Rekursjon. Binærsøk. Hanois tårn.

Transkript

1 Rekursjon Binærsøk. Hanois tårn.

2 Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering «orden» i dataene vi blir fort lei av å lete poleksempel internett «alt» er søking og sortering alternativer til sortering og søking binære trær søketrær Sortering ser vi på senere. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 2

3 Binærsøk: Effektiv søking i en sortert array I et heltallsarray A[ ] med n elementer skal vi finne en indeks (objektet) hvor verdien er k. A[ ] er sortert slik at A[i 1] A[i], mao. i stigende orden fra 0 og oppover: A[0] A[1] A[2] A[3] A[n 2] A[n 1] Hva bør vi gjøre hvis k < A[0] eller k > A[n 1]? michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 3

4 Binærsøk: Effektiv søking i en sortert array Hvis A[0] k A[n 1] har vi følgende idé for algoritme: Sjekk om k er større enn, mindre enn, eller lik elementet midt i arrayen. Hvis ikke lik, «kast» den halvdelen som k ikke kan være i. Fortsett å lete i den halvdelen som k kan være i. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 4

5 Iterativ metode som leter etter tallet k. Returnerer k sin indeks hvis funnet, 1 ellers. 1 int binarsok ( int [ ] a, int fra, int t i l, int k ) { 2 int midten ; boolean funnet = false ; 3 while ( funnet == false ) { 4 i f ( fra > t i l ) { 5 return 1; 6 } else { 7 midten = ( fra + t i l ) / 2; 8 i f ( k == a [ midten ] ) { 9 return midten ; 10 } else i f ( k < a [ midten ] ) 11 t i l = midten 1; 12 else fra = midten+1; 13 } 14 } 15 } michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 5

6 Rekursiv metode som leter etter tallet k. Returnerer k sin indeks hvis funnet, 1 ellers. 1 int binarsok ( int [ ] a, int fra, int t i l, int k ) { 2 int midten ; 3 i f ( fra > t i l ) { 4 return 1; 5 } else { 6 midten = ( fra + t i l ) / 2; 7 i f ( k == a [ midten ] ) { 8 return midten ; 9 } else i f ( k < a [ midten ] ) { 10 return binarsok ( a, fra, midten 1, k ) ; 11 } else { // k > a[ midten ] 12 return binarsok ( a, midten+1, t i l, k ) ; 13 } 14 } 15 } michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 6

7 Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet Forstå spillet Bestemme/skjønne hvordan spillet løses Lage en plan for hva programmet skal gjøre (med ord) Lage en programskisse (tegning og kvasikode) Dele opp problemet i deler som kan gjøres for seg Kompilere og test første del Utvide programmet stegvis og teste for hvert steg michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 7

8 Forstå spillet/problemet Illustrasjonen er hentet fra Bare en plate kan flyttes om gangen Platen som flyttes må flyttes til en av de andre pinnene En plate kan ikke legges over en mindre plate INF mars 2010 (uke 12) 8

9 Om tårnet i Hanoi eller Hanois tårn Legenden Hindutempel med 3 påler, 64 gullplater med hull i midten Når alle 64 plater er flyttet til en annen påle vil templet og verden gå under Minst enkeltflyttinger Edouard Lucas 1883 Spillet Det finnes flere algoritmer michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 9

10 Lage en plan for hva programmet skal gjøre (med ord) Løsningen av spillet er en liste av trekk eller enkeltflytninger. Et trekk er entydig bestemt hvis det angis fra hvilken pinne det flyttes til hvilken pinne, siden det bare er lov å flytte platen som ligger øverst. Hvis de tre pinnene heter 1 (fra), 2 (via), og 3 (til). Og spillet går ut på å flytte to plater fra pinne 1 til pinne 3, er løsningen denne lista med 3 enkeltflytninger: Flytt en plate fra 1 til 2 Flytt en plate fra 1 til 3 Flytt en plate fra 2 til 3 Lag først en metode som kan flytte en plate. Lag så en som kan flytte to plater vha den første. Så en som kan flytte tre plater. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 10

