnveier(i + ); else { Vi legger merke til at: brukt[by] == false hvis vi ikke har forsøkt denne byen før. avstand[p[i ]][by] er avstanden mellom den byen vi nå har sist i reiseruten (p[i]) og forrige by. Nytt forslag til fullstendig reiserute. Vi legger til avstanden hjem og sammenligner (evt. oppdaterer) minlengde. int siste_lengde = lengde + avstand [by] []; if (siste_lengde < minlengde) { minlengde = siste_lengde; Alle muligheter videre med p[i] == by er undersøkt. avstand[by][] er avstanden fra siste by vi tok inn i reiseruten og hjem igjen, utgangsbyen p[]. lengde = lengde avstand [p[i ]] [by];. februar 6 Ark av 9. februar 6 Ark av 9

4 Avskjæringer Når vi er i ferd med å bygge opp et nytt forslag til reiserute kan det hende at reiseruten så langt allerede er lenger enn den korteste fullstendige vi har funnet. Da er det ikke lenger nødvendig å sjekke videre. Vi kan foreta en avskjæring. Denne avskjæringstesten kan vi foreta før vi bruker denne byen. (Ved avskjæring setter vi brukt[by] og lengde tilbake til verdiene de nettopp hadde). Vi flytter den opp og gjør den samtidig med sjekken om byen allerede er brukt. Denne avskjæringen kan vi foreta når vi har satt en ny by ned i p og regnet ut lengden så langt: Hvis trekantulikheten gjelder (alltid kortere å dra direkte mellom to byer enn via en tredje): lengde = lengde + avstand [ p[i ] ] [by]; Hvis lengde+avstand[by][] lengden så langt pluss korteste vei hjem er lenger enn minlengde trenger vi ikke finne flere permutasjoner (reiseruter) som starter med det vi har i p[]... p[i]. Vi foretar en avskjæring ved ikke å kalle rekursivt: if (! (brukt[by]) { brukt[by] = true; p[i] = by; lengde = lengde + avstand [ p[i ] ] [by]; if (lengde+avstand[by][] < maxlengde) { if (i < n ) { finnveier(i + ); else {... lengde = lengde avstand [ p[i ] ] [by]; for (int by = ; by < n; by++) { if (! (brukt[by]) &&! (lengde + avstand [p[i ]] [by] + avstand [by] [] >= minlengde) ) { brukt[by] = true; lengde = lengde + avstand [p[i ]] [by]; p[i] = by; if (i < n ) { finnveier(i + ); else { minlengde = lengde + avstand [by] []; lengde = lengde avstand [p[i ]] [by]; Startkall: finnveier();. februar 6 Ark 3 av 9. februar 6 Ark 4 av 9 Hvis trekantulikheten ikke gjelder, for eksempel på grunn av svingete veier, må vi vente med å legge til «veien hjem», avstand [by][] og teste total lengde til vi har en kandidat til en fullstendig reiserute. Hvorfor det? for (int by = ; by < n; by++) { if (! (brukt[by]) &&!(lengde + avstand [p[i ]] [by] >= minlengde) ) { brukt[by] = true; lengde = lengde + avstand [p[i ]] [by]; p[i] = by; if (i < n ) { finnveier(i + ); Alternativ generering av permutasjoner En mer direkte (og mer effektiv?) generering av permutasjoner. Initielt: Arrayen p[] inneholder de aktuelle elementene. else if (lengde + avstand[by][] < minlengde) { minlengde = lengde + avstand [by] []; lengde = lengde avstand [p[i ]] [by]; Mangler: Å skrive ut selve reiseruten... Metoden permuter(int i): Skal generere alle permutasjoner av elementene fra og med indeks i. Skal levere tilbake arrayen p[] slik den var da metoden ble kalt. Spørsmål: Har vi fortsatt fullstendig avskjæring?. februar 6 Ark 5 av 9. februar 6 Ark 6 av 9

5 Initielt: p n- Alle som begynner med : p n- permuter() Alle som begynner med : p n- Startkall: permuter(); void permuter(int i) { if (i == n ) { < Lever p til videre bruk > else { permuter(i + ); for (int k = i + ; k < n; k++) { bytt(i, k); permuter(i + ); rotervenstre(i); permuter() Alle som begynner med : p n- permuter() Alle som begynner med n : To hjelpemetoder: void bytt(int i, int j) { int tmp = p[i]; p[i] = p[j]; p[j] = tmp; void rotervenstre(int i) { int tmp = p[i]; for (int k = i + ; k < n; k++) { p[k ] = p[k]; p[n ] = tmp; p n- n- permuter(). februar 6 Ark 7 av 9. februar 6 Ark 8 av 9 Oppsummering Rekursjon En rekursiv metode er en metode som kaller seg selv. Huskeregler: Det må alltid finnes et basistilfelle som kan løses uten rekursjon. De rekursive kallene må gå i retning av et basistilfelle. Designregel: Anta at de rekursive kallene fungerer. Ikke løs samme instans av et problem i separate rekursive kall! Kombinatorisk søking Har: Et endelig antall elementer. Skal: Finne en rekkefølge, gjøre et utplukk... Del kravet i en enkel og en vrien del. Test mest mulig av det vriene kravet underveis. Kjenn igjen håpløse delløsninger så tidlig som mulig.. februar 6 Ark 9 av 9