11 Metoden som kan flytte tre plater lages slik: Vha metoden som kan flytte 2 plater flytter vi disse til pinne 2 (via). Så flytter vi den største plata (nr 3) fra pinne 1 (fra) til pinne 3 (til). Til sist flytter vi de 2 platene fra pinne 2 (via) til pinne 3 (til) vha metoden som kan flytte 2. Så lager vi en ny metode som kan flytte 4 plater. Denne bruker metoden vi nettopp laget som kan flytte 3 plater. Slik fortsetter vi, til vi har laget metoden som flytter så mange plater som vi ønsker. I følge legenden 64. Først ser vi på en alternativ løsning fra nettet: michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 11

12 Ikke-rekursiv algoritme som løser Hanois tårn med n plater Definerer en positiv retning: P1 P2 P3 P1 hvis antall plater er et ulikt tall P1 P3 P2 P1 hvis antall plater er et partall Algoritme: Gå i løkke: 1. Flytt den minste platen en pinne i postiv retning 2. Gjør det eneste andre lovlige trekket (enkeltflytt) som ikke involverer den minste platen. Avslutt løkka hvis 2 ikke var mulig, hvis 2 kunne gjøres, fortsett slutt michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 12

13 I kvasikode: while (!ferdig ) { 1. Flytt den minste platen en pinne i postiv retning 2. Hvis mulig, gjør det lovlige trekket mellom de to andre pinnene (ikke pinnen med den minste platen) Hvis trekk 2 ikke var mulig { ferdig = true } } Det er lett å lage en datamodell og et javaprogram som utfører algoritmen ved å angi hvilke enkeltflytt som skal gjøres. Det er derimot vanskelig å skjønne at dette programmet løser Hanois tårn med n plater. (Beviset for det går langt utover det vi skal lære i INF1010. Interesserte kan finne bevis på nettet, f.eks. andy/courses/3101/lecture-notes/ln0.html) michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 13

14 Top-down programmeringsutvikling Først skriver vi et program som løser det legendariske problemet med 64 plater. 64 er mer konkret enn n og lettere å forholde seg til. Vi vet allerede nå at løsningen på oppgaven er en sekvens (liste) av (lovlige) flytt. Lage en metode som kan flytte 64 plater ved hjelp av to andre metoder: 1. en metode som kan flytte en plate 2. en metode som kan flytte 63 plater michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 14

15 1 public static void flytt64 ( int fra, int t i l, int via ) { 2 flytt63 ( fra, via, t i l ) ; 3 flytt1 ( fra, t i l, via ) ; 4 flytt63 ( via, t i l, fra ) ; 5 } 6 7 public static void flytt1 ( int fra, int t i l, int via ) { 8 System. out. println ( Flytter en plate fra : 9 + fra + t i l : + t i l ) ; 10 } public static void flytt63 ( int fra, int t i l, int via ) {... } michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 15

16 Hvis flytt63 gjør det den skal vil dette virke. Vi må da programmere flytt63, og gjør det over samme lest: 1 public static void flytt63 ( int fra, int t i l, int via ) { 2 flytt62 ( fra, via, t i l ) ; 3 flytt1 ( fra, t i l, via ) ; 4 flytt62 ( via, t i l, fra ) ; 5 } Vi skjønner mønsteret (vi trenger flytt62, flytt61,..., flytt2 også) og hvis vi behersker en teksteditor godt, bruker vi ikke lang tid på å lage programmet: michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 16

17 1 public static void flytt64 ( int fra, int t i l, int via ) { 2 flytt63 ( fra, via, t i l ) ; 3 flytt1 ( fra, t i l, via ) ; 4 flytt63 ( via, t i l, fra ) ; 5 } 6 7 public static void flytt63 ( int fra, int t i l, int via ) { 8 flytt62 ( fra, via, t i l ) ; 9 flytt1 ( fra, t i l, via ) ; 10 flytt62 ( via, t i l, fra ) ; 11 }... michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 17

18 1 2 // 60 metoder utelatt ( flytt62... tilogmed... f l y t t 3 ) ) 3 4 public static void flytt2 ( int fra, int t i l, int via ) { 5 flytt1 ( fra, via, t i l ) ; 6 flytt1 ( fra, t i l, via ) ; 7 flytt1 ( via, t i l, fra ) ; 8 } 9 10 public static void flytt1 ( int fra, int t i l, int via ) { 11 System. out. println ( Flytter en plate fra : 12 + fra + t i l : + t i l ) ; 13 } michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 18

19 Denne måten å utvikle programmet på (vi bruker metoder vi ikke har programmert ennå) kalles top-down, siden vi begynner i den komplekse enden (løser problemet for 64 plater og antar vi har metoder som løser de enklere oppgavene før vi har laget dem). lag først en metode som kan flytte 64 plater (vha flytt63) så en som kan flytte 63 ved hjelp av den som kan flytte 62 så en som kan flytte så en som kan flytte 2 ved hjelp av en som kan flytte 1 tilslutt den som flytter 1 plate michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 19

20 bottom-up programutvikling Vi kan også tenke omvendt. Den utviklingsmetoden kalles bottom-up: lag først en metode som kan flytte 1 plate ved hjelp av den lager vi metoden som kan flytte 2 så en som kan flytte 3 ved hjelp av metoden som... flytter 2 så en som kan flytte 63 ved hjelp av den som kan flytte 62 tilslutt en som kan flytte 64 Programmet blir det samme uansett utviklingsmetode. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 20

21 Rekursiv metode som kan flytte n plater Mens vi har laget 64 nesten like metoder, har vi fått ideen om å la antall plater som skal flyttes være en parameter til metoden, la oss kalle antallet n, og de tre pinnene henholdsvis frapinnen, tilpinnen og viapinnen: 1. flytt n 1 plater fra frapinnen til viapinnen 2. flytt 1 plate fra frapinnen til tilpinnen 3. flytt n 1 plater fra viapinnen til tilpinnen Hvis algoritmen klarer å flytte n 1 plater riktig, skulle dette fungere for n plater (vi har programmert slik). Vi sørger så for at metoden virker for n = 1 (basistilfellet) og metoden vil være korrekt (ved induksjon). michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 21

22 Vi skriver algoritmen i Java 1 public static void f l y t t ( int ant, int fra, int t i l, int via ) { 2 i f ( ant == 0) { 3 } else { 4 f l y t t ( ant 1, fra, via, t i l ) ; 5 flytt1 ( fra, t i l ) ; 6 f l y t t ( ant 1, via, t i l, fra ) ; 7 } 8 } 9 10 public static void flytt1 ( int fra, int t i l ) { 11 antallflytt ++; 12 System. out. println ( Flytter en plate fra pinne 13 + fra + t i l pinne + t i l ) ; 14 } michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 22

23 Utvide programmet stegvis og teste for hvert steg Hva er basistilfellet og er de rekursive kallene nærmere dette? Hvordan representerer vi pinner og plater i programmet (datamodellen)? Vi har her utviklet et program som lager en liste over enkeltflytninger som må gjøres for å løse oppgaven. En naturlig utvidelse (er vi nå bottom-up eller top-down?) er at vi ønsker at vi istedet skal se trekkene bli utført grafisk på skjermen. Til det trenger vi et utsyn som kan tegne opp de tre pålene eller pinnene, med platene på. Da kan det kanskje være hensiktsmessig å ha en modell av situasjonen i spillet. Ved å kalle på en passende metode i utsynet fikk vi så tegnet situasjonen på skjermen. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 23

24 I stedet for å skrive ut enkeltflytningene, kan man lage kommandoer (metodekall) til modellen som foretar den tilsvarende endringen. I dette eksemplet er datamodellen så enkel, at det er lett å klare seg uten en egen modellklasse og la utsynet lese datastrukturen direkte. En annen naturlig utvidelse er å la brukeren få velge antall plater i spillet. Vi kan også tenke oss muligheten av at brukeren får spille spillet ved å angi hvilken plate som skal flyttes. Hvis andre har laget en spesifikasjon (eller prekode) er det på dette stadiet (når vi vet vi har løst selve kjernen av problemet) naturlig å se på denne igjen og starte med å innarbeide den til et ferdig program. michael@ifi.uio.no INF mars 2010 (uke 12) 24